Текст книги "Хаос. Создание новой науки"

По мере дальнейшего роста значения параметра количество точек удваивалось вновь и вновь, что просто ошеломляло ученого, поскольку столь сложное поведение таило в себе заманчивую устойчивость. Мэй назвал наблюдаемый феномен «змеей в математической траве». Каждое удвоение соответствовало разветвлению, или бифуркации[128]128
  Английское слово bifurcation как раз и означает «разветвление». В дальнейшем в теории динамических систем этим словом стал обозначаться более широкий класс явлений, при которых системы меняют свои качественные характеристики.


[Закрыть], на графике, и каждое такое разветвление означало, что повторяющаяся последовательность распадалась надвое еще раз. Популяция, ранее бывшая устойчивой, начинала колебаться между двумя различными уровнями каждый второй год. Популяция, менявшаяся в течение двухлетнего цикла, изменялась теперь в течение третьего года и четвертого, переходя, таким образом, к четырехлетнему периоду.

Удвоение периодов и хаос. Вместо применения отдельных диаграмм для демонстрации изменений в популяциях с различной степенью воспроизводства Роберт Мэй, наряду с другими учеными, использовал так называемую бифуркационную диаграмму, чтобы соединить все данные в одном изображении. На диаграмме показано, каким образом изменение одного параметра, в данном случае – коэффициента воспроизводства популяции в дикой природе, влияет на поведение рассматриваемой простой системы в целом. Значения параметра откладывались слева направо по горизонтальной оси; значения конечной численности популяции – по вертикальной. В некотором смысле рост значения параметра знаменует усиление «движущей силы» системы, увеличение в ней нелинейного элемента. Когда это значение невелико (слева), популяция угасает. По мере его роста (в центре)популяция достигает равновесия. Затем, при дальнейшем увеличении параметра, равновесное состояние расщепляется на две ветви, подобно тому как в процессе конвекции дальнейшее нагревание жидкости делает ее нестабильной. Начинаются колебания численности популяции между двумя различными уровнями. Расщепления, или бифуркации, происходят все быстрее и быстрее. Далее система становится хаотичной (справа) – и численность особей может принимать бесконечно много разных значений.

Подобные разветвления наблюдались на графике все чаще и чаще: 4, 8, 16, 32… – и вдруг внезапно прекращались. После определенной точки, «точки накопления», периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали, и поэтому целые зоны на графике были полностью затушеваны. Наблюдая за популяцией животных, описанной этим простейшим нелинейным уравнением, можно счесть происходящие год за годом перемены совершенно случайными, привнесенными извне. Тем не менее в самой гуще подобной беспорядочности вновь появляются стабильные циклы. Так, хотя параметр продолжает возрастать, увеличивая нелинейность системы, неожиданно обозначается просвет с регулярным, хотя и странным периодом вроде 3 или Модель меняющейся популяции повторяет саму себя в течение трехлетнего или семилетнего цикла. Затем снова, но уже в более высоком темпе, начинаются разветвления, которые удваивают период, быстро минуя новые циклы (3, 6, 12… или 7, 14, 28…) и вновь обрываясь с рождением нового хаоса.

Первоначально Мэй не представлял себе всю картину, однако тех ее фрагментов, которые он смог просчитать, было достаточно, чтобы вызвать беспокойство. В реальной системе наблюдатель видел бы каждый раз лишь вертикальный срез, соответствующий только одному значению параметра, а значит, наблюдал бы только один из типов поведения – может быть, стабильное состояние, может быть, семилетний цикл, а может, видимую невооруженным глазом беспорядочность. Невозможно было бы догадаться, что одна и та же система при небольшом изменении одного из параметров способна обнаружить совершенно непохожие друг на друга типы поведения.

В своей работе «Период три рождает хаос» Джеймс Йорк с математической точностью проанализировал описанные явления, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тройным периодом, то в этой же системе есть как регулярные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичное поведение. Это открытие подействовало на физиков вроде Фримена Дайсона словно электрошок, так как противоречило интуиции. Им казалось вполне тривиальной задачей построение системы, которая повторяет саму себя в трехпериодных колебаниях без всякого проявления хаоса. Йорк доказал, что это невозможно.

