Текст книги "Как не ошибаться. Сила математического мышления"

Глава восьмая. Доказательство от маловероятного

Самый неприятный философский вопрос в отношении проверки значимости нулевой гипотезы возникает уже в самом начале, еще до применения любого из тщательно продуманных алгоритмов, разработанных Фишером и усовершенствованных его последователями. Этот момент наступает в начале второго шага:

«Предположим, нулевая гипотеза истинна».

Однако в большинстве случаев мы пытаемся доказать обратное: что нулевая гипотеза не является истинной. Лекарственный препарат работает, Шекспир использует аллитерации, в Торе заложено все будущее. С логической точки зрения, кажется сомнительным исходить именно из того предположения, которое мы стремимся опровергнуть, – создается впечатление, будто мы рискуем создать замкнутый круг в доказательстве.

На этот счет можете быть спокойны. Выдвигать предположение об истинности того, что мы втайне считаем ложным, – это проверенный временем метод аргументации, восходящий еще к Аристотелю. Речь идет о доказательстве от противного, reductio ad absurdum. Подобное доказательство – своего рода математическое дзюдо, в ходе которого мы сначала утверждаем, что в конечном счете хотим опровергнуть, планируя перебросить его через плечо и победить посредством его же собственной силы. Если гипотеза приводит к ложным выводам[237]237
  Некоторые настаивают на том, что умозаключение можно считать доказательством от противного (reduction ad absurdum), если следствие гипотезы содержит внутреннее противоречие, а если это просто ошибочное следствие, тогда это умозаключение является рассуждением от противного (modus tollens).


[Закрыть], тогда и сама гипотеза должна быть ошибочной. Следовательно, план действий сводится к следующему:

• предположим, гипотеза Н истинна;

• из гипотезы Н вытекает, что определенный факт F не может иметь место;

• однако факт F имеет место;

• следовательно, гипотеза Н ошибочна.

Предположим, кто-то скажет вам, что во время массовой стрельбы в округе Колумбия погибло двести детей. Это гипотеза. Однако проверить такую гипотезу может быть достаточно трудно (я имею в виду, что, если ввести в поисковик Google фразу «количество детей, погибших от огнестрельного оружия в округе Колумбия в 2012 году», прямой ответ получить не удастся). С другой стороны, если мы предположим, что эта гипотеза истинна, тогда в округе Колумбия в 2012 году не могло быть меньше двухсот случаев насильственной смерти. Однако на самом деле таких случаев было меньше – всего восемьдесят восемь[238]238
  См.:Allison Klein. Homicides Decrease in Washington Region // Washington Post, 2012, Dec. 31.


[Закрыть]. Следовательно, гипотеза человека, сообщившего вам об этом, должна быть ошибочной. Здесь нет никакого замкнутого круга в доказательстве: мы приняли ошибочную гипотезу в качестве предварительного, пробного предположения, тем самым создали противоречащий фактам воображаемый мир, в котором истинна данная гипотеза Н, а затем наблюдали за тем, как этот мир разваливается под натиском реальности.

В такой формулировке метод доказательства от противного кажется почти элементарным, и в каком-то смысле так оно и есть, но, наверное, было бы правильнее сказать, что это инструмент мышления, к использованию которого мы слишком привыкли и часто забываем, насколько он эффективен. В действительности именно простой метод от противного лежит в основе сформулированного Пифагором доказательства иррациональности квадратного корня из двух – доказательства, которое оказывало настолько разрушительное воздействие на существовавшую в то время систему понятий и воззрений, что его автора пришлось убить. Это настолько простое, изящное и компактное доказательство, что я могу записать его на паре страниц.

Предположим, гипотеза Н состоит в следующем:

Н – квадратный корень из двух есть рациональное число.

Другими словами, мы предположили, что √2 – это число, представленное в виде дроби m/n, где m и n – целые числа. Эту дробь можно привести к несократимому виду: если у числителя и знаменателя есть общий делитель, их можно сократить, сохранив дробь неизменной: нет смысла писать 10/14 вместо более простой дроби 5/7. Давайте перефразируем нашу гипотезу:

Н: квадратный корень из 2 равен m/n, где m и n – целые числа, не имеющие ни одного общего делителя.

