Текст книги "Паскаль"

6

Блезу исполняется всего шестнадцать лет, когда он пишет и затем публикует свое исследование «Опыт о конических сечениях», вызвавшее большой резонанс в кружке Мерсенна и снискавшее одобрение многих маститых математиков, познакомившихся с этой работой.

Конические сечения, которым посвящен «Опыт...», – хорошо известные в древности эллипс, парабола и гипербола. С помощью этих кривых решались задачи на построение (например, удвоение куба), которые не удавалось выполнить с применением простейших чертежных инструментов – циркуля и линейки. В дошедших до нас исследованиях древнегреческие математики получали эллипс, параболу и гиперболу при сечении плоскостями одного и того же конуса: если секущая плоскость составляет с образующей угол больше угла при вершине осевого сечения, то получится эллипс, если этот угол меньше – гипербола, если углы равны – парабола. Наиболее полным и обобщающим сочинением, посвященным этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского, жившего во втором веке до новой эры. В своем труде, составленном из восьми книг, Аполлоний рассматривал в отдельности эллипс, гиперболу и параболу, доказывая их определяющие свойства, которые зачастую оказывались сходными: несмотря на различную форму, эти три вида конических сечений тесно связаны друг с другом, и большинство теорий, касающихся эллипса, с теми или иными изменениями применимы к гиперболе и параболе. Но древнегреческий математик не располагал единым методом исследования, не опирался на всеобъемлющие формулы и уравнения, и поэтому его теория была направлена больше на особенности отдельных кривых, чем на их общие свойства. Такая направленность соответствовала духу античной науки, которая в явлениях окружающего мира видела скорее качественные и разнородные сущности, нежели количественные закономерности, а каждую конкретную задачу стремилась рассматривать в отдельности, саму по себе, применяя в каждом случае соответствующие этой задаче методы.

Дальнейшее развитие теории конических сечений связано с созданием в XVII веке новых геометрических методов. Принципиально иной подход к теории конических сечений дал Декарт в своей аналитической геометрии, где ему удалось свести качественные особенности геометрических образов к количественным соотношениям. В противоположность древним авторам он стремился не столько решать отдельные, изолированные проблемы, сколько устанавливать зависимость между ними, исследовать соотношения между общими величинами, что позволяло общими же методами исследовать множество частных задач. Все это стало возможным благодаря алгебраизации геометрии, введению Декартом понятия переменной величины, применению буквенной символики для записи функциональной зависимости. Использование метода прямоугольных координат, связь геометрических фигур с числом позволили Декарту рассматривать эти фигуры с помощью алгебраических уравнений: геометрический объект задается уравнением, описывающим зависимость координат его точек. По свойствам этого уравнения и судят о свойствах геометрического объекта. Таким образом, конические сечения в аналитической геометрии стали кривыми второго порядка, то есть кривыми, выражаемыми в Декартовых координатах уравнением второй степени.

Но рядом с этой алгебраизированной, «количественной» геометрией в XVII веке существовала и другая, «чистая» геометрия, продолжавшая традиции конкретного «качественного» исследования древнегреческих математиков и использовавшая одновременно новые методы. Главным представителем этого направления в математике был Дезарг, заложивший основы проективной и начертательной геометрии. Ему принадлежит одна из основных теорем проективной геометрии, дающая возможность выполнять перспективные построения в одной плоскости. Кладя в основу своих методов понятие перспективы и систематически применяя перспективное изображение, Дезарг изучал конические сечения как проекции круга, что давало новые и очень интересные результаты. Его идеи при жизни были признаны лишь наиболее выдающимися математиками, для современников в целом они оставались малопонятными, чему в немалой степени способствовал сложный и темный стиль научных трудов Дезарга. Их чтение затруднялось большим количеством совершенно новых терминов, которые он считал необходимым ввести и часто заимствовал из ботаники. Так, одно из основных сочинений Дезарга, «Черновой проект подхода к тому, что происходит при встрече конуса с плоскостью», которое повлияло на юношескую работу Паскаля, совершенно справедливо называли в XVII веке «уроками мрака».

Блез оказывается в числе тех немногих, кто смог разобраться в «уроках мрака», и единственным, кто полностью усваивает и развивает идеи и понятия Дезарга, дает им более простые и вместе с тем более общие обоснования, распространяющиеся на широкие классы следствий.

