Текст книги "Математические трюки для быстрого счёта"

Поразительно, что в еврейском алфавите, как и в греческом, каждая буква имеет свое числовое значение. Если сложить числовые значения букв в слове «Яхве», то есть «Бог» получится 26 – число, ставшее для иудеев священным.

Как говорится во вступлении к этой главе, наша система счисления – позиционная. Значение цифры в ней определяется ее позицией в числе. До такого гениального изобретения люди умудрились додуматься всего четыре раза за всю свою историю. Первый раз это произошло в Вавилоне в начале второго тысячелетия до нашей эры, во второй – в Китае незадолго до начала нашей эры, в третий раз эта система появилась в майянской культуре в период между IV и IX в., а в четвертый ее открыли индийские математики.

Но самое великое открытие сделали в Индии. Именно там было изобретено число ноль в том виде, в каком мы знакомы с ним сегодня. Ноль обозначает отсутствие числа. Ни вавилонцы, ни майя воспользоваться нолем не смогли. Вавилонцы никогда не считали ноль числом, а майя не смогли правильно использовать ноль из-за сложности трехуровневой системы. Китайцы стали применять ноль с подачи индусов, которых нам остается лишь поблагодарить за это изобретение. Спасибо тебе, Индия! И еще одна огромная благодарность – арабам, ведь именно они донесли до нас изобретенный индусами ноль. Переход к современной системе счисления занял несколько сотен лет. За это время внешний вид цифр изменился.

В Европе арабские цифры вызвали смешанные чувства. Некоторые европейские математики воспротивились и даже называли пришедшие из арабского мира цифры дьявольским изобретением. Неудивительно, что европейским ученым приходилось в то время нелегко.

Древние египтяне тоже пользовались десятичной системой, но она была не позиционной, различные числа обозначались иероглифами, а способы умножения и деления вызывают восхищение и по сей день.

Для умножения египтяне записывали числа в две колонки. В первой колонке числа начинаются с единицы и удваиваются до тех пор, пока число не приблизится к одному из умножаемых чисел. Во второй колонке записывается второй множитель, который затем с каждой строчкой удваивается.

Допустим, нам надо умножить 38 на 17.

Следующий шаг – найти в левой колонке числа, которые в сумме дают 38.

32 + 4 + 2 = 38

Теперь надо сложить числа в правой колонке напротив чисел 32, 4 и 2.

544 + 68 + 34 = 646

Ну вот – мы с вами умножили числа так, как это было принято в эпоху фараонов: 38 умножить на 17 равно 646.

Деление осуществляется почти по тому же принципу, разве что немного сложнее.

Допустим, нам надо разделить 646 на 17.

Действовать будем так же, как и при умножении. В левой колонке начнем с 1 и будем удваивать числа. Во второй колонке начнем с 17 и будем удваивать числа, пока почти не доберемся до 646.

Теперь в правой колонке отыщем числа, сумма которых составляет 646. Это 544 + 68 + 34.

Далее посмотрим, какие числа в левой колонке стоят напротив этих трех чисел, и сложим их.

Вот что получится: 32 + 4 + 2 = 38.

Ну вот мы и совершили настоящий египетский математический подвиг!

646 разделить на 17 равно 38.

Если вас это не впечатлило, то не забывайте, что египтяне осуществляли все эти хитроумные вычисления в те времена, когда наши собственные предки жили в бронзовом веке, а до появления двух великих норвежских математиков – Нильса Абеля и Софуса Ли – оставалось еще много тысячелетий.

Индийские вычислительные методики, сложившиеся во времена, когда у нас в Норвегии только-только начался железный век, были еще эффективнее, а до Европы они добрались благодаря арабским математикам. Метод, который индусы применяли для сложения чисел, очень похож на тот, которому сейчас учат в наших школах. Единственное различие заключается в том, что индусы начинали с самых больших цифр, а числа, которые надо было держать в уме, добавлялись потом. Кроме того, счет велся снизу вверх. Их метод сложения очень похож на тот, которым пользуется мировой чемпион по быстрому счету из предыдущей главы.