В действительности это означает, что оба числа m и n не могут быть четными. Если предположить, что оба числа четные, это равносильно тому, чтобы сказать, что у них общий делитель 2. В таком случае, как и в случае дроби 10/14, можно было бы сократить числитель и знаменатель на 2, не изменив саму дробь, а значит, у нас была бы дробь, не приведенная к простейшему виду. Следовательно, утверждение

F: m и n есть четные числа

ложное.

Поскольку √2 = m/n, после возведения обеих частей этого уравнения в квадрат мы увидим, что 2 = m²/n², или, что то же самое, 2n² = m². Следовательно, m² – это четное число, а это значит, что само число m также четное. Число является четным, если его можно представить в виде произведения числа 2 на другое целое число, а значит, мы можем записать число m в виде 2k, где k – целое число. Это означает, что 2n² = (2k)² = 4k². Сократив обе стороны на 2, мы получим n² = 2k².

В чем смысл всех этих алгебраических преобразований? Просто показать, что n² равно двум k², а значит, это число четное. Но если n² четное число, тогда и само n должно быть четным, так же как и m. Но это означает, что утверждение F истинно. Выдвинув гипотезу H, мы пришли к ошибочному и даже абсурдному выводу, что утверждение F истинно и ложно одновременно. Следовательно, гипотеза H должна быть ошибочной. Квадратный корень из 2 – это не рациональное число. Предположив, что оно является таковым, мы доказали, что это не так. На самом деле довольно странный прием, но он работает.

Проверку значимости нулевой гипотезы можно представить как несколько размытую версию доказательства от противного:

• предположим, нулевая гипотеза Н истинна;

• из гипотезы Н вытекает, что некий результат О очень маловероятен (скажем, не превышает порог Фишера 0,05);

• однако результат О был установлен посредством наблюдений;

• следовательно, вероятность Н крайне мала.

Другими словами, мы имеем здесь не доказательство от противного, а доказательство от маловероятного.

Классический пример такого доказательства привел астроном и священник XVIII столетия Джон Митчелл, который одним из первых использовал статистический подход к изучению небесных тел[239]239
  См.:David W. Hughes,Susan Cartwright. John Michell, the Pleiades, and Odds of 496,000 to 1 // Journal of Astronomical History and Heritage, 2007, 10, p. 93–99.


[Закрыть]. За скоплением тусклых звезд в одном углу созвездия Тельца наблюдала едва ли не каждая цивилизация. В племени навахо это скопление называют Dilyehe, «Сверкающая фигура», в племени маори – Matariki, «Глаз Бога». Для древних римлян это была гроздь винограда, у японцев это Subaru (если вдруг вам интересно, почему на логотипе компании изображено шесть звезд). Мы называем это звездное скопление Плеядами.

Столетия наблюдений и мифотворчества не смогли ответить на фундаментальный научный вопрос: действительно ли это звездное скопление является скоплением? Или эти шесть звезд разделены недоступными пониманию расстояниями и просто случайно расположены почти в однoм и том же направлении от Земли? Точки света, в случайном порядке размещенные в нашем поле зрения, выглядят примерно так[240]240
  Источник: Yuval Peres. Gaussian Analytic Functions (http://research.microsoft.com/en-us/um/people/peres/GAF/GAF.html); автор двух рисунков с точками, разбросанными по квадрату, – главный научный сотрудник в Microsoft Research Ювал Перес.


[Закрыть]:

Вы видите здесь несколько групп, не так ли? Этого следовало ожидать: неизбежно формируются группы звезд, как будто почти взгромоздившихся друг на друга по воле случая. Как можно быть уверенными в том, что это не происходит с Плеядами? Это тот же феномен, на который обратили внимание Гилович, Валлон и Тверски: разыгрывающий игрок, который отличается высоким постоянством игры без взлетов и падений, время от времени все же делает по пять результативных бросков подряд.

На самом деле, если не было бы больших видимых скоплений звезд (как на представленном ниже рисунке), это само по себе свидетельствовало бы о том, что здесь действует некий неслучайный процесс. Второй рисунок может показаться невооруженному глазу более хаотичным, но на самом деле это не так: он показывает, что этим точкам присуща склонность избегать образования скоплений.

