Текст книги "Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса"

ФермА

После Диофанта теория чисел буксовала целое тысячелетие, пока ею не заинтересовался Ферма, сделавший немало важных открытий. Одна из его самых изящных теорем говорит нам, когда данное целое число n представимо в виде суммы квадратов двух чисел: n = a² + b². Решение находится легко, если n – простое число.

Ферма отметил, что существует три главных вида простых чисел:

а) 2, единственное четное простое;

б) простые числа, которые больше на единицу чисел, кратных 4, такие как 5, 13, 17 и т. д., – все нечетные;

в) простые числа, которые меньше на единицу чисел, кратных 4, такие как 3, 7, 11 и т. д., – тоже нечетные.

ЧЕГО МЫ НЕ ЗНАЕМ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ

Даже в наши дни простые числа не раскрыли всех своих тайн. Две самых известных из них – проблема Гольдбаха и гипотеза о бесконечном числе простых чисел-близнецов.

Христиан Гольдбах – известный математик, состоявший в переписке с Леонардом Эйлером. В письме от 1742 г. он формулирует утверждение о том, что каждое целое число, большее 2, можно представить в виде суммы трех простых. Гольдбах считал 1 простым числом. Сейчас оно таковым не считается, потому мы должны исключить числа 3 = 1 + 1 + 1 и 4 = 2 + 1 + 1. Эйлер сделал гипотезу еще строже: каждое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5 и т. д. Эта гипотеза подразумевает точность гипотезы Гольдбаха. Эйлер не сомневался в своей правоте, но не смог найти доказательство, и до сих пор такового нет. Проверка на компьютере показывает, что гипотеза верна для всех четных чисел вплоть до 10¹⁸. Лучший известный на сегодняшний день результат получен в 1973 г. Чэнь Цзинжунем с использованием сложных методов анализа. Он доказал, что любое достаточно большое четное число является суммой двух простых или суммой простого и полупростого числа (произведения двух простых).

Гипотеза о простых числах-близнецах намного старше и ведет свое начало со времен Евклида. Она утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел-близнецов р и р + 2. Примеры – 5 и 7 или 11 и 13. Опять-таки, у нас нет ни доказательств, ни опровержений гипотезы. В 1966 г. Чэнь доказал, что существует бесконечно много простых чисел р, для которых и р + 2 являются простыми или полупростыми. На сегодняшний день самой большой из них считается пара 2 996 863 034 895 × 2^{1 290 000} ± 1, обнаруженная в сентябре 2016 г.

Ферма утверждал, что простое число есть сумма двух квадратов, если оно принадлежит к типу a или б, но не является суммой двух квадратов, если принадлежит к типу в. Например, 37 относится к типу б, так как его можно представить как 4 × 9 + 1, и 37 = 6² + 1² – это сумма двух квадратов. А 31 = 4 × 8–1 относится к типу в, и если вы испробуете все возможные способы выразить его как сумму двух квадратов, у вас ничего не получится. (Например, 31 = 25 + 6, где 25 – квадрат, а 6 – нет.)

Вывод таков: число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда любой его простой делитель вида 4k – 1 имеет четную степень. Используя подобные методы, Жозеф-Луи Лагранж в 1770 г. доказал, что любое положительное целое число есть сумма четырех квадратов целых чисел (включая один или два нуля, если необходимо). Ферма еще раньше говорил об этом, но не представил доказательств.

Одно из самых влиятельных открытий Ферма одновременно оказалось самым простым. Оно известно как Малая теорема Ферма, чтобы отличать ее от Последней (иногда называемой Великой), и утверждает, что если р – любое простое число и а – любое целое число, то а^р – a кратно р. Описанное свойство обычно неверно, когда р составное число, но не всегда.

На доказательство самой знаменитой теоремы Ферма ушло 350 лет. Он сформулировал ее примерно в 1640 г. и заявил, что доказал ее, однако всё, что нам известно о ней, – не более чем короткое примечание. У Ферма имелась собственная копия «Арифметики» Диофанта, вдохновившая его на большинство исследований, и он часто записывал на полях свои мысли. Судя по всему, в какой-то момент он задумался над уравнением Пифагора – сложением двух квадратов, чтобы получить тоже квадрат. Он захотел понять, что получится, если вместо квадратов поставить кубы, но не нашел решения. Та же проблема возникла и с четвертой, и с пятой, и с прочими степенями. В 1670 г. сын Ферма Самуэль опубликовал новую редакцию перевода «Арифметики» Гаспара Баше, в которую вошли и заметки на полях, сделанные Ферма.

