Текст книги "Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса"

Декартова система координат

Декартовы координаты алгебраически тесно связаны с коническими сечениями – кривыми в геометрии, которые древние греки строили как сечения двойного конуса. Алгебраически получается, что конические сечения являются следующим видом простейших кривых линий после прямых. Прямая линия описывается уравнением

ax + by + c = 0

с константами a, b и c. Коническое сечение описывается квадратным уравнением

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

с константами a, b, c, d, e, f. Декарт отмечал этот факт, но не смог его доказать. Но он разобрал случай, основанный на теореме, которая приписывалась Паппу и давала характеристики коническим сечениям. Он сумел доказать, что там результат описывается квадратным уравнением.

Он пошел дальше и обратился к уравнениям более высокого порядка, описывая более сложные кривые, чем те, с которыми имела дело классическая греческая геометрия. Типичным примером можно считать декартов лист, задаваемый уравнением:

x³ + y³ – 3axy = 0,

которое описывает петлю с двумя концами, уходящими в бесконечность.

Пожалуй, главный вклад концепции координат проявляется именно в этом: Декарт смог уйти от греческого взгляда на кривые как на объекты, построенные с помощью особых геометрических приспособлений, и увидел в них визуальное представление любой алгебраической формулы. Как заметил в 1707 г. Исаак Ньютон, «современный подход, но намного более глубокий [чем у греков], позволяет любую линию в геометрии выразить в виде уравнения».

Более поздние ученые изобрели множество вариантов декартовой системы координат. В письме от 1643 г. Ферма рассматривает идеи Декарта и развивает их для трехмерного пространства. Он упоминает такие поверхности, как эллипсоид и параболоид, описываемые квадратными уравнениями с тремя переменными x, y, z. Важным вкладом было введение Якобом Бернулли полярных координат в 1691 г. Чтобы определять точки на плоскости, он использовал угол θ и расстояние r вместо пары осей. Теперь эти координаты стали обозначать как (r, θ).

Декартов лист

И снова уравнения соответствуют определенным кривым. Но теперь простые уравнения могут описать кривые, которые были чрезвычайно сложными в декартовых координатах. Например, r = θ описывает спираль, ту самую, что уже известна нам как архимедова.

Полярные координаты

Функции

Важнейшее применение координат в математике – метод графического представления функций.

Функция – не число, но отношение между элементами, когда изменение в одном влечет перемены в другом. Оно часто выражается в формуле, которая приписывает каждому числу, x (возможно, с предварительными ограничениями), другое число, f(x).

Например, функция квадратного корня определяется правилом f(x) = √х, т. е. извлечением квадратного корня из данного числа. Это отношение требует, чтобы x было положительным. Квадратная функция определяется уравнением f(x) = x², на этот раз нет ограничения для х.

Архимедова спираль

Мы можем геометрически изобразить функцию, определяя координату y по заданному уравнению для x: y = f(x). Это уравнение задает отношение между двумя координатами и таким образом определяет форму кривой. Такая кривая называется графиком функции f.

КТО ИЗ БЕРНУЛЛИ ЭТО СДЕЛАЛ?

На развитие математики заметно повлияло швейцарское семейство Бернулли. На протяжении четырех поколений из него выходили выдающиеся математики, поражавшие своим талантом. Часто называемые математической мафией, Бернулли обычно начинали свою карьеру в качестве слуг закона, медицины или церкви, но рано или поздно возвращались к главному призванию – математике, на профессиональном или любительском уровне.

Якоб I (1654–1705)

Изобрел полярные координаты, формулу для радиуса кривизны плоской кривой. Изучил специальные кривые, такие как цепная линия и лемниската. Вывел доказательство, что изохрона (кривая, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки) является перевернутой циклоидой. Изучал изопериметрические фигуры, имеющие кратчайшую длину при различных условиях; позже это привело к развитию вариационного исчисления. Один из первых исследователей теории вероятностей и автор первой книги на эту тему, «Искусство предположений» («Ars conjectandi»). Якоб завещал выгравировать на своей могиле логарифмическую спираль и надпись на латыни: «Eadem mutata resurgo» («Измененная, я вновь воскресаю»).