Следовательно, сам феномен существования наблюдаемых скоплений не должен убеждать нас в том, что рассматриваемые звезды действительно образуют группу в пространстве. С другой стороны, группа звезд на небе может быть настолько плотной, что отвергаются любые сомнения в случайности этого феномена. Митчелл показал, что, если видимые звезды были бы разбросаны в пространстве в случайном порядке, вероятность того, что шесть звезд образуют подобное Плеядам звездное скопление, предстающее перед нашим взором, крайне мала: около одного шанса на 500 тысяч, по расчетам самого Митчелла. Но вот они над нами – звезды, образующие гроздь винограда. Митчелл пришел к следующему умозаключению: только глупец может считать, что это произошло по воле случая.

Фишер одобрительно отзывался о работе Митчелла, совершенно ясно давая понять, что он видит в ней аналогию между аргументацией Митчелла и классическим доказательством от противного: «Сила, которая поддерживает данный вывод, – это, если рассуждать логически, простая дизъюнкция: либо имеет место крайне редкий случай, либо теория случайного распределения не соответствует действительности»[241]241
  Ronald A. Fisher. Statistical Methods and Scientific Inference. Edinburgh: Oliver & Boyd, 1959, p. 39.


[Закрыть].

Весьма убедительный аргумент, из которого сделан правильный вывод: Плеяды – на самом деле не оптическое совмещение, а реальное скопление звезд – нескольких сотен взрослых звезд, а не только те шесть, видимые невооруженным глазом. Тот факт, что мы видим много других очень плотных звездных скоплений, подобных Плеядам (намного более плотных, чем это было бы возможно, если бы они возникли по воле случая), – это веское доказательство в пользу того, что звезды расположены в пространстве не в случайном порядке, а скорее образуют группы под воздействием некоего реального физического феномена, существующего в свободном пространстве.

Но есть и плохая новость: доказательство от маловероятного, в отличие от его аристотелевского предшественника, в общем случае нельзя считать логически состоятельным. Это доказательство вовлекает нас в мир собственных логических противоречий. Джозеф Берксон, долгое время возглавлявший отделение медицинской статистики в клинике Maйo, открыто критиковал методику, которую считал ненадежной[242]242
  Joseph Berkson. Tests of Significance Considered as Evidence // Journal of the American Statistical Association, 1942, 37, no. 219, p. 325–335.


[Закрыть]. Именно он предложил знаменитый пример, демонстрирующий подводные камни данного метода. Предположим, у вас есть группа из пятидесяти испытуемых, в отношении которых вы выдвигаете гипотезу (Н), что они – люди. Вы видите, что один из них альбинос (О). В принципе альбинизм – крайне редкое явление, встречающееся не более чем у одного из 20 тысяч людей. Таким образом, если исходить из того, что гипотеза Н верна, вероятность того, что вы обнаружите альбиноса среди пятидесяти испытуемых, достаточно мала, менее чем 1 из 400[243]243
  В качестве хорошего эмпирического приема вы можете рассуждать так: каждый из пятидесяти испытуемых обеспечивает вероятность обнаружения альбиноса в данной выборке 1/20 000, что дает 1/400. Это не совсем точный метод, но он позволяет получить довольно близкое значение в случаях, когда, как здесь, результат очень близок к нулю.


[Закрыть], или 0,0025. Следовательно, p-значение (вероятность наблюдения О при условии Н) намного меньше 0,05.

Это неизбежно приводит нас к умозаключению, что с высокой степенью статистической достоверности гипотеза Н неверна, а значит, испытуемые, входящие в состав данной выборки, – не люди.

Возникает большой соблазн считать, что выражение «очень маловероятное событие» означает то же, что и «по существу невозможное событие», а затем все чаще произносить слова «по существу» только мысленно, пока мы вообще не перестанем принимать их во внимание[244]244
  На самом деле в риторике действует общий принцип: когда говорят, что «X – это по существу Y», как правило, имеется в виду, что «X – это не Y, но мне было бы проще, если X считался бы Y, так что было бы здорово просто двигаться дальше и сделать вид, что X – это Y».


