Текст книги "Занимательная экономика. Теория экономических механизмов от А до Я"

Задания для самостоятельного решения

Тесты 1–5. Выбрать один верный ответ из четырех предложенных

Тест 1. Свойство аукциона передавать лот в руки того, что его максимально ценит:

1) выявление,

2) монотонность,

3) оптимальность,

4) эффективность.

Тест 2. Открытые аукционы – это те…

1) которые открыты для свободного участия неограниченного круга лиц;

2) которые проходят вживую в одной аудитории;

3) которые проходят в динамике и в реальном времени;

4) на которых открывается информация об участниках и их ставках.

Тест 3. Открытый аукцион понижающейся цены иначе называется…

1) английский аукцион,

2) голландский аукцион,

3) немецкий аукцион,

4) японский аукцион.

Тест 4. Динамическим аукционом не может являться…

1) английский аукцион,

2) голландский аукцион,

3) японский аукцион,

4) аукцион со всеобщей оплатой.

Тест 5. В закрытом аукционе второй цены победителем признается тот, кто…

1) сделал самую высокую среди всех участников ставку;

2) сделал вторую по размеру ставку;

3) сделал ставку вторым во времени;

4) сделал не менее двух ставок.

Тест 6. Выбрать все правильные ответы

Нобелевскую премию за теорию аукционов получили…

1) Уильям Викри,

2) Роджер Майерсон,

3) Пол Милгром,

4) Джон Нэш.

Задача 7.

Пусть в приватизационном аукционе за некоторое предприятие борются 5 компаний, чьи ценности распределены равномерно в диапазоне от 50 до 100 млн долларов. Пусть наша оценка составляет 90 млн долларов. Какую ставку нужно сделать, чтобы избежать проклятия победителя?

Глава 3. Математика теории аукционов

3.1. Математика закрытых аукционов

В данной главе книги нам придется использовать некоторое количество математики, поэтому если вам это покажется сложным, то можно пропустить формулы и доказательства, остановившись лишь на ключевых выводах, очень важных и красивых. Хотя начнем мы с достаточно простого сюжета.

В предыдущем разделе среди различных форматов аукционов был анонсирован закрытый аукцион второй цены, называемый также аукционом Викри, в котором победитель, подавший максимальную среди всех участников заявку, получает лот по цене второй сверху заявки. Его особенностью является то, что он выявляет истинные ценности участников, поскольку оптимальные заявки b_i (обозначение происходит от английского слова bid) в точности совпадают с ценностями v_i (от английского value). Докажем это.

Для начала посмотрим, почему не стоит завышать цену в целях увеличения вероятности победы на аукционе. Попробуем в случае оценки объекта в v_i = 800 тыс. руб. сделать заявку b_i = 900. Если кто-то из конкурентов заявит сумму b_max выше 900, результат будет неизменен – мы по-прежнему проигрываем аукцион, и наш результат равен нулю. Если максимальная из заявок конкурентов b_max ниже 800, то лот в любом случае достается нам и мы заплатим за него вторую цену b_max, не зависящую от ставки. Отличия возникают, если b_max находится в диапазоне между нашей оценкой v_i и заявкой b_i. Например, в нашем случае кто-то из конкурентов может назвать цену 840. Правильно бы было отказаться от борьбы, но с заявкой 900 мы выигрываем аукцион, платим 840 и фактически несем убытки в размере 40 тысяч рублей.

Симметричная ситуация возникает при попытках сэкономить на оплате путем занижения ставки. Пусть в вышеприведенном примере мы сделали заявку b_i = 700 тыс. руб., оказавшуюся ниже нашей честной оценки v_i = 800. Если все конкуренты предложили цену ниже 700, мы в любом случае платим максимальную из них и выигрываем аукцион. Если кто-то из конкурентов указал цену выше 800, у нас нет шансов на победу, и снова две ситуации эквивалентны. Но если максимальная из цен конкурентов b_max находится в диапазоне между 700 и 800, например равна 730, то при заявке, равной нашей оценке, мы побеждаем в аукционе (и получаем объект ценностью 800 за 730, тем самым выигрывая 70 тысяч рублей), а при попытке указать заниженную сумму проигрываем аукцион и остаемся ни с чем.