Это увлечение идеями Дезарга и отражается в «Опыте о конических сечениях». Сочинение Паскаля печатается в количестве пятидесяти экземпляров на одной стороне листа и имеет вид афиши, которую можно расклеивать прямо на улице, что нередко практикуется отдельными учеными, в том числе, как уже говорилось, самим Дезаргом. (В настоящее время осталось лишь два экземпляра: один хранится в национальной библиотеке Франции, а другой – в королевской библиотеке Ганновера, среди бумаг Лейбница.) Оно включает в себя три определения, три леммы, несколько теорем (без доказательств) и наименования глав предполагаемого обширного труда по коническим сечениям. Паскаль здесь отдает дань признательности своему учителю, называя Дезарга одним из великих умов своего времени, одним из лучших математиков и знатоков теории конических сечений. «Я хочу заявить, – пишет Паскаль, – что немногим мной найденным в этих вопросах я обязан его сочинениям и что я старался, насколько это было возможно, подражать его методу».

Тем не менее небольшой трактат Паскаля вполне самостоятелен и оригинален. Прежде всего это относится к третьей лемме, согласно которой во всяком шестиугольнике (его автор трактата называет «мистическим шестивершинником»), вписанном в эллипс, гиперболу или параболу, точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой, называемой теперь прямой Паскаля. Если шесть произвольных точек конического сечения (например, эллипса, как показано на рисунке 1)

Рис. 1.

принять за вершины шестиугольника и занумеровать их, то противоположные стороны данного шестиугольника (1, 2) и (4, 5); (2, 3) и (5, 6); (3, 4) и (6, 1) пересекутся соответственно в точках Р, Q, R, которые лежат на одной прямой – прямой Паскаля. Третья лемма составляет знаменитую теорему Паскаля, которая вызывает восхищение у математиков и которую Дезарг называет «великой Паскалевой». Под именем теоремы Паскаля она и в будущем явится одной из основных теорем проективной геометрии. Блез понимает ее важность и намеревается в последующем на ее основе построить полную теорию конических сечений. По словам Мерсенна, он выводит из своей фундаментальной теоремы около четырехсот различных следствий. Вот одно из самых простых, но и, как пишет советский исследователь научного творчества Паскаля С. Г. Гиндикин, самых важных следствий (см. рисунок 2):

Рис. 2.

«Коническое сечение однозначно определяется любыми своими пятью точками. Действительно, пусть 1, 2, 3, 4, 5 – точки конического сечения и m – произвольная прямая, проходящая через (5). Тогда на m существует единственная точка (6) конического сечения, отличная от (5). В обозначениях теоремы Паскаля точка Р является точкой пересечения (1, 2) и (4, 5), Q – точка пересечения (2, 3) и m, R – точка пересечения (3, 4) и (Р, Q), a тогда (6) определится как точка пересечения (I, R) и m»[3]3
  Гиндикин С. Г. Блез Паскаль. – «Квант», 1973, № 8, с. 9—10.


[Закрыть].

О важности и продуктивности сформулированной шестнадцатилетним юношей теоремы пишет и французский исследователь его научного творчества П. Умберт: «Открыв Евклида с помощью кружочков и палочек, Паскаль с помощью шестиугольников вновь создавал Аполлония».

Пятнадцать лет спустя в своем послании «Знаменитейшей Парижской математической академии» Блез сообщает о подготовленном им «Полном труде о конических сечениях», который содержит положения Аполлония и многие другие результаты, полученные на основе открытой им в шестнадцать лет теоремы. Труд этот не опубликован, и рукопись его потеряна. Еще в 1675 году о ней смог познакомиться Лейбниц, находившийся в это время в Париже и внимательно относившийся к научному творчеству Паскаля. Лейбниц высоко оценил его геометрические сочинения, сделал ряд выписок из них и посоветовал владельцу рукописи, племяннику Блеза Этьену Перье, поскорее напечатать ее. Однако Этьен Перье не внял совету немецкого философа, и дальнейшая судьба рукописи неизвестна. Современный французский ученый Эмиль Пикар пишет по этому поводу, что «Трактат о конических сечениях» свидетельствует об изобретательской мощи великого математика, и его потеря навсегда останется достойной глубокого сожаления.