Иоганн I (1667–1748)

Ввел новые способы счисления и распространил их в Европе. Маркиз де Лопиталь опубликовал труды Иоганна в своем первом учебнике по исчислению (точное название «Анализ бесконечно малых»). Правило Лопиталя для нахождения пределов, раскрывающих неопределенности вида 0/0, – заслуга Иоганна. Написал труды по оптике (отражение и рефракция), об ортогональных траекториях семейства кривых, длинах кривых и нахождении площадей с помощью интегрального исчисления, по аналитической тригонометрии и экспоненциальным функциям. Вычислил брахистохрону (кривую скорейшего спуска) и длину циклоиды.

Николай I (1687–1759)

Занял кафедру Галилея в Падуе. Написал труды по геометрии и дифференциальным уравнениям. Позже преподавал логику и право. Одаренный, но не слишком продуктивный математик. Вел переписку с Лейбницем, Эйлером и другими выдающимися учеными: его главное наследие – около 560 писем. Сформулировал Санкт-Петербургский парадокс в теории вероятностей.

Критиковал использование Эйлером расходящихся рядов. Способствовал посмертной публикации труда Якоба Бернулли «Искусство предположений». Поддерживал Лейбница в его противостоянии с Ньютоном.

Николай II (1695–1726)

Был приглашен преподавать в академии Санкт-Петербурга и утонул восемь месяцев спустя. Дискутировал с Даниилом по поводу Санкт-Петербургского парадокса.

Даниил (1700–1782)

Самый известный из трех сыновей Иоганна. Работал с теорией вероятностей, астрономией, физикой и гидродинамикой. Его труд «Гидродинамика» 1738 г. содержит описание закона Бернулли – связи между давлением и скоростью. Исследовал морские приливы, кинетическую теорию газов и колебание струн. Пионер в исследовании дифференциальных уравнений с частными производными.

Иоганн II (1710–1790)

Младший из трех сыновей Иоганна. Изучал право, но стал профессором математики в Базеле. Работал над математической теорией света и тепла.

Иоганн III (1744–1807)

Как и его отец, изучал право, но в итоге обратился к математике. В 19 лет был приглашен в Берлинскую академию наук. Автор трудов по астрономии, теории вероятностей и периодическим десятичным дробям.

Якоб II (1759–1789)

Автор важных работ по теории упругости, гидростатике и баллистике.

График функции f(x) = x² оказывается параболой. График функции квадратного корня f(x) = √x образует половину параболы, которая «лежит на боку». Чем сложнее функция, тем сложнее описывающее ее уравнение. График функции синуса с уравнением y = sin x – волнообразная кривая.

График функции f

Геометрия координат сегодня

Координаты – одна из тех простых идей, которые заметно изменили нашу жизнь. Мы используем их повсеместно, как правило, не отдавая себе в этом отчета. По сути, все графики в компьютере используют внутреннюю систему координат, а геометрия, демонстрируемая на экране, задана алгеброй. Даже такая простая операция, как поворот фотографии на несколько градусов, чтобы выровнять линию горизонта, основана на геометрии координат.

Графики квадратичной функции и функции квадратного корня

Еще более важное послание от геометрии координат связано с перекрестными связями в математике. Концепция, чья физическая реализация выглядит совершенно иной, может оказаться просто иным аспектом одного и того же объекта. Первое впечатление порой обманчиво. Математика оказалась настолько эффективной во многом потому, что стала способом взглянуть на привычные явления с точки зрения их восприимчивости к новым идеям, переходящим из одной области науки в другую. Математика незаменима для обмена технологиями. И именно перекрестные связи, впервые открытые еще 4000 лет назад, сделали математику таким всеобъемлющим, уникальным предметом.

График функции синус

ЧТО КООРДИНАТЫ ДАЛИ ИМ

Геометрия координат может применяться на поверхностях более сложных, чем плоскость, например на сфере. Нам хорошо знакома такая система координат на ней, как долгота и широта. Вся картография, а также использование карт в навигации могут рассматриваться как практическое приложение геометрии координат.

