Текст книги "Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса"

Иэн Стюарт
Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Научный редактор Иван Ефишов

Издано с разрешения QUERCUS EDITIONS LIMITED

Все права защищены.

Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

© Joat Enterprises, 2008

© Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2019

* * *

Предисловие

Математика не появилась сразу в готовом виде. Она возникала постепенно, усилиями тысяч людей из разных культур, говоривших на многих языках. Ее постулаты, актуальные и по сей день, насчитывают более 4000 лет.

Многие человеческие открытия оказались недолговечными. Так, инженерное решение относительно дизайна колес было очень важным в Египте времен Нового царства, но сейчас мало кто назовет его прорывным. Математика же никогда не теряла своего значения. Едва успев оформиться, очередное ее открытие становилось необходимым для каждого и начинало жить своей жизнью. Важные математические идеи редко выходили из моды, хотя применять их можно было по-разному. Способы решения уравнений, открытые еще вавилонянами, используются до сих пор. Да, мы отказались от их символов, но отрицать историческую связь нельзя. Львиная доля основ математики, преподаваемых в школе, насчитывает не меньше 200 лет. Принятый в 1960-х гг. «современный» курс отсылает нас к XIX в. Однако, несмотря на внешнюю консервативность, математика шла вперед. В наши дни за неделю делается столько же математических открытий, сколько вавилонянам удавалось совершить за 2000 лет.

Развитие цивилизации всегда шло рука об руку с развитием математики. Без открытий в тригонометрии, сделанных древними греками, арабами и индусами, плавать по океанам во времена Великих географических открытий было бы гораздо опаснее. Торговые пути из Китая в Европу и из Индонезии в обе Америки проложены по невидимой математической нити. Трудно представить современное общество без математики. Практически всё, что нам сейчас кажется естественным, – от телевидения до мобильных телефонов, от гигантских пассажирских лайнеров до спутниковых навигационных систем в автомобилях, от расписаний поездов до медицинских обследований – опирается на ее выкладки и методы. Иногда им тысячи лет, порой всего несколько дней. Большинство даже не отдают себе отчета в их незримом присутствии в каждом из чудес современной технологии.

Это очень грустно, поскольку иные думают, будто в новых технологиях есть некое волшебство, и ожидают новых чудес каждый день. В то же время это естественно и позволяет нам легко и без сомнений применять чудеса на практике. Пользователю ни к чему загружать мозг лишней информацией о подноготной их работы. Если бы каждого потенциального пассажира проверяли на знание тригонометрии перед посадкой на самолет, вряд ли кто-то куда-то смог бы улететь.

Пожалуй, написать ясную историю математики – задача невыполнимая. Сегодня это настолько обширная, сложная и высокотехнологичная область, что даже эксперту едва ли будет под силу создать такой талмуд. Ближе всего к этой цели сумел подобраться Моррис Клайн в работе «Математическая мысль от древности до наших дней». Там всего-то 1200 страниц мелким шрифтом и вовсе ничего не сказано о последней сотне лет.

Моя книга гораздо короче, посему мне не раз приходилось делать выбор, особенно в отношении истории математики XX и XXI вв. Я отлично помню о темах, которые опустил. Здесь нет алгебраической геометрии, теории гомологий, метода конечных элементов или вейвлетов. На самом деле список пропущенных тем намного длиннее оглавления. Прежде всего я думал о том, какие базовые знания хотели бы получить читатели и какие из новейших идей более всего нуждаются в доходчивом объяснении.

Истории в книге размещены не в хронологическом порядке, а объединены по темам. В противном случае пришлось бы постоянно перескакивать с одного на другое, и в итоге потерялась бы нить повествования. Такая книга была бы нечитабельна, хотя и приближена к реальности. Поэтому в каждой главе я сначала делаю экскурс в историю, а затем двигаюсь по основным вехам развития вопроса. В первых главах я глубже всего ухожу в прошлое, а ближе к концу книги больше внимания уделяю современности.

Главной целью для меня было передать дух современной математической науки – примерно за последние 100 лет. Я старался выбирать темы, чаще всего оказывающиеся на слуху, и соотносить их с историческим контекстом. Отсутствие какой-то темы не значит, что я считаю ее неважной. Однако, по-моему, нецелесообразно в популярном издании тратить несколько страниц на историю Эндрю Уайлса, доказавшего Великую теорему Ферма (да многие читатели знают ее и без меня), или, скажем, на некоммутативную геометрию, одно вступление к которой займет несколько глав.

