Текст книги "Квантовый ум. Грань между физикой и психологией"

1. Джагит Сингх в легкой для понимания манере обсуждает историю полей в своей книге «Великие идеи современной математики: их природа и использование».

В математике поля определяются как множества сущностей, подчиняющихся двум бинарным операциям, которыми обычно считаются сложение и умножение. Когда это множество сущностей подвергается сложению или вычитанию, оно является «коммутативным», то есть a + b = b + а. Для действительных положительных чисел сложение является коммутативным, но вычитание не является, поскольку a – b не всегда бывает тем же самым, что b – а. Например, 10 – 1 = 9, но 1 – 10 = -9.

2. Число 0 является элементом тождественности множества для сложения, поскольку от его прибавления ничего не меняется. Кроме того, число 1 является элементом тождественности, когда мы переходим к умножению и делению чисел.

7. Осознание мнимых чисел

Следующая великая эра пробуждения человеческого интеллекта вполне может создать метод понимания качественного содержания уравнений. Сегодня мы этого не можем.

Ричард Фейнман, лауреат Нобелевской премии по физике

Продолжая наше путешествие через числовые поля, мы обнаружили, что числа описывают взаимодействия осознания между наблюдателем и вещами, которые он наблюдает, находятся ли эти вещи в его внешнем или внутреннем мире. В главе 6 мы изучали поля и видели, что все положительные и отрицательные числа вместе образуют поле, поскольку они имеют замыкание. Иными словами, вы можете складывать, вычитать, умножать и делить и по-прежнему оставаться в том же поле. Мы обнаружили, что математика описывает не только то, как можно считать внешние события, но и то, как наши умы усиливают и углубляют события, создают пространство и развертывают переживания.

В этой главе нам предстоит добавить к полю действительных чисел еще одно измерение – измерение мнимых чисел. Для некоторых читателей это будет означать первую встречу с разновидностью чисел, о которой они раньше никогда не слышали, – с комплексными числами, которые представляют собой сочетание действительных и мнимых чисел.

Если бы мы жили несколько тысяч лет тому назад, мы бы, несомненно, предсказали открытие мнимых чисел, поскольку действительные числа – это лишь принадлежащие к общепринятой реальности варианты того, что мы переживаем, когда наблюдаем и считаем. Если бы мы жили в далеком прошлом и понимали, что числа символизируют не только явные процессы, но и тонкие процессы, которые не выявляются непосредственно, мы бы, вероятно, подумали, что нам необходимо новое описание событий, которое включает в себя действительные числа, а также что-то наподобие «воображаемых» чисел, чтобы описывать аспекты событий, относящиеся как к ОР, так и к НОР.

После открытия мнимых чисел в XVI и XVII вв. оказалось, что эти числа не настолько мнимые, как первоначально думали математики, однако эти числа все-таки дают нам понимание НОР-аспектов природы и, конечно, нашей собственной природы. Более того, нам очень важно исследовать эти числа, так как они образуют основу описания квантовой физики и теории относительности. Современная физика не может существовать без мнимых чисел.

Числа и числовые системы постепенно развивались на протяжении многих тысячелетий. Сперва появились идеи счета и чисел, затем такие современные понятия, как действительные положительные и отрицательные числа, ноль и дроби. За ними последовали рациональные и иррациональные числа¹.

Как видно из терминов «рациональный» и «иррациональный», открытие чисел с самого начала осложнялось вопросом о том, откуда происходят эти удивительные символы и что они собой представляют. Когда в эпоху Возрождения Готфрид Лейбниц и другие разрабатывали мнимые числа для решения проблем в математике, понятие мнимых чисел также считалось бесплотным. Мнимые числа сравнивали с духами: они присутствовали, но их было невозможно увидеть.

Позвольте мне познакомить вас с мнимыми числами. Вспомните, что ряд действительных положительных чисел 1, 2, 3, 4… не был достаточно большим числовым полем, чтобы включать в себя вычитание, поскольку в поле положительных чисел нельзя было найти такие числа, как 5 – 7 (= -2). Если мы добавляем отрицательные числа, то имеем более полное числовое поле: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 и т. д. На этом большем поле мы теперь можем играть с вычитанием, а также сложением, умножением и делением. Отрицательные числа добавили к положительным числам новое измерение.

