Текст книги "Черная маска из Аль-Джебры"

Новые открытия Нулика
(Нулик – отряду РВТ)

Здравствуйте, ребята! Ну и работу вы нам задали! Теперь мы только и делаем, что играем в шахматы. Каждый сам смастерил себе доску и фигуры. Играем с утра до вечера – то друг с другом, а то и каждый сам с собой. Но я все-таки успел сделать открытие: по шахматной доске сразу видно, что Карликания и Аль-Джебра друзья. Ведь каждая шахматная клетка имеет свое обозначение, которое состоит из цифр и букв. Например, е5, а4, d8. Разве это не доказательство дружбы?

Задачу с зернами все-таки решили проверить. Конечно, без риса. Просто все стали писать на своих досках, сколько надо положить рисинок на каждую клетку: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… Когда заполнили первый ряд, выяснилось, что одни пишут слева направо, а другие справа налево.

Стали спорить, как надо писать. Положили две доски одну под другой. На одной числа написаны внизу, слева направо, на другой – вверху, справа налево. Числа, одинаково отстоящие от края, оказались друг против друга. Прямо как на палке у фокусника!

Я попробовал сложить каждую пару, но одинаковых чисел не получилось. Понятно: ведь прогрессия-то не арифметическая, а геометрическая! Тогда я их перемножил и сделал второе открытие: все произведения оказались совершенно одинаковые:

1 Х 128 = 128;

2 X 64 = 128;

4 X 32 = 128;

8 X 16 = 128.

Да, теперь я уже не тот Нулик, что прежде. Меня и вправду не узнать. А все ваши письма!

Дальше считать зерна никто не захотел – кому же охота писать такие огромные числа? Но один Нулик задал интересный вопрос: если на шестьдесят четвертую клетку надо положить девять с лишним квинтиллионов зерен, то сколько всего зерен будет на доске, если, конечно, заполнить все клетки?

– Что тут думать! – сказал другой Нулик. – Всего на доске будет зерен два в шестьдесят третьей степени. То есть вот эти девять квинтиллионов.

– Ничего подобного, – возразил третий, – девять квинтиллионов будет только на последней клетке, а на всей доске во много раз больше.

Они заспорили, а я снова посмотрел на свою шахматную доску, где в первом ряду написана геометрическая прогрессия: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. После треугольника Паскаля я вообще стал очень внимательно рассматривать числа – все время ищу закономерности! Вот и сейчас сложил первый член прогрессии со вторым: 1 + 2 = 3. Сумма их оказалась на единицу меньше третьего члена – четверки. Потом я сложил 1 + 2 + 4. Получилось семь. А это на единицу меньше восьми. 1 + 2 + 4 + 8 = 15. И это тоже меньше шестнадцати на единицу. Выходит, сумма всех предыдущих членов этой геометрической прогрессии меньше последующего всегда на единицу. А это значит, что на шестидесяти трех клетках шахматной доски будет столько же зерен, сколько на последней, шестьдесят четвертой, только на одно зернышко меньше. А всего на доске зерен будет в два раза больше, чем на последней клетке, минус единица: 2 * 263 – 1. А это ведь все равно что 264 – 1.

Так я сделал третье открытие. И для этого мне не понадобилось ни писать всю прогрессию до конца, ни умножать девять квинтиллионов с хвостиком на два. Хорошая штука алгебра!

Нулик-Шахматист.

Волшебная практика
(Сева – Нулику)

Мы чуть не опоздали к началу рабочего дня. И все из-за Тани. На стройках, говорит, всегда пыль и грязь. Как бы мне, говорит, там не испортить любимого платья в оборочках. Наконец она появилась в комбинезоне и сапогах, на голове косынка, защитные очки. Прямо хоть снимай для газеты: «Знатная электросварщица Татьяна Н.».

Девчонок хлебом не корми – дай надеть какую-нибудь обновку. Я-то знаю, что не платья ей жалко, – просто захотелось покрасоваться в комбинезоне.

Ну и лицо у нее было, когда она увидела, что строительство больше похоже на ухоженную детскую площадку, где ребята заняты разными техническими играми – пилят, вырезают, конструируют… Только «игрушки» здесь были гораздо крупнее. Кружевные стрельчатые краны легко передвигали в воздухе разноцветные пластикатные детали.