В дальнейшем развитии геометрии возобладает аналитический метод Декарта, и лишь в XIX веке найдут свое место продуктивные идеи Дезарга и Паскаля, когда возродятся проективные методы в трудах французских математиков Монжа, Шаля и особенно Понселе. Понселе доведет проективную геометрию до высокой степени совершенства, превратив ее в самостоятельную отрасль современной математики.

Появление «Опыта о конических сечениях» вызывает бурю восторга в кругу парижских математиков, признающих, что Блез Паскаль разрешил ряд вопросов лучше Аполлония. Мерсенн повсюду заявляет, что Паскаль-сын положил на лопатки всех, кто когда-либо занимался исследуемым предметом. Но на фоне всеобщего одобрения и восхищения выделяется сильный голос, упорно не желающий признавать свершившегося факта. Это голос Декарта. Когда Мерсенн сообщает ему о шестнадцатилетнем вундеркинде, снискавшем уважение у всех маститых ученых, знакомых с «Опытом...», то Декарт, который, по словам его биографа Байе, никогда и никого не хвалил, отвечает довольно холодно и обидчиво-язвительно, пытаясь скрыть свое удивление: «Я не нахожу ничего необыкновенного в том, что есть люди, доказывающие конические сечения проще Аполлония, но можно предложить другие теоремы относительно этих сечений, и шестнадцатилетний ребенок затруднился бы их разъяснить».

Когда же Декарт получает от Мерсенна экземпляр «Опыта...», то он, не прочитав и половины, решает, что «Новый Архимед» всего лишь навсего выученик Дезарга. И, даже узнав, что юный математик и сам воздает должное Дезаргу, Декарт тем не менее не мог успокоиться: ему хотелось верить, что автором сочинения является Этьен Паскаль, а не его сын; шестнадцатилетний мальчик, по его мнению, не мог его написать.

Что вызвало такое предубеждение у великого философа и ученого? Декарт довольно ревниво относился к работам в сходных областях исследования и иногда совершенно искренне считал их плагиатом своих собственных: у него была странная привычка, замечал Лейбниц, искажать труды своих соперников. К тому же Декарт нередко полагал, что ему принадлежит последнее слово в изучаемой науке. Так, например, в одной из своих физических работ он писал, что в видимом и ощущаемом мире нет такой вещи, которой бы он не объяснил, как бы подводя тем самым последнюю черту в сфере физики, (Заметим, кстати, что в дальнейшем в различных обстоятельствах Блезу также будут присущи черты горделивой непререкаемости в суждениях, которая пока еще не успела достаточно развиться: «Мы имеем несколько других задач и теорем и ряд следствий из предыдущих. Но я не доверяю моему малому опыту и способностям, что не позволяет мне идти дальше в своем изложении, прежде чем сведущие люди ознакомятся с этим и побудят меня затратить на это силы. А тогда, если будет сочтено, что дело заслуживает продолжения, мы попытаемся продвинуть его настолько, насколько Бог даст нам для этого силы» – такими словами заканчивал Паскаль свой «Опыт оконических сечениях».) Что же касается непосредственно Блеза, то, по замечанию известного литературного критика XIX века Сент-Бёва, Декарт относился к нему с беспокойной бдительностью охранителя собственных нрав, считая его опасным противником и возможным последователем. Думал ли тот действительно так, трудно сказать. Верно же то, что Паскаль в своей жизнедеятельности будет, как увидим, и последователем, а еще в большей степени противником Декарта. Уже в этой первой заочной встрече возникло напряжение, которому вроде неоткуда было взяться, если не считать целого ряда опосредований, приводящих к научной ссоре Декарта с Паскалем-старшим и Робервалем. В этом же соприкосновении выявились существенные особенности и кардинальные различия стиля их научного мышления. Конкретно-пространственная геометрия Паскаля, продолжающая традиции античных математиков, принципиально несводима к абстрактным формулам и уравнениям, что объясняется, по мнению современного историка науки Койре, самой структурой и своеобразием математического дарования Блеза: «Историки математики свидетельствуют, что имеется grosso modo[4]4
  В общих чертах (итал.).


