Текст книги "Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков"

2. Мастер пути. Лю Хуэй

«Чжоу Би Суань Цзин» – «Канон расчета чжоуского гномона» – древнейший известный нам китайский математический текст, датируемый Периодом сражающихся царств, 400–200 гг. до н. э. Начинается этот трактат прекрасным примером образовательной пропаганды:

Когда-то давно Жун Фан спросил Чэнь Цзы: «Учитель, недавно я услышал кое-что о вашем Пути. Правда ли, что ваш Путь способен вместить высоту и размер Солнца, площадь, освещенную его блеском, количество его ежедневного движения, величины наибольшего и наименьшего расстояний до него, пределы человеческого зрения, границы четырех полюсов, созвездия, в которые объединены звезды, длину и ширину неба и Земли?»

«Это правда», – сказал Чэнь Цзы.

Жун Фан спросил: «Хоть я и не слишком умен, Учитель, я попросил бы вас почтить меня объяснением. Можно ли научить этому Пути кого-то вроде меня?»

Чэнь Цзы ответил: «Да. Всего можно добиться математикой. Твоей способности к математике достаточно, чтобы понять эти вещи, если ты будешь серьезно и постоянно думать о них»[7]7
  Здесь и далее, если не указан источник на русском языке, цитата приводится по оригиналу книги Иэна Стюарта. – Прим. ред.


[Закрыть].

Далее в книге при помощи геометрии выводится величина расстояния от Земли до Солнца. Космологическая модель примитивна: плоская Земля под гладким сферическим куполом неба. Но математика в ней содержится достаточно хитроумная. В основном используется геометрия подобных треугольников в применении к теням, отбрасываемым Солнцем.

«Чжоу Би» наглядно показывает продвинутое состояние китайской математики в период, примерно соответствующий греческому эллинистическому периоду со смерти Александра Великого в 323 г. до н. э. по 146 г. до н. э., когда Римская республика присоединила Грецию к своей империи. Этот период был вершиной интеллектуального доминирования Древней Греции и временем жизни большинства великих геометров, философов, логиков и астрономов античного мира. Даже в условиях римского владычества Греция оставалась центром культурной и научной жизни примерно до 600 г., но центры математических инноваций переместились в Китай, Аравию и Индию. Передний край математического прогресса вновь переместился в Европу только в эпоху Возрождения, хотя на самом деле «Темные века» были совсем не такими темными, какими их иногда рисуют, и некоторые достижения того времени, не самые внушительные, действительно, принадлежат и Европе.

Китайские же успехи были поразительны. До недавнего времени в большинстве вариантов истории математики рассматривалась исключительно европоцентрическая позиция и достижения Востока попросту игнорировались, пока Джордж Гевергезе Джозеф не написал о древней математике Юго-Восточной Азии книгу «Павлиний хохолок». Одним из величайших древнекитайских математиков был Лю Хуэй. Он был потомком правителя Цзысяна, принадлежавшего к династии Хань, и жил в царстве Цао Вэй в период троецарствия. В 263 г. он отредактировал и издал книгу с решениями математических задач, приведенных в знаменитом китайском математическом трактате «Цзю Чжан Суаньшу» («Математика в девяти книгах»).

Его работы включают доказательство теоремы Пифагора, некоторых теорем стереометрии, улучшенное по сравнению с Архимедовым приближенное значение числа π и системный метод решения линейных уравнений с несколькими неизвестными. Кроме того, он писал о методах топографии, с особым приложением к астрономии. Вероятно, он побывал в Лояне – одной из четырех древних столиц Китая – и измерил высоту Солнца по его тени.

* * *

Свидетельства ранней истории Китая исходят в основном из нескольких более поздних текстов, таких как обширные «Исторические записки» придворного историографа династии Хань Сыма Цяня (ок. 110 г. до н. э.) и «Бамбуковые анналы» – историческая хроника, написанная на бамбуковых дощечках, захороненная в гробнице владыки царства Вэй Сяна в 296 г. до н. э. и вновь обретенная в 281 г. н. э. Согласно этим источникам, китайская цивилизация начала свое развитие в III тыс. до н. э. с царства Ся. Письменные свидетельства начинаются с династии Шан, правившей с 1600 по 1046 г. до н. э. и оставившей древнейшее свидетельство китайского счета в форме гадальных костей – маркированных косточек, использовавшихся для предсказания судьбы. Успешное вторжение народа чжоу привело к возникновению довольно стабильного государства с феодальной структурой, которое начало разваливаться 300 лет спустя под давлением внешних племен.