К нам подошла нарядная латинская буква Эф. Она удивленно покосилась на Танин костюм:

– Хотите познакомиться с нашим экспериментальным строительством? Я вас провожу.

Первым долгом поинтересовались, что здесь строят.

– Да все, что угодно, – ответила Эф. – Дома, машины, бассейны…

Мы залюбовались высоким домом из разноцветных кубиков… Он вырос прямо на наших глазах – ни дать ни взять воздушный замок. И как же мне жалко стало, когда этот замок вдруг рассыпался, а на его месте возникло длинное двухэтажное здание с плоской крышей.

– Охота была строить, а потом разрушать! – подосадовал я.

Но Эф объяснила, что здесь не просто строят, а делают расчеты, которые тут же проверяют на практике. Я подумал, что если это и практика, то, во всяком случае, волшебная.

К нам подошел солидный карликан, Девятка.

– Здравствуйте, – обратился он к Эф. – Мы строим дом. Нам надо вырыть котлован для фундамента. Имеются три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй – за три, третий – за двенадцать. Через сколько часов будет готов котлован, если все три экскаватора работают одновременно? Это очень важно! Без этого я не смогу составить график строительства.

– Обратитесь к Главному Составителю, – ответила Эф.

Мы переглянулись.

– Нельзя ли и нам повидать Главного Составителя? – спросила Таня.

– А вы разве умеете решать уравнения? – поинтересовалась Эф.

Таня только покраснела. А я сказал напрямки, что мы об этом понятия не имеем.

– В таком случае вам придется начать с азов! Чтобы решить уравнение, следует прежде всего познакомиться с отрицательными числами.

Ну, это-то мы знали!

Эф облегченно вздохнула:

– Тогда я могу зачислить вас на строительство в качестве практикантов.

– И мы сейчас же начнем составлять уравнения? – брякнул я.

– О, до этого далеко. Сперва придется поработать в весовой.

Что ты скажешь? Опять отсрочка! В кармане лежит готовая задача, а ты, изволь радоваться, работай весовщиком!

Эф заметила, как мне досадно.

– В нашем деле лучше не торопиться, – сказала она, – это верный способ сэкономить время.

Ничего не поделаешь, пошли в весовую. Кстати, я давно не взвешивался. А в этой Аль-Джебре похудеешь!

Сева.

Весовая
(Таня – Нулику)

Что ни говори, Нулик, Аль-Джебра – удивительное государство! Вчера были в современном кафе, сегодня на сверхскоростном строительстве, и вот, не успели опомниться, как попали в гости к древнему восточному кудеснику.

Как ты себе представляешь весовую? Большой амбар, тяжелые неуклюжие весы. У весов – дюжий весовщик в брезентовом фартуке и рукавицах. А вокруг – мешки, ящики, корзины…

Так вот, ничего подобного не было. Нас ввели в полутемный сводчатый зал с тонкими витыми колоннами, такой высоченный, что потолка не видно. Будто над тобой ночное небо, только без луны и звезд. Вместо них в полумраке светятся какие-то закорючки и загогулины. Должно быть, восточные письмена. Посреди зала – большие старинные весы: тяжелые медные чашки, подвешенные на цепях к концам металлического коромысла. Весы тоже сплошь в закорючках и загогулинах. Они парят в воздухе, как большая диковинная птица. А между чашками, словно глазок радиоприемника, сверкает зеленый кошачий глаз.

– Садитесь, – шепнула Эф.

Мы оглянулись: ни стульев, ни кресел. Только несколько пестрых ковриков на полу. Эф уселась на одном из них, скрестив ноги. Мы сделали то же самое.

Бам! Что-то зазвенело – будто стукнулись два медных подноса, – и из темноты вынырнула фигура в длинном черном балахоне с желтыми разводами. На голове – белая шелковая башня. Называется «тюрбан». И борода у него тоже белая и шелковистая.

– Главный Весовщик, – шепнула Эф. – Следите за ним внимательно.