В XIII в. арабы придумали сложный способ умножения – настолько красивый графически, что я посвятил ему отдельную главу этой книги. В главе 26 – «Прекраснее листопада» – я раскрою вам тайны этого метода. Когда в позднем Средневековье он добрался до Европы, его называли умножением ревнивцев, потому что вертикальные линии в клеточках напоминали щели в ставнях, через которые ревнивцы подглядывали за своими супругами.

Хотя сейчас мы не представляем себе жизни без калькулятора, на самом деле калькулятор у людей имелся всегда. Это наши руки. Многие использовали для счета собственные пальцы. В Индии, Индокитае и Китае для счета использовалась каждая фаланга пальца. Большой палец состоит из двух фаланг, а остальные – из трех. Значит, на одной руке у нас имеется 14 фаланг. Получается, с помощью пальцев одной руки можно посчитать не только до пяти. Пользуясь двумя руками, китайцы могли досчитать до десяти миллионов!

Один из самых интересных способов умножать с помощью собственных пальцев – перемножать числа от 6 до 10. Этот способ проще некуда. Числу 6 соответствует один палец, числу 7 – два пальца, а числу 8 – три. Умножим 7 на 8. Для этого придется загнуть два пальца на одной руке и три – на другой. Всего получится пять загнутых пальцев. Каждый из этих пяти пальцев соответствует десяти. Итого 50. Теперь надо перемножить не загнутые пальцы на каждой руке. На одной руке их три, а на другой – два.

3 × 2 = 6

Это количество – единицы. При умножении 7 на 8 мы складываем получившиеся десятки с единицами: 50 плюс 6 равно 56.

Ну а теперь пора приступать к быстрому счету и восхищаться возможностями, которые дарит нам наша удивительная система счисления. В следующей главе вы увидите, как перемножать двузначные числа, близкие к сотне. Почувствуйте скорость!

5
Счет на раз-два-три
Умножение двузначных чисел, близких к 100

Наверняка вы часто ловили себя на мысли, что перемножать двузначные числа смертельно скучно. Но я готов подсказать вам новый, приятный способ подступить гораздо ближе к числовой нирване и умножать в два счета. Этой восхитительной хитрости меня научил один друг-врач, пока мы тащились по грязной, слякотной тропинке в Нурмарке. Он так увлек меня задачками на умножение, что мы считали до хрипоты. Уже несколько сотен примеров спустя мне в голову пришла идея написать эту главу. Пускай предложенную здесь технику и удобнее всего использовать для умножения чисел, близких к сотне, в принципе, она подойдет и для любых других.

Ну что ж, начнем.

Допустим, нам надо умножить 93 на 97. Привычный тягомотный способ, которому учили еще в начальной школе, вызывает зевоту.

Тоска зеленая! Сначала на 93 умножается 7, а потом 9, и промежуточные вычисления со сдвигом влево записываются одно под другим и складываются. Но больше никакой траты времени впустую! Одна хитрость – и все станет проще и веселее.

Вернемся к тому, с чего мы начали.

Итак, умножаем 93 на 97. Запишем числа 93 и 97 в столбик слева, а справа – сколько каждому из них не хватает до 100.

Числу 93 не хватает 7, чтобы превратиться в 100.

Числу 97 не хватает 3, чтобы превратиться в 100.

Запишем это так:

Ответ уже почти у нас в руках.

Теперь крест-накрест вычтите число в левом столбце из числа в правом столбце. Какую бы пару вы ни выбрали, ответ будет один и тот же. Можете вычесть 3 из 93 или 7 из 97 – как вам больше нравится.

93 ‒ 3 или 97 ‒ 7 равно 90. Это первые две цифры финального ответа.

А теперь перемножьте между собой числа из правого столбца:

7 × 3 = 21

Это вторые две цифры финального ответа.

Вот мы его и посчитали:

93 × 97 = 9021

Волшебно, правда?

Можно посоревноваться с самим собой и проверить, сколько времени занимает решить пример старым и новым способом. После непродолжительной тренировки скорость вычислений возрастет весьма существенно. А если потренироваться еще, то считать вы будете уже в уме.