К 476 г. до н. э. в Китае воцарилась настоящая анархия; это был период, известный как Период сражающихся царств и продолжавшийся более 200 лет. «Чжоу Би» была написана именно в эти бурные времена. Ее основное математическое содержание составляет то, что мы сегодня называем теоремой Пифагора, дроби и арифметика; в нее включено также немало астрономии. Теорема Пифагора представлена в разговоре между правителем Чжоу Гуном и благородным Шао Гао. Обсуждение прямоугольных треугольников в их диалоге приводит к формулировке знаменитой теоремы и геометрическому ее доказательству. Некоторое время историки считали, что это открытие на 500 лет опережает открытие самого Пифагора. Сегодня общепринятым является мнение, что это открытие было сделано независимо и что оно действительно опережало работы Пифагора, но не намного.

Еще одно значительное дошедшее до нас произведение примерно того же периода – уже упоминавшийся трактат «Цзю Чжан», содержащий богатый математический материал, такой как извлечение корней, решение систем уравнений, площади и объемы и, опять же, прямоугольные треугольники. В комментарии Чжан Хэна, относящемся к 130 г. н. э., значение числа π приближенно оценивается как Комментарий Чао Чуньчина к трактату «Чжоу Би» где-то в III в. добавил к основному тексту метод решения квадратных уравнений. Но самое существенное дополнение к «Цзю Чжан» сделал в 263 г. величайший китайский математик древности Лю Хуэй. Он предварил трактат своим объяснением:

В прошлом тиран Цинь сжигал написанные документы, что привело к гибели классического знания. Позже Чжан Цан, правитель Бэйпина, и Гэн Шоучан, помощник министра сельского хозяйства, прославились своим талантом к вычислениям. Поскольку древние тексты сильно пострадали, Чжан Цан и его люди изготовили новый вариант, удалив плохо сохранившиеся части и заполнив образовавшиеся пробелы. Таким образом, они переработали некоторые части, в результате чего те стали отличаться от старых, сохранившихся частей.

В частности, Лю Хуэй дал доказательства того, что приведенные в книге методы работают; он использовал методики, которые сегодня мы не признали бы строгими, как и методики Архимеда в трактате «О методе». Кроме того, Лю Хуэй привел дополнительные материалы по топографической съемке, которые публиковались и отдельно в виде «Хай дао суань цзин» – «Трактата о морском острове».

* * *

В первой главе «Математики в девяти книгах» объясняется, как вычислять площади полей разной формы: прямоугольных, треугольных, трапецеидальных и круглых. Приведенные в ней правила верны, за исключением правила для круга. Даже здесь предложенный рецепт сам по себе верен: умножить радиус на половину длины окружности. Однако длина окружности вычисляется как утроенный диаметр, то есть, по существу, считается, что π = 3. Если говорить о практической применимости метода, то площадь круга здесь получается меньше реальной менее чем на 5 %.

В конце I в. до н. э. правитель Ван Ман велел астроному и создателю календаря Лю Синю придумать и предложить стандартную меру объема. Лю Синь изготовил очень аккуратный цилиндрический бронзовый сосуд, который и должен был служить стандартной мерой при сравнении. Тысячи копий этого сосуда использовались по всему Китаю. Оригинальный сосуд в настоящее время хранится в пекинском музее, и его размеры позволили некоторым ученым предположить, что Лю Синь, по существу, пользовался числом, близким к π и равным 3,1547. (Как именно можно получить это число с такой точностью при измерении бронзового горшка – непонятно, по крайней мере мне.) В трактате «Сюй шу» (официальная история династии Сюй) содержится утверждение, из которого можно понять, что Лю Синь действительно нашел новое значение числа π. Лю Хуэй замечает, что примерно в это же время придворный астролог Чан Хэн предложил считать π равным квадратному корню из 10, что составляет 3,1622. Ясно, что новые улучшенные значения π носились в воздухе.