[Закрыть]. Однако невозможное и маловероятное – это совсем не одно и то же. Невозможное не происходит никогда, а вот маловероятное случается часто. Это означает, что мы становимся на шаткую логическую почву, когда пытаемся делать выводы из маловероятных результатов наблюдений, как того требует доказательство от маловероятного. Когда в розыгрышах лотереи Северной Каролины два раза на протяжении одной недели выпала одна и та же комбинация чисел 4, 21, 23, 34, 39, это подняло много вопросов: может, что-то не так с самой игрой? Однако каждая комбинация цифр может выпасть с точно такой же вероятностью, что и любая другая комбинация. Выпадание чисел 4, 21, 23, 34, 39 во вторник и чисел 16, 17, 18, 22, 39 в четверг – это в точности такое же маловероятное событие, как и то, что произошло на самом деле: вероятность получения двух комбинаций чисел в эти два дня составляет всего один шанс из примерно 300 миллиардов. В действительности вероятность выпадания любой конкретной комбинации чисел во время розыгрыша лотереи во вторник и в четверг составляет один шанс из 300 миллиардов. Если вы придерживаетесь точки зрения, что такой в высшей степени маловероятный результат дает вам основания, чтобы поставить под сомнение честность игры, вы станете человеком, который на протяжении всей своей жизни каждый четверг отправляет уполномоченному по лотереям сердитое письмо, какие бы числа ни выпали из барабана.

Не становитесь таким человеком.

Критическая оценка Митчеллом идеи, что наш взгляд обнаружил бы скопления звезд, даже если бы они были случайно распределены по полю зрения, применима не только к небесной сфере. Этот феномен лег в основу сюжета пилотного эпизода математического детективного сериала Numb3rs[245]245
  Должен признать: я читал сценарии эпизодов Numb3rs [в российском прокате сериал шел под названием «4исла». – Ред.] еще до их выхода, чтобы проверить точность математических терминов и выкладок и сделать свои замечания. Из всего мною предложенного в эфире прозвучала лишь одна фраза: «…Пытаясь найти проекцию аффинного трехмерного пространства на сферу при условии некоторых открытых ограничений».


[Закрыть]. Во всем множестве ужасных преступлений, отмеченных булавками на настенной карте в штаб-квартире ФБР, нет никаких кластеров; следовательно, это работа одного хитрого серийного убийцы, намеренно оставляющего место между жертвами, а не всплески активности психопатов, не связанные между собой. Сюжет был задуман как детективная история, но с математической точки зрения он абсолютно корректен.

Наличие кластеров в случайных данных позволяет постичь суть происходящего даже в ситуациях, в которых вообще отсутствует элемент случайности, как в поведении простых чисел. Известный преподаватель математики из Университета Нью-Гемпшира Итан Чжан по прозвищу Том в 2013 году потряс весь мир чистой математики, когда объявил, что доказал гипотезу об ограниченных промежутках, касающуюся распределения простых чисел[246]246
  История о работе Чжана по гипотезе об ограниченных промежутках написана по материалам моей статьи: J. Ellenberg. The Beauty of Bounded Gaps: A huge discovery about prime numbers and what it means for the future of mathematics // Slate, 2013, May 22. См.:Yitang Zhang. Bounded Gaps Between Primes // Annals of Mathematics, 2014, vol. 179, 3, p. 1121–1174.


[Закрыть]. Чжан был лучшим студентом Пекинского университета, но, после того как в 1980-х годах переехал в США для получения ученой степени, так и не добился особых успехов. После 2001 года он не опубликовал ни одной научной работы. В какой-то момент Чжан вообще перестал заниматься академической математикой и продавал сэндвичи в метро, пока бывший однокурсник из Пекина не нашел его и не помог получить должность лектора в Университете Нью-Гемпшира. Все как будто говорило о том, что как ученый Чжан не состоялся. Именно поэтому большой неожиданностью стала его публикация с доказательством теоремы, которую безуспешно пытались одолеть некоторые крупнейшие специалисты по теории чисел.

Однако сам факт, что гипотеза оказалась истинной, не стал неожиданностью. Математики имеют репутацию неисправимых упрямцев, не верящих в существование феномена до тех пор, пока этот факт не будет установлен и доказан. Но это не совсем так. Все мы верили в истинность гипотезы об ограниченных промежутках еще до большого откровения Чжана, и все мы убеждены в истинности тесно связанной с ней гипотезы о простых числах-близнецах, хотя она до сих пор остается недоказанной. Почему?