Небольшое уточнение: вы, наверное, уже справедливо заметили недостаток этой техники. Да, ей удобно пользоваться, когда перемножение чисел из левого столбца дает двузначный ответ. Но давайте добавим к результату первой операции два ноля и пересчитаем все полностью корректно.

Числу 93 не хватает 7, чтобы превратиться в 100.

Числу 97 не хватает 3, чтобы превратиться в 100.

Запишем это так:

Вычтем 3 из 93 или 7 из 97 и получим 90.

А теперь умножим полученное число на 100 (для этого достаточно написать после 90 два ноля). У нас получится 9000.

Теперь осталось перемножить числа из правого столбца – 7 × 3 = 21, прибавить 21 к 9000 и получить 9021.

Задача выполнена. Вуаля!

Удостоверимся, что вы усвоили этот метод, и разберем еще пару примеров.

Предположим, вы хотите умножить 97 на 98.

Числу 97 не хватает 3, чтобы превратиться в 100.

Числу 98 не хватает 2, чтобы превратиться в 100.

Запишите эти числа в два столбца:

Крест-накрест вычтите число в левом столбце из числа в правом столбце. Какую бы пару вы ни выбрали, 97 и 2 или 98 и 3, ответ все равно будет 95. В результате умножения 95 на 100 получится 9500.

Затем перемножьте числа из правого столбца – 2 и 3. Получится 6. Наконец прибавьте 6 к 9500:

9500 + 6 = 9506

Это значит, что 97 × 98 = 9506.

Проще некуда, правда?

И еще один пример.

На этот раз вы хотите умножить 88 на 88. Числу 88 не хватает 12, чтобы превратиться в 100. Снова запишите эти числа в два столбца:

Теперь вычитание: 88 минус 12 равно 76. Допишите два ноля – получится 7600. Теперь настала очередь чисел из правого столбца. 12 раз по 12 – это 12 в квадрате. Если вам кажется, что возвести число в квадрат сложно, то глава 12 вас переубедит: там я рассказываю о способе вычислять квадрат числа в два счета.

А пока: 12 раз по 12 будет 144.

Прибавьте 144 к 7600. Получится 7744.

Значит, 88 × 88 = 7744.

Нравится? Меня самого так увлекло, что с тех пор я витаю в (вычислительных) облаках. Техника из следующей главы способна вызвать не меньшую эйфорию. Перелистывайте страницу и не спускайтесь с небес, дорогие читатели.

6
Быстрее молнии
Квадрат чисел, оканчивающихся на 5

Как я писал в предисловии, в старшей школе у меня была очень строгая учительница математики. Она ходила по классу в застиранном синем рабочем халате и, размахивая указкой, заставляла учеников трепетать от страха. Однако на последнем уроке перед выходом на пенсию она поделилась с нами эпохальным откровением. К тому моменту мы уже несколько лет старательно, с глубочайшей серьезностью, осваивали три формулы сокращенного умножения для квадратов. Веселью и смеху места не находилось – слишком уж ответственное было дело. И вдруг на самом последнем занятии наша учительница лукаво – впервые! – улыбнулась и поведала секрет, как с помощью первой формулы играючи возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 5. Этот урок стал историческим событием, изменившим мою жизнь. Околдованный, я потерял дар речи. Тогда и был заложен первый кирпичик моей книги. Способ оказался таким простым для понимания и забавным, что с тех пор я сам делюсь им с коллегами и друзьями.

Посчитаем квадрат 45, то есть умножим 45 на 45. Математики записывают это так: 45². Первая цифра числа 45 – 4. Умножьте ее на цифру, большую на единицу, – на 5. Получится 20. А теперь запишите 25, квадрат 5, вслед за полученным результатом. Это и есть наш ответ.

45 × 45 = 2025

Попробуем еще раз!

Может, вам хочется умножить 85 на 85? Перед 5 стоит 8. Что больше 8 на единицу? 9.

8 × 9 = 72

После 72 поставьте 25.

Выходит, 85 × 85 = 7225.

Способ, конечно, работает независимо от того, сколько цифр стоит перед 5.

Предположим, что вам не терпится возвести в квадрат 105. Перед 5 идет 10. Умножьте 10 на число, большее на единицу:

10 × 11 = 110

Запишите следом 25.