Окна устойчивости внутри хаоса. Применение даже самого простого уравнения показывает, что области хаоса на бифуркационной диаграмме имеют весьма замысловатую структуру – гораздо более упорядоченную, нежели Роберт Мэй мог поначалу предположить. Сначала в результате бифуркаций рождаются периодические траектории с периодами 2, 4, 8, 16… Затем начинается хаос, в котором нельзя проследить никакие периоды. Но после этого, когда система все больше дестабилизируется, появляются окна с нечетными периодами. Окно устойчивости появляется при периоде 3, а затем снова начинается удвоение периодов: 6, 12, 24… Структура оказывается бесконечно сложной. Если увеличить какой-либо из ее фрагментов, то окажется, что он похож на весь график в целом.

Хотя подобное предположение выглядело весьма смелым, Йорк счел, что общественный резонанс, вызванный его работой, перевесит ее математическое содержание, и отчасти оказался прав[129]129
  «Coexistence of Cycles of a Continuous Map of a Line into Itself» // Ukrainian Mathematics Journal. Vol. R 61.


[Закрыть]. Несколько лет спустя он прибыл на международную конференцию в Восточный Берлин. По окончании докладов Йорк решил немного прогуляться по городу и прокатиться по реке Шпрее. Во время прогулки с ним попытался заговорить какой-то русский. Обратившись за помощью к знакомому поляку, Йорк понял, что это русский математик, утверждающий, что он достиг идентичного результата. Собеседник Йорка отказался вдаваться в детали, пообещав лишь выслать свою статью, которая пришла к Йорку спустя четыре месяца. Как выяснилось, Александр Шарковский[130]130
  Александр Николаевич Шарковский (родился в 1936 году в Киеве) – советский и украинский математик, с 1978 года член-корреспондент АН УCCР с 2006-го – академик HAH Украины.


[Закрыть] несколько опередил Йорка, написав статью под названием «Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя»[131]131
  Синай, в личной беседе, состоявшейся 8 декабря 1986 года.


[Закрыть]. Однако Йорк предложил больше, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, устойчив и структурирован. Он также дал основания поверить в то, что сложные системы, традиционно сводившиеся к трудным для решения дифференциальным уравнениям, могут быть описаны с помощью довольно простых диаграмм.

Эта встреча двух поглощенных своими идеями и оживленно жестикулирующих математиков стала знаком того, что коммуникативный разрыв между советской и западной наукой продолжает существовать. Частично из-за языкового барьера, частично из-за ограничений на передвижение по Советскому Союзу опытные западные ученые нередко повторяли результаты, уже опубликованные в советской научной литературе. Зарождение новой науки в США и Европе вдохновило многих специалистов в Советском Союзе на изучение хаоса, и исследования шли параллельно. С другой стороны, ученые из СССР с удивлением узнали, что львиная доля новых научных веяний для них вовсе не нова. Советские математики и физики уже давно и упорно пытались постичь природу хаоса, начало этому положили еще работы Андрея Колмогорова 1950-х годов[132]132
  Это были Фейгенбаум и Свитанович.


[Закрыть]. Более того, советские специалисты, как правило, действовали сообща, что помогало представителям двух дисциплин преодолеть разногласия, столь частые в научной среде других стран.

Советские ученые оказались восприимчивы к изысканиям Смейла, чья подкова наделала много шума в 1960-х годах. Блестящий специалист по математической физике Яков Синай быстро применил аналогичные соображения в термодинамике. Аналогичным образом, едва в 1970-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, она приобрела известность и в СССР. В 1975 году, когда Йорк и Мэй прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи быстро организовали в Горьком исследовательскую группу физиков. Некоторые западные специалисты по хаосу наведывались в Советский Союз, чтобы быть в курсе исследований коллег, но большинство вынуждены были довольствоваться западной версией науки о хаосе[133]133
  Мэй.