ПЬЕР ДЕ ФЕРМА 1601–1665

Пьер Ферма родился в 1601 г. во Франции, в городке Бомон-де-Ломань, в семье торговца кожами Доминика Ферма и Клэр де Лонг, дочери потомственного юриста. К 1629 г. он успел сделать ряд важных открытий в геометрии и методах исчисления, но предпочел карьеру юриста и выкупил должность королевского советника парламента (члена высшего суда) в Тулузе в 1631 г. Так он получил приставку «де» к своему имени. После эпидемии чумы, унесшей жизни многих его предшественников, он быстро сделал карьеру. Уже в 1648 г. он стал членом Палаты эдиктов, где и служил до конца жизни, достигнув в 1652 г. высшей должности – председателя уголовного суда.

Он никогда не стремился к академической карьере, но математика была его страстью. В 1653 г. он заразился чумой, и пошли слухи о его скорой смерти, но он выжил. Он вел активную переписку с другими мыслителями своего времени, особенно с математиком Пьером де Каркави и монахом Мареном Мерсенном.

Он работал в сферах механики, оптики, теории вероятностей и геометрии, а его способ определения максимума и минимума функции проложил дорогу современному дифференциальному исчислению. Он стал одним из ведущих математиков мира, но почти не публиковал свои работы, главным образом из-за нежелания тратить время на их подготовку к печати.

Самое долгое влияние на науку имела его теория чисел, где он подтолкнул многих математиков к поиску доказательств ряда теорем и решения задач. Среди них (неверно названное) уравнение Пелля nx² + 1 = y² и утверждение, что сумма двух кубов, не равных нулю, сама кубом быть не может. Это частное утверждение из более общей гипотезы, Последней теоремы Ферма, где кубы заменили n-й степенью для любой величины n ≥ 3.

Ферма скончался в 1665 г., через два дня после того, как вынес очередной приговор.

Одной из них стало известное утверждение, что если n ≥ 3, сумма двух чисел в степени n не может быть производным числом в степени n. В приписке на полях говорилось: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки».

Кажется маловероятным, что, даже если это доказательство существовало, оно было корректно. Первым и пока единственным стало доказательство Эндрю Уайлса, найденное в 1994 г. Оно использует сложнейшие абстрактные методы, разработанные только в ХХ в.

После Ферма многие выдающиеся математики трудились над развитием теории чисел, среди них Лагранж и Эйлер. За это время удалось найти доказательство многих из сформулированных, но не доказанных Ферма теорем.

Гаусс

Следующий важный шаг в теории чисел сделал Гаусс, опубликовавший в 1801 г. свой шедевр «Арифметические исследования». Книга сразу обеспечила теории чисел ведущую роль в математической науке. Отныне и впредь она оставалась ключевым компонентом математического мейнстрима. Гаусс в основном занимался собственными, новыми исследованиями, но также сумел заложить основы современной теории чисел и систематизировать идеи предшественников.

Одной из самых важных фундаментальных перемен была простая, но великолепная идея – модульная арифметика. Гаусс открыл новый вид числовой системы, аналогичный целым числам, но отличный в одном важном аспекте: некое определенное число, или модуль, было отождествлено с числом 0. Эта любопытная идея оказалась фундаментальной для нашего понимания свойств делимости обычных целых чисел.

Вот как выглядит идея Гаусса. Для целого числа m числа a и b сравнимы по модулю m, обозначенному так:

a ≡ b (mod m),

если разница a − b делится на m без остатка. Тогда арифметика по модулю m работает точно так же, как простая арифметика, но теперь мы можем заменить m на 0 на любом этапе вычислений. А значит, любое умножение на число m можно игнорировать.

Чтобы передать дух идеи Гаусса, часто прибегают к выражению «арифметика часов». На часах число 12 можно считать эквивалентным 0, поскольку каждые 12 часов их значения повторяются (для континентальной Европы или военных более привычны 24 часа). Семь часов после шести часов будут обозначаться не 13, а 1 час, и по системе Гаусса 13 ≡ 1 (mod 12). Модульная арифметика подобна часам, для которых потребуется m часов на прохождение полного круга. Ничего удивительного, что модульная арифметика позволяет исследовать любые объекты, которые меняются по повторяющимся циклам.

«Арифметические исследования» используют модульную арифметику как основу для более глубоких идей, о трех из которых мы упомянем в этой книге.

