Текст книги "Формулы на все случаи жизни. Как математика помогает выходить из сложных ситуаций"

Глава 2
Звонок семье

Институт поиска внеземных цивилизаций (SETI), который собирает доказательства существования инопланетной жизни, был основан в 1984 году. Одна из его задач – анализ поступающих из космоса радиосигналов. Вы как раз собираетесь писать диссертацию по астрономии. Вам посчастливилось выиграть конкурс, инициированный SETI, и попасть туда на стажировку. Какая удача: в первый же день регистрируется сообщение, источником которого может оказаться внеземной разум! Вместе с куратором – одним из ведущих астрономов – вам надлежит уточнить место происхождения сигнала. Исходя из настроек телескопов, уловивших сообщение, вы понимаете, что источник находится в пределах области, ограниченной четырьмя звездами. Если вы рассчитаете ее площадь, то сможете настроить телескопы для более точного поиска.

Космос огромен! Настолько огромен, что астрономы редко прибегают к стандартным единицам измерения длины (метрам, километрам) и отдают предпочтение парсекам. По мере обращения Земли вокруг Солнца видимое положение звезд на небе будет изменяться в зависимости от того, насколько они удалены от нашей планеты. Попробуйте закрывать глаза по очереди. Удаленные объекты остаются на месте, но рука, поднесенная к лицу, будет «перемещаться» то вправо, то влево. Расстояние между глазами незначительно, поэтому положение звезд на небе искажаться не будет, но вот диаметр земной орбиты составляет около 300 миллионов километров – и этого достаточно, чтобы наблюдаемое положение объектов изменялось в зависимости от положения наблюдателя. Такое явление называется параллаксом. Если годовой параллакс звезды при условии, что за ней наблюдают с Земли, составляет то расстояние до нее приравнивается к парсеку. Это с трудом укладывается в голове, поэтому ваш куратор рекомендует оперировать световыми годами. Световой год – это не отрезок времени, а расстояние, которое свет способен преодолеть в течение года. Поскольку в космосе, по большому счету, пусто – так, пыль, Солнечная система и молекула-другая водорода, – следует исходить из скорости света в вакууме. Преодолевать различные материалы, допустим, стекло или воду, он будет медленнее.

Насколько огромен космос, настолько быстр свет. Согласно Альберту Эйнштейну, скорость света максимальна для Вселенной – ничто не способно двигаться быстрее. Мы знаем, что скорость света в вакууме составляет 299 792 458 м/с. Это чуть меньше 300 000 км/с. Если перемещаться с подобной скоростью, то от Земли до Луны и обратно можно долететь менее чем за три секунды.

Чтобы вы могли в полной мере оценить космическое пространство и масштаб поисков SETI, астроном просит рассчитать световой год в километрах. Можете действовать следующим образом:

300 000 километров в секунду (× 60)

= 18 000 000 километров в минуту (× 60)

= 1 080 000 000 километров в час (× 24)

= 25 920 000 000 километров в день (× 365)

= 9 460 800 000 000 километров в год.

Это 9,5 триллиона километров. Рассмотрим полученные данные в контексте ситуации. Ближайшая к Солнцу звезда – Проксима Центавра – удалена от нас примерно на 4,2 световых года. То есть где-то на 40 триллионов километров. Самый быстрый космический зонд способен развивать скорость до 250 000 км/ч[4]4
  Примерно 70 км/с. Этот рекорд принадлежал беспилотному космическому аппарату Helios 2, запущенному в 1976 году. В настоящее время рекорд принадлежит аппарату Parker Solar Probe, запущенному к Солнцу в 2018 году и разогнавшемуся в апреле 2021 года до 150 км/с (около 540 000 км/ч). Плановая максимальная скорость – около 200 км/с. – Прим. науч. ред.


[Закрыть]. Таким образом, чтобы добраться до Проксимы Центавра ему потребуется «всего» 160 миллионов часов, или чуть больше 18 000 лет.