Весовщик приложил руку к сердцу и поклонился. Мы тоже приложили руки к сердцу и поклонились. Потом он взмахнул палочкой, и на каждой чашке весов появилось по Семерке. – обе в светящихся костюмах. Я так на них загляделась – даже не заметила, что в кошачьем глазке засветились две черточки. Эф легонько толкнула меня локтем:

– Это знак равенства. Семь равно семи, – негромко сказала она.

– Уж конечно, не восьми, – фыркнул Сева.

Но тут Весовщик снова взмахнул палочкой, и на правой чашке весов вместо Семерки оказалась Восьмерка. Чашка сразу опустилась. Мы взглянули на зеленый глазок: черточки знака равенства соединились слева и образовали уголок: 7 « 8.

– А вот знак неравенства. Он обозначает, что семь меньше восьми, – пояснила Эф.

Тут Восьмерка и Семерка поменялись местами. Теперь уже опустилась левая чашка. Черточки в кошачьем глазке снова задвигались и соединились правыми концами: 8 » 7.

– Понятно, – сказал Олег, – этот знак показывает, что восемь больше семи. Выходит, там, где палочки сходятся, стоит меньшее число, а там, где они расходятся, – большее.

– Детские игрушки, – проворчал Сева.

Весовщик не обратил внимания на его дерзость. Он взмахнул палочкой, и вот уже вместо чисел на весах засветились буквы: слева а + b, справа с. Между ними загорелся знак равенства: а + b = с.

Но в Севу точно бес вселился! Все ему не нравилось.

– Почему это, – придрался он, – Весовщик думает, что а + b равно с?

– А он вовсе и не думает – он требует этого, – ответила Эф. – Наверное, ему для какой-то задачи понадобилось, чтобы левая часть непременно была равна правой.

– А может быть, он все-таки ошибается? – заупрямился Сева. – Ведь под буквой можно подразумевать любое число! Вот я сейчас попрошу заменить все три буквы числами.

Он встал и подошел к Весовщику. Признаться, я очень испугалась: вдруг Весовщик рассердится и превратит Севу в какое-нибудь неравенство? Но он вовсе не рассердился. Наоборот, прижал руку к сердцу, и вот уже на левой чашке весов вместо буквы а стоит число Четыре, вместо b – Пять, а на другой чашке вместо с – Девятка: 4 + 5 = 9.

Но Сева не унимался.

– Нет, так не пойдет, уважаемый Главный Весовщик! Вы просто поставили те числа, которые вам выгодно. Позвольте, я сам!

Он назвал другие числа. Весовщик улыбнулся и снова пустил в ход свою палочку. Коромысло закачалось, в глазке зажегся знак неравенства. И мы увидели вот что: 6 + 7 « 20.

– Что я говорил! – закричал Сева. – Выходит, а плюс b не равно с.

И тут молчаливый Весовщик не выдержал.

– О неразумный отрок! – заговорил он тонким скрипучим голосом. – Если ты хочешь стать мудрецом, не болтай языком, не подумав. Под буквами действительно можно подразумевать произвольные числа. Но только до тех пор, пока они не связаны знаком равенства. В равенстве а + b = с можно произвольно заменить числами не три, а только две буквы. Величина третьей выяснится сама собой. Замени две из этих букв числами.

Сева подумал, пошевелил губами…

– Пусть а будет равно пяти, а с – двенадцати. На весах появилось выражение: 5 + b = 12.

– Скажи теперь, – улыбнулся Весовщик, – можно ли вместо b подставить любое число?

Но Сева не успел и рот открыть, как на весах вместо буквы b засветилась Семерка: 5 + 7 = 12.

Сева почесал за ухом.

– Да! С этими равенствами не разгуляешься. Зато уж в неравенстве подставляй что душе угодно – так неравенством и останется.

Весовщик укоризненно покачал головой:

– Опять говоришь не подумав. Неравенство неравенству рознь.

Oн взмахнул палочкой. На левой чашке весов появились c + d, на правой е, а между ними – знак неравенства: c + d « e.

Правая чашка весов опустилась.

– Назови вместо этих букв любые числа, – предложил Весовщик.

Сева назвал. И на левой чашке весов мы увидели 4 + 8, а на правой 9. Левая чашка опустилась, и знак неравенства повернулся острием вправо: 4 + 8 » 9.

– Ага! Неравенство сохранилось, – обрадовался Сева.

