Текст книги "Занимательные головоломки Эйнштейна. Заставь работать маленькие серые клеточки"

Загадка-блиц 7

Два лебедя перед лебедем, два лебедя за лебедем да один лебедь посередине. Сколько всего лебедей?

Загадка-блиц 8

Две девочки родились у одной матери в один день, в одно время, в один год – но они не двойняшки. Как такое может быть?

3. Добро пожаловать в реальный мир

Логика – это одно, а здравый смысл – совсем другое

(Элберт Хаббард. Из записных книжек).

Вероятно, вы считаете, что загадки и головоломки из этой книги слишком уж далеки от обыденной жизни. Неплохое развлечение, думаете вы, и хорошая разминка для извилин, но на жизненном пути в такие передряги обычно не попадаешь. Возникает искушение предположить, как выразился Элберт Хаббард, что логика – одно, а здравый смысл – совсем другое.

Однако не спешите с выводами. Да, скорее всего, вам и в самом деле никогда не придется вычислять, кто хозяин рыбки, на основании истории о домах и их обитателях, но нельзя забывать, что способность рассчитывать вероятность, сравнивать разные варианты принятия решений и замечать логические ошибки играет важную роль в реальном мире. И в самом деле, если вы играете в азартные игры или заседаете в коллегии присяжных, такая способность будет совсем не лишней.

Поэтому, если вам не удастся решить задачи из этого раздела, где приводятся ситуации, вполне возможные в реальном мире, вероятно, не стоит утешаться, что логика и рациональное мышление – это никому не нужная роскошь; лучше приучиться к осторожности. Вероятно, логика и здравый смысл и в самом деле разные вещи, но предпочитать здравый смысл логике, пожалуй, не всегда разумно.

Дилемма узника

Артур Ахиллес и Гектор Хаус арестованы за драку у трактира «Троянский герб». Оказалось, подрались они из-за того, что им не удалось ограбить яхт-клуб, поскольку море внезапно приобрело необъяснимый винноцветный оттенок. Однако у полиции недостает улик, чтобы обвинить Артура и Гектора в ограблении яхт-клуба, поэтому она придумывает хитроумный план. Артура и Гектора рассаживают по разным камерам и предлагают каждому сделку со следствием.

Если кто-нибудь один из подозреваемых даст показания, что его напарник – соучастник ограбления яхт-клуба, а второй будет молчать, предателя отпустят, а его неразговорчивого соучастника посадят на десять лет. Если молчать будут оба, обоим светит всего по полгода за решеткой за драку. Но если Артур и Гектор предадут друг друга, каждый отсидит пять лет. Теперь Гектор и Артур должны решить, предать друг друга или молчать.

Общаться друг с другом или еще как-то узнать, что намерен делать напарник, они не могут. Так что перед каждым стоит дилемма.

Должны ли они молчать и надеяться, что соучастник поступит так же? Или лучше затараторить быстрее кролика, убеждающего лиса податься в веганы?

С чего начать

Варианты развития событий выглядят так.

Долларовый аукцион

Рональд Пламп придумал отличный план, как заработать денег. Он устроит аукцион, где будет продавать долларовые банкноты. На первый взгляд затея так себе. Но Пламп придумал для своего аукциона особые правила: доллар выиграет тот, кто предложит самую высокую цену, однако тот, кто окажется следующим, тоже должен будет выплатить заявленную сумму, а главное – ничего за это не получит.

Если вам непонятно, таким образом эта схема принесет прибыль, представьте себе, как будет проходить аукцион. Предположим, первая заявка – 1 цент, и участник аукциона надеется получить прибыль 99 центов. Остальные участники, несомненно, тут же повысят цену, считая, что и ради меньшей прибыли стоит постараться. Заявок будет много.

Однако, когда заявка достигает 99 центов, возникает сложность. Тот, кто сделал предыдущую заявку, скорее всего, 98 центов, вынужден заявить, что хочет купить доллар за доллар, иначе потеряет деньги. Очевидно, с его точки зрения лучше остаться при своих, чем не сделать заявки и потерять 98 центов. Но тогда тот, кто заявил 99 центов, оказывается точно в таком же положении. Ему лучше заявить 1 доллар 1 цент и тем самым потерять 1 цент, чем не заявить ничего и потерять 99 центов. Суть в том, что это может продолжаться бесконечно, а прибыль достанется только самому аукционисту.

Действительно ли план Рональда Плампа – идеальная схема наживы? Или у участников аукциона есть возможность избежать его силков?