Теперь вы понимаете: даже при обнаружении инопланетного сигнала перед путешествием к его источнику придется серьезно модернизировать наши межзвездные аппараты.

Далее астроном вручает вам звездную карту, для наглядности размеченную на клетки – световые годы: здесь и четыре звезды, и образованная ими область. Небесные тела образуют четырехугольник, однако его форма неудобна для вычисления площади. Вы понимаете, что сумеете ее определить, если разобьете область между звездами на прямоугольники и треугольники. Известно, что площадь прямоугольника равняется произведению его длины и ширины[5]5
  У автора А – площадь, l – длина, w – ширина. – Прим. науч. ред.


[Закрыть]: A = lw. Нелишне напомнить, что любой треугольник – это половина прямоугольника (составленного как раз из двух треугольников):

В случае с треугольником нет ни «длины», ни «ширины», вместо этого мы имеем дело с основанием и высотой:

Область между звездами сложно разбить на удобные для вычисления фигуры, однако внешние участки кажутся подходящими для расчета. Это позволяет определить требуемую площадь так: сначала вычислить площадь всего изображения, после чего вычесть из нее площади внешних фигур. Карту нужно разделить следующим образом:

Высчитываете площадь пунктирного прямоугольника: 14 × 8 = 112. Единицей измерения пусть служат квадратные световые годы, ly². Далее приступаете к вычислению площади каждого из четырех треугольников. Площадь T₁ составляет Подсчитав аналогичным путем площади T₂, T₃ и T₄, получаете 10ly², 4ly² и 14ly² соответственно. Квадрат S имеет площадь 4ly². Все вместе это означает, что площадь искомого четырехугольника равняется 112 – 8 – 10 – 4 – 14 – 4 = 72ly².

Но вы добросовестный ученый и хотите проверить вычисления при помощи другого метода. К счастью, есть по-настоящему эффектный способ. В 1899 году австрийский математик Георг Пик опубликовал формулу, теперь известную нам как теорема Пика, – метод вычисления площади фигур, углы которых лежат на точках сетки. Теорема гласит:

где буква i обозначает количество точек внутри многоугольника, а буква b – количество точек на его границе.

Из рисунка следует, что внутри фигуры имеются 69 точек, на ее границе – 8. И мы получаем:

Гордясь подтвержденным результатом, вы несете его куратору, чтобы он мог сузить область поиска.

Многие ученые считают, что любое сообщение от внеземной цивилизации будет составлено на языке математики. На борту запущенных в 1970-х годах космических аппаратов «Пионер-10» и «Пионер-11» – на случай, если бы им по пути встретились инопланетяне, – разместили идентичные пластинки с выгравированными изображениями мужчины и женщины. Кроме того, эти послания содержали информацию о местоположении Солнечной системы, а базовой единицей длины служила длина волны излучения атома водорода[6]6
  21 см. Водород распространен повсеместно, поэтому длина волны излучения его атома была использована в качестве «масштабной линейки» для нахождения других линейных величин на пластинке. – Прим. науч. ред.


[Закрыть]. В 1974 году радиотелескоп из обсерватории Аресибо (Пуэрто-Рико) отправил в космос закодированное сообщение, составленное Фрэнком Дрейком и Карлом Саганом. Оно рассказывало о ДНК, человечестве и планетах Солнечной системы. Чтобы добраться до намеченной цели, сигналу потребуется 25 000 лет.

Предполагается, что у инопланетных форм жизни, с которыми мы могли бы вступить в контакт, должно быть достаточно математических знаний, чтобы перехватить наши сообщения, разработав соответствующую технологию. Точная наука наверняка сработает как основа для метода коммуникации, однако есть отличная от нуля вероятность, что источником исчерпывающих сведений о человечестве станут многочисленные телешоу, которые мы транслируем на весь космос вот уже долгие годы. Но, как бы то ни было, математика все равно сыграет свою роль. Можете не сомневаться.

Уравнение Дрейка

Фрэнк Дрейк – американский астроном, который пытался найти внеземной разум задолго до основания SETI. Чтобы выяснить, каковы наши шансы на контакт с внеземными цивилизациями, он предложил такую формулу:

N_c = R_* f_pn_ef_lf_if_cL.