В общем, эта книга – история и в то же время не история. Она повествует о прошлом, но предназначена не для профессиональных историков, не содержит тонких определений, столь важных для них, и по большей части описывает прошлое с современной точки зрения. Я знаю, что последнее – непростительный грех для историка. Ведь читатель может решить, будто древние каким-то чудом научились мыслить по-современному. Однако я считаю одновременно оправданным и необходимым начинать с того, что нам известно, и двигаться к источнику идеи. Ведь греки изучали эллипсы вовсе не для того, чтобы Кеплер когда-нибудь создал теорию о планетарных орбитах, как и сам Кеплер сформулировал свои три закона движения небесных тел не для того, чтобы Ньютон переработал их в теорию всемирного тяготения. Однако история законов Ньютона уходит корнями в греческие исследования эллипсов и кеплеровский анализ данных астрономических наблюдений.

Сквозная тема этой книги – прикладной характер математики. Здесь у меня получился весьма эклектичный набор приложений как из прошлого, так и из настоящего. Повторюсь: если какая-то тема пропущена, это вовсе не значит, что я считаю ее несущественной.

Математика имеет длинную и славную, хоть и изрядно подзабытую историю. Не стоит недооценивать ее влияние на развитие нашей культуры. Если эта книга познакомит вас хотя бы с частью этой истории, значит, я добился своей цели.

Глава 1. Символы, единицы счета и глиняные таблички

Рождение чисел

Математика начинается с чисел, и числа остаются ее основой, хотя сама наука давно ушла от простых операций с ними. Выстраивая на основе чисел всё более отвлеченные и сложные концепции, она развилась в обширную и разнообразную область мысли, выходящую далеко за рамки школьной программы. Современная математика больше занимается исследованием формы, структуры и составляющих нашего мира, нежели числами как таковыми. Ее методы стали очень отвлеченными и часто абстрактными. Она задает направление в науке, промышленности, бизнесе и даже искусстве. Математика универсальна и вездесуща.

Всё начинается с чисел

За тысячелетия математики – представители разных культур – успели создать на основе чисел множество надстроек: геометрию, исчисление, динамику, теорию вероятностей, топологию, теорию хаоса, сложности и т. д. Журнал Mathematical Reviews, где приводятся ссылки на все новые материалы, выделяет в ней более 100 основных областей, содержащих не одну тысячу более узких. По всему миру насчитывается свыше 50 тыс. математиков-исследователей, и каждый год они публикуют более миллиона страниц научных текстов. Всё это новые открытия, а не вариации на тему уже существующих.

Математики часто пользуются логикой для создания еще более фундаментальной концепции, чем числа, – это математическая логика и теория множеств. Однако и здесь отправной точкой остается идея числа.

Числа кажутся простыми и понятными, но их внешняя простота обманчива. Операции с ними порой чрезвычайно сложны, и верный результат требует немалого труда. Но и тут намного легче оперировать числами, чем физическими объектами, которые они описывают. Да, они подразумевают предметы, но не являются ими: вы можете подержать в руках две чашки, но не число 2. Числа выражаются символами, но разные культуры используют разные знаки для одних и тех же чисел. Числа – абстракция, и всё же они составляют основу нашего общества: без них оно не сможет выполнять свои функции. Это один из видов умственных построений, но мы чувствуем, что они не утратят своего значения даже в случае гибели человечества из-за глобальной катастрофы, когда не останется разума, способного их воспринимать.

Запись чисел

История математики начинается с изобретения выражающих числа письменных символов. Привычный нам набор цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которого можно представить любое, даже самое огромное, число, изобретен относительно недавно, всего около 1500 лет назад. А его расширение до десятичных знаков, значительно увеличившее степень точности, и вовсе насчитывает всего 450 лет. Пятьдесят лет назад появились первые компьютеры: они так глубоко внедрили математические расчеты в нашу жизнь, что мы и не замечаем их присутствия. А 20 лет назад началось победное шествие самых мощных и высокоскоростных вычислительных машин, заполонивших офисы и дома.

Без чисел невозможно существование привычной нам цивилизации. Они повсюду, как незримые слуги, неутомимо трудятся за кулисами: передают сообщения, следят за грамотностью напечатанного нами текста, составляют маршрут полета в отпуск, фиксируют покупки, обеспечивают эффективность и безопасность лечения. Есть и противоположная сторона медали: они делают возможным изобретение ядерного оружия, точно наводят на цель бомбы и ракеты. Далеко не всегда математика служит исключительно благим целям.