Значит, 105 × 105 = 11025.

Вот как легко все делается. Неудивительно, что многие обрадуются этому математическому откровению. Если же вы готовы и к другим подобным откровениям, переходите к следующей главе.

7
Как удивить любителей чисел
Квадрат чисел, оканчивающихся на 25

В предыдущей главе я показал, как вычислять квадрат любых чисел, оканчивающихся на 5. Если предложенный способ пришелся вам по душе, то обещаю, что возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 25, вам понравится не меньше. Единственное отличие новой техники от предыдущей заключается в том, что новая поражает воображение еще сильнее. Окажись на одной с вами вечеринке любитель чисел, вы сможете его впечатлить, производя вычисления с такой головокружительной скоростью, что хозяева не успеют даже подать еду, как вы уже победно воскликнете «эврика!». Хоть с математической точки зрения техника и очень проста, другим гостям вы покажетесь волшебником. И здесь я хочу сказать вам, дорогие читатели: «Добро пожаловать в рай скоростных вычислений!»

Возведем в квадрат 425, то есть умножим 425 на 425. Для удобства понимания советую на время поставить запятую перед 25. В ответе ее можно убрать.

Итак, на первом этапе мы будем умножать 4,25 на 4,25.

Обратите внимание на целое число перед запятой. Это 4. Возведите 4 в квадрат и прибавьте к ответу число вдвое меньше исходного 4: 4² + 4 / 2 = 16 + 2 = 18. Прибавьте его к 0,0625. (На случай, если вы недоумеваете, откуда взялось это число: 0,0625 – квадрат 0,25.)

Вот мы и добрались до ответа:

4,25 × 4,25 = 18 + 0,0625 = 18,0625

Осталось только убрать запятые:

425 × 425 = 180625

Давайте попробуем снова. Может, вам хочется посчитать квадрат 825?

Правило остается неизменным. Поставьте перед 25 запятую и сначала возведите в квадрат 8,25. В этот раз целое число перед запятой – 8. 8 в квадрате – 64, и к 64 прибавьте еще половину 8:

8² + 8 / 2 = 64 + 4 = 68

Сложите 68 и 0,0625:

8,25² = 68,0625

Уберите запятые:

825² = 680625

Тройка приносит удачу, поэтому разберем еще один пример и посчитаем квадрат 725. Поставьте перед 25 запятую и умножьте 7,25 на 7,25. Перед запятой стоит 7. Возведите в квадрат 7 и прибавьте к результату половину 7:

7² + 7 / 2 = 49 + 3,5 = 52,5

Прибавьте 52,5 к 0,0625.

Получается:

7,25² = 52,5 + 0,0625 = 52,5625

А если убрать запятые, то получится, что 725² = 525625.

Чтобы вы точно почувствовали себя как рыба в воде и совсем ослепительно заблистали и на следующей вечеринке, не откажите себе в удовольствии посчитать квадрат четырехзначного числа 1225. Выглядит страшновато, но до ответа вы доберетесь за секунду.

Поставьте запятую и поработайте сначала с 12,25².

Целое число – 12.

Возведите его в квадрат и прибавьте половину 12:

12² + 12 / 2 = 144 + 6 = 150

Сложите 150 и 0,0625.

Значит, 12,25² = 150,0625.

Уберите запятые:

1225² = 1500625

Если вы не робкого десятка и хотите полностью освоить науку быстрых вычислений, немедленно переходите к следующей главе, которая – без ложной скромности – представляет собой кульминацию этой книги.

8
Как обвести учителей математики вокруг пальца
Чудесный метод быстрого счета

Дорогие читатели, у вас есть повод для радости: вы подошли к одному из кульминационных моментов этой книги. Тогда как некоторые описанные мной техники подходят лишь для определенного рода вычислений, техника из этой главы универсальна. Я называю ее чудесным методом быстрого счета. Благодаря ему математика приносит всем больше радости. Открыв для себя этот способ, я полюбил математику еще больше. Он позволяет умножать большие числа с невероятной легкостью. Как ни странно, я никогда не видел, чтобы этот метод применялся в школьном образовании. Вот что это значит, дорогие читатели: как только секретное знание окажется у вас в руках, вы сможете не только считать в разы быстрее, чем ваши друзья, но и обводить вокруг пальца ревностных учителей математики. Разве не здорово?