Здесь R* означает количество звезд (в среднем), ежегодно рождающихся в галактике; f_p – доля звезд с планетами; n_e – число планет с условиями, пригодными для жизни; f_l – доля планет, на которых могла бы появиться жизнь; f_i – доля планет, на которых способна развиться разумная форма жизни; f_c – доля планет, где разумная жизнь может транслировать в космос понятные сигналы. L – отрезок времени, в течение которого такая цивилизация передает или слушает сообщения. Перемножив переменные, получаем N – число доступных для контакта инопланетных культур. Однако неизвестные в уравнении сложно определить объективно, и, согласно последним расчетам, число N лежит в диапазоне от 0 (мы одни в галактике) до миллионов (нас очень много, давайте-ка встретимся!).

Глава 3
Зомби-апокалипсис!

По всему миру люди становятся жертвами кровожадной, растущей день ото дня армии безмозглых зомби! Первая волна эпидемии вызвала всеобщую панику, и люди, сумевшие найти надежное укрытие, изо всех сил пытаются выжить. Интернет не работает, электричества нет. Телефонные сети – как стационарные, так и сотовые – мертвы. Помощи ждать неоткуда. Вы мэр городка Моддлтон с населением 1000 человек. В некотором смысле вам повезло: поселение занимает большой остров посредине очень широкой реки. Оба моста, что связывают его с берегами, вы заблокировали, однако, судя по поступающей информации, как минимум одному зомби все же удалось пробраться на остров. Сможете ли вы задействовать свои познания в области математического моделирования и, выработав правильную стратегию, спасти свой городок, его жителей и самого себя?

Человеческие популяции давно занимают ученых – экономистов, политологов, математиков, причем интерес вызывает поведение популяций даже в самые древние времена, когда после возникновения земледелия (то есть более 5000 лет назад) люди начали организовывать поселения. Математики перевели это поведение в системы уравнений, они же модели, и теперь, применяя их к самым разным данным, пробуют предсказать действия популяции в зависимости от ситуации.

Математические модели используются в различных областях: например, с их помощью можно объяснить циклы роста и сокращения популяций леммингов, прогнозировать урожай сельскохозяйственных культур или поведение избирателей во время выборов. Вас, однако, интересуют эпидемии и их последствия. За плечами у вас множество политических кампаний, и вы понимаете: чтобы спрогнозировать будущее жителей вашего городка, при моделировании зомби-апокалипсиса нужно обратиться к механизмам распространения и сдерживания инфекционных заболеваний. Еще вам известно, что в основе математических моделей лежат дифференциальные уравнения. Применительно к вашей ситуации это выглядит так: вместо того чтобы вычислять конкретное число – скажем, количество зомби в городке, – они будут описывать изменение этого числа, то есть определять, сколько ежедневно прибывает (или убывает) живых мертвецов.

Дифференциальные уравнения сложно решать аналитически – то есть находить точные ответы, прибегая к обычному способу решения уравнений. Обычно приходится прибегать к математическому анализу – а это вам не арифметика! Но если использовать численный метод, то есть последовательно подбирать числа, которые могут подойти к конкретному классу дифференциальных уравнений, параметры модели удастся оценить максимально точно.

Для применения модели требуется оценить ряд исходных числовых характеристик – параметров. В вашем случае важно, насколько быстро станет распространяться эпидемия зомби. До того, как отключился свет, СМИ успели передать, что за день живые мертвецы способны атаковать и «обратить» примерно двоих. Вот эта информация и есть необходимый параметр. Однако фактическая численность обращенных в зомби будет зависеть и от населения, доступного для заражения: чем меньше его количество, тем меньше людей встретится живым мертвецам. Зная все это, вы можете составить первое уравнение. Чтобы упростить задачу, сформулируем ее сначала словами:

Ежедневное изменение численности зомби = 2 × количество зомби × доля оставшейся человеческой популяции.

