Текст книги "Красота физики. Постигая устройство природы"

Гора Ньютона

В «Началах» Ньютона[28]28
  Cм., напр.: Ньютон И. Математические начала натуральной философии. – М.: Наука, 1989.


[Закрыть] есть множество геометрических чертежей и несколько численных таблиц, но только один рисунок (илл. 17). На мой взгляд, это самый красивый рисунок во всей научной литературе.

Очевидно, что если рассматривать его просто как произведение живописи, то этот рисунок является скромным достижением. Красивым его делают идеи, которые открывают дорогу нашему воображению. Это приглашение к мысленному эксперименту, который предполагает, что падающие на Землю объекты и двигающиеся по орбитам в космосе небесные тела ведут себя одинаково, т. е. указывает на возможность существования всеобщей силы притяжения.

Илл. 17. Гора Ньютона – великий мысленный эксперимент

Вы стоите на вершине горы и горизонтально – параллельно поверхности Земли – бросаете камень. Если при броске вы придадите ему небольшую скорость, то до того, как упасть, он пролетит небольшое расстояние. Если вы бросите камень с большой скоростью, то он пролетит дальше. На практике ни один смертный не может бросить камень достаточно сильно, чтобы он пролетел какую-либо значительную часть длины окружности Земли. Не важно – это мысленный эксперимент, и вам позволено заменить физическую силу умственной. Бросайте сильнее. Своим внутренним взглядом вы видите, что конец траектории начинает приближаться к ее началу, как показано на рисунке.

И тогда, если вы бросите камень еще сильнее, вам придется пригнуться – или камень ударит вас по затылку! Уклонившись от него, вы сможете увидеть, как камень повторит свое движение, поскольку он вышел на круговую орбиту. (Сопротивление воздуха? Помилуйте, это мысленный эксперимент!) Вы можете мысленно располагать себя на вершинах воображаемых гор и проходить тот же логический путь, чтобы увидеть возможность тел обращаться по орбите Земли на любом расстоянии от поверхности под воздействием ее тяготения.

Вы можете представить себе действительно высокую гору и действительно большой камень… И, когда камень выйдет на орбиту, назвать его Луной.

Я называю изображенное на рисунке тело Землей, но оно нарисовано обобщенно, с едва намеченными деталями поверхности, а гора находится в нереалистичной пропорции к планете. Дело тут именно в том, что этому телу не обязательно быть Землей. Тот же самый мысленный эксперимент может быть приложен к Солнцу и объяснять, каким образом притяжение Солнца удерживает планеты на своих орбитах. Или к Юпитеру, объясняя, как его притяжение удерживает на орбитах галилеевы луны.

Идея всеобщего притяжения, действующего между самыми разными телами, уводит этот эксперимент далеко от того, насколько мы (или Ньютон) имеем право расширить подобный повседневный опыт – падающий на Землю камень, – который запускает работу нашего воображения. Мысленные эксперименты ничего не доказывают! Но они могут предложить плодотворные пути, по которым можно провести более тщательное исследование. Если воображаемый вывод мысленного эксперимента кажется логичным, это хорошо. Лучше, если он прекрасен. Ну а если же вы получили больше, чем имели на входе, то это совсем замечательно. Гора Ньютона дает это все.

Существует знаменитая легенда, видимо, берущая свое начало в каких-то написанных на скорую руку воспоминаниях пожилого Ньютона, что он начал размышлять о возможности наличия всемирного тяготения, увидев, как яблоко упало на землю неподалеку от его дома в Вулсторпе. В его собственноручных записях никакого яблока нет, а есть только эти строки:

…Я начал размышлять о притяжении, простирающемся до орбиты Луны и дальше (обнаружив, как оценить силу, с которой шар вращается внутри сферы и оказывает давление на поверхность сферы). Из закона периодов обращения планет Кеплера… я вывел, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, должна аналогично соотноситься с квадратами расстояний от центра, вокруг которого они вращаются, с помощью этого сравнил Луну на ее орбите с силой притяжения на поверхности Земли и нашел, что они подходят очень хорошо.