Вскоре стало понятно, что в дополнение к действительным и отрицательным числам необходимо новое измерение. Почему? Потому что теперь можно было складывать, вычитать и делить и по-прежнему находиться в числовом поле, но было нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа и оставаться в этом поле. Никто не знал, что представляет собой квадратный корень из -4. Математики знали, что квадратный корень из 4 – это число 2 (то есть V4 = 2), но что такое квадратный корень из -4? Какое число, умноженное на само себя, дает -4? Чтобы решить эту проблему, математики думали о добавлении мнимых чисел к действительным числам.

Формальный способ записи мнимых чисел состоит в помещении после действительного числа буквы i [12]12
  То есть первой буквы прилагательного imaginary, означающего «воображаемый» или «мнимый». (Примеч. пер.)


[Закрыть]. Например, если действительное число 4 написать как 4i, то оно будет обозначать мнимое число.

Буква i имеет следующий смысл: она символизирует квадратный корень из -1 (то есть √ -1). По-другому можно сказать, что квадратный корень из -1 сокращенно обозначается буквой i. Таким образом, √ -1 = i.

Например, если b – действительное число, тогда соответствующее ему мнимое число можно записать как ib, что является сокращенной формой (√ -1)b.

Первые математики, которые разрабатывали и использовали мнимые числа в XVII в., полагали, что мнимые числа нереальны и невозможны. Как может отрицательное число иметь квадратный корень? Храбрецом, который первым опубликовал формулу, включавшую в себя таинственные мнимые числа, был итальянский математик XVI в. Джером Кардан. Однако он испытывал большие сомнения в отношении своей работы и называл числа бессмысленными, фиктивными и мнимыми².

Что же в действительности представляют собой мнимые числа? Вспомните, что действительные числа кодируют, но маргинализируют переживания НОР Многие из конкретных и наблюдаемых свойств вещей, которые мы считаем, не учитываются действием простого счета. Из-за процесса маргинализации, действительных чисел никогда не будет достаточно для полного описания событий, поэтому в математике, наряду с общепринятыми количествами, вроде 1, 2 и 3, нам требуется нечто вроде воображаемых или необщепринятых качеств. Будучи полезными, мнимые числа также указывают назад, на магические качества, которые люди нередко ассоциируют с числами.

Сегодня, хотя большинство людей мало знают о свойствах чисел, относящихся к необщепринятой реальности, многие до сих пор верят, как и столетия назад, что числа обладают магическими свойствами. Точно так же, как мы используем особые геометрии, чтобы строить здания, например, с высокими остроконечными крышами, а также кресты, звезды и круги, чтобы представлять духовные идеи, древние и некоторые современные люди верили в магическую силу отдельных чисел. Например, считалось, что число 1 представляет единение, многие люди отождествляли число 2 с дьяволом или «двуличным», число 3 с судьбой (или Троицей в христианском мире), число 4 с целостностью и так далее³.

Эти верования отчасти связаны с количественными свойствами чисел. Например, число 1 не становится больше при умножении на само себя и не становится меньше при делении на себя. Вывод: число 1 обладает богоподобными свойствами. Оно является вечным, неизменным. Оно «одно единственное». Я говорил, что число 1 представляет сам процесс, нечто всегда присутствующее, постоянное как неизбежность изменения. Один – это первое простое число.

Простое число не имеет сомножителей, кроме самого себя и единицы. Например, число 6 не является простым, так как оно делится на 2 и 3 (или может быть получено умножением 2 х 3). То есть число 6 имеет сомножители (или делители), отличающиеся от него самого, а именно 2 и 3. Другие простые числа, кроме единицы, – это 2, 3, 5, 7, 11 и так далее и -2, -3, -5 и так далее.