Как же удалось достичь такого расцвета этой невиданной области? Всё началось 10 тыс. лет назад на Ближнем Востоке с маленьких глиняных фигурок. Даже тогда счета содержали сведения о том, кто чем владел и в каком количестве, – хотя еще не было ни письма, ни знаков для чисел. Вместо знаков древние счетчики использовали маленькие глиняные фигурки. Одни имели форму сферы, другие – конуса, третьи – яйца. Были и цилиндры, и диски, и пирамиды. Археолог Дениз Шмандт-Бессера пришла к выводу, что фигурки представляли основные ценности того времени. Глиняные сферы обозначали меры зерна, цилиндры – животных, яйца – кувшины масла. Самые древние фигурки датируются 8000 г. до н. э., и их широко использовали в последующие 5000 лет.

Со временем фигурки становились всё более изысканными и специализированными. Были найдены конусы в виде ломтей хлеба и даже ромбовидные символы пива. Шмандт-Бессера считает, что эти фигурки – не просто приспособления для счета. Это первый, самый важный шаг к изобретению цифровых символов, арифметики и математики. Однако из-за своей необычности он кажется случайным.

Всё произошло потому, что фигурки использовались для записи: возможно, собранных налогов, или финансовых операций, или как законное доказательство права на собственность. Их достоинством была простота, с которой счетчики могли поделить их на группы, чтобы определить, сколько животных или зерна имеет или имел человек. Но был и недостаток: фигурки легко подделывались. Для предотвращения махинаций с ними счетчики стали заворачивать их в своего рода глиняные конверты – аналог печати. Чтобы определить, сколько каких фигурок в каждом конверте, его было достаточно разбить. Восстановить его не составляло особого труда.

Всё же необходимость постоянно раскалывать и восстанавливать конверты казалась чиновникам древней Месопотамии слишком утомительной, и они придумали кое-что получше. Они стали метить конверты особыми символами, обозначающими их содержимое. Если там было семь сфер, то и на конверте они рисовали семь кружков.

Наступил момент, когда до месопотамских чиновников дошло: если есть символы, то можно обойтись и без фигурок; чтобы знать, что внутри конверта, нет нужды его разбивать. В результате этого очевидного, но судьбоносного открытия появился набор письменных символов для чисел, разной формы для разных классов предметов. Все прочие, включая и те, которыми пользуемся мы, – производные от этих бюрократических приспособлений древности. Именно замену фигурок символами можно считать изобретением письменности.

Единицы счета

Первые знаки нельзя считать ранними примерами записи чисел. Это просто царапины, метки, выражающие числа в виде серии насечек, например ||||||||||||| для обозначения 13. Самая древняя из известных на сегодняшний день таких надписей – 29 насечек на бедренной кости бабуина, сделанная 37 тыс. лет назад. Эту кость нашли в пещере в горах Лебомбо, на границе между Свазилендом и ЮАР. Место называется Пограничной пещерой, а артефакт – костью Лебомбо.

В отсутствие машины времени нельзя с уверенностью утверждать, что означал каждый символ, но можно делать обоснованные предположения. В лунном месяце 28 дней, значит, насечки, должно быть, связаны с фазами Луны.

В Европе обнаружены похожие артефакты. Пятьдесят семь насечек на волчьей кости из бывшей Чехословакии разбиты на 11 групп по пять с двумя лишними; этой находке 30 тыс. лет. Дважды по 28 будет 56: это может быть обозначение для двухмесячного лунного отрезка времени. И снова у нас нет способа проверить это предположение. Но насечки явно что-то значат, их сделали не просто так.

Еще одна древняя математическая запись, на кости Ишанго из Заира, была сделана 25 тыс. лет назад (прежняя оценка в 6000–9000 лет пересмотрена учеными в 1995 г.). На первый взгляд эти царапины по краям кости кажутся случайными, но здесь может быть скрытый смысл. Один ряд состоит из простых чисел от 10 до 20: это 11, 13, 17 и 19, и в сумме они дают 60. В другом ряду мы видим 9, 11, 19 и 21, что также в сумме равно 60. Третий ряд представляет способ умножения двух чисел: одно из них несколько раз удваивают, а другое делят пополам. Но не исключено, что всё это лишь совпадение или что кость Ишанго – древний лунный календарь.