Загадка-блиц 9

Перед вами две двери; за одной – разъяренный лев, за другой – горшочек с золотом. Двери стерегут два стража. Вам можно задать всего один вопрос. Один страж всегда говорит правду, другой всегда лжет. Какой вопрос нужно задать, чтобы определить, за какой дверью таится клад?

Загадка-блиц 10

У вас восемь книг. Сколько существует способов поставить их на полку в ряд слева направо?

Ошибка игрока

Бобби де Фаро придумал идеальный план, как обчистить новое «Суперказино». План прост, как все гениальное. В сущности, все, что нужно, – стол, рулетка, немного денег и много смекалки.

План состоит из двух частей. Сначала де Фаро понаблюдает за рулетками в казино и заметит такую, где произойдет несколько выигрышей подряд на красном или на черном. Тогда он начнет ставить на другой цвет, исходя из следующих умозаключений. Вероятность, что шарик упадет на красное или на черное число, примерно 50 × 50 для каждого числа (примерно, а не точно, потому, что есть еще зеро или двойное зеро – число заведения). Это означает, что в среднем, если раскрутить рулетку 20 раз, следует ожидать, что 10 раз выпадет красное, а 10 раз черное. Следовательно, если либо красное, либо черное выпало несколько раз подряд, разумно поставить на другой цвет, поскольку со временем все должно выровняться. Де Фаро считает, что таким образом сумеет выиграть достаточно, чтобы перейти ко второй части плана.

Вторая часть предполагает, что нужно ставить на черное, а если проиграешь, удваивать ставку: таким образом, когда де Фаро наконец выиграет, то вернет себе весь проигрыш плюс получит прибыль, равную первоначальной ставке.

По мнению де Фаро, успех его плана гарантирован законами вероятности.

Выигрыши и проигрыши в серии победных ставок (если считать, что шансы на красное и черное равны)

Череда побед черного или красного не может длиться вечно, поэтому есть смысл ставить на другой цвет. А в игре, где шансы выиграть 50 на 50, череда проигрышей скоро кончится и можно быстро отыграться, а затем и вовсе остаться в выигрыше.

Удалось ли де Фаро придумать идеальную схему выигрыша? Или сокровищница познаний в теории вероятности у него пуста, словно желудок у белки с аллергией на орехи?

Ложь, наглая ложь и статистика

Джим и Жюль, жители Чадли-у-Пруда – непримиримые соперники. Они постоянно состязаются в том, кто энергичнее прозвонит в деревенский колокол, стремятся обойти друг друга в ежегодных чемпионатах по игре «приделай хвостик ослику» и всегда-всегда ухаживают за одними и теми же деревенскими красавицами. Но отчаяннее всего они соревнуются за кубок мэра этого городка Катрин Моро, которым награждается член команды Чадли-у-Пруда, набравший больше всего очков в серии игр с деревнями-соперницами Чадли-у-Озера и Чадли-у-Океана.

В этом году соревнования оказались особенно напряженными, и когда мэр Чадли-у-Пруда выходит на трибуну перед битком набитым залом Деревенского совета, чтобы огласить результаты, молодые люди буквально места себе не находят от волнения.

Результаты показывают, что в среднем Джим выступил против обеих команд-соперниц лучше, чем Жюль, и Джима объявляют победителем и вручают ему кубок. Однако его излишне бурную победную джигу прерывает громовой глас из задних рядов зала Совета. Деревенский полицейский инспектор Хорс, на досуге увлекающийся философией, требует, чтобы ему дали возможность переговорить с мэром. После долгой беседы с инспектором Хорсом и не менее продолжительного чесания в мэрской макушке мэр все же меняет решение и объявляет, что на самом деле результаты говорят о победе Жюля.

Джим крайне раздосадован таким поворотом событий, и даже Жюль позволяет себе лишь очень скромную победную джигу, поскольку не в силах поверить своему счастью.

Что такого сказал инспектор Хорс мэру о результатах? Почему мэр Катрин Моро изменила решение и объявила победителем Жюля?

Парадокс устрашения

Стэнли Лав очень гордится своими тыквами, которые вырастил для Ежегодного взвешивания в Мэддибемпс. Поэтому для него стало страшным ударом, когда однажды утром оказалось, что одну из его тыкв пометила как свою местная банда «Дружбаны Мэдди». Проблема присвоения тыкв при помощи нелегальных пометок становится в городе все актуальнее, поэтому Стэнли решает прибегнуть к устрашению и обезопасить себя от дальнейших набегов. С этой целью он окружает свою собственность большими табличками, которые гласят, что к тыквам подведен ток от электрического генератора и что он, Стэнли Лав, включит генератор, если заметит, что кто-то пытается проделать с тыквами что-то недозволенное.