Для капитанов главной проблемой навигации было определение широты и долготы, на которых оказался их корабль. С широтой обстояло немного проще: угол подъема солнца над горизонтом зависит от нее и может быть подсчитан. С 1730 г. стандартным инструментом для определения широты был секстант (в наши дни практически вытесненный из обихода системой GPS). Его изобрел Ньютон, но не опубликовал свое открытие. И его самостоятельно заново открыли двое: английский математик Джон Хэдли и американский изобретатель Томас Годфри. До той поры мореходы пользовались только астролябией, которая восходит к арабскому Средневековью.

Долгота и широта в качестве координат

Долгота – более коварная координата. Но проблему в итоге удалось решить при помощи высокоточных часов, выставленных на местное время в начале плавания. Время восхода и захода солнца, а также движение луны и звезд, зависящие от долготы, позволяли определить ее путем сравнения местного времени и того, что показывают часы. История изобретения Джоном Харрисоном хронометра, решившего проблему, изложена в известной книге Давы Собел «Долгота».

ЧТО КООРДИНАТЫ ДАЮТ НАМ

Мы по-прежнему используем координаты на картах, но еще одним примером активного применения стали графики колебаний цен на рынке ценных бумаг, где все изменения изображаются в виде кривой. Здесь по оси х отложено время, а по оси у – цена. Трудно перечислить все виды финансовых и научных данных, отображаемых таким способом.

Данные рынка ценных бумаг, представленные в системе координат

Глава 7. Такие разные числа

Начала теории чисел

Несмотря на увлечение геометрией, математики никогда не теряли интереса к числам. Они стали задавать всё более сложные вопросы и на многие из них нашли ответы сами. Ряд вопросов удалось решить позже благодаря новым методам. А некоторые остались нерешенными по сей день.

Теория чисел

Числа всегда нас завораживали. Понятные, незатейливые, 1, 2, 3, 4, 5… Кажется, что может быть проще? Но под этой внешней простотой таятся неведомые глубины, и большинство неприступных вопросов в математике касаются самых очевидных свойств целых чисел. Эта область известна как теория чисел, и на поверку она оказалась очень сложной, поскольку ее составляющие касаются самых основ науки. Как раз простота целых чисел и оставляет так мало возможностей для сложных методов.

Самые первые шаги в теории чисел – которые доказаны фактами, а не одними предположениями – обнаруживаются в трудах Евклида, где эти идеи слегка завуалированы под геометрию. Теория чисел была выделена в отдельную область математики древним греком Диофантом, отрывки работ которого дошли до нас в более поздних списках. Теория чисел пережила период бурного развития в 1600-х гг., а благодаря работам Ферма и дальнейшим разработкам Леонарда Эйлера, Жозефа-Луи Лагранжа и Карла Фридриха Гаусса она превратилась в обширную самостоятельную область математики, тесно связанную со многими науками, на первый взгляд не имеющими к ней отношения. Именно эта связь была использована в конце ХХ в. для ответа на многие – хоть и не все – древние загадки, включая самую известную и интригующую: предположение Ферма, сформулированное им около 1650 г. и известное как Великая теорема (или Последняя теорема).

Большую часть своей истории теория чисел касалась сугубо математических научных трудов и почти не влияла на реальный мир. Если когда-то и существовала ветвь математической мысли, интересная лишь отшельникам, живущим в башнях из слоновой кости, то это могла быть только теория чисел. Однако всё изменилось с изобретением компьютеров. Они работают с электронным представлением целых чисел, и проблемы и возможности, связанные с ними, постоянно возвращают ученых к теории чисел. После 2500 лет существования в виде игр чистого разума теория чисел стала частью реальной жизни.

Простые числа

Любой, кому доводилось перемножать целые числа, замечал их фундаментальные отличия.

Многие числа можно разделить на меньшие части, из которых искомое получается путем их перемножения. Например, 10 можно получить умножением 2 на 5, а 12 равно 3 × 4. Но некоторые числа так разделить невозможно. Мы не можем выразить 11 как произведение двух меньших целых чисел, то же относится к 2, 3, 5, 7 и многим другим.