Первые цифры

Исторический путь от счетных фигурок к современным цифрам долог и извилист. Тысячелетиями народ Месопотамии развивал сельское хозяйство, и на смену кочевому образу жизни пришел оседлый, породив ряд городов-государств: Вавилон, Эриду, Лагаш, Шумер, Ур. Ранние символы на глиняных табличках усложнились до пиктограмм, передающих значения слов в упрощенном виде. Они упрощались всё больше и больше, и в итоге осталось ограниченное число клиновидных отметин, выдавленных на глине сухой палочкой с острым плоским концом. Меняя угол давления, можно было получать отметки разной формы. К 3000 г. до н. э. шумеры создали сложную письменность, названную клиновидной.

История этого периода чрезвычайно сложна; доминировали то одни города, то другие. В какой-то момент высшего расцвета достиг Вавилон: из месопотамских песков ученые выкопали более миллиона глиняных табличек. Несколько сот из них, посвященных математике и астрономии, демонстрируют удивительно глубокие познания древних в этих областях. В частности, вавилоняне были просвещенными астрономами и сумели создать сложнейшую систему математических символов, с помощью которых могли передавать точные астрономические данные.

Числовые символы вавилонян ушли далеко от простых насечек и считаются самыми древними в своем роде. Использовались два разных вида клинышков: тонкий вертикальный обозначал цифру 1, а толстый горизонтальный – 10. Эти знаки, собранные в группы, представляли числа от 2 до 9 (для вертикальных клиньев) и десятки от 20 до 50 (для горизонтальных). Но ряд кончался на 59, после чего тонкий вертикальный клин уже обозначал число 60.

Таким образом, вавилонская система счисления основана на 60, т. е. является шестидесятиричной. В ней каждый символ обозначает либо какое-то число, либо его же, умноженное на 60, либо умноженное на 60 и еще раз на 60 – в зависимости от его положения.

Таков же принцип счисления в нашей десятеричной системе, где значение каждого символа умножается на 10, или 100, или 1000 в зависимости от его положения. Например, в числе 777 первая 7 значит «семь сотен», вторая – «семь десятков», а третья – «семь единиц». У вавилонян серия из трех (символа для 7) будет иметь иное значение, хоть и основанное на том же принципе. Первый символ будет значить 7 × 60 × 60, т. е. 25 200; второй 7 × 60 = 420, третий – 7. Значит, группа из трех символов означает 25 200 + 420 + 7, или 25 627. Артефакты с вавилонской системой счисления, основанной на 60, обнаруживаются до сих пор. И 60 секунд в минуте, и 60 минут в часе, и 360 градусов в окружности уходят корнями в Древний Вавилон.

Кость Ишанго: насечки и представленные ими числа

Простые единицы счета удобны тем, что их можно наносить по одной в течение долгого времени, не изменяя и не удаляя предыдущие. Их используют и сейчас, часто в группах по пять: пятая палочка по диагонали пересекает первые четыре

Древние единицы счета можно найти в элементах современных символов. Наши цифры 1, 2 и 3 явно произошли от насечек: одна горизонтальная, две горизонтальные, связанные косой чертой, и три горизонтальные, связанные косыми чертами

Из-за сложности передачи клинописи ученые изображают вавилонские числа «гибридом» из наших десятеричных знаков и вавилонских шестидесятиричных. Так, тройка клинописных символов для 7 будет выглядеть как 7,7,7. А 23, 11, 14 обозначает вавилонские символы для 23, 11 и 14, написанные по порядку, с числовым значением (23 × 60 × 60) + (11 × 60) + 14, или 83 474 в десятичной системе счисления.

Символы для малых чисел

Мы используем десять знаков не только для обозначения сколь угодно больших чисел: эти же символы отлично справляются и с числами сколь угодно малыми. С этой целью мы используем десятичный разделитель, обозначаемый запятой. Цифры слева от нее обозначают целые числа, справа – их доли, дроби. Дробная часть представляет десятые, сотые доли и т. д. Число 25,47 значит две десятки плюс пять единиц плюс четыре десятых плюс семь сотых.

Вавилоняне знали этот фокус и с пользой применяли его в своих астрономических записях. Ученые использовали в качестве вавилонского эквивалента десятичного разделителя знак «точка с запятой» (;), но это шестидесятеричная «запятая», и числа справа от нее кратны ¹/₆₀, (¹/₆₀ × ¹/₆₀) = ¹/₃₆₀₀ и т. д. Например, последовательность чисел 12,59;57,17 составит

12 × 60 + 59 + ⁵⁷/₆₀ + ¹⁷/₃₆₀₀,

что в сумме приблизительно равно 779,955.