– Да, – сказал Весовщик, – но теперь левая часть стала больше правой, а не меньше, как мы условились.

– Почтенный Весовщик, – вмешался Олег, – вы хотите сказать, что, подставив в левую часть этого неравенства 4 + 8, справа можно подставить любое число, но при одном условии: оно должно быть больше двенадцати. Тогда левая часть всегда будет меньше правой.

– Вот именно, вот именно! – умилился Весовщик и так закивал головой, что вот-вот борода отвалится! Потом он перестал кивать и взглянул на Севу. Тот стоял надутый, взъерошенный, как воробей после драки.

– Вижу, – сказал Весовщик, – тебе во что бы то ни стало хочется подставлять любые числа под все буквы. Так и быть, попробуй еще разок.

На весах засветилось равенство: 3а + 2b = 2а + 3b – b + а.

– Нет уж, спасибо! – Сева даже руками замахал. – Теперь меня не проведешь.

– Зря отказываешься. В этом примере можно подставлять вместо а и b любые числа, какие вздумается.

Весовщик подставил вместо а Четверку, вместо b – Тройку: 3 * 4 – 2 * 3 = 2 * 4 + 3 * 3 – 3 + 4.

И сейчас же числа эти исчезли, уступив место числу 18 на каждой чашке весов: 18 = 18.

Сева растерянно поморгал глазами. Опять он попал впросак. Но почему?

– Да потому, – ответил Весовщик, – что это равенство особое. Оно называется тождеством. Какими числами ни заменяй буквы в тождестве, равенство все равно сохранится.

– Но как отличить тождество от обычного равенства, не подставляя чисел вместо букв? – спросила я.

– Для этого надо обе части равенства сделать совершенно одинаковыми. Смотрите!

Мы увидели на весах прежнее тождество: 3а + 2b = 2а + 3b – b + а.

Тут Весовщик протянул руки к правой чашке весов и как закричит:

– Подобные, приведитесь!

И сейчас же 2а в правой части соединились еще с одним а, 3b, из которых вычли одно b, превратились в 2b, и на весах образовалось другое выражение: За + 2b = 3а + 2b.

Покончив с тождеством, Весовщик взмахнул палочкой, и на ней очутился металлический обруч. С таким у нас занимаются художественной гимнастикой.

Я чуть не фыркнула: неужели Весовщик собирается танцевать с обручем? Вот будет весело! Но танцевать он не стал, а достал веревочку и измерил ширину круга в самом его широком месте.

– Эта ширина называется диаметром круга, – пояснил он. Хотя кто же этого не знает?

Потом Весовщик стал укладывать этот веревочный диаметр по обручу, чтобы измерить длину окружности. Сделал отметку, уложил веревочку один раз, второй, третий, но до отметки все еще не дошел. Выходит, длина окружности больше, чем три ее диаметра. Весовщик стал откладывать веревочку в четвертый раз, но ее оказалось слишком много. На глаз получалось, что надо отложить только одну пятую веревочки. Весовщик отрезал одну пятую, но и этот кусочек оказался длиннее, чем нужно. Значит, длина окружности меньше чем три и одна пятая диаметра.

Тогда Весовщик разрезал этот кусочек веревки пополам, и он стал равен одной десятой диаметра. Но теперь его не хватило до отметки. Значит, длина окружности меньше чем три и одна пятая, но больше чем три и одна десятая диаметра.

Долго Весовщик возился с этой задачей, а потом улыбнулся и сказал:

– О мои юные друзья, я пошутил. Я и раньше знал, что решить эту задачу точно невозможно. Мне только хотелось, чтобы вы убедились в этом сами. Во сколько раз длина окружности больше своего диаметра, можно подсчитать только приближенно. Вычислите это число с точностью хоть до миллиона знаков, оно все равно не будет совершенно точным.

– Значит, это – иррациональное число? – спросил Олег.

– Конечно! – подтвердила Эф. – Мы можем указать, где оно живет на монорельсовой дороге, но выразить его точным числом нельзя. В Аль-Джебре его обозначают греческой буквой Пи. Смотрите, вот оно.

На левую чашку весов вспорхнула буковка, слегка напоминающая русское «п», а на правой появилось число 3,14.