В своих комментариях к «Девятикнижию» Лю Хуэй указывает, что традиционное правило «π = 3» ошибочно: вместо длины окружности оно дает периметр вписанного шестиугольника, который очевидно меньше. Затем он вычисляет более точное значение для длины окружности (и косвенно для π). Мало того, он пошел еще дальше и описал вычислительный метод оценки числа π со сколь угодно высокой точностью. Его подход напоминал подход Архимеда: аппроксимировать окружность правильными многоугольниками с 6, 12, 24, 48, 96, … сторонами. Чтобы применить метод исчерпания, Архимед использовал одну последовательность аппроксимирующих многоугольников внутри, вписывая их в окружность, а вторую – снаружи, описывая их около окружности. Ли Хуэй пользовался только вписанными многоугольниками, но в завершение расчета он привел геометрические аргументы в пользу того, чтобы определить как нижнюю, так и верхнюю границы истинного значения π. Этот метод позволяет получить сколь угодно точное приближение к π, не используя ничего сложнее квадратных корней. Для вычисления квадратных корней существует формализованный метод, трудоемкий, но не более сложный, чем умножение в столбик. Умелый расчетчик вполне мог бы за один день получить десять десятичных знаков π.

Позже, около 469 г., Цзу Чунчжи расширил этот расчет и показал, что

3,1415926 < π < 3,1415927.

Результат был записан и сохранился, а вот метод, изложенный, возможно, в его потерянной работе «Чжуй шу» – «Метод интерполяции», до нас не дошел. Вероятно, это было сделано путем продолжения расчетов Лю Хуэя, но заголовок трактата позволяет предположить, что речь шла, скорее, о получении более точного результата из пары приближений, одно из которых слишком мало, а другое – слишком велико. Подобные методы можно найти в математике и сегодня. Не так давно им учили в школах, чтобы использовать таблицы логарифмов. Цзу предложил две простые дроби, приближенно выражающие: это Архимедова дробь 22/7, равная π с точностью до двух знаков после запятой, и 355/113, равная π с точностью до десяти знаков. Первое значение и сегодня широко используется, второе тоже хорошо известно математикам.

* * *

Одна из реконструкций доказательства теоремы Пифагора, принадлежащего Лю Хуэю и восстановленного на базе текстовых указаний в его книге, представляет собой хитроумное и необычное рассечение. Собственно прямоугольный треугольник, о котором идет речь, показан на рисунке черным. Квадрат, построенный на одном из его катетов (светло-серый), рассечен надвое диагональю. Квадрат, построенный на другом катете, разрезан на пять частей: один маленький квадратик (темно-серый), пара симметрично расположенных треугольников (средне-серых) тех же формы и размера, что и первоначальный прямоугольный треугольник, и пара симметрично расположенных треугольников (белых), заполняющих оставшееся место. После этого все семь кусочков собираются воедино и образуют квадрат на гипотенузе.

Для доказательства этой теоремы могут быть использованы и другие рассечения, попроще.

Древнекитайские математики были нисколько не слабее своих греческих современников, и развитие китайской математики после периода Лю Хуэя видело множество открытий, опередивших появление тех же достижений в европейской математике. К примеру, оценки числа π, полученные Лю Хуэем и Цзу Чунчжи, европейцам удалось превзойти лишь 1000 лет спустя.

Джозеф проверяет, не могли ли некоторые идеи китайских математиков попасть с купцами и торговыми караванами в Индию и Аравию, а затем, возможно, даже в Европу. Если так, то позднейшие достижения, когда европейцы заново открывали математические законы, вполне возможно, не были совершенно независимыми. В Индии в VI в. были китайские дипломаты, и китайские переводы индийских математических и астрономических трактатов сделаны в VII в. Что же до Аравии, то пророк Мухаммед выпустил хадис – изречение с религиозным смыслом, – в котором говорилось: «Ищите знание, даже если до него далеко, как до Китая». В XIV в. арабские путешественники сообщали о прочных торговых связях с Китаем, а марокканский путешественник и ученый Мухаммад ибн Баттута написал о китайских научных и технических достижениях, а также о китайской культуре в книге «Рила» – «Путешествия».

Мы знаем, что идеи из Индии и Аравии проникали в средневековую Европу, о чем говорится в двух следующих главах. Поэтому вполне возможно, что в Европу проникали в какой-то мере и китайские знания. Присутствие иезуитов в Китае в XVII и XVIII вв. отчасти через Конфуция вдохновило философию Лейбница. Можно предположить, что существовала сложная сеть, посредством которой математика, физика и многое другое циркулировало между Грецией, Ближним Востоком, Индией и Китаем. Если это так, то традиционная история западной математики, возможно, нуждается в определенном пересмотре.