[Закрыть] два типа математического ума – геометры и алгебраисты. С одной стороны, те, кто может видеть в пространстве, «сильно напрягая, по словам Лейбница, свое воображение», кто способен провести в нем множество линий и отметить, не смешивая, их зависимости и соотношения. С другой стороны, те, как, например, Декарт, кого утомляет всякое усилие воображения и кто предпочитает прозрачную чистоту алгебраических формул. Для первых любая проблема решается с помощью построения, для вторых – путем системы уравнений. Для первых коническое сечение – явление в пространстве, а уравнение – лишь отдаленное и абстрактное представление этого явления; для вторых сущность кривой заключается именно в уравнении, а его пространственное выражение совершенно вторично, а иногда даже и бесполезно».

В более широком плане это противопоставление алгебраизма и геометризма выразилось в стремлении Декарта создать единый, всемогущий и универсальный аналитический метод, который позволил бы унифицированно рассматривать любые частные проблемы вне зависимости от их содержания (сравним, например, замечание Декарта в «Правилах для руководства ума»: «...к области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта мера»), в то время как для Паскаля в любой области важны методы, в каждом отдельном случае соответственно ориентирующиеся на целостность и конкретную содержательность предстоящих вопросов (сравним его рассуждение о городе и деревне).

7

В то время как Блез становится зрелым математиком, неистощимая стихотворная жила в Жаклине бьет все сильнее. Стансы, сонеты, рондо, экспромты, эпиграммы самого разнообразного содержания непрестанно выливаются из-под ее пера. Так, однажды она написала стансы для дамы, влюбленной в человека, который об этом ничего не знал. Стансы эти – своеобразное объяснение юной поэтессы в любви к известному прециозному поэту и салонному завсегдатаю Бенсераду. Сонет же о цветах и вазе, их содержащей, подошел бы скорее Вуатюру, Далибре или Ле Пайеру, нежели тринадцатилетней девочке: в нем говорится о том, что цветы профанируют драгоценный сосуд и искажают истинный порядок вещей, ибо такой божественный металл предназначен не для роз, а для вина.

В начале 1638 года по французскому королевству разносится важная весть: Анна Австрийская, дочь короля Испании Филиппа III и Маргариты Австрийской, жена Людовика XIII, наконец-то забеременела. Этого события вся Франция уже давно ожидала с превеликим нетерпением, ибо долгое время вопрос о дофине, наследнике королевского престола, оставался открытым.

Не проходит мимо такого важного события и Жаклина, оно становится поводом для ее очередного сонета. Сонет этот не является шедевром, но он настолько нравится парижским соседям Паскалей, господину и госпоже де Моранжис, что они решают показать его королеве.

И вот в назначенное время маленькая поэтесса и ее взрослая поклонница отправляются в королевские покои. При приближении ко дворцу от обилия лиц и пестроты одежд у Жаклины начинает рябить в глазах: белые штаны и голубые короткие плащи с серебряными крестами и галунами гарцующих королевских мушкетеров перемешиваются с разноцветными ливреями камердинеров и гардеробщиков, лакеев и пажей, яркие костюмы конюхов и кучеров, музыкантов и шутов выделяются среди серовато-белого облачения поваров и цирюльников, прачек и белошвеек.

Жаклина, конечно же, делилась с братом впечатлениями от посещения королевского двора, да тот и сам наверняка знал, что у короля имеется более тысячи придворных различного ранга и около десяти тысяч гвардейцев, и позднее Блез запишет в «Мыслях»: «Привычка видеть королей в сопровождении гвардии, барабанов, офицеров и всех тех вещей, которые приучают к уважению и страху, производит то, что их личность и тогда внушает уважение и страх, когда они по временам бывают наедине, без принадлежностей своей власти, потому что люди не отделяют в своей мысли личности короля от его свиты, видя обыкновенно ту и другую вместе. Люди, не зная, что это следствие происходит от помянутой привычки, думают, что оно происходит от какой-то природной силы; отсюда объясняются такие выражения, как: „черты божества запечатлены на его лице“ и т. п.».

В приемной королевы «вещи, приучающие к уважению и страху», и «принадлежности власти» претерпели соответствующие метаморфозы: здесь мелькали нарумяненные лица с налепленными мушками, колыхались складки платьев из парчи и бархата, сверкали обнаженные плечи и драгоценные камни дожидавшихся приема дам. Без конца переодеваться, чтобы обратить на себя внимание, мило щебетать, пересказывая слухи, и плести интриги, устраивать выгодные браки и пенсионы, грациозно и почтительно склонять головку при всяком слове сильных мира сего – таковы их вседневные обязанности.