Значительная ее часть описывает дальнейшее развитие наблюдений Ферма о том, что простые числа вида 4k + 1 являются суммой двух квадратов, а простые числа вида 4k − 1 – нет. Гаусс подтвердил этот результат как свойство целых чисел, которые можно записать в виде x² + y², где и x, и y – целые числа. Затем он спрашивает, что получится, если вместо этой формулы мы используем общую квадратичную форму: ax² + bxy + cy²? Его теоремы слишком сложны для того, чтобы обсуждать их здесь, но дают практически полное понимание этого вопроса.

Следующая тема – закон квадратичной взаимности, завороживший и лишивший Гаусса покоя на долгие годы. Отправной точкой стал простой вопрос: как выглядят полные квадраты чисел по заданному модулю? Предположим, что модуль равен 11. Тогда получается последовательность квадратов (для чисел меньше 11):

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100,

откуда, уменьшая (по mod 11), получаем:

0 1 3 4 5 9,

где каждое число, не равное 0, появляется дважды. Эти числа и есть квадратичные вычеты по модулю 11.

КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС 1777−1855

Гаусс был очень развитым ребенком, даже исправлял арифметические ошибки отца. В 1792 г. на стипендию, положенную ему герцогом Брауншвейгским, Гаусс поступил учиться в престижный Каролинум-колледж. Там он сделал несколько важных математических открытий, в их числе квадратичный закон взаимности и теорема о простых числах, но не сумел их доказать. С 1795 по 1798 г. он обучался в Гёттингене, где нашел способ построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. Его «Арифметические исследования», один из важнейших трудов по теории чисел, увидели свет в 1801 г.

Публичная репутация Гаусса, несмотря на это, опирается на астрономическое предсказание. В 1801 г. Джузеппе Пиацци открыл первый астероид – Цереру. Его наблюдения были столь неполны, что астрономы боялись не найти небесное тело снова, когда то покажется из-за Солнца. Поэтому многие астрономы взялись предсказать, где Церера появится вновь, в том числе Гаусс. Но прав оказался только он. Фактически Гаусс воспользовался методом, ставшим возможным благодаря его открытию, которое известно в наши дни как метод наименьших квадратов и позволяет получить точные результаты в условиях ограниченных наблюдений. Ученый не опубликовал в свое время этот метод, хотя в итоге он лег в основу статистики и наблюдательных исследований.

В 1805 г. Гаусс женился на Иоганне Остгоф, которую горячо любил, а в 1807 г. перебрался из Брауншвейга в Гёттинген, где стал директором обсерватории. В 1808 г. скончался его отец, следом в 1809 г. родами второго сына умерла Иоганна, а вскоре и их новорожденный малыш.

Несмотря на все эти личные трагедии, Гаусс продолжил исследования и в 1809 г. опубликовал «Теорию движения небесных тел, движущихся в конических сечениях вокруг Солнца», в которой есть положения, до сих пор лежащие в основе вычислений небесной механики. Он женился снова на подруге Иоганны, Минне, но это был брак не по любви, а скорее по расчету.

Примерно в 1816 г. Гаусс составил обзор умозаключений из аксиомы параллельности, отличной от других аксиом Евклида, в которых он придерживается точки зрения, скорее всего, появившейся еще в 1800 г.: о возможности существования логически обоснованной геометрии, отличной от евклидовой.

В 1818 г. ему поручили провести геодезическую съемку Ганновера, в ходе которой он сделал несколько значительных вкладов в методы геодезии. В 1831 г., после кончины Минны, Гаусс вместе с физиком Вильгельмом Вебером приступил к изучению магнитного поля Земли.

Он открыл законы, известные нам как правила Кирхгофа для электрических цепей, и даже собрал пусть и неуклюжий, но вполне работоспособный телеграф. Когда в 1837 г. Веберу пришлось покинуть Ганновер, научная активность Гаусса пошла на спад, хотя он продолжал интересоваться трудами коллег, особенно Фердинанда Эйзенштейна и Георга Бернхарда Римана. Гаусс мирно скончался во сне.

Ответ на этот вопрос лежит в области простых чисел. Если p и q – простые числа, когда q является квадратом по mod p? Гаусс открыл, что если нет способа просто и прямо ответить на этот вопрос, то можно задать другой, имеющий прямое отношение к предыдущему: когда p является квадратом по mod q? Например, приведенный выше перечень квадратичных вычетов показывает, что q = 5 является квадратом по модулю p ≡ 11. Также верно и то, что 11 является квадратным модулем 5, потому что 11 ≡ 1 (mod 5) и 1 ≡ 1². В общем, ответ на оба вопроса один.

