Текст книги "Черная маска из Аль-Джебры"

Вверх-вниз!
(Олег – Нулику)

Что ты скажешь, Нулик, не дают нам лететь вперед сломя голову!

Вышли из весовой, спрашиваем у Эф:

– Когда начнем составлять уравнения?

А она:

– Сперва научитесь решать.

– Вот те раз! Сперва решать, а составлять потом?

– В Аль-Джебре считают, что так целесообразней.

Что ж, решать так решать. Чем скорее, тем лучше.

– Как раз наоборот, – отвечает Эф, – чем скорее, тем хуже. На сегодня довольно. Ваш рабочий день кончился. Отдохните, а завтра приходите снова.

И мы пошли отдыхать. В общем, это не так уж плохо, особенно если под боком Парк Науки и Отдыха.

В парке, как всегда, было полно народу.

Стали думать, куда пойти. Сева непременно хотел посмотреть что-нибудь новенькое. Тане не терпелось опять побывать у силомера. Но я их помирил: предложил пойти к силомеру и все-таки увидать кое-что новое. Потому что мы ведь не успели заглянуть в колодец, где живут отрицательные числа!

Когда мы подошли к молотку, какой-то чудак возводил в квадрат квадратные корни. Задумает, например, корень квадратный из трех и возведет его в квадрат. Понятно, ничего, кроме трех, при этом получиться не может. Потому что извлечение корня и возведение в степень – действия взаимоуничтожающиеся.

√(32) = 3.

Представь себе, что к какому-нибудь числу прибавили пять и тут же снова вычли. От этого число не изменилось.

Точно так же не изменится число, если из него сперва извлекут корень квадратный, а потом снова возведут в квадрат.

Покончив с квадратными корнями, чудак стал возводить в третью степень корень третьей степени из пяти и, конечно, получил пять: 3√(53) = 5.

Он долго стучал молотком, и каждый раз зажигалась зеленая лампочка.

Сева спросил у него, зачем он зря тратит время. Чудак неодобрительно хмыкнул:

– Погостите у нас – узнаете, что без этого иной раз не проживешь.

Наконец он устал и отошел в сторону. А молоток взяла крохотная буковка Вэ – v. Она возвела в квадрат число 41. Гирька взлетела высоко-высоко, к числу 1681, и зажглась зеленая лампочка. Малютка Вэ запрыгала от радости: ничего, мол, что росточком не вышла, зато гирьку вон куда забросила!

Подошла очередь Севы.

– Дайте-ка мне возвести в квадрат отрицательное число. Возведу, а потом загляну в колодец. Только гирьки, пожалуй, там и не увидишь. Ведь чем больше число, тем глубже она уходит в колодец. А я возьму число не маленькое. Ну, хотя бы минус сорок один. Насколько я понимаю, минус сорок один в квадрате равно минус тысяче шестистам восьмидесяти одному.

Кругом зашептались. Сева стукнул молотком, гирька ушла вниз. Мы заглянули в колодец: где-то там, в темной глубине, зажглась красная лампочка.

– В чем дело? – всполошился Сева. – Что-нибудь не так?

– Конечно, – пропищала крошка Вэ, – вы забыли переменить знак. Ведь отрицательное число, возведенное в квадрат, становится положительным.

Сева схватился за голову.

– Какой же я осел! Ведь возвести в квадрат – значит помножить число само на себя! А минус на минус дает плюс.

Он отошел, уступив место Тане.

Она возвела в квадрат минус три. Получилось плюс девять. Гирька подскочила и загорелся зеленый огонек. Потом Таня возвела минус три в третью степень. Получилось минус двадцать семь. Гирька ушла в колодец, и там снова вспыхнула зеленая лампочка.

– Дай-ка мне!