[Закрыть].

Йорк и Мэй первыми на Западе были совершенно шокированы удвоением периодов и сумели передать это ощущение всему научному сообществу. Те несколько математиков, которые все-таки заметили необычное явление, отнеслись к нему как к технической проблеме, числовой странности, своего рода игре. Они сочли это не то чтобы обыденностью, но скорее очередным фактом своей особой вселенной.

Биологи, которым недоставало искушенности математиков да и просто поводов для изучения беспорядочного поведения, упустили эти бифуркации по пути к хаосу, тогда как математики, заметив их, двигались дальше. Мэй же, наполовину математик, наполовину биолог, понял, что открыл для себя удивительный и глубокий мир.

Для того чтобы глубже проникнуть в эту простейшую систему, ученые нуждались в мощных вычислительных машинах[134]134
  Хоппенштедт.


[Закрыть]. Фрэнку Хоппенштедту из Института математических наук Нью-Йоркского университета возможности его компьютера позволили даже создать своеобразный фильм.

Хоппенштедт, математик, увлекшийся биологией, прогнал разностное уравнение через свой компьютер модели ControlData 600 сотни миллионов раз и получил на мониторе изображения для каждого из тысяч различных значений параметра. В результате выявились бифуркации, затем хаос, а потом, внутри него, небольшие упорядоченные клинья, эфемерные в своей нестабильности, мимолетные проблески периодичности. Ученому, узревшему созданные им самим картины, на миг показалось, что он летит на крыльях над неведомой землей: вот изображение совсем устойчиво, а через мгновение уже наполняется непредсказуемым буйством, бесконечно изумляя своего создателя[135]135
  Мэй.


[Закрыть].

Мэй ознакомился с результатом этой работы. Он также стал собирать аналогичные результаты, полученные представителями других областей: генетиками, экономистами, специалистами по динамике жидкостей. Этот провозвестник хаоса обладал двумя преимуществами перед чистыми математиками. Во-первых, Мэй считал, что простые уравнения не могут абсолютно точно воспроизводить реальность, а являются лишь ее образами, метафорами, и Мэю было интересно понять, насколько широко эти метафоры могут быть применены. Во-вторых, обнаружение хаоса лило воду на его мельницу, провоцируя дебаты.

Популяционная биология вообще долгое время оставалась ареной ожесточенных споров. К примеру, отношения между экологами и молекулярными биологами были весьма натянутыми, так как последние считали свое направление истинной наукой, исследующей действительно сложные, запутанные вопросы, а работы экологов – расплывчатыми. Экологи же полагали, что технические разработки молекулярной биологии являются лишь уточнениями решений четко поставленных задач.

Набросок разветвленной диаграммы. Такой она представилась Мэю, прежде чем компьютер раскрыл ее глубинную структуру.

Как представлял себе Мэй, в 1970-х годах внутри экологии особо жаркие страсти кипели вокруг вопроса о природе изменений в популяциях[136]136
  Schaffer W. M., Kot M. «Nearly One-dimensional Dynamicsinan Epidemic» //Journal of Theoretical Biology. Vol. R 403–427; Schaffer W. M. «Stretching and Folding in Lynx Fur Returns: Evidence for a Strange Attractor in Nature» // The American Naturalist. Vol. R 798–820.


[Закрыть]. Экологи разделились на два лагеря почти в соответствии с личностными предпочтениями. Представители первого считали, что мир упорядочен, а следовательно, популяции регулируемы и устойчивы, пусть и с некоторыми исключениями. Представители второго лагеря интерпретировали реальные явления прямо противоположным образом: в популяциях, за редкими исключениями, наблюдаются беспорядочные колебания. Неудивительно, что мнения разделились и по вопросу применения сложных математических вычислений к неупорядоченным биологическим объектам. Те, кто верил в устойчивость популяций, доказывали, что популяции должны регулироваться некими детерминистскими механизмами. Сторонники другой точки зрения полагали, что популяции подвержены колебаниям при воздействии непредсказуемых факторов окружающей среды, устраняющих любой возможный детерминистский сигнал. Выдвигались следующие альтернативы: либо детерминистская математика служит источником стабильности, либо случайные внешние помехи генерируют неупорядоченность.