Давайте начнем с того, о чем говорят эти две гипотезы. Простые числа – это числа больше 1, которые не делятся ни на какое число, кроме самого себя (и 1). Следовательно, 7 – это простое число, тогда как 9 – нет, поскольку оно делится на 3. Вот начало ряда простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Каждое положительное число можно выразить в виде произведения простых чисел только одним способом. Например, число 60 раскладывается на два раза по два, один раз три и один раз пять, поскольку 60 = 2 × 2 × 3 × 5. (Вот почему мы не держим единицу за простое число (хотя в прошлом некоторые математики считали именно так): это нарушило бы уникальность разложения, поскольку, если 1 считать простым числом, число 60 можно записать как 2 × 2 × 3 × 5, 1 × 2 × 2 × 3 × 5, 1 × 1 × 2 × 2 × 3 × 5…). Что можно сказать о самих простых числах? С ними все в порядке: любое простое число, скажем число 13, – это произведение одного простого числа, самого числа 13. А как насчет 1? Мы исключили 1 из списка простых чисел, так как это может быть произведением простых чисел, каждое из которых больше 1? Очень просто: 1 – это произведение нуля простых чисел.

В этот момент меня часто спрашивают: «Почему произведение нуля простых чисел равно 1, а не 0?» Вот одно несколько запутанное объяснение. Если взять произведение какого-то множества простых чисел, скажем чисел 2 и 3, а затем разделить его на умноженные простые числа, у вас останется произведение чисел, которых уже нет; при этом 6, разделенное на 6, равно 1, а не 0. (С другой стороны, сумма нуля чисел действительно равна 0.)[247]247
  За этим объяснением скрывается глубокая правда, что 1 при умножении играет во многом ту же роль, что 0 при сложении: х + 0 = 0 + х = х и х × 1 = 1 × х = х. Более того, группа вещественных чисел по сложению изоморфна группе положительных чисел по умножению, а логарифм (см. ниже) – это и есть указанный изоморфизм: log (x × y) = log x + log y. Теперь понятно, что log 1 = 0. Прим. М. Г.


[Закрыть]

Простые числа – элементарные частицы теории чисел, базовые неделимые элементы, из которых состоят все числа. По этой причине они были объектом активного изучения с самого начала теории чисел. Одной из первых теорем, доказанных в теории чисел, стала теорема Евклида, гласившая, что существует бесконечное количество простых чисел: они никогда не закончатся, каким бы длинным ни был числовой ряд, который может составить наш разум.

Однако математики всегда жаждут большего; они не желают удовлетворяться одним только утверждением о бесконечности. В конце концов, есть бесконечность и есть бесконечность. Существует бесконечное количество степеней числа 2, но они встречаются очень редко. В первой тысяче чисел всего десять степеней числа 2[248]248
  Среди первых N чисел примерно log₂ N чисел будут степенями 2. Прим. М. Г.


[Закрыть]:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512.

С другой стороны, существует бесконечно большое количество четных чисел, но они встречаются гораздо чаще: четных чисел в точности 500 из первых 1000 чисел. На самом деле очевидно, что из любых N чисел около (1/2) N чисел будут четными.

Как оказалось, простые числа занимают промежуточное положение: они более распространены, чем степени числа 2, но встречаются реже, чем четные числа. Из первых N чисел N/log N чисел являются простыми. Эту теорему о распределении простых чисел доказали в конце XIX столетия специалисты по теории чисел Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен.

Я обратил внимание на такой факт: почти никто не знает, что такое логарифм. Позвольте мне исправить эту ситуацию. Логарифм положительного числа N, который обозначается как log N, – количество цифр, из которых состоит это число.

Погодите-ка, разве это действительно так? Это и есть логарифм?