– Число Пи приближенно равно трем целым и четырнадцати сотым, – объяснил Весовщик.

Он взмахнул палочкой. Чашка с буквой Пи чуть-чуть опустилась, а в кошачьем глазке появились две волнистые линии:

– Это знак приближенного равенства, – пояснила Эф. – На самом деле Пи немножко больше чем 3,14. Поэтому левая чашка слегка перевешивает.

Снова стукнулись два медных подноса, и Главный Весовщик исчез. Прямо-таки растаял.

– Перерыв на пятнадцать минут! – объявила Эф.

Как ты думаешь, может, и мне объявить небольшой перерыв?

Таня.

Аль-Джебр!
(Сева – Нулику)

Знаешь, Нулик, напрасно я злился на этого Весовщика. Он даже почище фокусника. Фокусников и у нас пруд пруди. А настоящего живого чародея днем с огнем не сыщешь.

В перерыве я подговаривал ребят смыться. Сколько можно возиться с неравенствами, равенствами и всякими Пи? Пришли составлять уравнение, так чего там!… Но Олег сказал, что сперва неплохо бы выяснить, что такое уравнение. Ах да! Я и позабыл.

Снова стукнулись медные подносы, вернулась наша Эф, и мы опять уселись на коврики.

Только я хотел спросить, где же Весовщик, а он уж тут как тут! Сидит под весами, словно никуда не исчезал.

Весовщик взмахнул палочкой, и над каждой чашкой весов появилось по числу 14. В глазке засверкал знак равенства.

«Здравствуйте! – подумал я. – Все сначала!»

Но я ошибался. Кроме чисел 14, на каждой чашке весов появилось по Пятерке: 14 + 5 = 14 + 5.

Чашки не дрогнули, глазок по-прежнему показывал равенство. Потом вместо этих чисел на весы стали две суммы: а + b = с + d.

И снова подле каждой из них засветились одинаковые числа, на этот раз Тройки: a + b + 3 = c + d + 3.

Чашки не шелохнулись.

– Видите, – сказал Главный Весовщик, – если к обеим частям прибавить по одинаковому числу, равенство не нарушится. Понятно, что можно не только прибавить, но и вычесть по одинаковому числу. Можно умножить обе части или разделить их на одинаковые числа, – равенство все равно сохранится.

– А если прибавить не числа, а одинаковые буквы? – спросил я.

– На здоровье! – ответил Весовщик. – Ведь буква – то же число. Вот смотрите.

Теперь к суммам на весах прибавились буквы n. Равенство не исчезло: a + b + 3 + n = c + d + 3 + n.

Ox, и заскучал я от этих равенств, даже спать захотелось! Но тут случилось такое, что сон с меня как ветром сдуло.

На левой чашке весов засветилась буква, на которую я до сих пор и внимания не обращал, – Икс из латинского алфавита: x. Ты ее знаешь, она точь-в-точь знак умножения или русское Ха. Ставь ее на голову, поворачивай спиной – со всех сторон одинаковая! Рядом с Иксом засветилась Тройка, между ними вспыхнул знак минус, а на правой чашке весов оказался твой тезка, Нулик: х – 3 = 0.

В кошачьем глазке появился знак равенства и… Только не пугайся! Икс быстро обернулся (он, оказывается, стоял к нам спиной), и мы увидели, что на нем черная маска. Вот так история! Подумать только, под Черной Маской скрывается Икс!

Тут мы все повскакали, бросились к этому Иксу, схватили его за руки – а вдруг опять убежит? А он и не думает убегать. Стоит себе, глазами хлопает.

– В чем дело? – спрашивает. – Мы как будто незнакомы.

– Как? Разве не вы та самая Черная Маска, которая подбросила Нулику зеленый стручок? И разве не вас мы должны расколдовать?

– Нет, я не тот, кого вы ищете. Ведь в Аль-Джебре нас, Иксов, как капель в море. Этой буквой обозначается неизвестное число.

Пришлось нам извиниться и вернуться на свои коврики. Но кое-что мы все-таки разузнали: Черная Маска – неизвестное число.

А Весовщик продолжал как ни в чем не бывало:

– Перед вами равенство х – 3 = 0. Но оно немного отличается от тех, что я вам показывал до сих пор. Это не тождество, не просто равенство, а уравнение первой степени.