Пока шли эти оживленные дискуссии, хаос вновь ошеломил ученых: простые детерминистские модели обладают способностью порождать нечто, весьма напоминающее беспорядочное поведение, которое, впрочем, обладает утонченной структурой, но все же любой ее фрагмент невозможно отличить от шума. Такое открытие не могло не повлиять на самую сущность споров.

Чем дольше Мэй рассматривал биологические системы сквозь призму простых хаотических моделей, тем больше он видел моментов, противоречащих общепринятым представлениям. Например, эпидемиологи хорошо знают, что массовые вспышки заболеваний случаются, как правило, с определенной цикличностью: регулярно или иррегулярно. Корь, полиомиелит, краснуха идут в наступление и отступают периодически. Мэй понял, что колебания могли воспроизводиться нелинейной моделью, и заинтересовался тем, что случится, если система получит внезапный толчок – помеху, вроде массовой вакцинации. Казалось бы, процесс должен плавно изменяться в желаемом направлении. На самом деле, как обнаружил Мэй, скорее всего, начнутся весьма ощутимые колебания. Даже если долгосрочная тенденция будет убывающей, путь к новому равновесию будет прерываться поразительными подъемами. В реальности врачи наблюдали колебания, подобные тем, что смоделировал Мэй. Об этом свидетельствовали фактические данные, например итоги реализации программы по искоренению краснухи в Великобритании. И все же любой служащий системы здравоохранения, услышав о кратковременной вспышке краснухи или гонореи, предположил бы, что программа вакцинации не работает.

За несколько лет изучение хаоса дало сильный толчок развитию теоретической биологии, объединив биологов и физиков в научные коллективы, о существовании которых совсем недавно еще никто и не помышлял. Экологи и эпидемиологи раскопали данные предыдущих лет, которые прежде отбрасывали, считая слишком громоздкими для проведения исследований. Черты детерминистского хаоса были обнаружены в эпидемии кори в Нью-Йорке, а также в отслеженных по наблюдениям охотников торговой корпорации Hudson BayCompanyколебаниях численности популяций канадской рыси в течение двухсот лет[137]137
  «Simple Mathematical Models». P. 467.


[Закрыть]. Молекулярные биологи начали рассматривать белки как системы, находящиеся в движении. Изменился взгляд физиологов на органы, которые представлялись теперь ученым не застывшими структурами, но объектами, совершающими регулярные и иррегулярные колебания.

Во всех областях знаний профессионалы увидели вдруг сложное поведение систем и начали спорить о нем – Мэй знал это наверняка. Однако специалисты каждой области считали обнаруженный ими тип беспорядочности специфичным для своей конкретной области, что повергало исследователя в отчаяние. А что, если видимая случайность исходила от простых моделей? Что, если одни и те же простые модели могли быть применены к сложному поведению во многих науках? Мэй понимал, что удивительные структуры, которые он едва-едва начал исследовать, не были связаны с биологией сами по себе. Задавшись вопросом, сколько же ученых и в каких еще областях обратили на это внимание, в 1976 году он начал писать работу, которую считал действительно переломной, – обзорную статью в журнал Nature.

Мэй доказывал, что, если бы каждому студенту позволили поэкспериментировать с логистическим разностным уравнением с помощью карманного калькулятора, дела обстояли бы гораздо лучше[138]138
  Ibid.


[Закрыть]. Простой расчет, приведенный им в конце публикации, бросал вызов искаженному восприятию возможностей природы, проистекающему из стандартного естественно-научного образования. Он призван был полностью изменить подход к научному исследованию, что бы ни было предметом изучения – экономические циклы или распространение слухов.