Я взял у Тани молоток и стал возводить минус три в четвертую степень, пятую, шестую, седьмую…

Гирька по очереди то подпрыгивала все выше и выше, то уходила все глубже в колодец. И каждый раз загорался зеленый огонек. Тут-то я и понял, что, когда отрицательное число возводишь в четную степень, ответ получается положительный, а когда в нечетную – отрицательный. Хочешь знать почему? Возьми карандаш и разберись сам.

Наконец мы решили, что достаточно углубили свои знания в колодце, и отправились дальше.

По дороге нам повстречалась старая знакомая – та самая Мнимая Единичка, которая спрашивала у автомата, найдется ли ей место в жизни. Мы ее сразу узнали по маленькому красному зонтику.

– Здравствуйте, как поживаете?

– Отлично, – ответила она. – Автомат сказал правду: и Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.

– Неужели вы нашли себе место на воздушной монорельсовой дороге?

– Конечно, но не на той ветке, где живут действительные числа. У нас, Мнимых Единиц, собственная дорога. Она пересекает воздушную монорельсовую как раз на Нулевой станции.

– Как же мы ее не заметили? – спросил Сева.

– Так ведь наша дорога мнимая и не сразу бросается в глаза.

– Жаль, что не сразу! – сердито отрезал Сева. – Теперь придется возвращаться, чтобы посмотреть на нее.

– Возвращаться к старому иногда полезно, – заметила Мнимая Единичка. – Но с небольшим кусочком мнимой дороги вы можете познакомиться и здесь. В парке построен новый аттракцион. Он называется «Мнимая карусель». Я там работаю. Хотите взглянуть?

Хотим ли мы взглянуть на карусель, да еще мнимую? Как ты думаешь?

Олег.

Мнимая карусель
(Таня – Нулику)

Вот тебе, Нулик, наши последние новости.

По дороге к аттракциону все чаще мелькали рекламные плакаты:

ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ!

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЛЯ МНИМЫХ ЕДИНИЦ!

ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО,

ГДЕ МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ МОГУТ СТАТЬ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ!

Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!

Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу интересного.

Оказывается, Мнимая Единица – это просто-напросто корень квадратный из отрицательной единицы: √—1.

– А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? – спросил Сева. – Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.

– Ой-ой-ой! – ужаснулась Мнимая Единичка. – Это касается только положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем, из девяти?

– Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось бы девяти, – ответил Олег. – Это число три.

– Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат дает минус единицу!

Мнимая Единичка тоненько засмеялась.

Сева озадаченно взъерошил волосы:

– М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ все равно получится положительный. Уж я-то знаю!

– Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.

– Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно.

– Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится все та же Нулевая станция.

– Раз у вас есть Нулевая станция, значит есть положительные и отрицательные числа?

– Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое – знаком минус.

– Но как же мнимые числа отличают от действительных?

– С помощью буквы i: 2i, 5i, —8i, —12i.

– Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?

– Конечно.

– А где же ваш коэффициент? – ляпнул Сева.

И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо еще, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.

– Мой коэффициент – единица, и он, как всегда, невидимка.

Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!

– Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чем здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идет по прямой, а карусель-то кружится?

– Вы отчасти правы, – ответила Мнимая Единичка. – Правила движений у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа; 2i + 3i = 5i; 8i – 15i = – 7i, или вот еще: —3i + 9i = 6i, ну и конечно: 5i – 5i = 0.

Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.

Иное дело – умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.

Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.

Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре – арена, ее под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах ее укреплены таблички +1 и —1. Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички +i и —i. На пересечении дорог, в центре арены, – Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на нее (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.

Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С нее легко соскочила Мнимая Единица с зеленым зонтиком. Вместо нее на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с желтым зонтиком.

Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:

– К возведению в степень приготовиться!

Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!

Мнимая Единица с желтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички —1 и превратилась в действительное число – Отрицательную Единицу.

Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и – невероятно! – опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да еще положительную. А потом как ни в чем не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.

Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и все началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица все превращалась и превращалась.