Однако банда «Дружбаны Мэдди» не из тех, кого можно испугать жалкими несколькими тысячами вольт, поэтому той же ночью они снова проникают в тыквенное святилище Лава и оставляют свою метку на его призовых «Исполинах Атлантики». Стэнли Лав прячется за генератором и все это видит – и уже готов поквитаться с захватчиками и дернуть рубильник, но тут ему приходит в голову, что он вовсе не хочет этого делать. Устрашение не помогло, банда уже изуродовала его тыквы, поэтому заставлять негодяев страдать вроде бы уже и незачем.

Затем Стэнли задумывается о природе устрашения как таковой. Ему приходит в голову, что в самой идее, что можно кого-то устрашить, заключен парадокс. Если устрашить злоумышленников можно только пригрозив им мерами, которые на самом деле не хочешь принимать, значит, у тебя нет и намерения принимать эти меры (ведь ты знаешь, что на самом деле не собираешься ничего делать). То есть для успешного устрашения нужно, чтобы все участники понимали: у устрашающего есть нешуточное намерение воплотить в жизнь свои конкретные угрозы.

Действительно ли это парадокс? Подрывает ли он всю идею успешного устрашения? Или все же у нас есть способ применять устрашение на практике?

Парадокс правосудия

К судье Юдифи Соломон, лучшему юридическому мозгу городка Большой Бови, обратились за советом по сложному вопросу. Много-много лет назад священный попугай городка Малый Бови по имени Икар был тяжело ранен во время осенней охоты на фазанов в Чадли-у-Пруда. Раненого срочно доставили обратно в Малый Бови, где светила медицины приняли все возможные меры, но, к сожалению, к весне попугай скончался от полученных ран. В то время было неясно, кто именно подстрелил Икара. Однако недавно детектив Джек Доу, который, только что получив должность в полицейском участке Большого Чадли, хотел произвести впечатление на начальство, выяснил, что подозреваемым в убийстве был местный землевладелец Билли Блэклоу, который – можно сказать, по иронии судьбы – умер от желтой лихорадки всего через два месяца после трагедии на фазаньей охоте.

Поначалу детектив Доу был вне себя от радости, что раскрыл дело. Однако чем больше он об этом думал, тем меньше в нем оставалось уверенности, что он точно знает, кто именно убил Икара, более того – когда его убили и где это произошло. Сложность заключалась вот в чем: нельзя сказать, что Икара убили осенью, поскольку осенью он был еще жив. Но нельзя и сказать, что Икара убили весной, поскольку к тому времени Билли Блэклоу был уже мертв, а мертвецы не убивают. Но если ни весной, ни осенью Икара не убили, когда же он был убит?

Более того, если Икара не убили осенью, значит, его не могли убить в Чадли-у-Пруда, поскольку ни до, ни после он в Чадли не бывал. Однако с тем же основанием можно утверждать, что и в Малом Бови его не могли убить, поскольку Билли Блэклоу, ранивший попугая, никогда не бывал в этой деревне и вообще к моменту смерти Икара был давно в могиле.

Поэтому детектив Джек Доу задает судье Соломон три простых вопроса.

Кто убил Икара?

Когда он был убит?

И где он был убит?

4. Движение, бесконечность и неопределенность

Ничего не могу поделать: бесконечность терзает меня помимо моей воли

(Альфред де Мюссе, «Надежда на бога»).

На первый взгляд может показаться, будто включать в эту книгу подборку загадок и головоломок о движении, бесконечности и неопределенности – это некоторая натяжка. Однако на самом деле весьма вероятно, что трудности, связанные с этими понятиями, знакомы вам не понаслышке.

Возьмем, к примеру, идею бесконечности. Представьте себе такой сценарий: время бесконечно. Оно бесконечно далеко уходит в прошлое и бесконечно далеко продолжается в будущее. Однако количество вещества во вселенной, напротив, конечно: оно строго определено, и его невозможно изменить. По всей видимости, из этих двух предпосылок следует вывод (или вроде бы следует), что любая комбинация вещества в какой-то момент времени существовала, причем не единожды, а бесконечное множество раз. Более того, раз время уходит в прошлое бесконечно, значит, любая возможная комбинация уже встречалась, причем бесконечное множество раз. А из этого очевидно следует, что вы читаете эту книгу не впервые.