Нет, на самом деле не совсем так. Мы можем назвать количество цифр в числе «фальшивым логарифмом», или флогарифмом. Флогарифм достаточно близок к реальному логарифму, чтобы дать общее представление о смысле логарифма в данном контексте. Флогарифм (а значит, и логарифм) – чрезвычайно медленно растущая функция: флогарифм тысячи равен 4, флогарифм миллиона (в тысячу раз большего числа) равен 7, а флогарифм миллиарда – всего 10[249]249
  Дойдя до конца раздела, я могу наконец спокойно раскрыть истинное определение log N. Это такое число x, что e^x = N. Здесь e – число Эйлера, равное примерно 2,71828… Я говорю «e», а не «10», поскольку речь идет о натуральном логарифме, а не десятичном логарифме или логарифме по основанию 10. Натуральный логарифм – это именно тот логарифм, который вы всегда будете использовать, если вы математик или если у вас e пальцев на обеих руках. [В российской традиции логарифм по основанию е обозначается «ln», а логарифм по основанию 10 – «lg». Прим. М. Г.]


[Закрыть].

Теорема о распределении простых чисел гласит, что доля простых чисел среди первых N целых чисел составляет около 1/log N. В частности, простые числа встречаются все реже по мере увеличения чисел, хотя частота встречаемости простых чисел уменьшается очень медленно: случайное число из двадцати цифр может быть простым с вероятностью, в два раза меньшей, чем число из десяти цифр.

Вполне естественно предположить, что чем чаще встречаются числа определенного типа, тем меньше промежутки между такими числами. В случае четного числа вам не придется перемещаться вперед больше, чем на два числа, чтобы найти следующее четное число; на самом деле промежутки между четными числами всегда составляют ровно 2. В случае степеней числа 2 совсем другая история. Промежутки между двумя следующими друг за другом степенями числа 2 возрастают по экспоненциальному закону, неуклонно увеличиваясь все больше и больше, по мере того как вы проходите эту последовательность. Например, добравшись до степени 2⁴ = 16, вы больше никогда не увидите две степени числа 2, расстояние между которыми составляет 15 или менее.

Это две простые задачи, а вот вопрос о промежутках между последовательными простыми числами более сложен. На самом деле этот вопрос настолько сложен, что даже после прорыва Чжана он во многих отношениях остается загадкой.

Тем не менее, на наш взгляд, мы знаем, чего ожидать, благодаря удивительно плодотворной точке зрения: давайте считать простые числа случайными величинами. Причина столь высокой плодотворности этой точки зрения состоит в том, что она в высшей степени ошибочна. Простые числа не являются случайными! В них нет ничего произвольного, и они не подвержены воле случая. Напротив, мы воспринимаем их как неотъемлемый элемент Вселенной; мы вырезаем их на золотых табличках и отправляем в межзвездное пространство, чтобы доказать представителям внеземных цивилизаций, что мы не дураки.

Простые числа не относятся к категории случайных величин, но они во многих отношениях ведут себя так, словно они случайные числа. Например, если разделить произвольное целое число на 3, в остатке с равной вероятностью будет либо 0, либо 1, либо 2. Если разделить большое простое число на 3, частное не может быть целым числом, поскольку в противном случае так называемое простое число можно было бы разделить на 3, а это значило бы, что оно вовсе не простое. Однако старая теорема Дирихле гласит, что остаток 1 имеет место с такой же вероятностью, что и остаток 2, – точно так же, как и в случае случайных чисел. Следовательно, с точки зрения «остатка от деления на 3» простые числа напоминают случайные числа, не считая того, что они не могут быть кратны 3.

А что насчет промежутков между последовательными простыми числами? Можно предположить, что, поскольку по мере увеличения чисел простые числа встречаются все реже, они становятся более отдаленными друг от друга. В целом это действительно так. Однако Чжан доказал, что существует бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся друг от друга максимум на 70 миллионов. Другими словами, множество простых чисел, разница между которыми не превосходит 70 миллионов, бесконечно. В этом и состоит гипотеза об ограниченных промежутках между простыми числами.

Почему 70 миллионов? Потому, что это то, что Чжан смог доказать. В действительности публикация работы Чжана повлекла за собой взрыв активности: математики всего мира начали работать вместе в рамках проекта Polymath (своего рода онлайнового кибуца) над сужением промежутка, применяя для этого различные варианты метода Чжана. В июле 2013 года этой группе математиков удалось доказать, что существует бесконечно больше промежутков, не превышающих 5414. В ноябре Джеймс Мэйнард, только что получивший ученую степень в Монреале, сократил этот промежуток до 600, а участники проекта Polymath начали активно работать над объединением его идей с идеями группы. К тому моменту, когда вы будете читать данную книгу, этот промежуток, вне всяких сомнений, станет еще меньше[250]250
  После того как в мае 2014 года была получена оценка 246, проект решили остановить, поскольку, по признанию авторов, дальнейшее улучшение потребовало бы огромного объема вычислений. См.: D. H. J. Polymath. The «bounded gaps between primes» Polymath project – a retrospective (http://arxiv.org/abs/1409.8361); D. H. J. Polymath (букв. «человек энциклопедических знаний; эрудит») – коллективный псевдоним авторов. Прим. М. Г.