3. Dixit Algorismi. Мухаммад аль-Хорезми

После смерти пророка Мухаммеда в 632 г. власть над исламским миром перешла к сменявшим друг друга халифам. В принципе, халифов избирали за их достоинства, так что система правления в халифате не была в строгом смысле монархией. Однако халиф обладал всей полнотой власти. К 654 г., при третьем халифе Усмане, халифат стал крупнейшей в истории империей. Его территория (в терминах современной географии) включала Аравийский полуостров, Северную Африку от Египта через Ливию до восточной части Туниса, Левант, Кавказ и значительную часть Средней Азии, от Ирана через Пакистан и Афганистан до Туркмении.

Первые четыре халифа считаются праведными (рашидун); их сменила династия Омейядов, на смену которой, в свою очередь, пришла династия Аббасидов, которые свергли Омейядов с помощью персов. Центр власти, находившийся первоначально в Дамаске, переместился в Багдад – город, основанный халифом аль-Мансуром в 762 г. Его расположение вблизи от границ Персии отчасти диктовалось необходимостью прибегать к услугам персидских управленцев, понимавших, как взаимодействуют между собой разные области Исламской империи. Был создан пост визиря, позволивший халифу передать другому человеку административную ответственность: визирь, в свою очередь, поручал решение местных вопросов региональным эмирам. Постепенно халиф превратился в номинального главу государства, а реальная власть сосредоточилась в руках визиря, но первые халифы династии Аббасидов пользовались значительной властью.

Примерно в 800 г. Гарун аль-Рашид основал «Байт аль-хикма», или «Дом мудрости», – академию, в которой письменные труды из других культур переводились на арабский язык. Его сын аль-Мамун довел проект отца до логического завершения – собрал в Байт аль-хикма огромную коллекцию греческих рукописей и пригласил многих известных ученых. Багдад, ставший центром науки и торговли, привлекал купцов и ученых мужей даже из таких отдаленных мест, как Китай и Индия. Среди них был и Мухаммад ибн Мусса аль-Хорезми – ключевая фигура в истории математики.

Аль-Хорезми родился в Хорезме или где-то неподалеку от него; Хорезм – это город в Средней Азии, современная Хива в Узбекистане. Главные работы аль-Хорезми относятся ко времени правления аль-Мамуна; он участвовал в сохранении и развитии тех знаний, которые тогда стремительно теряла Европа. Он переводил ключевые рукописи с греческого и санскрита, делал собственные открытия в физике, математике, астрономии и географии и написал серию книг, которые мы сегодня назвали бы научными бестселлерами. Название книги «Об индийском счете», написанной около 825 г., было переведено на латынь как Algoritmi de Numero Indorum; в то время это был практически единственный трактат, распространявший по всей Европе новость, о поразительном способе проведения арифметических расчетов. По пути Algoritmi превратились в Algorismi, и методы расчета с применением десятичных чисел получили название алгоризмов. В XVIII в. это слово изменилось и приобрело сегодняшнюю форму – алгоритм.

Его книгу «Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джебр ва-ль-мукабала» («Краткая книга об исчислении алгебры и аль-мукабалы»), написанную около 830 г., Роберт Честерский в XII в. перевел на латынь с названием Liber Algebrae et Almucabola. В результате аль-джебр, латинизированное до algebra, стало самостоятельным словом. Теперь оно означает использование таких символов, как x и y, для неизвестных величин, а также методы отыскания этих неизвестных путем решения уравнений, но в самой книге никакие символы не используются.

* * *

«Алгебра» была написана, когда халиф аль-Мамун предложил аль-Хорезми написать популярную книгу о вычислениях. Сам автор описывает ее цель так:

…здесь содержится простейшее и полезнейшее в арифметике, постоянно необходимое людям в случаях наследования, завещаний, раздела имущества, судебных тяжб и торговли и в любых сделках друг с другом или когда речь идет об измерении земель, рытье каналов, геометрических расчетах и других вещей разных сортов и типов.