Подумаем о числе 2. Это простое число, поскольку оно может быть разбито только на множители 1 х 2. Число два интересно тем, что оно дает одно и то же число при сложении с собой и умножении на себя, то есть 2 + 2 = 2 х 2 = 4. Легко видеть как можно проецировать на число 2 всевозможные магические или какие-то еще удивительные качества. Другие числа при сложении с собой дают другие результаты, чем при умножении на себя. Но не двойка

2 + 2 = 2 х 2!

Три – это простое число, которое представляет собой сумму предшествующих чисел (3 = 1 + 2).

Четыре – это первое непростое число, первый квадрат.

Многие отдельные люди и целые культуры верили, что числовые качества дат рождения и букв имен – это не просто случайности, а содержательные события, наполненные магическим значением. Например, если вы родились второго января, смысл вашей жизни будет связан с числами 2 и 1. Если ваше имя – Эми (AMY), то ваша жизнь будет связана с числовыми эквивалентами букв A, M и Y, то есть с числами 1, 8 и 25 и их качествами.

Для многих людей эти воображаемые качества чисел полны смысла, однако в нашей культуре не существует общепринятого мнения относительно символического смысла чисел. Некоторые люди полагают, что они вообще не имеют никакого смысла. Таким образом, числа имеют как общепринятые, так и необщепринятые аспекты. Ученые сосредоточиваются только на количественном аспекте чисел, ориентированном на общепринятую реальность, и полагают, что их необщепринятые качества не имеют отношения к пониманию реальности. На самом деле, ученые всегда надеялись, что числа в целом, независимо от того, как их называют, образуют логичную, неприступную систему, не допускающую иррациональных несовместимостей.

В 1931 г. Логик Курт Гёдель доказал (или напомнил тем, кто забыл), что определения общепринятой реальности для чисел и формул не являются неопровержимыми и не могут использоваться для доказательства своей собственной обоснованности с помощью дедуктивного рассуждения. Гёдель показал, что в математике имеются неизбежные противоречия; некоторые утверждения невозможно ни доказать, ни опровергнуть⁴. Поэтому мы не можем быть уверены в том, что наука математика не ведет к противоречиям или что числа свободны от магии.

В таком случае арифметика не может быть свободной от противоречий. Можно было бы подозревать, что теорема Гёделя обескуражит ученых, надеявшихся разработать набор аксиом, из которых можно будет выводить все феномены⁵. На мой взгляд, дело обстоит противоположным образом. Сегодня большинство ученых действуют так, как будто можно открыть окончательную теорему, из которой можно будет приемлемым образом выводить математические описания всех физических событий.

Единственное известное мне следствие теоремы Гёделя в психологии – это неписанное правило в умах некоторых терапевтов, таких как я сам, что человеческая раса непоследовательна и противоречива. Верно, что арифметические операции придают сновидениям и измененным состояниям сознания больше логики, чем кажется на первый взгляд, но эта логика – в большей степени общий принцип, нежели неизменный закон.

Примерно в тот же период, когда были открыты или придуманы мнимые числа, Галилей в 1623 г. провел различие между «первичными» и «вторичными» качествами материи⁶. Он называл первичными качествами материи те, которые можно измерять и описывать с помощью действительных чисел (например, 4 килограмма, 10 километров, 60 секунд). Согласно Галилею вторичные качества (например, любовь или цвет) не могут быть сведены к объективным измерениям и, следовательно, находятся вне сферы науки.

С точки зрения нашего теперешнего обсуждения представляется, что первичные и вторичные качества, о которых говорил Г алилей, сходны с тем, как я использую термины «общепринятая» и «необщепринятая реальность», и с тем, что имеет в виду Альберт Эйнштейн в цитате из его книги по теории относительности, приводившейся в первой главе:

… определенные чувственные восприятия разных людей соответствуют друг другу, в то время как для других чувственных восприятий подобное соответствие установить невозможно⁷.

Галилей жил в поворотный момент в истории западной цивилизации, во времена, когда происходило отделение количественных характеристик материи от чувств по отношению к ней. История западной цивилизации показывает, что наука шла в направлении, предсказанном Галилеем, и отвергала качества переживаний НОР. Тогда ученые решили, и считают так и поныне, что мнимые числа – это нечто вроде галилеевых вторичных качеств, они не имеют непосредственного физического смысла и не входят в сферу науки.