Очевидно, что приведенные результаты будут получены не только на указанном численном примере, но и при любых других исходных данных. Таким образом, как в случае завышения, так и в случае занижения цены невозможна ситуация, когда мы выигрываем от такого отклонения. В то же время проигрыш вполне вероятен. А значит, для аукциона второй цены всегда есть очень простая доминирующая стратегия – указывать в качестве заявки истинную оценку лота, b_i (v_i) = v_i. В связи с этим организатор аукциона Викри в качестве бонуса получит полную информацию о реальных оценках лота для каждого из участников, даже если они априори были склонны их скрывать. Тайное становится явным.

В прошлом параграфе было показано, что аукцион второй цены имеет очевидные преимущества – простая доминирующая стратегия для участников, раскрытие информации о ценностях для аукциониста. Почему же он не столь часто используется на практике? Потому что с ним связано несколько проблем.

Во-первых, аукцион Викри неустойчив к сговору. Например, победитель может указать честную цену в 800 тысяч, одновременно сподвигнув (в том числе материальными стимулами) остальных указать резервную цену, а при ее отсутствии – просто ноль. Эта ситуация является устойчивой, никому в одностороннем порядке не выгодно от нее отклоняться: победитель получает лот даром, а остальным, для того чтобы что-то изменить, нужно указать цену выше 800 и заплатить за лот 800, что они делать не готовы. В аукционе первой цены самоподдерживающийся сговор невозможен. Единственный вариант получить лот почти даром – сделать минимальную положительную заявку, в то время как остальные заявят ноль. Однако такая ситуация не будет устойчивой, поскольку каждый из конкурентов может совсем немного повысить цену и выиграть аукцион, что он при случае с огромным удовольствием и осуществит.

Кстати, несмотря на то что на первый взгляд сговор множества участников в аукционе второй цены выглядит нереалистичным, в истории были примеры, когда один из участников убеждал остальных, что ценит объект очень-очень высоко, и большинство конкурентов просто отказывались от борьбы. Заключить соглашение с немногими оставшимися (чтобы аукцион состоялся) было делом техники. В результате победитель получал лот за символическую цену.

Второй проблемой аукциона Викри является возможное недоверие к аукционисту. Действительно, у проводящего аукцион есть очень серьезные стимулы к обману. Ведь если победитель указал в заявке сумму 800 тысяч рублей, а конкурент – 799, то победитель должен будет заплатить 799, что гораздо выгоднее для аукциониста, чем 700 или тем более ноль, как в приведенном выше варианте сговора. В то же время в закрытых аукционах обычно не разглашается информация о заявках, поэтому победитель будет знать только собственную сумму и не сможет проверить, какая заявка была второй и кто ее сделал. Аукционист, завысивший ее, остается неуязвим. Однако при отсутствии доверия участники начинают менять свое поведение, снижая ставки, тем самым уменьшая и доходы аукциониста.

Третья сложность состоит в том, что простая стратегия раскрытия собственной оценки даже при отсутствии сговора и честном аукционисте действует только при однократном проведении аукциона. При повторяющемся взаимодействии возможно гораздо более сложное стратегическое поведение участников, снова типично связанное со снижением ставок и с попытками получить объекты дешевле.

Тем не менее аукцион второй цены – не только красивая теоретическая конструкция. Есть примеры его применения как государством при продаже ценных бумаг, так и частными компаниями. И, несмотря на внешние атрибуты английского аукциона, продажи на «eBay» фактически реализованы в формате аукциона второй цены, о чем мы еще поговорим ниже, когда речь пойдет о практике аукционов.

Вернемся к аукциону первой цены и попробуем ответить на вопрос, какую конкретную сумму должен указывать рационально действующий участник в зависимости от собственной оценки объекта. В отличие от аукциона второй цены, где доминирующей стратегией является честное поведение, здесь не все так очевидно, и ставка будет заведомо ниже оценки.

Вопрос насколько.

Начнем рассмотрение аукциона первой цены с простого случая двух одинаковых покупателей с равномерными на отрезке [0; 1] функциями распределения ценности. Пусть, например, в аукционе произведений современного искусства участвуют два покупателя, которым лот может как очень понравиться (и они будут готовы заплатить за него до одного миллиона рублей), так и не понравиться совсем (из чего следует полная неготовность платить).