Все это не слишком похоже на книгу по алгебре. И правда, непосредственно алгебра занимает в ней лишь небольшую часть. Аль-Хорезми начинает с объяснения чисел в очень простых выражениях – единицы, десятки, сотни – на том основании, что «когда я думаю о том, в чем люди обычно нуждаются при расчетах, я понимаю, что это всегда число». Вообще, это не ученый трактат для мужей науки, но популярная математическая книга, практически учебник, который пытается не только информировать, но и обучать обычных читателей. Именно этого хотел халиф, и именно это он получил. Аль-Хорезми не рассматривал свою книгу как результат работы на переднем крае исследовательской математики. Но мы сегодня именно так смотрим на ту ее часть, которая посвящена аль-джебре. Это самый глубокий раздел книги: систематическое развитие методов решения уравнений с некоторой неизвестной величиной.

Собственно термин «аль-джебр», который обычно переводят как «дополнение», относится к приему добавления одного и того же слагаемого к обеим частям уравнения с целью его упрощения. «Аль-мукабала», или «уравновешивание», относится к переносу одного из слагаемых с одной стороны уравнения на другую сторону (но с противоположным знаком) и к сокращению подобных членов в обеих частях уравнения.

К примеру, если уравнение в современной символьной записи выглядит как

x – 3 = 7,

то аль-джебра разрешает нам добавить по 3 к обеим сторонам уравнения и получить

x = 10,

что в данном случае решает уравнение. Если уравнение выглядит как

2x² + x + 6 = x² + 18,

то аль-мукабала позволяет нам перенести 6 с левой стороны уравнения на правую, только со знаком минус, и получить

2x² + x = x² + 12.

Вторая аль-мукабала позволяет нам перенести x² из правой части уравнения в левую и вычесть уже его, получив

x² + x = 12,

что проще, но еще не дает решение уравнения.

Я повторю, что аль-Хорезми не использует никаких символов. Отец алгебры на самом деле не делал ничего из того, что сегодня большинство из нас считает алгеброй. Он все описывал словами. Конкретные числа были единицами, неизвестная величина, которую мы называем x, называлась у него корнем, а наш x² назывался квадратом. Приведенное уравнение в этих терминах выглядело бы так:

квадрат плюс корень равно двенадцать единиц,

и без всяких символов. Так что следующая задача – объяснить, как от уравнения подобного типа перейти к ответу. Аль-Хорезми подразделяет уравнения на шесть типов, причем типичный случай представляет собой «квадраты и корни равняются числам», то есть что-то вроде x² + x = 12.

Затем он переходит к анализу каждого типа уравнений по очереди, причем решает их с использованием смеси алгебраических и геометрических методов. Так, чтобы решить уравнение x² + x = 12, аль-Хорезми рисует квадрат, который должен представлять x² (левый рисунок). Чтобы прибавить к этому корень x, он пририсовывает к квадрату четыре прямоугольника, каждый со сторонами x и (средний рисунок). Получившаяся фигура наводит на мысль «завершить квадрат», присоединив сюда же четыре «уголка» – маленькие квадратики со стороной и площадью  Так что он добавляет к левой части уравнения (правый рисунок). По правилу аль-джебр он должен также прибавить и к правой части уравнения то, в результате чего справа становится  Теперь

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения и получим

так что x = 3. Сегодня мы взяли бы еще отрицательный квадратный корень, и получили второе решение, x = –4. Отрицательные числа уже начинали появляться в трудах ученых периода аль-Хорезми, но сам он их не упоминает.

Такой подход был бы понятен и вавилонянам, и грекам, поскольку они и сами в свое время занимались примерно тем же. На самом деле существуют сомнения относительно того, был ли аль-Хорезми знаком с «Началами» Евклида. По идее, должен был быть знаком, поскольку аль-Хаджжадж – другой ученый из «Дома мудрости» – перевел Евклида на арабский, когда аль-Хорезми был молодым человеком. Но с другой стороны, основной задачей «Дома мудрости» был именно перевод, и его работники не были обязаны читать труды, переведенные их коллегами. Некоторые историки утверждают, что геометрия аль-Хорезми по стилю не соответствует Евклидовой, и это свидетельствует о том, что ученый не был знаком с оригиналом. Но, я повторяю, «Алгебра» – популярная книга о математике, так что она и не должна была бы следовать аксиоматическому стилю Евклида, даже если бы сам аль-Хорезми знал Евклида назубок. Во всяком случае идея достраивания квадрата восходит еще к вавилонянам и позаимствовать ее можно было из множества разных источников.