Мэй заявлял, что теорию хаоса необходимо преподавать. Наступило время признать, что принятые повсеместно методы подготовки ученых навязывают им ложные представления о мире. Неважно, насколько далеко продвинется линейная математика с ее преобразованиями Фурье, ортогональными функциями и регрессионным анализом. Она, утверждал Мэй, неизбежно вводит математиков в заблуждение относительно преимущественно нелинейной Вселенной. «Математическая интуиция настолько ушла в сторону, что, давая студенту необходимые знания, одновременно настраивает его против странных эффектов, проявляющихся в простейшей из всех абстрактных нелинейных систем, – писал он. – Не только в сфере науки, но и в повседневной жизни, в политике и экономике – повсюду мы достигли бы большего, если бы больше людей понимали, что простые нелинейные системы далеко не всегда обладают простыми динамическими свойствами»[139]139
  Мандельброт, Гилмор, Восс, Барнсли, Рихтер, Мамфорд, Хаббард, Шлезингер. Настольная книга Бенуа Мандельброта: The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, Интервью с Энтони Барселлосом в: Mathematical People/ Ed. by D. J. Albers and G. L. Alexanderson. Boston: Birkhauser, Два эссе Мандельброта, которые не широкоизвестны, но крайне интересны: «On Fractal Geometry and a Few of the Mathematical Questions It Has Raised» // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 16–14 August 1983, Warsaw. P. 1661–1675; «Towards a Second Stage of Indeterminism in Science», preprint. IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, New York. Обзорных статей о приложении фракталов слишком много, чтобы приводить их список, но есть два полезных примера: Sandler L, Sandler M. «Fractal Growth Processes» // Nature. Vol. R 789–793; Voss R. «Random Fractal Forgeries: From Mountains to Music» //Science and Uncertainty / Ed. by Sara Nash. London: IBM United Kingdom, 1985.


[Закрыть].

Глава 4
Геометрия природы

 
…И возникает связь;
Вначале незаметная, она ширится,
Будто тень облака на песке,
Будто отблеск на горном склоне.
 

Уоллес Стивенс «Знаток хаоса»

Открытие относительно цен на хлопок. Сбежавший от Бурбаки. Помехи при трансляции сигнала и извилистая береговая линия. Новые размерности. Монстры фрактальной геометрии. Подземные толчки в земной коре. От облаков к кровеносным сосудам. “Мусорная корзина” науки. “Увидеть мир в песчинке”.

Бенуа Мандельброт довольно долго создавал свою мысленную картину мира[140]140
  Хаутаккер, Мандельброт.


[Закрыть]. В 1960 году она представляла собой лишь смутный, расплывчатый образ, слабый намек на законченную идею. Однако, увидев ее на доске в офисе Хендрика Хаутаккера, Мандельброт сразу узнал то, что вынашивал годами.

Сотрудник исследовательского отдела корпорации IBM, в математике он был мастером на все руки. В числе прочего Мандельброт немного занимался экономикой – изучал распределение крупных и малых доходов. Хаутаккер, профессор экономики в Гарварде, пригласил его выступить с докладом. Прибыв в Литтауэровский центр, величественное здание факультета экономики, расположенного на северной стороне Гарвардского двора, молодой математик обнаружил плоды своих изысканий на грифельной доске, где их запечатлел пожилой профессор[141]141
  Цит. по: Fractal Geometry. P. 423.


[Закрыть]. «Как здесь оказалась моя диаграмма? – изумился Мандельброт, пряча досаду. – Ведь я еще не выступал». Профессор, однако, не мог взять в толк, о чем говорит гость. Диаграмма не имела ничего общего с распределением доходов – она отражала изменение цен на хлопок за последние восемь лет.

Впрочем, и сам Хаутаккер усматривал нечто странное в своем графике. Экономисты всегда считали, что цены на товар, подобный хлопку, меняются в двух различных ритмах – упорядоченном и случайном. В долгосрочной перспективе их уровень определяется реальными событиями в экономике – подъемами и спадами в легкой промышленности Новой Англии, открытием новых международных торговых путей. Краткосрочные колебания носят в той или иной степени случайный характер. К сожалению, данные Хаутаккера противоречили его ожиданиям: наблюдалось слишком много больших скачков. Конечно, в большинстве своем ценовые изменения были незначительными, однако отношение количества маленьких скачков к количеству больших было не настолько велико, как того ожидал профессор. Значит, вероятность получить скачок не убывала достаточно быстро с увеличением его размера – их распределение имело, как говорят, «длинный хвост».