«Давно бы так!» – подумал я.

– В чем его особенность? – продолжал Весовщик. – Если в тождестве можно заменить любыми числами все буквы, а в обычном равенстве – только некоторые, то в уравнении первой степени вместо буквы Икс может стоять только одно-единственное число. Иначе равенство нарушится. Найти это единственное неизвестное число и значит решить уравнение. Пока уравнение не решено, никто не знает, чему равен Икс. Потому-то он и надевает черную маску. Стоит решить уравнение, и маска упадет сама собой.

С этой минуты скуки моей как не бывало. Я вдруг понял, что все, что мы до сих пор узнавали в Аль-Джебре, нужно, чтобы решить уравнение и расколдовать Черную Маску. Не зря мы дрожали от страха в темном подземелье, не зря торчали на воздушной монорельсовой дороге, корпели над шифром в «Абракадабре», не зря и сейчас слушаем этого кудесника с белой башней на голове. А в том, что он кудесник, можешь не сомневаться. Разве простой человек заставил бы меня полюбить то, что я терпеть не мог?

Теперь Весовщик говорил, а я смотрел ему в рот, боялся словечко пропустить.

– Как же решается уравнение х – 3 = 0? Это очень простое уравнение. Чтобы решить его, достаточно, пожалуй, одного заклинания.

Он распахнул руки в широченных шелковых рукавах и завопил:

– Аль-джебр!

– Аль-джебр, аль-джебр! – отозвалось где-то наверху. И сейчас же на весах появилось равенство: х – 3 + 3 = 3.

– Вы уже знаете, – пояснил Весовщик, – если прибавить к обеим частям равенства по одинаковому числу, ничего не изменится. Вот я и поставил на каждую чашку весов по числу Три.

Но тут обе Тройки слева от знака равенства исчезли.

– Куда это они? – удивился я.

– Неужели ты забыл правила движения на монорельсовой дороге? Минус Три и плюс Три – числа с разными знаками. Значит, они взаимоуничтожаются. Получается, что Икс равен Трем:

На весах появилось новое равенство: х = 3.

Черная маска, закрывавшая лицо Икса, свалилась. Икс низко поклонился и убежал.

– Занятно! – Олег задумчиво поглядел на весы. – В уравнении х – 3 = 0 Тройка была на левой чашке весов. Теперь она очутилась на правой.

– Правильно, – подтвердил Весовщик. – Но слева она была со знаком минус, а справа оказалась со знаком плюс. Хоть он там и не стоит, но подразумевается.

– Зачем же тогда добавлять к обеим частям уравнения по Тройке? – сказал Олег. – Можно ведь просто перенести Тройку с левой чашки весов на правую, только с обратным знаком.

– Твои слова для меня как мед! – поклонился Весовщик. – Именно так и решают уравнения. А Тройки я прибавил лишь затем, чтобы вы поняли, почему можно переносить число с одной стороны на другую. Да будет вам известно, что перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую называется восстановлением. Название это осталось у нас с тех самых пор, когда отрицательные числа считались бессмысленными. Перенос отрицательного числа в другую часть равенства с обратным знаком как бы восстанавливал его в правах, превращал в положительное число. Восстановление – по-арабски «аль-джебр». Это волшебное слово завещал нам великий ученый Мухаммед ибн Муса аль-Хварезми. Оно есть в заглавии написанной им книги, которая положила начало нашему государству и называется «Книга восстановлений и противопоставлений».

Он указал на светящиеся в полумраке арабские письмена и прочитал: «Китаб аль-джебр валь-мукабала».

– Большое вам спасибо, – сказал Олег. – Что такое восстановление, мы как будто поняли. Но что такое противопоставление?

Тут снова стукнулись медные подносы. Весовщик загадочно улыбнулся и растаял в темноте. Мне послышался голос мамы Двойки: «Всякому овощу свое время!» С тех пор как мы здесь, эта пословица так и звенит у меня в ушах!

Даже не верится: неужели настанет день, когда мы сядем рядом, возьмем задачу зеленого стручка и решим ее сами, без всяких провожатых и весовщиков?

Сева.