Это сопротивление, отчасти, было обусловлено тем, что в эпоху Возрождения росло разделение между материей и душой, между физической и нефизической сферами. Мнимые числа появились как раз тогда, когда физика и математика отчаянно пытались отделиться от религии и таинств алхимии, бывшей сочетанием химии и медитации, психологии и физики. Это разделение было чрезвычайно полезным, но теперь настало время для воссоединения. История мнимых чисел подсказывает, как будет происходить это воссоединение.

История развития мнимых чисел весьма интересна, так как она следует по пути постоянных (и не вполне успешных) попыток избавиться от «вторичных качеств» природы. В XVII в. математики Джон Уоллис (1616-1703) и Готфрид Лейбниц (1646-1716), наряду с другими, обдумывали проблему квадратного корня отрицательных чисел. Они знали, что если взять квадрат с площадью, равной 1, то квадратный корень тоже будет равен 1.

Давайте еще раз подумаем о мнимых числах. Эти математики знали, что если нужно найти квадратный корень числа 4, это будет 2. Почему? Потому что, как я говорил ранее, если вы возводите число 2 в квадрат, то получается 4, то есть 2 х 2 = 4.

Что, умноженное само на себя, дало бы в результате отрицательное число? Ответа никто не знал. Поэтому математики пришли к выводу, что в их поле действительных чисел должно чего-то не хватать, так как в этом поле не было ничего такого, что давало бы им квадратные корни отрицательных чисел. Они знали, что им нужен новый вид числового поля, которое было бы расширенным вариантом поля действительных чисел, так как ничто в поле действительных чисел не вело к квадратному корню -1! Докажите это сами.

Квадратный корень из + 9 равен 3.

из +3 равен 1,732…

из +2 равен 1, 414.

из +1 равен 1,000.

из +0,5 равен 0,707.

Квадратный корень из +0,2 равен 0,447.

из +0,01 равен 0,100.

из -1 равен ???

Что такое квадратный корень -1??? Ничто в поле действительных чисел.

. -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5.

После некоторых размышлений о его возможной мистической природе математики, наконец, договорились подавлять мистицизм, связанный с i, и определять его чисто технически как квадратный корень -1.

Иными словами, они отделили свои чувства относительно ухода из реального числового поля и вхождения в новую сферу, которую они называли «мнимой», взамен создав практический набор определений. С чисто логической или математической точки зрения, они не могли находить квадратные корни отрицательных чисел и потому придумали один такой корень, приписав математическое свойство √-1 одной букве алфавита! Результатом было и до сих пор остается то, что квадратный корень из -1 обозначается буквой i, то есть:

√-1 = i

Это обозначение интересно само по себе, но его истинная ценность открывается, когда вы производите следующее определение. Если вы умножаете мнимое число само на себя, то получаете действительное число, то есть:

i  × i = -1,

и значит

√-1 = i

Это определение означает, что существует связь между действительными и мнимыми числами. Это определение призвано быть логичным и не нуждающимся в объяснении. И это определение удивительно! Оно дает науке новое измерение.

Действительные числа можно непосредственно считать, а мнимые нельзя. Вы знаете, к чему относится число 5. Оно меньше, чем 6, и больше, чем 4. Но какое отношение имеет 5i к 5? Оно не больше и не меньше, чем 5, но и не равно 5! Вы можете сосчитать пять овец и называть это «5». Но 5i не имеет непосредственного, измеримого значения.

Первые изобретатели мнимых чисел считали эти числа мистическими, поскольку их нельзя было увидеть в реальности. Изобретатели надеялись, что эти числа – просто логические или умственные конструкции, что бы это ни означало. Однако Лейбниц думал иначе. Он не только определял мнимое число как i х i = —1, но и описывал его как «Святой Дух» математики, возможно, потому что его физическое значение не поддавалось непосредственному пониманию. Для него мнимое число было призраком – Святым Духом, стоящим за материальной реальностью. Для Лейбница мнимые числа были «утонченным и удивительным прибежищем божественного духа – почти промежуточной стадией между бытием и небытием…»

Для итальянского математика Рафаэля Бомбелли, жившего в 1575 г., мнимые числа были «сумасбродными мыслями». Леонард Эйлер (1701-1783) говорил: «такие числа по самой своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми числами, поскольку они существуют только в воображении»⁵.