Если вам знакомы подобные мысленные эксперименты, значит, вы уже представляете себе, какого рода головоломки встретите в этом разделе. Но скорее всего – и к счастью – дело не в том, что вы уже читали эту книгу бесконечно много раз…

Логика лысеющего

Самсон гордится своей пышной шевелюрой. Поэтому его несколько тревожит, когда его подруга Далила засматривается на его голову и бормочет что-то про лысину. Самсон изучал философию в Ханаанском университете и убежден, что сможет доказать, что его нельзя будет назвать лысым, сколько бы волос у него ни выпало.

САМСОН. Если у человека 10 000 волосков на голове, можно ли сказать, что он лысый?

ДАЛИЛА. Как видно, нет: Господь наградил его роскошными густыми волосами.

САМСОН. Если вырвать у него один волосок, будет ли это означать, что он перешел грань между не-лысым и лысым?

ДАЛИЛА. Воистину для такого человека один волосок – сущая безделица.

САМСОН. Итак, человек, у которого 9999 волос, не лыс?

ДАЛИЛА. Нет, не лыс.

САМСОН. А если у него 9998 волос?

ДАЛИЛА. Не лыс.

САМСОН. А 9997?

ДАЛИЛА. Постой, Самсон, сейчас ты досчитаешь до нуля и заявишь, что, если у человека совсем нет волос, он все равно не лысый. Глупости!

САМСОН. Вовсе не глупости, Далила. Ты же сама говоришь: если вырвать у человека один волос, он не перейдет от этого грань между не-лысым и лысым. Моя логика безупречна. Я никогда не облысею.

ДАЛИЛА. (Уходит искать большие ножницы.)

Где у Самсона хромает логика? Ведь не может такого быть, что он никогда не облысеет. Или может?

Котик Долли и корабль Тезея

Долли Эйрс души не чает в своем котике Монморанси. Именно поэтому она так много думает о том, что котик, скорее всего, покинет этот бренный мир прежде, чем скончается сама Долли. И именно поэтому она составила план, который позволит продлить их совместное будущее. План состоит в том, чтобы клонировать различные органы Монморанси, а затем пересаживать их ему на место отказавших. Долли несколько опасается, что от этого Монморанси может стать другим, поэтому решает, что лучше всего применить экспериментальный подход.

Для начала она пересаживает котику хвостик. Новый хвостик несколько пышнее старого, но в остальном перед ней прежний Монморанси. Затем Долли пересаживает лапки. Все проходит как по маслу, и Монморанси даже не замечает разницы. Когда же характер котика не меняется даже после пересадки головы, Долли последовательно осуществляет свой план и в конце концов заменяет все части тела Монморанси до единой.

Долли очень рада, что таким образом сумела значительно продлить жизнь Монморанси. Однако не проходит и месяца, как ее радость после посещения лекции по греческой философии сменяется леденящим ужасом. Ведь, оказывается, очень может быть, что Монморанси больше не Монморанси, а просто пушистый самозванец, который тоже любит сардинки из баночки.

На какую мысль натолкнула Долли лекция по философии? Почему она так огорчилась? И не напрасно ли?

Загадка-блиц 11

В теннисном турнире по системе плей-офф (одно поражение – и игрок вылетает из турнира) всего тридцать одна партия. Сколько в турнире участников?

Загадка-блиц 12

Некто живет на тринадцатом этаже высотки на окраине. Каждый день по дороге на работу он едет на лифте вниз на первый этаж. Однако, возвращаясь, он доезжает на лифте только до восьмого этажа, а потом поднимается по лестнице к себе на тринадцатый. В дождь он поступает точно так же, однако доезжает до десятого этажа и лишь затем поднимается пешком. Он отнюдь не любитель ходить пешком. Почему он так делает?

Гостиница «Бесконечность»

Бэзил Синклер – гордый владелец весьма необычной гостиницы. Она называется «Бесконечность», и в ней бесконечное число номеров. Синклер не сомневается, что его рекламный слоган – «Для вас у нас всегда найдется свободный номер» – чистая правда. Однако сегодня он несколько нервничает. Дело в том, что инспектор Хорс, философ-любитель и энциклопедист районного масштаба, арендовал гостиничный конференц-зал для торжественной лекции, а послушать лекцию в гостиницу неожиданно прибыло бесконечное множество гостей. То есть все номера в гостинице «Бесконечность» заняты.