– Не понимаю, – сказал Сева. – Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная – опять в Мнимую… Как это?

– На то и возведение в степень! – отозвалась Мнимая Единичка. – Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i = √—1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?

– Подкоренное число, – ответил Олег.

– Так это же мы недавно видели! – вспомнил Сева. – Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трех, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.

– То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i2 = i * i = (√—1)2 = —1.

– Ну, это понятно. А как же действительное число – минус единица превращается в мнимое?

– При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i3 = i2* i.

А это ведь все равно что умножить минус единицу на i: —1 * i = —i.

– Теперь, – сказал Олег, – нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом —i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвертую степень: i4 = i2 * i2

А это можно представить себе и так: —1 * —1 = +1.

– Прекрасно! – воскликнула Мнимая Единичка. – Остается выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.

В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.

– Не может быть! i5 равно i?! – растерялись мы. – Что же это такое?

– Да ничего особенного: i4 = 1. Чтобы получить i5, умножим единицу на i. А это ведь все равно что i, взятое один раз, то есть просто i: 1 * i = i.

– Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвертую степень? – удивился Олег.

– Отчего же! – возразила Мнимая Единичка. – Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!

Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i17?

– Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, – сказала Мнимая Единичка. – Значит, i в девятой тоже равно i…

– Понимаю! – перебил Сева. – Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i13 равно i, значит, i17 тоже равно 1.

Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i24? А чтобы вам легче было, загляните в чертеж мнимой карусели.

Долго еще любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:

– Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!

– Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.

– А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? – спросил Олег. – Два i, три i, четыре i?

– На нашей карусели вы этого не увидите, – сказала Мнимая Единичка. – Да оно и к лучшему. Это очень сложный вопрос. Нельзя же все сразу…

– Всякому овощу свое время? – подмигнул Сева.

– Пожалуй, – улыбнулась Мнимая Единичка.

Мы поблагодарили ее и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу хлопать себя по лбу.

– Извините, пожалуйста, – сказал он, обернувшись, – а зачем вообще нужны мнимые числа?

– Это вы поймете, когда начнете решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.

– На что нужны уравнения с мнимыми ответами? – буркнул Сева.

– Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов… Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.

– Но почему же тогда вас называют мнимыми?

– По привычке, – грустно ответила буковка i. – Так нас окрестил французский ученый Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.

– Например, «необходимые числа», – сказал Олег.

– О! Это было бы чудесно! – вздохнула Мнимая Единичка.

Мы еще раз попрощались и ушли. На этот раз совсем.

Таня.

Аль-Мукабала!
(Сева – Нулику)

Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживешь в Аль-Джебре – не то еще узнаешь!

Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока еще первой степени. Но и это не так уж мало.

Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как-нибудь вручную, а подъемными кранами. Механизация!

Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. Жирафы то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, все, что понадобится.

Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.

Что нам бросилось в глаза, – это иксы. Их здесь видимо-невидимо. Ведь там, где решают уравнения, без иксов не обойтись.

Эф не отпускала нас ни на шаг. Наверное, боялась, как бы кого не ушибло краном, хотя везде и так развешаны плакаты:

ПОД КРАНОМ НЕ СТОЯТЬ!

Во время аль-джебры и аль-мукабалы к уравнениям не подходить!

Высоко-высоко, в кабинке крана, сидела молоденькая крановщица – буква Ка. Она передвигала рычаги и зорко следила за регулировщицей Эр. Та стояла внизу. В каждой руке – по флажку. Ими она указывала крановщице, куда двигать кран.

Под краном чинно стояли Икс в черной маске, Двойка и Шестерка. Они образовали такое уравнение: х – 2 = 6.

Регулировщица медленно опустила один флажок, и так же медленно наклонил свою жирафью шею кран с большим крюком на конце. Крюк осторожно подцепил Двойку, которая торопливо прихватила свой минус. Регулировщица помахала флажком, и кран замер. Потом она крикнула: «Аль-джебр!» – прямо как у нас кричат «майна» или «вира». И вот уже Двойка с минусом заболтала ножками в воздухе и поплыла к правой части уравнения.