Составные числа – те, которые можно выразить как произведение двух меньших. Простые числа – те, которые нельзя так выразить. Согласно этому определению, 1 должно считаться простым числом, но в силу важных причин его решено выделить в отдельный класс и обозначать как единицу. Итак, первые простые числа выглядят так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41

По этому списку видно, что для простых чисел нет очевидного шаблона (за исключением того, что все, кроме первого, нечетные). Кажется, они появляются беспорядочно, и нет способа предсказать, каким будет следующее в списке. Но даже тогда несомненно, что это число всё же можно определить – одно за другим проверяя все последующие, пока снова не найдете простое.

Несмотря или, скорее, благодаря своему беспорядочному распределению они жизненно важны в математике. Они являются основными строительными блоками для всех прочих чисел, в том смысле, что большие числа получаются умножением меньших.

Химия утверждает, что любая молекула, какой бы сложной она ни была, состоит из атомов – неделимых частиц материи. А математика говорит нам, что любое число, каким бы большим оно ни было, состоит из простых – неделимых. Простые числа – это атомы теории чисел.

Это свойство простых чисел очень полезно, потому что в математике многие вопросы могут быть решены для всех целых чисел, если их решить для простых чисел, а простые числа имеют такие особые свойства, что иногда облегчают процесс. Эта дуальность простых чисел – простота, но непредсказуемость – всегда была предметом любопытства ученых.

Евклид

Евклид описал простые числа в книге VII «Начал» и доказал три их ключевых свойства. В современном изложении это звучит так.

• Любое число можно представить как производное простых чисел.

• Это выражение будет уникальным, за исключением порядка, в котором появляются простые числа.

• Простых чисел бесконечно много.

Однако то, что Евклид на самом деле утверждал, и то, что он доказал, – не совсем одно и то же. Предложение 31 из книги VII утверждает, что всякое составное число измеряется каким-то первым (простым) числом, т. е. его можно точно разделить на это простое число. Например, 30 – составное, и оно точно делится на несколько простых чисел, среди которых есть 5: действительно, 30 = 6 × 5. Повторяя этот процесс поиска делителя в виде простого числа или множителя, мы можем разложить любое составное число на произведение простых. Так, начав с 30 = 6 × 5, мы находим, что 6 также является составным (2 × 3). Теперь 30 = 2 × 3 × 5, причем все три множителя простые. Это была факторизация числа 30. Если бы мы начали с 30 = 10 × 3, нам пришлось бы вместо этого разложить 10, т. е. 10 = 2 × 5, т. е. 30 = 2 × 5 × 3. Получаем те же три простых числа, но перемноженные в другом порядке, – что, конечно, не влияет на результат.

Может показаться очевидным, что, каким бы образом мы ни раскладывали число на простые, мы всегда получим одинаковый результат, за исключением их порядка, но доказать это не так просто. Похожие утверждения для некоторых систем чисел, связанных математическими соотношениями, на поверку оказываются ложными, хотя для обычных целых чисел они и верны. Разложение на простые множители уникально. Евклид доказал ключевой факт, необходимый для утверждения об уникальности, в «Началах». Предложение 30, книга VII: если простое число делит произведение из двух чисел, то оно должно делить по крайней мере одно из них. Уникальность факторизации – прямое следствие предложения 30.

ПОЧЕМУ УНИКАЛЬНЫ И НЕ ТАК ОЧЕВИДНЫ ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Коль скоро мы признаем простые числа атомами теории чисел, вроде бы логично предположить, что при делении чисел на простые должны всегда получаться одинаковые атомы. В конце концов, атомы – неделимые частицы. Если вы можете поделить число двумя разными способами, не будет ли это расщеплением атома? И вот здесь аналогия с химией немного неточная.

Чтобы понять, что уникальность факторизации не очевидна, мы можем взять неполный набор чисел:

1 5 9 13 17 21 25 29

и т. д. Здесь выбраны числа, которые на единицу больше чисел, кратных 4. Произведения этих чисел также обладают схожими свойствами, т. е. мы можем построить такие числа, умножая меньшие числа подобного типа. Назовем квазипростыми любые числа в этом ряду, не являющиеся произведениями двух меньших в исходном ряду. Например, 9 будет квазипростым: меньше его только 1 и 5, а их произведение не равно 9. (То, что 9 = 3 × 3, остается в силе, но в исходном ряду у нас не было 3.) Очевидно – и верно, – что каждое составное число в ряду является произведением квазипростых. Однако, хотя эти квазипростые числа оказываются атомами для данного ряда, выходит нечто весьма странное. Число 693 (693 = 692 + 1, где 692 = 173 × 4, кратно 4) можно разбить двумя разными способами: 693 = 9 × 77 = 21 × 33, и все четыре множителя: 9, 21, 33 и 77 – квазипростые. А значит, уникальность факторизации не работает для этого типа чисел.