Когда я наткнулся на эту технику, мои вычисления ускорились так сильно, что я не доверял полученным результатам. Калькулятор, бывало, предлагал другой ответ, но, доверяясь калькулятору, я неизменно попадал впросак. По мере того как я увлеченно занимался проверкой этого чудесного метода, в моих расчетах становилось все меньше ошибок. Калькулятор никогда не выигрывал вычислительную гонку. Новая техника била все рекорды. Чтобы вы ее усвоили, я изложу ее шаг за шагом. К концу этой главы вы будете способны перемножать большие числа всего за несколько секунд. Откиньтесь назад и получайте удовольствие. Или еще лучше: нагнитесь вперед, заточите карандаш и тренируйтесь – пример за примером.

Начало напоминает прием из пятой главы, но в этот раз я буду предельно точен в использовании понятий, чтобы вы научились легко справляться и с гораздо более сложными примерами. Мы начнем осваивать эту технику постепенно, пока она не приобретет универсальные черты.

Начнем с самого простого.

Допустим, нам надо умножить 105 на 112.

Первым делом необходимо решить, какое референтное число мы будем использовать для вычислений. Выбирать стоит такое референтное число, на которое легко умножать и которое находится близко к исходным. В данном случае естественнее всего выбрать 100: на 100 очень легко умножать. Запишите референтное число в скобках после примера:

105 × 112 (100)

Теперь приступим непосредственно к вычислениям.

Сосчитаем разницу значений референтного числа и каждого из исходных чисел.

105 ‒ 100 = 5 и 112 ‒ 100 = 12

Для наглядности я выделю разные числа разными цветами. Числа в исходном примере, а также ответы будут красными; числа, указывающие разницу значений, – голубыми; референтные числа – коричневыми, а промежуточные вычисления, черед которых скоро настанет, – желтыми.

Запишите разницу значений под примером:

Сложите первое число из первой строки и второе число из второй строки. Или наоборот. На ваше усмотрение.

Иными словами, прибавьте 12 к 105 или 5 к 112.

Выберите тот вариант, который вам нравится больше. Ответ в любом случае будет один и тот же: 117.

Ответ необходимо умножить на референтное число – в данном случае на 100:

117 × 100 = 11700

Перемножьте показатели разницы значений между собой:

5 × 12 = 60

Сложите результаты промежуточных вычислений:

11700 + 60 = 11760

Хотите верьте, хотите нет – это все.

105 × 112 = 11760

Вот так, все очень быстро.

Если записать все вычисления в одну строку, то выглядеть это будет так:

105 × 112 = (105 + 12 или 112 + 5) × 100 + 5 × 12 = 11760

Эврика!

А теперь еще раз.

Предположим, мы хотим умножить 94 на 97.

Сначала выберем референтное число. Проще всего снова взять 100, поскольку обоим числам не хватает до 100 совсем немного и поскольку на 100 легко умножать. Запишите референтное число в скобах после примера:

94 × 97 (100)

Посчитайте разницу значений между 100 и каждым из чисел:

94 ‒ 100 = ‒6 и 97 ‒ 100 = ‒3

Запишите результаты под примером:

Обратите внимание, что на этот раз, в отличие от метода из главы 5, вы имеете дело с отрицательными показателями разницы значений. Благодаря этому описываемый метод подходит для любых вычислений независимо от того, какие числа используются в уравнении – больше или меньше 100.

Как и в предыдущем примере, к каждому из исходных чисел надо прибавить свои показатели разницы значений.

94 + (‒3) или 97 + (‒6)

На каком бы варианте мы ни остановились, ответ будет 91.

Умножим полученный ответ на 100:

91 × 100 = 9100

Осталась буквально пара шагов.

Перемножьте показатели разницы значений:

(‒6) × (‒3) = 18

Сложите результаты промежуточных вычислений:

9100 + 18 = 9118

Поздравляю! Вы на финишной прямой.