Стандартной моделью таких отклонений всегда являлась колоколообразная кривая: в центре, вблизи ее максимума, значения измеряемой величины близки к среднему, а слева и справа от среднего доля точек быстро падает. Эта колоколообразная кривая, называемая функцией Гаусса или функцией нормального распределения, в среде статистиков столь же ходовой инструмент, как стетоскоп – у врачей. Она проясняет природу случайности. Дело в том, что при изменении параметров любых объектов измеряемые значения с большей вероятностью находятся недалеко от средней величины и распределяются вокруг нее в соответствии с некоторым плавным законом. Функция Гаусса – весьма полезный инструмент, но даже она не всегда помогает проложить дорогу в дебрях экономики. Как выразился лауреат Нобелевской премии Василий Леонтьев, «ни в одной из эмпирических сфер исследования столь объемный и сложный статистический аппарат не используется со столь неопределенными результатами»[142]142
  Океанографический институт в Вудс-Хоуле, август 1985 года.


[Закрыть].

Колоколообразная кривая.

Но построенный Хаутаккером график изменений цен на хлопок никак не желал принимать форму функции нормального распределения. Вместо этого кривая ценовых изменений приобретала очертания, которые Мандельброт начал распознавать в графиках удивительно далеких, не сопоставимых друг с другом явлений. В отличие от других математиков, при столкновении с требующими ответа вопросами он прислушивался к своей интуиции относительно моделей и форм. Не полагаясь на анализ, он верил образам, что зрели в его сознании. В нем крепло убеждение, что течение случайных, стохастических процессов подчиняется особым законам. Вернувшись в огромный исследовательский центр корпорации IBM в Йорктаун-Хайтсе, на холмах Северного Уэстчестера, штат Нью-Йорк, Мандельброт внес информацию Хаутаккера о ценах на хлопок в компьютерную базу данных, а позже обратился в министерство сельского хозяйства с просьбой выслать дополнительные сведения, восходящие к 1900 году.

Переступив порог компьютерной эры, экономисты, как и ученые других областей, потихоньку осознавали, что теперь они могут собирать, обрабатывать и группировать данные в невиданных прежде масштабах. Далеко не вся информация, впрочем, была доступна, а уже полученную нужно было привести к виду, подходящему для компьютерной обработки. К тому же время компьютерных решений еще только-только наставало, так что исследователи, посвятившие себя точным наукам, предпочитали пока накапливать тысячи и миллионы экспериментальных точек. Экономисты, как и биологи, имели дело с миром живых существ, обладавших волей. Они изучали, наверное, самый труднопостижимый объект на всем белом свете.

Но, по крайней мере, экономическая среда исправно поставляла числовые данные. По мнению Мандельброта, цены на хлопок представляли собой идеальный массив данных. Хлопок принадлежал к миру купли-продажи, миру с централизованным рынком и единой бухгалтерией – ведь на рубеже веков весь хлопок с юга шел через Нью-Йоркскую товарную биржу в Новую Англию, и цены, скажем, в Ливерпуле увязывались с ценами в Нью-Йорке.

Хотя экономисты немногого добились в анализе товарных или биржевых цен, это отнюдь не означало, что им недоставало фундаментальных теорий ценообразования. Напротив, все ученые в этой области разделяли определенное видение этого вопроса. В частности, многие были убеждены, что небольшие случайные скачки цен не имеют ничего общего с долговременными ценовыми тенденциями. Быстрое изменение цены трактовали как случайность, взлеты и падения котировок в течение одного биржевого дня воспринимались как помехи, досадные, но непредсказуемые, а потому не заслуживающие внимания, а вот долгосрочные ценовые колебания – совсем другое дело. Они формируются месяцами, годами, десятилетиями под влиянием макроэкономических факторов, таких как войны или рецессии, – факторов, которые теоретически можно понять. Итак, с одной стороны – мельтешение кратковременных случайных отклонений, с другой – сигналы долгосрочных изменений.