Гаусс доказал, что его квадратичный закон взаимности справедлив для любой пары случайно взятых нечетных простых чисел, за исключением тех вариантов, когда оба можно описать как 4k – 1. Тогда на два вопроса есть два противоположных ответа. Например: для любых случайно взятых простых чисел p и q второе число есть квадрат по mod p тогда и только тогда, когда p есть квадрат по mod q, в случае, если p и q не описываются формулой 4k – 1. Иначе q есть квадрат по mod p тогда и только тогда, когда p не есть квадрат по mod q.

Поначалу Гаусс не подозревал, что это не первое утверждение такого рода: Эйлер уже успел отметить ту же зависимость. Но, в отличие от Эйлера, Гаусс сумел доказать, что оно всегда верно. Доказательство оказалось крайне сложным, и у Гаусса ушло несколько лет на то, чтобы ликвидировать эту небольшую, но ключевую брешь.

ЧТО ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ДАЛА ИМ

Одним из самых ранних применений теории чисел являются шестерни. Если два зубчатых колеса помещены так близко, что зубцы одного входят между зубцами другого, причем у одного m, а у другого n зубцов, то их совместное движение будет зависеть от этих чисел. Например, пусть у одного колеса 30 зубцов, а у другого семь. Если большое колесо совершит ровно один полный поворот, что будет с меньшим? Оно будет возвращаться в исходную позицию после 7, 14, 21 и 28 шагов. Тогда ему потребуются еще два завершающих шага до полных тридцати. Это число – остаток, который получается при делении 30 на 7. Значит, движение колес является механическим воплощением примера на деление с остатком, это и есть основа модульной арифметики.

Антикитерский механизм и его реконструкция

Зубчатые колеса использовали еще древние греки для создания замечательного устройства – антикитерского механизма. В 1900 г. в окрестностях острова Антикитера ловец губок Элиас Стадиатис поднял с глубины 40 м бесформенную окаменелость, датированную примерно 65 г. до н. э. В 1902 г. археолог Валериос Стаис обнаружил, что в камне скрыты остатки зубчатого колеса и что на самом деле это часть сложного бронзового механизма. На нем были выгравированы слова, написанные буквами греческого алфавита. По имевшимся у ученых описаниям и форме объекта удалось определить, что это древний астрономический калькулятор. Он состоял минимум из 30 зубчатых колес (по последней реконструкции 2006 г. их было 37). Количество зубцов соответствовало основным астрономическим соотношениям. В частности, два колеса имели по 53 зубца – не самое простое число для изготовления детали. Оно соответствует частоте появления Луны на самом большом удалении от Земли по ходу ее орбиты. Все простые множители из числа зубцов были взяты из двух главных астрономических циклов: метонического и сароса. Рентгенологическое исследование выявило новые надписи и позволило их прочесть; теперь нет сомнений, что прибор использовался для определения положения Солнца, Луны и, возможно, всех известных тогда десяти планет. Эти надписи датируют 150–100 гг. до н. э.

Антикитерский механизм – сложнейший прибор, и, судя по всему, его создавали на основе теории Гиппарха о движении Луны. Вероятно, здесь не обошлось без участия его учеников. Также возможно, что прибор был игрушкой одного из членов царской семьи – судя по изощренности и дороговизне исполнения.

Третья важная тема «Исследований» – то самое открытие, которое подтолкнуло 19-летнего Гаусса посвятить всю свою жизнь математике: геометрическое построение правильного семнадцатиугольника (многоугольника с 17 сторонами). Евклид, использовавший линейку и циркуль, описал построение правильных многоугольников с тремя, четырьмя, пятью и пятнадцатью сторонами; он также знал, что эти числа сторон можно последовательно удваивать делением углов пополам, получая правильные многоугольники с шестью, восемью, десятью сторонами и т. д. Но Евклид не сумел построить многоугольники с семью или девятью сторонами – по сути, ни для одного числа, отличного от перечисленных выше. И на протяжении почти 2000 лет математики считали, что последнее слово осталось за Евклидом и невозможно построить иные правильные многоугольники. Гаусс опроверг это убеждение.

Легко заметить, что проблема в построении правильных p-угольников возникает, когда p – простое число. Гаусс указал, что построение такой фигуры подобно решению алгебраического уравнения:

x^{p – 1} + x^{p – 2} + x^{p – 3} + … + x² + x + 1 = 0.