94 × 97 = 9118

Все вычисления можно записать в одну строку:

94 × 97 = (94 + (‒3) или 97 + (‒6)) × 100 + (‒6) × (‒3) = 9118

Вы заметили, что к ответу вас привели всего два примера на умножение? Неплохо, правда?

Давайте разберем еще один пример и умножим 104 на 97.

Как видите, одно из этих чисел больше 100, а другое меньше. Метод подойдет и для такого случая. Сначала, как обычно, определитесь с референтным числом. 100 снова подойдет лучше всего. Запишите референтное число в скобках после примера:

104 × 97 (100)

Вычислите разницу значений:

104 ‒ 100 = 4 и 97 ‒ 100 = ‒3

Запишите результаты под примером:

Сложим числа крест-накрест: 104 + (‒3) или 97 + 4.

Какой бы вариант вы ни предпочли, ответ будет 101.

Умножьте этот ответ на референтное число:

101 × 100 = 10100

Опять осталось совсем немного.

Умножьте показатели разницы значений друг на друга:

4 × (‒3) = ‒12

Сложите результаты промежуточных вычислений:

10100 + (‒12) = 10088

Значит, 104 × 97 = 10088.

И конечно, все вычисления можно записать в одну строку:

104 × 97 = (104 + (‒3) или 97 + 4) × 100 + 4 × (‒3) = 10088

Когда референтное число – 10

Выбирать 100 в качестве референтного числа не всегда разумно.

Представьте, что вы хотите умножить 12 на 17. На числовой шкале и 12, и 17 далеко отстоят от 100. Чтобы упростить себе жизнь, по крайней мере на время решения этой задачки, в качестве референтного числа лучше выбрать 10. Смысл ведь в том, чтобы, с одной стороны, на него было легко умножать, а с другой – чтобы разница значений между референтным числом и числами из примера была минимальной. Сначала, как и при решении других примеров из этой главы, надо как раз вычислить разницу значений между референтным числом и числами из примера.

Сложите числа крест-накрест:

12 + 7 или 17 + 2 = 19

Умножьте этот ответ на выбранное референтное число:

19 × 10 = 190

Перемножьте показатели разницы значений между собой:

2 × 7 = 14

Сложите результаты промежуточных вычислений:

190 + 14 = 204

Выходит, что 12 × 17 = 204.

Все вычисления могут быть записаны в одну строку:

12 × 17 = (12 + 7 или 17 + 2) × 10 + 2 × 7 = 204

Чтобы получить как можно более полное представление о том, как работает эта техника, протестируем с ее помощью примера из таблицы умножения.

Умножьте 7 на 8.

Пускай референтным числом снова будет 10.

Сложите числа крест-накрест:

7 + (‒2) или 8 + (‒3) = 5

Умножьте 5 на референтное число:

5 × 10 = 50

Умножьте показатели разницы значений друг на друга:

(‒3) × (‒2) = 6

Сложите результаты промежуточных вычислений:

50 + 6 = 56

Получается, что 7 × 8 = 56.

На самом деле вместо 10 можно выбрать и 5.

7 + 3 или 8 + 2 = 10

7 × 8 = 10 × 5 + 2 × 3 = 50 + 6 = 56

Как видите, вы придете к одному и тому же ответу независимо от выбранного референтного числа. Выбирайте 10, 100 или 1000, потому что на них очень легко умножать – надо просто приписать к исходному числу соответствующее количество нулей. Но иногда разумно выбрать и другое референтное число, например 20, 200, 50 или 500. В действительности проводить с ними вычисления гораздо приятнее, чем считают многие.

Если вы умножаете на 20 или 200, сначала лучше умножать на 2, а потом на 10 или 100. А если вы умножаете на 50 или 500, то исходное число сначала, напротив, лучше умножить на 100 или 1000, а затем разделить на 2.

Готовы? Тогда начнем.

Сейчас мы рассмотрим ряд примеров с разными референтными числами. Для поддержания боевого духа: еще пара минут – и наступит кульминация книги. С помощью маленькой хитрости вы сможете проводить вычисления еще быстрее. Так что давайте не будем тратить времени на лишние разговоры и перейдем к примерам.