Почему же тогда многие историки считают именно аль-Хорезми отцом алгебры? Особенно с учетом того, что он не использует никаких символов? И у него имеется сильный конкурент, грек Диофант. В его «Арифметике» – серии книг о решении уравнений в натуральных или рациональных числах, написанной около 250 г., – символы используются. Один из ответов состоит в том, что главной областью интересов Диофанта была теория чисел да и символы его были, по существу, простыми сокращениями. Однако более глубокий ответ, который мне кажется и более убедительным, заключается в том, что аль-Хорезми часто, хотя и не всегда, приводит универсальные методы решения, тогда как его предшественники, как правило, брали пример с конкретными числами и решали его. Читателю оставалось самому выводить общее правило. Так что результат приведенного выше геометрического решения мог бы выглядеть примерно так: «Возьмите 1, поделите на 2, получится возведите ее в квадрат, получится затем добавьте по к каждой стороне», – и читатель должен будет сам догадаться, что общее правило состоит в том, чтобы заменить первоначальную 1 половинкой коэффициента при x, возвести результат в квадрат, прибавить результат к обеим сторонам уравнения и т. д. Конечно, при обучении преподаватель разъяснил бы решение на таком уровне обобщения и закрепил результат, заставив ученика прорешать множество других примеров.

Иногда аль-Хорезми, кажется, делает ровно то же самое, но, как правило, он подробнее описывает применяемые правила. Так что более глубокая причина того, что именно ему приписывают изобретение алгебры, состоит в том, что он сосредоточился на общих правилах манипулирования алгебраическими выражениями, нежели на конкретных числах, которые они представляют. К примеру, он дает правила раскрытия скобок при их перемножении

(a + bx) (c + dx)

в терминах квадрата x², корня x и чисел. Мы бы записали это правило символически как

ac + (ad + bc) x + (bd) x²,

и именно это он говорит, словесно, без использования конкретных чисел для a, b, c или d. Он рассказывает читателям, как нужно манипулировать общими выражениями в числах, корнях и квадратах. Эти выражения рассматриваются не как зашифрованные версии какого-то неизвестного числа, но как новый тип математического объекта, выражения с которым можно просчитывать, даже если реальные числа вам неизвестны. Именно этот шаг к абстракции – если мы примем его как таковой – лежит в основе утверждения о том, что аль-Хорезми изобрел алгебру. В «Арифметике» ничего подобного нет.

Другие темы в его книге более прозаичны: там можно найти правила вычисления площадей и объемов таких фигур, как прямоугольник, круг, цилиндр, конус и шар. Здесь аль-Хорезми следует тем же путем, каким двигались математики в индийских и еврейских текстах, и ничего похожего на Архимеда или Евклида вы там не найдете. Заканчивается книга более приземленными вещами: подробным разбором исламских правил наследования имущества, требующих разделения его в разных пропорциях; ничего более сложного с математической точки зрения, чем решение линейных уравнений и арифметика, в этом разделе не встречается.

* * *

Важнейшим трудом аль-Хорезми как на момент написания, так и на протяжении еще нескольких столетий была «Книга об индийском счете», давшая нам, как уже отмечалось, слово «алгоритм». Фраза Dixit Algorismi – «Так говорил аль-Хорезми» – была весьма убедительным аргументом в любом математическом диспуте. Учитель сказал: внимайте его словам.

Под индийским счетом подразумеваются, безусловно, ранние варианты десятичной системы записи чисел, в которой любое число может быть записано как последовательность десяти символов – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как видно из названия книги, аль-Хорезми признавал первенство индийских математиков в этом вопросе, но его влияние в средневековой Европе было настолько велико, что такую систему исчисления стали называть арабской (иногда ее называли еще индо-арабской системой, что тоже несправедливо по отношению к индусам). Основной вклад арабского мира в эту систему – изобретение собственных символов для обозначения цифр, похожих на индийские, но все же отличных от них, а также распространение этой системы записи и побуждение к ее использованию. Символы же для обозначения десяти цифр не раз менялись с течением времени, и разные регионы современного мира до сих пор пользуются разными их вариантами.