Если участник с субъективной ценностью лота v запишет в конверт ставку b, его ожидаемый выигрыш составит V = (v – b) P (b), где P (b) – вероятность победы на аукционе. Заметим, что при низких ставках b в случае победы можно выиграть очень много, но вероятность победы будет крайне невелика. Напротив, если ставка b приближается к ценности v, вероятность выигрыша возрастает, однако сам выигрыш снижается. Для двух крайностей b = 0 и b = v ожидаемый выигрыш окажется нулевым. Нам же нужно найти то промежуточное значение, при котором он максимален.

Возникает догадка, что правильная стратегия – указать половину собственной оценки b = v / 2. Скажем, если ценность лота для нас составляет 600 тысяч рублей (далее будем рассматривать именно этот пример), мы должны указать в качестве ставки 300. Пока это не более чем предположение, подсказанное нашей интуицией, однако можно строго доказать, что это так, и данная стратегия является равновесной, то есть если один участник аукциона использует ее, то второму выгодно делать то же самое.

Пусть конкурент использует указанную стратегию. Тогда его ставки равномерно распределены на отрезке [0; 0,5] (именно на этом отрезке распределена половина ценности), а вероятность нашей победы равна P(b) = 2b. Например, если мы укажем сумму 0,3, то вероятность победы составит 60 %, а ожидаемый выигрыш будет равен (0,6 – 0,3) ×0,6 = 0,18, то есть в среднем мы сможем заработать 180 тысяч. Если же, например, указать сумму 0,5, то можно победить гарантированно, однако ожидаемый выигрыш окажется меньше и составит всего (0,6 – 0,5) ×1 = 0,1, то есть 100 тысяч рублей.

Максимизируем по величине ставки b выписанный выше ожидаемый выигрыш, приравняв производную к нулю:

V = (v – b) P(b) = (v – b) 2b = 2vb – 2b ² → max,

2v – 4b = 0, b = v / 2.

Таким образом мы доказали, что наилучшим ответом на стратегию «называть половину ценности» является она же, то есть данная стратегия равновесна. Так что участник, истинная ценность картины для которого составляет 600 тысяч рублей, действительно должен подать заявку на 300.

Довериться интуиции и затем доказать, что она нас не подвела, – это довольно распространенный способ решения нетривиальных задач, в том числе в теории экономических механизмов. Но можно ли было решить задачу математически строго?

Попробуем найти симметричное равновесие, то есть такую функцию превращения ценности в заявку b = f(v), которая является оптимальным ответом на себя саму. Поиск будет происходить в классе монотонно возрастающих дифференцируемых функций, которые стартуют из нуля. Это содержательно означает, что участник аукциона, который совершенно не ценит данный объект, не станет делать на него положительную заявку, а чем больше будет ценность, тем выше ставка, которую он готов поставить.

Для нахождения максимума сначала нужно понять, чему равняется вероятность победы на аукционе. Поскольку предполагается симметричность стратегий в равновесии, конкурент использует такую же функцию f (v) выбора ставки в зависимости от ценности, как и мы. Мы побеждаем конкурента в случае, если его оптимальная ставка b₂ = f (v₂) не превышает нашу, равную b. С учетом монотонности функции f (v) это будут участники с оценкой ниже, чем v = f ^–1 (b). Доля таких конкурентов для равномерного распределения ценности на отрезке [0; 1] в точности совпадает со значением f ^–1 (b). Например, вероятность того, что оценка конкурента окажется не выше 0,4, составляет 40 %. Таким образом, функция выигрыша примет вид V = (v – b) f ^–1 (b).

Для каждого значения v необходимо максимизировать данную функцию по ставке b _∈ [0; 1]. В результате решения этой параметрической задачи и будет сконструирована функция f (v) нашего наилучшего ответа при ценности v. Чтобы отыскать точку максимума функции выигрыша, то есть решить задачу:

V = (v – b) f ^–1(b) → max,

необходимо вычислить ее производную. Учитывая, что производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции в соответствующей точке, мы имеем:

– f ^–1(b) + (v – b) / f '(f ^–1(b)) = 0,

откуда путем несложных преобразований выразим:

v – b = f ^–1(b) f ' (f ^–1(b)).

А теперь самый главный момент. Если f (v) – равновесная стратегия поведения, то для произвольной ценности v решением этого уравнения должно служить в точности значение ставки b = f (v), которое мы и подставим в уравнение. Получим следующее:

v – f (v) = f ^–1 (f (v)) f ' (f ^–1(f (v)).