[Закрыть].

На первый взгляд ограниченный промежуток между простыми числами может показаться чем-то удивительным. Если простые числа становятся все более отдаленными друг от друга, почему существует так много пар простых чисел, расположенных близко друг от друга? Может существует некая сила притяжения между простыми числами?

Ничего подобного. Если распределить простые числа в случайном порядке, велика вероятность, что некоторые пары чисел по воле случая окажутся рядом друг с другом – подобно тому, как точки, рассредоточенные на плоскости, образуют видимые скопления.

Нетрудно подсчитать, что, если простые числа вели бы себя подобно случайным числам, мы увидели бы именно такое поведение, какое продемонстрировал Чжан. Более того, можно было бы ожидать, что существует бесконечно большое количество пар простых чисел, отличающихся на 2, например таких пар, как 3 и 5 и 11 и 13. Это так называемые простые числа-близнецы, бесконечность количества которых остается гипотезой.

(Ниже приведены некоторые расчеты. Если они не представляют для вас интереса, можете пропустить их и перейти к абзацу, который начинается словами: Большое количество простых чисел-близнецов…)

Помните: теорема о распределении простых чисел гласит, что из первых N чисел N/log N чисел являются простыми. Если бы эти числа были распределены случайным образом, каждое число n могло бы быть простым с вероятностью 1/log N. Таким образом, вероятность того, что числа n и n + 2 оба являются простыми, равна (1/log N) × (1/log N) = (1/log N)². Так какого же количества пар простых чисел, отличающихся на 2, мы можем ожидать? В интересующей нас области существует N пар чисел (n, n + 2), причем каждое из них имеет вероятность быть простым числом-близнецом, равную (1/log N)², а значит, в данном интервале можно ожидать N/(log N)² простых чисел-близнецов.

Существуют некоторые отклонения от чистой случайности, с небольшим воздействием которых специалисты по теории чисел умеют обращаться. Главное то, что события «n – простое число» и «n + 2[251]251
  В оригинале опечатка, было n + 1, что приводит к тривиальному соображению: n и n + 1 не могут одновременно быть простыми, если только это не 2 и 3. Прим. М.Г.


[Закрыть] – простое число» не являются независимыми: если n – простое число, это увеличивает вероятность того, что n + 2 – также простое число, а это означает, что мы не совсем правильно используем произведение (1/log N) × (1/log N). (Обратите внимание: если n – простое число, большее 2, оно нечетное, а это значит, что n + 2 также является нечетным, что повышает вероятность того, что n + 2 – простое число.) Годфри Гарольд Харди, который говорил о «ненужных затруднениях», а также Джон Инденсор Литлвуд, в соавторстве с которым он написал большую часть своих работ, разработали более точный метод прогнозирования с учетом этой зависимости, согласно которому количество простых чисел-близнецов в действительности должно быть на 32 % больше, чем N/(log N)². Такая более точная аппроксимация позволяет предсказать, что количество простых чисел-близнецов, не превышающих квадриллион, должно составлять около 1,1 триллиона – достаточно близкое совпадение с реальной цифрой 1 177 209 242 304. Это много простых чисел-близнецов.

Большое количество простых чисел-близнецов – это и есть то, что ожидают обнаружить специалисты по теории чисел, какими большими ни были бы эти числа, причем не потому, что мы считаем, будто в простых числах скрыта некая глубинная сверхъестественная структура, а именно потому, что мы так не считаем. Мы исходим из того, что простые числа распределены совершенно случайным образом. Если гипотеза о распределении простых чисел была бы ошибочной, именно это было бы настоящим чудом, подразумевающим, что некая до сих пор неведомая сила отталкивает простые числа друг от друга.