Сегодня алгоритм – это пошаговая процедура вычисления какой-то конкретной величины или получения какого-то конкретного результата с гарантией того, что по получении нужного результата процесс остановится. «Пробуй все числа в случайном порядке, пока какое-нибудь не подойдет» – не алгоритм: если в результате будет получен ответ, это верная процедура, но с тем же успехом процесс может продолжаться вечно и ни к чему не привести. Чтобы описать один из ранних примеров алгоритма, вспомним, что простое число не имеет других делителей, кроме его самого и единицы. Вот первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое другое натуральное число больше 1 называется составным. К примеру, 6 – составное число, потому что 6 = 2 × 3. Число 1 считается особым и называется единицей в этом контексте. Решето Эратосфена, придуманное около 250 г. до н. э., представляет собой алгоритм нахождения всех простых чисел вплоть до какого-то конкретного предела. Начните с того, что выпишите все положительные целые числа вплоть до заданного предела. Удалите из списка все числа, кратные 2, кроме 2, затем все числа, кратные следующему оставшемуся числу 3, кроме самого числа 3, затем проделайте то же самое для следующего уцелевшего числа 5 и т. д. После числа шагов, не превышающего заданного предела, процесс завершается: в списке остается ровно то, что нужно: все простые числа до заданного предела.

Алгоритмы в современной жизни приобрели принципиальное значение, потому что компьютеры – это машины, исполняющие алгоритмы. Алгоритмы выкладывают в интернет смешные видео с котиками, рассчитывают ваш кредитный рейтинг, решают, какие книги можно попытаться продать вам, осуществляют миллиарды биржевых сделок с валютой и акциями каждую секунду и пытаются украсть у вас пароль от онлайн-банка. Как ни забавно, из всех работ аль-Хорезми подробнее всего об алгоритмах рассказывается не в трактате «Об индийском счете», хотя любой метод арифметического счета, естественно, представляет собой алгоритм. Больше всего алгоритмов в его алгебраической книге, которая вошла в историю тем, что в ней излагаются общие процедуры решения уравнений. Эти процедуры являются алгоритмами, и именно это делает их такими важными.

* * *

Аль-Хорезми писал не только о математике, но также о географии и астрономии. Его «Китаб сурад аль-ард» («Книга описания Земли») 833 г. дополняет предыдущий классический труд на эту тему – «Географию» Птолемея, написанную около 150 г. Это своего рода набор «сделай сам» для атласа известного на тот момент мира: контуры континентов на трех различных типах координатной решетки с указаниями, где на них следует поместить основные города и другие значительные детали. Кроме того, в книге обсуждаются базовые принципы составления карт. В труде аль-Хорезми список локаций расширен до 2402 объектов, а некоторые данные Птолемея были исправлены; в частности, аль-Хорезми снизил завышенную Птолемеем оценку длины Средиземного моря. Кроме того, если Птолемей показывал Атлантический и Индийский океаны как моря, окруженные со всех сторон сушей, то аль-Хорезми не стал их ограничивать.

Книга «Зидж аль-Синдхинд» («Астрономические таблицы Синдхинда»), датируемая примерно 820 г., содержит более сотни астрономических таблиц, взятых в основном из трудов индийских астрономов. Среди них имеются таблицы движения Солнца, Луны и пяти планет, а также таблицы тригонометрических функций. Считается, что аль-Хорезми писал также о сферической тригонометрии, очень важной для навигации. «Рисала фи истихрадж таких аль-яхуд» («Определение эры евреев и об их праздниках») рассказывает о еврейском календаре и анализирует Метонов цикл – 19-летний период, очень близкий к общему кратному солнечного года и лунного месяца. Вследствие этого солнечный и лунный календари, которые со временем постепенно расходятся, вновь почти выравниваются каждые 19 лет. Этот цикл назван в честь Метона Афинского, который описал его в 432 г. до н. э.

Наряду с достижениями математиков древнего Китая (глава 2) и Индии (глава 4) достижения аль-Хорезми служат дополнительным свидетельством того, что в Средние века, когда наука Европы в основном находилась в состоянии застоя, центр научной и математической деятельности переместился на Восток. Со временем, в эпоху Возрождения, Европа пробудилась вновь, как мы увидим в главе 5. Аль-Хорезми проложил новый путь, и математике уже не суждено было вернуться в прежнее состояние.