Действительно ли падающее яблоко навело Ньютона на эти размышления или нет, но в самом явлении его падения пищи для размышлений немного. Я думаю, что что-то подобное Горе́ Ньютона стало тем пониманием, которое сделало силу всемирного тяготения убедительным для Ньютона образом.

Я также считаю, что существует вполне возможный путь от мысли о яблоке, как вспышке внутреннего озарения, который ведет к Горе как к ее развитию. Эта мысль проста, но очень красива. Если мы подумаем о влиянии Земли, «простирающемся до орбиты Луны и дальше» как о тяготении, которое объясняет нахождение Луны на орбите, мы предположим связь между двумя видами движения, которые кажутся очень разными. Сила притяжения, как ее можно наблюдать на Земле, – скажем, глядя на яблоки, – это процесс падения, направленный к центру Земли. Движение Луны по орбите Земли – это, на первый взгляд, что-то совершенно иное. Суть мысленного эксперимента с Горой тем не менее состоит в том, чтобы показать, что движение по орбите – это процесс постоянного падения, но (с точки зрения камня) направленного к постоянно движущейся мишени! И вы можете видеть на рисунке, что в каждой точке круговой орбиты направление скорости камня параллельно поверхности Земли (т. е. в данном конкретном месте оно «горизонтально»), в то время как орбиты, лежащие внутри круговой, загибаются к поверхности. Увидев с нашей точки зрения, т. е. с вершины Горы Ньютона, что движение по орбите – это форма падения, мы можем связать Луну с яблоком.

Даже самые лучшие мысленные эксперименты не доказывают ничего. Перед нами открывается путь от вида, открывшегося с Горы Ньютона, к точной математической теории, к которой он стремился. Это путь через новое измерение – через время, понимаемое по-новому.

Кривые на рисунке с Горой Ньютона – это траектории. Каждая является совокупностью точек, которые занимает тело (наш камень) в последовательные моменты времени. Конечно, сами по себе они не являются ни телами в пространстве, ни физическими объектами в прямом смысле слова. Тем не менее траектории определяют геометрические объекты и являются – как мы увидим далее – основанием для понимания физики движения. Чтобы правильно понять их, давайте посмотрим, где они живут.

Отдельно взятая траектория несет в себе некоторую информацию о движении отдельного тела, но из одной только кривой мы не сможем выяснить, когда именно тело прошло по различным частям этой кривой. Мы можем расположить на точках кривой отметки о времени, восстанавливая недостающую информацию. Но это становится неудобным, если мы хотим рассмотреть сразу несколько траекторий, потому что любой промежуток времени соответствует целому винегрету точек, по одной на каждой территории, и их рисунок с течением времени меняется. Гораздо лучше рассматривать время как еще одно измерение. Траектории чувствуют себя как дома в расширенной концептуальной вселенной пространства-времени. Чтобы выявить существенно важную природу этого принципиального нововведения, давайте возьмем более простую ситуацию, чем Гора Ньютона, а именно – парадокс Зенона о гонке между Ахиллом и черепахой. Во-первых, отметим, что здесь траектории в пространстве представлены как две частично перекрывающие друг друга прямые линии – не очень информативно! Поднявшись на наблюдательный пункт пространства-времени, мы можем еще раз представить себе гонку между Ахиллом и черепахой таким образом, чтобы об их состязании и, если уж на то пошло, о самом движении в целом было легче судить.

Илл. 18. По мере того, как время идет (направо), и Ахилл, и черепаха продвигаются вдоль беговой дорожки (прямые, изображающие это движение, на рисунке направлены под углом вверх). Траектория Ахилла уходит вверх круче, потому что за заданный интервал времени он покрывает большее расстояние. Здесь время стало полноправным измерением на равных основаниях с расстоянием (иными словами, с пространством).