Не хотелось бы слишком углубляться в эту тему, но именно так действуют многие знаменитые гипотезы в теории чисел. Гипотеза Гольдбаха, говорящая, что любое четное число больше 2 можно представить в вид суммы двух простых чисел – это еще одна гипотеза, которая была бы истинной только в случае, если простые числа вели бы себя как случайные величины. То же самое можно сказать по поводу гипотезы Бена Грина и Терри Тао, что последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины (за доказательство этой гипотезы в 2004 году Тао получил Филдсовскую премию).

Самой известной стала гипотеза, которую выдвинул в 1637 году Пьер Ферма. Она гласит, что уравнение

Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ

не имеет решений в целых ненулевых числах A, B, C и n при n большем 2. (Когда n равно 2, это уравнение имеет множество решений, например 3² + 4² = 5².)

Все были убеждены в истинности гипотезы Ферма, точно так же, как сейчас мы убеждены в истинности гипотезы о простых числах-близнецах, но никто не мог доказать это[252]252
  Ферма написал на полях одной из книг примечание, в котором утверждалось, что он знает доказательство, но оно слишком длинное и на полях не уместится. В это до сих пор никто не верит.


[Закрыть], пока в 1990-х годах этот прорыв не совершил математик из Принстонского университета Эндрю Уайлс. Мы были убеждены в этом, поскольку n-е степени целых чисел встречаются крайне редко, и поэтому вероятность обнаружения двух чисел, сумма n-х степеней которых равна n-й степени третьего числа, в случайном множестве столь редко встречающихся чисел близка к нулю. Более того: большинство специалистов убеждены в том, что не имеет решений и обобщенное уравнение Ферма

A^p + B^q = C^r

для достаточно больших значений степеней p, q и r. Банкир из Далласа по имени Эндрю Бил выплатит вам миллион долларов, если вы докажете, что это уравнение не имеет решений, если p, q и r больше 3, и если у чисел A, B и C нет общих простых делителей[253]253
  Это условие может показаться немного надуманным, однако на самом деле существует довольно простой способ найти множество неинтересных решений, если допустить наличие общих делителей у чисел A, B и C.


[Закрыть]. Я абсолютно убежден в истинности этого утверждения, поскольку оно было бы верным, если совершенные степени встречались бы редко, однако я считаю, что нам предстоит узнать о числах нечто совершенно новое, прежде чем мы сможем найти способ доказать это. Мы с коллегами потратили пару лет на доказательство того, что обобщенное уравнение Ферма не имеет решений при p = 4, q = 2 и r большем 4. Только для этого одного частного случая нам пришлось разработать новые методы, которых явно недостаточно для полного решения этой задачи на миллион долларов.

Несмотря на кажущуюся простоту гипотезы об ограниченных промежутках, доказательство Чжана требует ряда самых глубоких теорем современной математики[254]254
  Прежде всего это полученные Пьером Делинем результаты, связывающие средние значения теоретико-числовых функций с геометрией многомерных пространств.


[Закрыть]. Опираясь на работы многих предшественников, Чжан смог доказать, что простые числа выглядят случайными в первом смысле, о котором мы уже упоминали, когда говорили об остатках, полученных после деления на множество различных целых чисел. Исходя из этого[255]255
  Следуя по пути, который проложили Голдстон, Пинц и Йылдырым – последние из математиков, добившихся успеха в работе с простыми числами.


[Закрыть], он смог доказать, что простые числа ведут себя как случайные величины и в совершенно другом смысле, связанном с размером промежутков между ними. Случайное случайно!

Достижение Чжана, наряду с работой других крупных современных ученых в этой области, таких как Бен Грин и Терри Тао, указывает на наличие еще более волнующей перспективы, чем любой отдельный результат в области простых чисел: возможно, в конечном счете мы встали на путь разработки более богатой теории случайности. Собственно говоря, речь идет о способе точного определения того, что мы имеем в виду, когда утверждаем, что числа ведут себя так, будто они разбросаны в случайном порядке без какой-либо организующей структуры вопреки тому, что они возникают вследствие абсолютно детерминированных процессов. Какой замечательный парадокс: то, что помогает нам разгадать последние тайны простых чисел, может оказаться новой математической идеей, которая структурирует саму концепцию бесструктурности.