Теперь, благодаря геометрии координат, построение с помощью линейки и циркуля может быть рассмотрено как последовательность квадратных уравнений. Если построение такого рода существует, оно следует правилу (не совсем тривиально), что p – 1 должно быть степенью 2.

Варианты древних греков, где p = 3 и p = 5, удовлетворяли этому условию: здесь p – 1 равно 2 и 4 соответственно. Но не только эти два простых числа удовлетворяют условию. Например, 17 – 1 = 16, тоже степень 2. Это еще не доказывает, что 17-угольник возможно построить, но дает серьезную зацепку, и Гауссу удалось найти блестящий способ сократить уравнение 16-й степени до последовательности квадратных уравнений. Он утверждал, хотя и не сумел доказать, что построение возможно для любого числа сторон p, если p – 1 составляет степень 2 (по-прежнему с условием, что p – простое число), и построение невозможно для всех других простых чисел. Доказательство вскоре было найдено другими учеными.

Эти особенные простые числа получили название чисел Ферма, потому что именно он их изучил. Он отметил, что если p – простое число и p – 1 = 2^k, то k само должно быть степенью 2. Он составил первую последовательность простых чисел Ферма: 2, 3, 5, 17, 257, 65 537. Он предположил, что числа вида 2^2m + 1 всегда простые, но это оказалось ошибкой. Эйлер открыл, что когда m = 5, то оно имеет множитель, равный 641.

МАРИ-СОФИ ЖЕРМЕН 1776–1831

Софи Жермен была дочерью торговца шелком Амбруаза-Франсуа Жермена и Мари-Мадлен Грюлин. В 13 лет она прочла о том, как Архимеда убил римский солдат за то, что ученый пытался защитить свои чертежи на песке, и твердо решила стать математиком. Несмотря на все усилия родителей, из лучших побуждений пытавшихся ее отговорить, – в те времена математика была не лучшим занятием для юной девушки, – она прочла все труды Ньютона и Эйлера под одеялом по ночам. Наконец родители сдались перед таким упорством и стали ей помогать, обеспечив на всю жизнь финансовую поддержку. Ей удалось получить конспекты лекций Парижской политехнической школы, и она отправила Лагранжу письмо с изложением ряда своих работ под псевдонимом мсье Леблан. Лагранж был впечатлен ее талантом и вскоре выяснил, что автор письма – женщина. Нисколько не смутившись, он с радостью стал ее наставником и покровителем. Они плодотворно работали вместе, и некоторые результаты этих трудов были включены позже в труд Лежандра «Опыт теории чисел» («Essai sur le Théorie des Nombres», 1798).

Самым прославленным из ее собеседников был Гаусс. Софи изучила «Арифметические исследования» и с 1804 по 1809 г. создала целый ряд писем их автору, снова скрывая свой пол под псевдонимом Леблан. Гаусс давал высокую оценку работам Леблана в письмах другим ученым. В 1806 г., когда французы оккупировали Брауншвейг, он обнаружил, что на самом деле мсье Леблан – женщина. Устрашившись того, что Гаусса может постичь участь Архимеда, Софи обратилась за помощью к старинному другу ее семьи, одному из высокопоставленных чинов во французской армии генералу Пернети. Гауссу стало известно об этом ходатайстве, и тогда он узнал, что Леблан и есть Софи.

Но Софи тревожилась напрасно. На Гаусса новость подействовала ошеломляюще, и он написал ей: «Но как передать мой восторг и трепет при открытии, что мой досточтимый корреспондент, мсье Леблан, чудесным образом преобразился в столь поразительное создание… Женщина из-за своего пола и наших предрассудков встречается со значительно более трудными препятствиями, чем мужчина, постигая сложные научные проблемы. Но когда она преодолевает эти барьеры и проникает в тайны мироздания, она несомненно проявляет благородную смелость, исключительный талант и высшую гениальность».

Софи получила ряд результатов в работе над Великой теоремой Ферма, и никто не сумел ее превзойти в этом вплоть до 1840 г. С 1810 по 1820 г. она работала над законами колебаний упругих пластинок и за свой труд получила медаль Французской академии наук. В частности, объявленный Академией конкурс касался так называемых фигур Хладни. Эти неожиданные узоры образуются при вибрации покрытых песком металлических пластинок под действием скрипичного смычка. Хотя и с третьей попытки, но в итоге Софи получила золотую медаль, однако по неизвестным причинам – возможно, в знак протеста из-за несправедливого отношения к ней как к женщине – не явилась на церемонию награждения.