Когда она поравнялась со знаком равенства, регулировщица скомандовала: «Переменить знак!» Двойка быстро положила минус в карман и вынула оттуда знак плюс. И вот уже она рядом с Шестеркой в правой части равенства: х = 6 + 2.

А через секунду вместо этого мы увидели: х = 8.

Черная маска упала, Икс поднял ее, низко поклонился Ка и Эр и скрылся. А мы перешли к другому крану. Там уже стояло такое уравнение: 3х + 6 = 12.

Снова крановщица нажимала на рычаги, снова регулировщица махала флажками, кричала: «Аль-джебр!» – и скоро под краном появилось вот что: 3х = 12 – 6.

Мы переглянулись.

– В чем дело? – спросила Эф. – Что-нибудь непонятно?

– Непонятно, – признался Олег. – До сих пор нам показывали только такие задачи, где отрицательное число переносится из левой части равенства в правую и превращается в положительное. Действие это называется «аль-джебр», по-нашему – восстановление. На этот раз в левой части равенства было положительное число шесть, и его перенесли в правую часть со знаком минус. При чем же здесь восстановление?

– Законный вопрос, – развела руками Эф. – Но вспомните, что «аль-джебр» – слово, пришедшее к нам из далекой древности. А древние слова по дороге часто теряют свое первоначальное значение. Взять хоть слово «чернила». Поначалу чернила были только черные. Сейчас есть и красные, и зеленые, и синие, и фиолетовые. Но никто же не называет их ни краснилами, ни синилами!

– Как интересно! – сказала Таня. – Таких слов, наверное, много.

– Перочинный ножик! – вспомнил я. – Раньше им перья чинили, а теперь карандаши.

– Правильно! – сказала Эф. – То же самое случилось и со словом «аль-джебр». Мухаммед ибн Муса применил его тогда, когда отрицательные числа были бесправными. Перенося их в правую часть равенства с положительным знаком, он восстанавливал их в правах. Но отношение к отрицательным числам давно уже переменилось. И теперь понятие «аль-джебр» расширилось. Оно означает не только перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую с положительным знаком, но и вообще перенос любого числа с обратным знаком. Но вернемся все-таки к нашему уравнению, – закончила свою речь Эф.

Мы посмотрели на площадку. Там теперь вместо 3х = 12 – 6 стояло: 3х = 6.

Странное дело: уравнение решено, а на Иксе по-прежнему черная маска.

– Ошибаетесь, – сказала Эф. – Решить уравнение – значит вычислить, чему равен один икс. Мы же пока знаем, чему равны три икса.

– Ну, это нетрудно, – сказал Олег. – Чтобы вычислить икс, надо шесть разделить на три.

И словно в ответ на его слова, кран приподнял число Шесть над землей и плавно опустил на двухэтажную тележку. Потом крюк подцепил коэффициент при Иксе – Тройку, перенес ее в правую часть равенства и поставил под числом Шесть: х = 6/3

Тележку быстро откатили, и на месте дроби 6/3 появилась Двойка: х = 2.

– Э-э, нет, – запротестовал я, – так не годится. Ведь числа переносятся в правую часть равенства с обратным знаком. Почему же это Тройку перенесли с тем же?

– Да потому, что в этом уравнении Тройка не слагаемое, а коэффициент при Иксе. А коэффициент – это множитель, не так ли? Коли три в левой части множитель, так в правой оно превращается в делитель. Стало быть, правило сохранилось, потому что деление и умножение такие же обратные действия, как сложение и вычитание.

Не удается мне их подловить на ошибке. Пришлось прикусить язык и вместе со всеми перейти к следующему уравнению. Его решал уже не один, а два крана. В каждом сидела крановщица. А регулировщица, как и прежде, была всего одна. Наверное, многостаночница. Уравнение было такое: 6х – 7 = 2х + 8 – x.