Если мы хотим синхронизировать описаниях двух наших траекторий, имеет смысл представить время как отдельную величину – новое измерение – и расставить точки, обозначающие положения обоих действующих лиц в каждый момент времени. Это сделано на илл. 18.

На этом рисунке логическая структура аргументов Зенона выставлена на обозрение, и парадокс исчезает. В пространстве-времени есть две линии-траектории, одна более крутая, чем другая, и им ничего не остается, как пересечься! (Вы можете немного позабавиться, обозначив время, когда Ахилл достигает точки старта черепахи, потом – время, когда Ахилл достигает точки, куда черепаха продвинулась с того времени, когда Ахилл был на ее старте… Таким образом вы пройдете по каждому пункту рассуждения Зенона и обезвредите одну за другой заложенные им логические мины.)

Мы можем вернуться к траекториям в первоначальном смысле, спроецировав траектории пространства-времени горизонтально на координатную ось расстояния, таким образом скрыв всю информацию о времени.

Траектории полета с Горы Ньютона уже были нарисованы в двумерном пространстве, поэтому их пространственно-временная версия должна существовать в трех измерениях. В этом трехмерном пространстве-времени круговые орбиты развертываются в спирали.

Вы также можете, пользуясь математическим воображением, заставить вещи работать по-другому: возьмите обычное двумерное (или трехмерное) пространство и представьте, что это пространство-время! При этом обычные геометрические графики превращаются в динамические траектории. Или, иначе говоря, мы рассматриваем их как движения точки через пространство. Ньютон детально развил эту основную мысль. Для него это было принципиальной сущностью того, что мы сегодня называем математическим анализом. Ньютон, который изобрел этот анализ, называл его методом флюксий. В соответствии с этим методом такие кривые (и другие геометрические объекты) рассматриваются не как законченные построения, а как сущности, плавно изменяющиеся во времени согласно имеющимся связям между их бесконечно малыми компонентами.

Иллюстрация 19 – это ключевая диаграмма из «Начал» Ньютона, показывающая, как анализируется движение. Кеплер нашел математические законы, описывающие движение планет, но он не выводил сами эти законы из более глубоких физических принципов. На этом рисунке, используя свой специфический метод анализа – разбиение на мелкие части, Ньютон торжественно открывает внутреннее значение законов Кеплера.

Илл. 19. Ньютоновский анализ движения. Отклонения от движения по прямой линии обязаны действию силы.

Орбита разбивается на очень большое количество шагов, каждый из которых проходится за небольшой интервал времени. Поскольку это не физическое, а математическое обобщение, мы можем сделать эти шаги настолько малыми, насколько хотим. В течение достаточно малого интервала времени орбита может аппроксимироваться прямой линией, а скорость объекта, грубо говоря, постоянна. Один из ньютоновских законов движения говорит, что тело, не испытывающее воздействие каких-либо сил, будет оставаться в состоянии движения[29]29
  Равномерного и прямолинейного движения. – Прим. науч. ред.


[Закрыть], т. е. продолжать двигаться в том же направлении и с той же скоростью. На рисунке мы видим пунктирные линии продолжений орбитальных сегментов, показывающие тот путь, по которому бы следовало тело, если бы сила внезапно исчезла. Настоящая орбита отличается от этих экстраполяций именно потому, что существует действующая на тело сила.

Путем детального математического рассмотрения этой проблемы мы можем определить, сила какого рода требуется, чтобы поддерживать заданную орбиту. Ньютон сделал это для орбит планет, используя открытые Кеплером зависимости (три закона, которые мы привели выше). С помощью такого анализа Ньютон пришел к выводу, что эта сила направлена непосредственно к Солнцу и убывает пропорционально квадрату расстояния от него.

Мы не можем не отметить, что этот анализ по сути своей является математической реализацией основных понятий, которые мы видели в мысленном эксперименте с Горой Ньютона.