Так получилось, что в картине мира Мандельброта не нашлось места дихотомии. Вместо того чтобы отделить небольшие изменения от ощутимых, его воображение свело их воедино. Ученый не отдавал предпочтения ни мелкому, ни крупному масштабу – его интересовала целостная картина. Он весьма отдаленно представлял, как передать на бумаге то, что рисовалось ему в мыслях, однако верил, что во всем происходящем должна присутствовать некая симметрия – не буквальная симметрия, когда левая часть похожа на правую или верхняя на нижнюю, а скорее симметрия крупных и мелких масштабов.

И действительно, когда Мандельброт на компьютере проанализировал информацию об изменении цен на хлопок, потрясающие результаты, на которые он надеялся, не заставили себя ждать. Точки, которые не желали ложиться на кривую нормального распределения, обнаруживали странную с точки зрения масштаба симметрию, иначе говоря, каждый отдельно взятый скачок цены был случайным и непредсказуемым, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Кривые, изображавшие дневные скачки, и те, что воспроизводили месячную динамику, прекрасно соответствовали друг другу. Это казалось невероятным, но, согласно результатам анализа, проведенного Мандельбротом, степень вариативности за неспокойные шестьдесят лет, на которые выпали две мировые войны и Великая депрессия, осталась неизменной.

Внутри самых хаотичных нагромождений информации скрывался поразительный порядок. Поразительный настолько, что Мандельброт задался вопросом: почему вообще они должны подчиняться хоть какому-то закону? И почему одна и та же закономерность оказывается одинаково справедлива и для распределения индивидуальных доходов, и для динамики цен на хлопок?

По правде говоря, Мандельброт не мог похвастаться солидной экономической базой, равно как и обширным кругом знакомств в среде экономистов. Когда он опубликовал статью о своих открытиях, преамбулу к ней написал один из его студентов, переложивший идеи учителя с языка математики на язык экономики. А сам Мандельброт уже занялся другой проблемой. Впрочем, он сохранил решимость изучать феномен масштабирования. Это явление, как полагал ученый, жило своей собственной жизнью и имело свои характерные особенности.

Спустя много лет («успев попреподавать экономику в Гарварде, инженерное дело в Йеле, физиологию в Медицинском колледже Эйнштейна») Мандельброт заметил с гордостью во время одного из своих выступлений перед студентами: «Часто, вспоминая все, чем я раньше занимался, я спрашиваю себя, а существовал ли я вообще. Пересечение всех этих множеств, очевидно, пусто»[143]143
  Мандельброт.


[Закрыть]. И действительно, с первых лет своей карьеры и работы на IBM Мандельброт попробовал себя во множестве областей, но нигде не задержался. Его всегда считали аутсайдером. Он выбрал для своих изысканий забытый всеми раздел математики и ошарашил коллег экстравагантностью подхода. Он вторгался в те сферы, где его редко готовы были принять. Он скрывал самые грандиозные свои идеи, лишь бы добиться публикации статей. Он сохранял за собой место только благодаря снисходительности своих работодателей в Йорктаун-Хайтсе. Он совершал набеги на пограничные дисциплины вроде экономики и быстро ретировался, оставляя после себя обманчивые надежды и почти никогда – законченные работы.

В истории хаоса Мандельброт нашел свой путь. Вопреки всему формировавшийся в его сознании образ реальности превратился в начале 1960-х годов из причудливой картинки в полноценное геометрическое построение. Для физиков, развивавших идеи ученых вроде Лоренца, Смейла, Йорка и Мэя, этот «колючий» математик оставался второстепенной фигурой, но предложенные им методы и язык исследований составили неотъемлемую часть зарождавшейся науки.