На этот раз регулировщица дала команду подлиннее: «Аль-джебр! Аль-мукабала!». И сейчас же один кран подцепил все иксы справа вместе с коэффициентами и перенес с обратными знаками в левую часть уравнения. В то же время второй кран подхватил Семерку с минусом и перенес в правую часть. При этом Семерка тоже переменила знак минус на плюс: 6х – 2х + х = 8 + 7.

Потом регулировщица (точь-в-точь как Главный Весовщик) скомандовала: «Подобные, приведитесь!» – и вместо прежнего выражения перед нами очутилось новое: 5х = 15.

Что было дальше, ты, уж наверное, сам догадался. Под краном появилось: х = 3, и черная маска упала.

– Скажите, – спросила Таня, – почему это в первый раз регулировщица кричала только «аль-джебр», а теперь прибавила какую-то алькула… альбума…

– Аль-мукабалу, – подсказала Эф.

– Да, да, аль-мукабалу!

– Так ведь это и есть противопоставление. То самое действие, о котором не успел рассказать Главный Весовщик.

– Что же здесь противопоставляется?

– Неизвестные – известным. Все иксы переносятся в левую часть уравнения, все свободные числа – в правую.

И тут мне невтерпеж стало. Восстановление, противопоставление… А где же составление? Когда мы до него доберемся?

И в эту самую минуту Эф сказала:

– Ну, теперь, пожалуй, можно бы перейти к составлению уравнений…

– Ура! – выпалил я.

Эф посмотрела на меня хитрыми глазами:

– А может, все-таки решить еще одно?

Я даже зубами заскрипел: издевается она надо мной, что ли? Но сдержался. Если хочешь научиться терпению, приезжай в Аль-Джебру, Нулик. Здесь из тебя сделают человека.

И мы пошли решать новое уравнение. Оно было какое-то чудное: 4ах – 7с = b + с – 2ах.

– Ты что-нибудь понимаешь? – спросил я у Тани вполголоса.

Зря спрашивал. Разве она сознается?

– Вас, наверное, смущает выражение 4ах? – сказала Эф. – Ничего особенного в нем нет. Икс – неизвестное, 4а – коэффициент при Иксе. Ведь под а можно подразумевать любое число. Скажем, семь. Тогда числовой коэффициент при Иксе равен: 4 * 7 = 28.

Вот и вся премудрость.

И опять регулировщица скомандовала: «Аль-джебр! Аль-мукабала!» – задвигались краны, и мы увидели вот что: 4ах + 2ах = b + с + 7с.

Потом она закричала: «Подобные, приведитесь!» – и вместо прежнего выражения появилось новое: 6ах = b + 8с.

Мы с интересом ждали, что же дальше? И дождались: x = (b + 8c) / 6a

– Дудки! – сказал я. – Какое же это решение? Маска с Икса нипочем не свалится.

Но маска все-таки свалилась.

– Вы привыкли, что Икс равен числу, – улыбнулась Эф. – Но не забывайте, где вы находитесь. Ведь главный девиз Аль-Джебры…

– Упрощение и обобщение! – сказали мы хором.

– Правильно. Вот в этом решении и собраны все возможные ответы при любых числовых значениях а, b и с. Замените буквы какими угодно числами, и вы убедитесь, что я права.

Вот, когда я наподставлялся в свое удовольствие! Это было так здорово, что ребята чуть не силком оттащили меня от этого занятия.

Мы пошли дальше. По дороге Таня все время ворчала:

– Несуразный ты человек! То покоя не давал – торопился составлять уравнения, а теперь, когда уже можно составлять, тебя отсюда калачом не выманишь!

Я, конечно, мог бы ей ответить как следует, но промолчал. Мужчина я или кто?

Сева.