Разложение движения на бесконечно малые части с учетом сил, определяющих любое отклонение от «естественного» движения (движения с постоянной скоростью), – это сущность механики Ньютона. Не желая делиться своими секретами, но страстно стремясь обозначить свое первенство, Ньютон опубликовал эту анаграмму:

6a cc d æ 13e ff 7i 3l 9n 4o 4q rr

4s 8t 12u x

Ее решением[30]30
  В решении есть одна лишняя t – Ньютон не хотел, чтобы оно было слишком простым. – Прим. авт.


[Закрыть] является фраза на латыни:

Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa.

Владимир Арнольд, выдающийся математик XX в., основательно изучивший работы Ньютона, любезно перевел ее так:

Полезно решать дифференциальные уравнения.

Вот более пространный перевод, который подводит итог нашему разговору:

Анализ движения путем рассмотрения его мельчайших частей – это хорошо. Он позволит вам определить силы из траекторий или траектории из сил.

Выведя всемирный закон тяготения из законов движения планет Кеплера, Ньютон использовал его, чтобы предсказать впечатляющее количество следствий. Это был синтез, вытекающий из его анализа. Вот неполный список этих следствий:

• Общую природу силы притяжения мы ощущаем на Земле. Анализируя движение Луны – ее величину. Как она меняется в зависимости от положения – на Земле.

• Движение спутников Юпитера и Сатурна и нашей Луны.

• Движение комет.

• Причины приливов (которые связаны с притяжением Луны и Солнца) и их основные характеристики.

• Форма Земли: слегка сплющенная.

• Медленное периодическое смещение направления земной оси, примерно на 1° за 72 года. Эффекты «прецессии равноденствий» были замечены еще древнегреческими астрономами, но ранее ни они, ни кто-либо еще не подходил даже близко к их объяснению.

Все эти приложения были количественными, и некоторые из них можно было проверить с большой точностью. Все они могли быть подтверждены наблюдениями и более сложными расчетами без каких-либо принципиальных изменений.

Ньютон назвал третью книгу своих «Начал», где изложил свой синтез, «Системой мира». Раньше ничего подобного не было. Ньютон взял некоторые величайшие задачи космологии и решил их в соответствии с математическими принципами с неслыханной до него и теоретически неограниченной точностью.

Реальной и идеальной.

Динамическая красота

Динамические законы Ньютона показывают красоту физического мира, но это красота очень отличается от той красоты, к которой стремились Пифагор и Платон. Динамическая красота менее очевидна и требует больше воображения, чтобы принять ее. Это красота законов, а не объектов или эффектов восприятия.

Мы можем понять разницу, сравнив модель Солнечной системы Кеплера, основанную на платоновых телах, с Системой мира Ньютона. В модели Кеплера Солнечная система сама по себе – красивый объект, воплощающий идеальную симметрию. Ее элементами являются сферы, разделенные пятью идеальными платоновыми телами. В Системе Ньютона реальные орбиты планет отражают первоначальный замысел Господа, возможно, слегка искаженный временем. (Подробнее об этом ниже.) Бог мог иметь и, возможно, имел в виду другие соображения, а вовсе не математическую мистику, поэтому от реальных орбит красоты никто не ждет и не находит ее. Красивы не орбиты сами по себе, а общие принципы, которые лежат в основе всех возможных орбит, и вся совокупность орбит. Это красота Горы Ньютона, усиленная ее тщательной проработкой.

Ньютоновский метод анализа и синтеза имеет и другое название – редукционизм (упрощение). При этом сложный объект или предмет «упрощается» до чего-то более простого, если было показано или считается оправданным, что более сложные объекты можно анализировать через их составные части, а затем синтезировать их поведение из поведения этих частей.

Редукционизм имеет дурную славу, и не только потому, что «редукционизм» – так себе словечко. Самое очевидное значение этого слова наводит на мысль, что, когда вы что-то поняли с помощью метода анализа и синтеза, вы каким-то образом упростили его. Ваш насыщенный и сложный объект теперь «не более чем» сумма его частей. Если уж на то пошло – и здесь, когда дело близко касается человека, это начинает раздражать, – возможно, что и вы сами, и те, кого вы любите, являются «не более чем» собранием молекул, просто делающих свое дело и ведущих себя в соответствии с математическими правилами.