Характеристика, данная ученым самому себе, едва ли показалась бы удачной тем, кто знал Мандельброта в пору зрелости, когда у него уже были его статус, титулы и награды. Однако лучшим ключом к пониманию его личности является тот факт, что Бенуа Мандельброт происходил из семьи эмигрантов. Он родился в Варшаве в 1924 году, в семье с литовско-еврейскими корнями[144]144
  Мандельброт, Рихтер. Даже сейчас о Бурбаки написано немного; см. игривое введение в тему: Halmos R R. «Nicholas Bourbaki» // Scientific American. Vol. R 88–89.


[Закрыть]. Отец его торговал одеждой, мать работала зубным врачом. Из неспокойной Польши в 1936 году семья перебралась в Париж, где жил дядя мальчика, математик Шолем Мандельбройт. Когда началась война, семья, вновь столкнувшись с проявлениями нацизма, бросила нажитое и, прихватив лишь несколько чемоданов, присоединилась к потокам беженцев, наводнившим дороги на юг. В конце концов она оказалась в городке Тюль.

Здесь Бенуа поступил в ученики к слесарю. Среди подмастерьев он опасно выделялся высоким ростом и образованностью. Наступали времена тотальной слежки и животного страха. Позже он редко вспоминал о пережитых тогда лишениях, вместо этого обращаясь в своей памяти к той поддержке и помощи, которую оказывали мальчику школьные учителя в Тюле и других местах. Некоторые из этих учителей были известными учеными, чьи судьбы сломала война. В целом образование Мандельброта нельзя было назвать систематическим; он сам признавался, что не учил алфавит и, что гораздо важнее, таблицу умножения дальше пяти. Просто он был щедро одарен от природы.

После освобождения Парижа Мандельброт в течение месяца, несмотря на недостаточную подготовку, успешно сдал устные и письменные экзамены в Высшую нормальную школу и в Политехническую школу. Наряду с другими заданиями экзамены включали и проверку способностей к рисованию. Мандельброт совершенно неожиданно обнаружил в себе скрытое дарование, набросав статую Венеры Милосской. На экзамене по математике, где предлагались задачи по алгебре и математическому анализу, он ухитрился компенсировать пробелы в знаниях безошибочной геометрической интуицией. Мандельброт понял, что, решая аналитическую задачу, он почти всегда способен представить ее в виде некой воображаемой формы, которую можно изменять, преобразовывать ее симметрии, делая ее более гармоничной. Зачастую такие преобразования и открывали ему путь к решению проблемы. Когда дело дошло до физики и химии, геометрия помочь уже не могла, и оценки оставляли желать лучшего. Зато математические вопросы, на которые он ни за что не ответил бы, используя стандартную методику, вполне поддавались геометрическим манипуляциям.

Высшая нормальная и Политехническая школы были элитными учебными заведениями, не имевшими аналогов в американской системе образования. В общей сложности они ежегодно готовили не более трехсот выпускников, поступавших главным образом на работу в университеты Франции или на государственную службу. Мандельброт начал свое обучение в Высшей нормальной школе, менее крупном, но более престижном из этих двух учебных заведений, однако через несколько дней перевелся в Политехническую школу, успев заодно сбежать от Бурбаки^́[145]145
  Смейл.


[Закрыть].

Наверное, нигде, кроме Франции, в которой процветали авторитарные учебные заведения и сформировалась особая традиция образования, не могла появиться такая группа. Все начиналось как клуб, основанный в беспокойную пору после Первой мировой Шолемом Мандельбройтом и горсткой беззаботных молодых математиков, которые стремились изменить французскую математическую школу. Одним из ужасных демографических последствий войны стал разрыв в поколение между университетскими профессорами и их студентами, нарушивший преемственность в академической среде. Теперь эти талантливые молодые люди намеревались заложить фундамент новой математической практики. Даже само название их группы было шуткой, понятной лишь узкому кругу, и выбрали его за странно привлекательное звучание. Как выяснилось позже, так звали французского генерала греческого происхождения, жившего в XIX веке. Бурбаки появился на свет в минуту веселья, но вскоре оно испарилось.