Синклер встревоженно поглядывает в окно гостиничного лобби и, к своему ужасу, обнаруживает новую проблему: к парадному входу в гостиницу подъезжает кавалькада автобусов. По лицу Бэзила пробегает какая-то тень: из автобусов выгружается новая толпа из бесконечного множества человек и шагает к вертящимся дверям в гостиницу. Через некоторое время – довольно продолжительное – все они, сгрудившись вокруг стойки портье, требуют расселить их по номерам, а когда Синклер объясняет им, что все номера уже заняты бесконечным множеством слушателей, прибывших на лекцию, сердито ссылаются на его же рекламу.

К счастью, за происходящим наблюдает сам инспектор Хорс. Когда эмоции накаляются, он вмешивается и заявляет, что в гостинице вполне могут разместиться все желающие, более того, никому не грозит обнаружить в своей постели незнакомца. Чтобы решить проблему перенаселения, подчеркивает Хорс, главное – понять, что если все номера в гостинице «Бесконечность» заняты, из этого не следует, что там не найдется номеров для вновь прибывших гостей.

Почему инспектор Хорс думает, что в гостинице «Бесконечность» можно разместить бесконечное число новых постояльцев?

Зенон и бег на трех ногах

Как правило, ежегодные соревнования по бегу на трех ногах на Филиппидском карнавале проходят как по маслу. Однако в этом году праздник был омрачен крайне неуместным спором, который привел в негодование участников состязаний. Скандал начался с того, что затесавшийся в толпу философ заявил, будто пятиногому участнику нельзя давать фору на старте. Он утверждал – на первый взгляд безосновательно – что неизвестно, сумеют ли остальные участники состязаний догнать своего пятиногого соперника. И добавлял, что этот вопрос детально изучили греческие ученые в ходе серии опытов с черепахами.

Представьте себе, что Ахиллес, быстроногий и бессовестный, предлагает черепахе посоревноваться в беге, причем дает ей фору. Хотя Ахиллес бегает гораздо быстрее черепахи, он, вероятно, не сумеет догнать свою неповоротливую соперницу. Такой вывод следует из того, что к тому времени, когда Ахиллес достигнет точки, где только что была черепаха, та успеет продвинуться немного вперед, пусть и совсем чуть-чуть.

Это показано на следующей схеме.

В начале гонки (t₁) у черепахи большая фора. Ахиллес очень быстро оказывается в той точке, откуда стартовала черепаха, однако черепаха уже продвинулась вперед (t₂). К моменту t₃ Ахиллес достиг точки, где была черепаха в t₂, но вздорная рептилия уже отползла немного дальше. Складывается впечатление, что это может продолжаться бесконечно: Ахиллес будет все ближе к черепахе, но так и не догонит ее.

Все это досужий философ объясняет участникам соревнований по бегу на трех ногах. Они озадачены, но не вполне верят ему. Однако, когда он требует, чтобы они нашли ошибку в его рассуждениях, это им не удается.

Как спортсмены должны ответить философу? Где ошиблись греки? Ведь очевидно, что черепаха выиграет далеко не любой забег, даже если дать ей фору.

5. Философские головоломки

Нельзя придумать ничего столь странного и невероятного, что не было бы уже высказано кем-либо из философов

(Рене Декарт, «Рассуждения о методе». Пер. Г. Г. Слюсарева и А. П. Юшкевича).

Для философов загадки и головоломки – отнюдь не пустые развлечения, а источник озарений и открытий, углубляющих наши представления о мире. Например, парадокс Рассела привел в начале прошлого века к перевороту в представлениях философов и математиков о множествах. Подобным же образом парадокс Зенона, разобранный в предыдущей главе, однако, бесспорно, также относящийся к философским, отчасти стал основой представлений математиков о бесконечности, сформированных в XIX веке.

Не на все загадки и головоломки из этого раздела, как, впрочем, и из предыдущего, и из последующего, можно дать однозначный ответ. Поэтому не отчаивайтесь, если задачи покажутся вам неразрешимыми и это вас огорчит и раздосадует. Парадокс лжеца, классическую философскую головоломку, сформулировали почти две с половиной тысячи лет назад, однако мыслители до сих пор спорят, как правильно ее решать. Так что, если окажетесь в тупике, утешайтесь мыслью, что величайшие умы в истории человечества тоже пытались решить эти головоломки и тоже потерпели неудачу.