Поэты и художники романтической эпохи в ответ на триумф ньютоновской «редукционистской» науки выражали свое волнение по поводу присущего ей мотива «не более чем». Джон Китс, самый лирический из всех лирических поэтов, писал:

 
…Любое диво
От философии бежит пугливо!
Вот радугу в лазури зиждет Бог –
Но семь волшебных красок в каталог
Внесли и волшебство сожгли дотла.
Философ свяжет ангелу крыла,
Определит размер чудес и вес,
Очистит от видений грот и лес,
Погубит радугу…[31]31
  Джон Китс. Ламия. – Пер. С. Александровского. – Прим. пер.


[Закрыть]
 

Уильям Блейк протестовал против ограниченного кругозора редукционизма (цветная вклейка K). На этой картине изображен Исаак Ньютон за работой и отражаются противоречивые чувства Блейка по его поводу. Его Ньютон – это фигура, преисполненная чрезвычайной сосредоточенности и целеустремленности, не говоря уже о сверхчеловеческом строении тела. В то же время он изображен с потупленным взором, потерянный в абстракциях и буквально повернутый спиной к необычному красочному пейзажу. Тем не менее Блейк (как и Китс) признавал, что миром правит математический порядок (вклейка L). В сложной мифологии Блейка изображенный здесь Уризен[32]32
  Уризен, согласно «Википедии», – символ человеческого разума, ограничитель энергии, законодатель, завистливый тиран, мстящая совесть. – Прим. науч. ред.


[Закрыть] – это двойственная фигура Отца, который одновременно несет жизнь и ограничивает ее. Трудно не заметить некоторое сходство с предыдущей картиной. Не является ли Ньютон толкователем Уризена или его реинкарнацией?

Хорошая картина действеннее вызывает эмоциональный отклик, чем назидательные разглагольствования. Перед нами в самом деле «картина, стоящая тысячи слов». Пожалуйста, на секунду не обращайте внимания на подпись, когда вы откроете вклейку М, а просто рассмотрите поразительно красивый шедевр абстрактного искусства.

Хорошо, а теперь прочтите подпись (если вы этого еще не сделали). Разве знание того, что эта картина может быть «редуцирована» до чистой математики, умаляет ее красоту? Для меня и, надеюсь, для вас открытие того, что простая математика может закодировать эту структуру, только прибавляет ей красоты. Конечно, она по-прежнему выглядит картиной. Но теперь вы также можете своим мысленным взором увидеть ее с другой точки зрения, как воплощение концепций. Она и Реальна, и Идеальна.

И наоборот, красота картины увеличивает красоту математических построений. Прослеживать логику создания программы, не видя, что можно получить, – это не очень увлекательное упражнение. Когда вы видите, что должно получиться на выходе, тот же самый процесс становится интеллектуальной загадкой, позволяющей достичь совершенства.

Реальное более стремится быть Идеальным, а Идеальное – Реальным.

Что касается этого фрактального изображения, то – более обобщенно – понимание не принижает опыт, скорее оно добавляет альтернативные точки зрения. В духе дополнительности мы можем наслаждаться любой из альтернатив по очереди, если не можем наслаждаться сразу всеми.

Кстати, могу побиться об заклад, что Китс не одолел научную теорию радуги. Если бы он справился с ней, мы бы прочитали стихи, воспевающие ее красоту. Потому что Джон Китс также написал эти строки:

 
Пусть старость поколения сменяет!
Другому скажешь на пути бескрайнем:
В прекрасном – правда, в правде – красота.
И это – мудрость высшая земная[33]33
  Джон Китс. Ода греческой вазе. – Пер. В. Микушевича. – Прим. пер.