Как только Жаклина в длинном серовато-лиловом платье с отложным белым воротничком и высокой талией, в туфельках на изогнутых каблучках, с тщательно причесанными естественными волосами, свободно падающими на хрупкую шею и высокий лоб девочки, появляется в приемной королевы, придворные дамы тотчас же ее обступают, забрасывают вопросами и просят почитать стихи. Юную поэтессу не смущает ни изобилие внешнего великолепия, ни дерзость иных вопросов, и она с детской непосредственностью отвечает на все, что от нее требуют. Самые ревнивые и недоверчивые среди дам желают, чтобы девочка продемонстрировала свое мастерство на их собственных глазах. Жаклина тут же сочиняет заказанные эпиграммы для Мадемуазель и для госпожи де Отфор, фрейлины Анны Австрийской. Не успевают утихнуть возгласы восхищения, как шевелятся перед кабинетом королевы лиловые бархатные портьеры с золотыми лилиями, и для госпожи де Моранжис и Жаклины Паскаль поступает разрешение войти.

Когда девочка прочитала стихи, королева весьма удивилась и также стала на сторону сомневающихся. Но вошедшая Мадемуазель рассеивает эти сомнения, показав королеве только что сымпровизированные эпиграммы. Обуреваемая поэтическим жаром, девочка не удерживается и тотчас же сочиняет еще одну эпиграмму о том, как Анна Австрийская почувствовала толчки своего ребенка, Это обстоятельство увеличивает всеобщее восхищение; отныне Жаклина осыпается королевскими ласками, часто бывает в придворном обществе, представлена Людовику XIII и даже удостоена чести обслуживать королеву, когда она уединенно обедает в своих покоях. А через несколько месяцев появляется небольшой сборник стихов юной поэтессы под названием «Стихотворения маленькой Паскаль».

Успех Жаклины был явный и необычайный, Как и брат, она, неожиданно рано познала сладость славы и признания, окунулась в мир взрослых интересов и поступков. Впереди открывалась широкая перспектива для блестящей светской и поэтической карьеры. Однако Жаклина не торопилась ступать по расстилавшейся перед ней дороге, несмотря на несомненный, хотя и отчасти подражательно-вычурный, поэтический талант.

У Блеза в «Мыслях» почти нет рассуждений о литературе и искусстве, эта сфера человеческого самовыражения не занимала его ума, и немногие замечания, касающиеся поэтического творчества, основаны, видимо, на стихотворных опытах Жаклины и прециозных поэтов. Вот одно из них: «Поэтическая красота. – Как говорят о поэтической красоте, так нужно бы говорить и о геометрической или медицинской красоте. – А между тем этого не делают: так как хорошо известна цель геометрии, состоящая в доказательствах, и цель медицины, заключающаяся в лечении; но неизвестно, в чем состоит приятность, являющаяся целью поэзии. Неизвестно, что это за естественный образец, которому следует подражать; из-за этого-то незнания и изобрели причудливые выражения: „золотой век, чудо наших дней, фатальный“ и др.; и называют такой жаргон поэтической красотой. Но кто вообразит себе женщину, так же украшенную, как в поэзии украшаются пышными словами незначительные вещи, тот увидит перед собой красивенькую барышню, увешанную блестящими безделушками и цепочками, и рассмеется над этими украшениями, потому что он лучше знает, в чем состоит приятность женщины, чем то, в чем состоит приятность поэзии».

В стихах Жаклины предостаточно таких цепочек и безделушек. Но натянутое остроумие и изысканные тонкости не могут целиком заполнить ее существа и своеобразно сочетаются с искренней веселостью и мягкой наивностью, а придворные визиты чередуются с самозабвенными играми в кругу детей. Когда же детского общества не хватает (а чаще всего случается именно так), то его заменяют любимые куклы. Этьен Паскаль души не чает в своей Жакетте, дочь платит ему такой же безмерной привязанностью и любовью и даже по мере сил и возможностей помогает отцу выпутываться из сложных и неприятных жизненных ситуаций...