Было так, будто в науку снова и навсегда входили невидимые пространства! Мнимые числа подобны духам, поскольку их нельзя непосредственно измерять в общепринятой реальности. Измеримы только квадраты их природы, поскольку i в квадрате (i х i) равно -1; это действительное число, а i – нет. Таким образом, вплоть до сегодняшнего дня, спустя около четырехсот лет, никто точно не знает, к чему относятся мнимые числа.

В предыдущих главах мы рассматривали психологическое значение отрицательных чисел, которые, подобно долгам, представляют собой нечто такое, чем вы кому -то обязаны. Вспомните флорентийские и венецианские банки и их понятие долгового обязательства, а также то, что проекция подобна долгу, поскольку проецируя, вы что-то заимствуете, за что вы, в конечном счете, должны расплачиваться присвоением этого.

Проводя дальше эту аналогию между отрицательными числами и проекциями, мы могли бы сказать, что квадратный корень отрицательного числа – это квадратный корень проекции. Но что же такое корень проекции? Корень проекции – это призрачные переживания, подобные сновидению. Если я сильно расстраиваюсь и всегда говорю, что некоторые люди «плохие», то, возможно, проецирую часть самого себя. Корень моей проекции можно было бы найти в моем сновидении, где присутствует «плохой персонаж». Разумеется, этот плохой парень – я сам.

Точно так же i – это квадратный корень, или призрачный корень отрицательного числа. В этом смысле i подобно духу, как говорил Лейбниц. Это что-то невидимое, наподобие символа сновидения, который при возведении в квадрат развертывается в область жизни.

Иными словами, i более или менее похоже на святой дух. Оно божественно в том смысле, что обладает автономной способностью сновидений возводить себя в квадрат или развертываться в область повседневной жизни. Психологической аналогией мнимого числа может служить образ сновидения, который, при пробуждении, усиливается до такой степени, что вы считаете его реальным.

Например, я живо помню, как моему другу приснилось, что у его подруги роман с кем-то еще. Проснувшись, он спросил ее, так ли это, и даже когда она сказала, что это не так, он продолжал в это верить.

Процесс сновидения развертывается дальше в виде проекций, которые в действительности представляют собой своего рода долг, аналогично тому, как мнимое число, теперь означающее сновидение, возводит себя в квадрат в формуле i  × i = -1.

Мой друг ошибался в отношении своей подруги; он был ей что-то должен! Но в сновидении, то есть в необщепринятой реальности он не ошибался. В сновидении моего друга у нее были отношения с другим человеком, который, как говорил мой друг, был более чутким и более отзывчивым по отношению к ней, чем он сам. Мой друг ревновал к «другому человеку», так как этот воображаемый персонаж обладал всеми чувствами, которых не было у моего друга в повседневной жизни.

Иными словами, мы можем считать мнимые числа аналогичными фигурам в НОР: мнимые числа реальны, но только в необщепринятом смысле. Они не истинны с точки зрения общепринятой реальности, где вещи можно измерять, фотографировать и взвешивать. Они подобны сновидению.

Процесс сновидения, будучи воображаемым, возводит себя в квадрат и создает проекции в повседневной жизни. Сновидения могут быть или не быть реальными с точки зрения ОР, но они, безусловно, совершенно реальны с точки зрения НОР!

Мы знаем, что сновидения случаются не только ночью. Они происходят и в течение дня в форме едва уловимых восприятий НОР. Например, тому, что мы называем проекцией, всегда предшествуют взгляды, мимолетные мысли, едва заметные чувства в отношении объекта или человека, на кого мы проецируем. Эти неуловимые чувства и мысли, взгляды и заигрывания представляют собой переживание квадратного корня проекции. Они происходят так быстро, что относятся к сфере сновидения, к сфере наших чувственных способностей воспринимать вещи тонким и, как правило, не признаваемым образом.