Поскольку обратная функция применяется вслед за прямой, то многое сократится:

v = f (v) + v f ' (v).

Заметим, что слева и справа здесь угадываются полные дифференциалы:

Это означает, что f (v) v = v ² / 2 + C, а поскольку в соответствии с наложенным ранее условием f (0) = 0, константа C также равняется нулю. Значит, ответ будет иметь вид f (v) = v / 2.

Итак, оптимальная стратегия поведения в аукционе первой цены с двумя участниками в случае равномерно распределенных на отрезке [0; 1] ценностей – называть половину собственной оценки.

В предыдущем параграфе мы нашли оптимальную стратегию поведения в закрытом аукционе первой цены с двумя участниками и равномерным на отрезке [0; 1] распределением ценностей. Однако оба этих предположения не очень реалистичны. Поэтому попробуем от них отказаться. И первое возможное обобщение – поиск оптимальной стратегии для аукциона с произвольным числом участников, которое равно n.

Большая часть рассуждений останется неизменной. Отличие заключается в том, что для победы теперь нужно, чтобы не только одна, но все ставки (n –  1) конкурента были ниже нашей. Учитывая то, что вероятность такого события для одного конкурента равна f ^–1(b), найдем итоговую вероятность (f ^–1(b))^n–1 и итоговый ожидаемый выигрыш (v – b) (f ^–1(b))^n–1, который и максимизируем по b, снова принимая во внимание, что b = f (v):

– (f ^–1 (b))^n–1 + (v – b) (n – 1) (f ^–1 (b))^n–2/f ' (f ^–1 (b)) = 0,

(v – b) (n – 1) = f ^–1 (b) f ' (f ^–1 (b)),

v (n – 1) = f (v) (n – 1) + v f ' (v).

Домножим обе части данного равенства на v ^n–2 и снова увидим слева и справа полные дифференциалы:

v ^n–1 (n – 1) = f (v) (n – 1) v ^n–2 + f ' (v) v ^n–1,

f (v) v ^n–1 = v ⁿ (n – 1) / n + C.

При С = 0 получаем функцию оптимальной ставки f (v) = v (n – 1) /n. То есть если число участников аукциона в приведенной задаче увеличивается с двух до пяти, то ставка игрока с оценкой 600 тысяч рублей поднимется с 300 до 480, в случае десяти участников – до 540, а в случае 100 участников – до 594 тысяч рублей.

Второе обобщение более серьезное – мы откажемся от нереалистичного предположения о равномерном распределении ценностей на отрезке и рассмотрим произвольный случай. Итак, пусть распределение ценностей участников аукциона задано функцией F(v). Данная функция показывает вероятность того, что ценность объекта не превышает сумму v. Для того чтобы победить на аукционе, нужно, чтобы ставки всех участников не превосходили нашу, а ценности для всех участников, исходя из симметричности равновесия и монотонности f (v), были не больше, чем для нас. Таким образом, вероятность победы будет равна G (f ^–1(b)) ≡ F ^n–1 (f ^–1(b)), а максимизируемая функция ожидаемого выигрыша примет вид (v – b) G (f ^–1(b)). Продифференцируем ее по ставке b, снова принимая в расчет, что v = f ^–1(b):

Решив полученное дифференциальное уравнение, найдем равновесную функцию ставки для общего случая аукциона первой цены:

Заметим, что из нее легко получить результаты для рассмотренных выше частных случаев. Например, в случае равномерного распределения ценностей получим следующие результаты.

Для двух участников: G(v) = v,

Для произвольного n: G(v) = v ^n–1,

Еще два общих вывода можно получить, если с помощью интегрирования по частям записать равновесную функцию ставки в еще одном виде:

Напрямую из выведенной формулы видно, что при любом распределении ценностей оптимальная ставка будет строго ниже оценки объекта. Это первый важный вывод, теперь доказанный строго.

Перейдем теперь в этой формуле от функции G(v) обратно к F(v):

Из нее следует второй важный вывод для аукциона первой цены, который выполняется вне зависимости от распределения ценностей: чем больше участников аукциона, тем ближе к оценке объекта должна быть ставка.