В 1829 г. у Софи развился рак груди, но она продолжила исследования по теории чисел и кривизне поверхностей. Через два года ее не стало.

Далее можно предположить, что существует возможность построить с помощью линейки и циркуля многоугольники с 257 и 65 537 сторонами. В 1832 г. Фридрих-Юлиус Ришло построил многоугольник с 257 сторонами, и его работа не содержит ошибок. Иоганн Гермес десять лет посвятил тому, чтобы построить многоугольник с 65 537 сторонами, и добился успеха в 1894 г. Однако недавние исследования показали, что он ошибся.

Теория чисел становится интересной с точки зрения математики благодаря работам Ферма, открывшего многие закономерности в странном и сложном поведении простых чисел. Но его раздражающее пренебрежение доказательствами своих открытий пришлось компенсировать Эйлеру, Лагранжу и ряду менее значительных ученых, за единственным исключением Великой теоремы. Однако теория чисел в основном как раз и состояла из таких теорем – подчас поражающих своей глубиной и сложностью, но практически не связанных между собою.

ЧТО ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ДАЕТ НАМ

На теории чисел основаны многие коды безопасности, применяемые в интернет-торговле. Самый известный из них – криптосистема RSA (Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман), обладающая уникальной особенностью: зашифрованные сообщения могут быть посланы публично, при этом нет возможности провести обратную процедуру, т. е. дешифровку.

Предположим, Алиса собралась отправить тайное послание Бобу. Предварительно они условились о том, какое значение будут иметь большие простые числа p и q (каждое должно состоять по меньшей мере из 100 знаков), и перемножили их, чтобы получить M = pq. При желании они даже могут обнародовать это число. Также они вычисляют K = (p − 1)(q − 1), но этот результат держат в секрете.

Теперь Алиса представляет свое послание как число x в пределах от 0 до M – 1 (или последовательность таких чисел, если послание длинное). Для кодирования она выбирает число a, не имеющее общих множителей с K, и вычисляет y = –x^a (mod M). Число a должно быть известно Бобу, его также можно не скрывать.

Чтобы расшифровать сообщение, Бобу необходимо знать b, удовлетворяющее условию ab ≡ 1 mod K. Это число (которое существует и уникально) держится в тайне. Чтобы расшифровать y, Боб вычисляет:

y^b (mod M).

Почему это можно дешифровать? Потому что

y^b ≡ (x^a)^b ≡ x^ab ≡ x¹ ≡ x (mod M),

согласно обобщению Малой теоремы Ферма, сделанному Эйлером.

Этот метод вполне практичен, поскольку существуют эффективные тесты для поиска больших простых чисел. Но пока нет действенного способа искать простые множители для больших чисел. А значит, даже зная произведение pq, посторонний не сможет вычислить p и q, а без этого невозможно найти значение b – ключ ко всему шифру.

Ситуация кардинально изменилась, когда за дело взялся Гаусс и открыл общие концептуальные основы теории чисел, такие как модульная арифметика. Также своими исследованиями свойств правильных многоугольников он связал теорию чисел с геометрией. С этого момента теория чисел превратилась в заметную нить на пестром ковре математики.

Интуиция Гаусса привела математиков к открытию принципиально новых структур – новых числовых систем, таких как целые числа по mod n, а также математических действий, таких как композиция квадратичных форм. Благодаря новым открытиям теория чисел конца XVIII – начала XIX в. породила абстрактную алгебру конца XIX – начала XX в. Математики уже не боялись выходить за рамки привычных концепций и структур в своих исследованиях. Несмотря на узкоспециализированную тему, «Арифметические исследования» стали значительной вехой на пути создания современного подхода к математике в целом. И это одна из причин, почему математики так высоко оценивают роль Гаусса.

Вплоть до конца XX в. теория чисел пребывала в рамках чистой математики – любопытная сама по себе, с многочисленными способами приложения к собственно математическим исследованиям. Но она всё еще не играла особой роли для остального мира. Однако всё изменилось с момента изобретения цифровой связи в конце XX в. Как только она стала полностью зависеть от чисел, теория чисел предсказуемо оказалась на переднем крае. Чтобы хорошая математическая идея обрела практическое значение, могут уйти годы – а иногда даже сотни лет, – но рано или поздно любая область, некогда считавшаяся важной только среди математиков, находит дорогу в реальный мир и занимает там подобающее ей место.