Предложение 20, книга IX, утверждает: «Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел». В современном изложении это значит, что множество простых бесконечно. В доказательство можно привести пример: представьте, что существует только три простых числа: a, b и c. Перемножьте их и прибавьте единицу, вот так: abc + 1. Это число должно делиться на какое-то простое, но оно не может быть одним из этих трех первоначальных, поскольку они нацело делят abc, но ни одно из них не сможет также разделить abc + 1, ведь тогда им придется делить еще и разницу, которая равна 1. Получается, что мы обнаружили еще одно простое число, а это противоречит предположению о существовании только трех простых чисел a, b, c.

Хотя в доказательстве Евклида использовано всего три числа, та же идея работает и для более длинного списка. Перемножьте все простые числа в нем, добавьте единицу, затем возьмите несколько простых множителей и проверьте результат: вы всегда сгенерируете новое число, которого нет в списке. То есть невозможно составить полный законченный перечень простых чисел.

НАИБОЛЬШЕЕ ИЗВЕСТНОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО

Наибольшего простого числа не существует, но в сентябре 2006 г. было найдено наибольшее известное простое число, равное 2^{32 582 657} – 1, в котором есть 9 808 358 десятичных цифр[5]5
  Теперь, по состоянию на январь 2016 г., самым большим известным простым числом является 2^{74 207 281} − 1. Оно содержит 22 338 618 десятичных цифр. Прим. науч. ред.


[Закрыть]. Числа вида 2^p – 1, где p – простое число, называются числами Мерсенна, по имени ученого, в своем труде «Физико-математические размышления» (1644 г.) показавшего, что эти числа являются простыми для р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и составными для всех остальных целых чисел, меньших 257.

Сейчас существуют специальные высокоскоростные методы проверки таких чисел, и мы знаем о пяти ошибках Мерсенна. Его числа получаются составными, если р = 67 и 257, и есть три пропущенных им простых числа с р = 61, 89, 107. На сегодня известно 49 чисел Мерсенна. Поиски новых могут считаться хорошей проверкой новых компьютеров, но не имеют практического значения.

Диофант

Мы уже упоминали Диофанта Александрийского в связи с алгебраическими символами, но самое большое влияние на математику он оказал в области теории чисел. Он предпочитал изучать более глобальные вопросы, а не свойства отдельных чисел, хотя его ответы как раз и представляют собой отдельные числа. Например, «найдите три таких числа, чтобы их сумма, а также сумма любых двух из них являлась полным квадратом». Его ответ был 41, 80 и 320.

Для проверки: сумма всех трех 441 = 21².

Сумма каждой пары: 41 + 80 = 11², 41 + 320 = 19² и 80 + 320 = 20².

Одним из самых известных уравнений, решенных Диофантом, является любопытное изложение теоремы Пифагора. Мы можем выразить ее алгебраически: если у прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c сторона с – самая длинная, то a² + b² = c². Найдено несколько особенных прямоугольных треугольников, у которых стороны – целые числа. Самым простым и известным является треугольник, у которого стороны a, b, c соответственно равны 3, 4, 5; здесь 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Следующий самый простой пример: 5² + 12² = 13².

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц

На самом деле таких пифагоровых троек бесконечное множество. Диофант нашел все возможные решения с целыми числами, которые мы можем сейчас записать в виде уравнения a² + b² = c². Его метод состоит в том, чтобы взять любые два целых числа и получить разницу между их квадратами, удвоить их произведение и сложить их квадраты. Три таких числа обязательно составляют пифагорову тройку, и все треугольники, полученные таким путем, обеспечат нас возможностью строить по ним другие тройки, если все три числа умножить на одинаковую константу. Например, если взять числа 1 и 2, мы получим знаменитый треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Соответственно, поскольку есть бесконечно много способов выбрать эти два числа, существует бесконечное множество пифагоровых троек.