3.2. Теорема об эквивалентности форматов

В предыдущем разделе книги мы рассмотрели два варианта закрытых аукционов и вывели оптимальные стратегии для их участников. Но остался открытым вопрос о том, какой из этих форматов выгоднее использовать, если целью аукциониста является максимизация доходов, полученных от продажи лота. И не стоит ли придумать какой-то еще более изощренный механизм (например, аукцион третьей или четвертой цены), чтобы прибыль организаторов стала еще выше.

В 1981 году Роджер Майерсон доказал удивительный результат, названный теоремой об эквивалентности форматов. Он продемонстрировал, что средний выигрыш аукциониста, продающего объект на аукционе первой цены, в точности совпадет со средним выигрышем на аукционе Викри. Более того, как ни трудно в это поверить, средний выигрыш продавца в закрытых аукционах вообще не зависит от правил их проведения, если выполняются три очень простых свойства: объект отдается участнику, который подал максимальную заявку; участник с нулевой оценкой ничего не платит; равновесие симметрично.

Именно эта теорема в 2007 году принесла Майерсону Нобелевскую премию по экономике. И неслучайно. Это действительно мощнейший механизм анализа аукционов и конструирования их дизайна.

Разберем его более подробно.

Предположим, что аукцион организован некоторым образом – пока совершенно произвольно, но именно в виде статической, а не динамической игры. Это означает, что участники в конвертах или в электронной системе однократно подают заявки и существует единое для всех правило, определяющее выплаты, а также участника, который объявляется победителем аукциона, или нескольких участников, между которыми объект продажи разыгрывается в лотерею с заданными вероятностями.

Возьмем для определенности первого участника. Задать формат аукциона – означает задать отображение

m: R × B → R,

сопоставляющее каждому размеру заявки b₁ ∈ R первого участника и каждому неупорядоченному набору заявок {b₂,…, b_n} ∈ B остальных участников платеж m₁ = m (b₁; {b₂,…, b_n}) первого участника в таких условиях. Это означает, что аукцион определяется суммой денег, которую должен будет заплатить участник в зависимости от собственной ставки и ставок всех его конкурентов.

Для формулировки и доказательства теоремы об эквивалентности форматов нам потребуется в дополнение к симметричности правила, которое определяет выплаты, ввести три дополнительных требования.

Как говорилось ранее, первым из них является эффективность. Объект, выставленный на продажу, всегда достается участнику с максимальной ставкой. Формально говоря, теорему можно трактовать шире, и вместо эффективности требовать одинаковой функции размещения объекта. Это может быть актуально в случае делимых благ. Например, если на аукционе разыгрывается пакет акций, то можно отдать 80 % акций победителю, а оставшиеся 20 % – указавшему вторую ставку. Но тогда и сравнивать этот аукцион придется исключительно с другими аукционами с такой же функцией размещения 80 на 20. Поэтому, чтобы не усложнять задачу, пока будем рассматривать предположение об эффективности в классическом виде.

Кстати, вопрос, связанный с эффективностью, не вполне очевиден – ведь максимальную ставку может сделать участник аукциона с немаксимальной оценкой. Однако такое может произойти лишь в несимметричном равновесии, когда разные участники пользуются разными стратегиями, а это мы запретим чуть ниже.

Также тут неявно кроется требование о том, что объект ни при каких заявках участников не остается в руках аукциониста при условии, что для последнего он не имеет никакой ценности. В частности, такое требование исключает использование резервной цены, начиная с которой идут торги: ведь при наличии порогового значения существуют реализации оценок участников, при которых объект не будет продан.

Второе требование, отсутствие входного билета, заключается в том, что человек с нулевой оценкой может заявить ноль и остаться при своих. Формально требование должно быть выполнено в среднем, то есть ожидаемый платеж игрока с нулевой ставкой равен нулю. Однако при дополнительном ограничении, что участникам ни при каких обстоятельствах не выплачивают никаких денег, усредненный ноль означает ноль при любых условиях. Точнее, как говорят математики, «почти всегда» – на множестве реализаций, имеющем полную меру. Независимо от распределения оценок и ставок всех остальных участников аукциона, участник, заявивший ноль, платит ноль.

Последнее условие, которое необходимо для справедливости теоремы Майерсона об эквивалентности форматов, заключается в том, что участники аукциона используют одинаковые стратегии ведения борьбы за объект. Иными словами, теорема о равенстве доходов аукциониста при разных форматах проведения аукциона верна при разыгрывании симметричного равновесия.