[Закрыть].
 

В динамической точке зрения на мир существует еще один аспект, который привел Ньютона к Богу и поставил вопросы, до сих пор еще не разрешенные.

Динамические законы – это законы движения. Они связывают состояние мира в один момент времени с его состояниями во все остальные моменты. Если мы знаем состояние в один момент времени, мы можем предсказать будущее или сделать экстраполяцию в прошлое. Говоря конкретно, в механике Ньютона, если нам известны положения, скорости и массы всех частиц в один момент времени и силы, которые действуют среди них, мы можем вывести их положения и скорости (и массы, которые не меняются) в любые другие моменты в результате расчета. Эти величины определяют состояние мира, потому что в механике Ньютона они обеспечивают полное описание материи.

Существуют серьезные практические трудности, которые мешают реальному представлению этих расчетов, что мог испытать на себе любой, кто изучает погоду. На свете есть великое множество частиц, и совершенно нереально определить все их координаты и все их скорости. Даже если бы вы могли это сделать и знали бы точно все законы сил, действующих на них, требуемые расчеты заставили бы ужаснуться любой мозг, который только можно себе представить. Вдобавок ко всему главный результат теории хаоса состоит в том, что маленькие ошибки по всей линии – в изначальных условиях, в законах действия сил или в численных расчетах – имеют тенденцию со временем превращаться в большие ошибки.

Если не принимать во внимание практические трудности, то главная мысль состоит в том, что вам нужна точка отсчета! Динамические уравнения не самодостаточны. На нашем профессиональном жаргоне мы говорим, что они требуют начальных условий. Чтобы начать обсчитывать поведение мира с помощью динамических уравнений, вы должны вначале определить состояние мира в один момент времени, как информацию на входе.

(Конечно, если вас интересует что-то более маленькое, чем весь мир, и вы действительно можете изолировать предмет изучения от всего остального, вам нужно только знать состояние вашей подсистемы. Для простоты я продолжу говорить о «мире».)

Описание мира можно разделить на две части:

1. Динамические уравнения.

2. Начальные условия.

Из регулярности и порядка Солнечной системы, где все планеты обращаются вокруг Солнца по орбитам, очень близким к круговым, все примерно в одной плоскости, все в одном направлении, Ньютон в «Общем поучении», которое завершает «Начала», предположил, что первоначальные условия были разумно упорядочены:

Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и власти могущественного и премудрого существа[34]34
  Ньютон И. Математические начала натуральной философии. – М.: Наука, 1989. – С. 659.


[Закрыть].

Сегодня у нас есть более земные, физические основополагающие идеи о происхождении Солнечной системы, но более серьезные вопросы остаются. Хотя механика Ньютона как фундаментальная теория была вытеснена иными теориями, эта ее черта так и сохранилась. У нас все еще есть динамические уравнения, и они по-прежнему требуют начальных условий. Наше описание мира делится на две части: динамика и начальные условия. Для первого у нас есть великолепная теория, но для второго – только эмпирические наблюдения и неполные, более или менее достоверные спекуляции.

Если мы окинем Вселенную, всю реальность, в пространстве-времени, развернутом как под взглядом Бога, то мы придем к современной форме неизменного единства Парменида. Великий математик и физик XX в. Герман Вейль, чьи книги очень много значили для моего образования, сформулировал это таким образом, что я считаю эти строки достойными занять свое место среди самых прекрасных и самых глубоких высказываний в мировой литературе:

Объективный мир просто есть, он не случается. Лишь для взора моего сознания, карабкающегося по мировой линии жизни моего тела, порождается часть мира как образ, плывущий в пространстве и непрерывно меняющийся во времени[35]35
  Вейль Г. О философии математики. – М-Л., 1934. – С. 26.


[Закрыть].

Если Парменид и Вейль правы и пространство-время в целом является первичной реальностью, то мы должны стремиться к фундаментальному описанию их в целостности. И в этом описании не будет места для начальных условий.