На данный момент известно около 2000 вавилонских астрономических табличек. Большинство из них относительно простые и содержат перечень предсказываемых затмений, других регулярных астрономических событий и краткие данные по ним. Около 300 табличек заслуживают большего интереса и восхищения: на них отмечены пути Меркурия, Марса, Юпитера и Сатурна.

Вавилонские символы для чисел от 1 до 59

Какой бы увлекательной ни была история Вавилона, нашу всемирную историю она задевает лишь по касательной, в основном в части чистой математики. Однако, судя по всему, именно приложение к астрономии стало важным толчком к более активному развитию этой науки. Вот почему полезно отметить поразительную точность, с которой вавилоняне описывали астрономические события. Например, они определили период обращения Марса (отрезок времени между двумя его появлениями в одной и той же точке на небосклоне) в 12,59;57,17 дня в своем исчислении, т. е. примерно 779,955 нашего дня, как упоминалось выше. Современные данные – 779,936 дня.

ДЛЯ ЧЕГО ЧИСЛА СЛУЖИЛИ ИМ

Вавилонская табличка Юпитера. Вавилоняне использовали свою систему счисления для торговли, счета и более отвлеченных и сложных целей, например астрономии. Здесь способность их системы с высокой точностью представлять дроби оказалась особенно важной. Многие сотни табличек хранят данные о движении планет. Среди них есть одна, относительно плохо сохранившаяся, с ежедневными данными о движении Юпитера примерно за 400 лет. Она была создана в самом Вавилоне около 163 г. до н. э. Эта типичная запись содержит числа 126 8 16;6,46,58 – 0;0,45,18 – 0;0,11,42 + 0;0,0,10, что соответствует различным величинам, используемым для вычисления положения планеты в небе. Заметьте: числа с тремя шестидесятеричными знаками после запятой чуть точнее, чем их аналоги из пяти чисел в десятичной системе.

Древние египтяне

Наверное, самой великой из древних цивилизаций была египетская. Период ее расцвета на плодородных берегах Нила и его дельты приходится на 3150–31 гг. до н. э., с долгой додинастической историей, простирающейся до 6000 г. до н. э., и медленным упадком под властью Рима после 31 г. до н. э. Египтяне были великими строителями, со сложной высокоразвитой системой верований и церемоний, а также скрупулезными летописцами. Но их математические достижения бледнеют в сравнении с открытиями вавилонян.

Древнеегипетская система записи целых чисел проста и незамысловата. У них были символы для 1, 10, 100, 1000 и т. д. Повторяя их до девяти раз, они затем складывали их, чтобы получить значение числа.

Например, чтобы изобразить число 5724, египтяне должны были нарисовать рядом пять символов для 1000, семь символов для 100, два символа для 10 и четыре для 1.

Египетские числовые символы

Число 5724, записанное египетскими иероглифами

Специальные обозначения некоторых дробей (части «глаза Гора»)

Специальные символы для некоторых дробей

Дроби для египтян были лишней головной болью. В разные периоды они использовали для дробей разные наборы знаков. В Старом царстве (2700–2200 гг. до н. э.) применялись специальные обозначения для наших дробей: ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ¹/₁₆, ¹/₃₂ и ¹/₆₄, которые получены повторяющимся делением пополам. Эти символы включали части «глаза Гора», или иероглифа Уаджет.

Самую известную древнеегипетскую систему записи дробей относят к Среднему царству (2200–1700 гг. до н. э.). Она начинается с определения каждой дроби в виде ¹/_n, где n – положительное целое число. Для обозначения n символ (иероглиф для буквы R) ставили сверху стандартных египетских символов чисел. Значит, например, ¹/₁₁ будет написана так: . Другие дроби соответственно отображались добавлением необходимого числа таких «единичных дробей». Например, ⁵/₆ = ¹/₂ + ¹/₃.

Интересно, что при этом египтяне не писали ²/₅ как ¹/₅ + ¹/₅. Судя по всему, здесь работало правило: использовать разные единичные дроби. Существовали также разные обозначения для некоторых простых дробей, например ¹/₂, ²/₃ и ³/₄.

Египетские обозначения дробей очень неуклюжие и плохо приспособлены для вычислений. Они были пригодны для официальных отчетов, но остались вне поля зрения последующих культур.