А теперь запишем иначе:

где Z и H – это количество зомби и людей соответственно. Поскольку изначально население составляло 1000 человек, доля оставшихся в живых людей выглядит как  – изменение популяции зомби. Если убрать символы умножения, уравнение примет краткий вид:

Упрощаем дробь, для чего и числитель, и знаменатель делим на 2:

Поскольку это изменение количества живых мертвецов, есть смысл представить уменьшение человеческой популяции в виде аналогичной дроби, но со знаком минус. Ведь если количество зомби увеличивается на столько-то единиц, то численность людей убывает на столько же единиц. Получаем:

где Ḣ – изменение человеческой популяции. Итак, у вас есть два дифференциальных уравнения. Пришло время проверить, как работает модель. Просчитать ее для первого дня довольно легко. Согласно предположению, на острове находится всего один живой мертвец, который заразит двоих людей. Изменение популяции зомби (Ż) получится равным 2, убыль численности городского населения (Ḣ) составит –2. Это отличная возможность проверить работоспособность составленных уравнений:

перемножаем числа в числителе:

упрощаем до:

Ż = 2.

На второй день «обращение» людей в зомби немного осложнится, так как накануне человеческая популяция слегка сократилась. Итак, на второй день при H = 998 и Z = 3 имеем:

Используем калькулятор на солнечных батареях и подсчитываем:

Ż = 5,988.

Из-за незначительной убыли городского населения прироста в шесть живых мертвецов, который ожидается при наличии трех зомби, не получается. Вы можете возразить, что, если количество зомби не является целым числом, это выглядит как-то странно, но не забывайте: это просто модель. Согласно модели, к исходу второго дня зомби успеют «обратить» почти шестерых новичков, и они непременно завершат то, что начали. Следовательно, в городке появятся 8,988 живых мертвецов и останется 991,012 человек. Темп распространения кажется довольно низким, но уже через несколько дней ситуация резко обострится:

Если все умрут в течение недели, это станет катастрофой для вашей следующей избирательной кампании! Очевидно, причина столь высокой смертности – в том, что живые люди сидят сложа руки и позволяют зомби бесчинствовать. Тем не менее расчеты показывают, что через несколько дней ситуация станет критической, и потому вы отдаете приказ всем укрыться по домам и забаррикадироваться.

Как это повлияет на модель? Что ж, ежедневное пополнение армии живых мертвецов затормозится. Если люди попрятались, добраться до них сложнее, и у зомби нет возможности рекрутировать «новобранцев». Выражаясь языком математики, эффект будет заключаться в заметном уменьшении исходного множителя 2. Между тем каждому политику известно, что далеко не все станут выполнять приказы – кто из-за упрямства, кто из-за необходимости добывать пропитание или лекарства. Следовательно, снизить ежедневное количество «обращений» до нуля не получится. Поэтому, изменяя модель, вы закладываете скорость, равную 0,25, то есть подразумеваете, что каждый зомби будет «обращать» очередного человека в живого мертвеца не чаще чем раз в четыре дня. Производим вычисления и по результатам строим график на странице 44:

Итак, есть хорошая и плохая новости. Хорошая заключается в том, что зомби потребуется время, чтобы укрепить свои позиции и начать вредить всерьез. Плохая новость – через 50 дней население вашего городка все равно превратится в ходячих мертвецов. Однако вы понимаете, что такой подход позволит людям выиграть время, а единственный способ вытащить хоть кого-нибудь из этой передряги – переиграть зомби на их же поле. Тогда вы решаете закрыть Моддлтон на 20 дней и, призвав на помощь небольшой отряд городской полиции и несколько воинственно настроенных смельчаков, провести во время карантина кое-какие исследования и выработать победную стратегию.

Выясняется, что фильмы не врут: удар тупым предметом по черепу разрушает мозг зомби, и это лучший способ борьбы с ними. По счастью, Моддлтон славится крикетными, хоккейными и гольф-клубами, поэтому у горожан полным-полно бит и различных клюшек. Становится понятно, что живые мертвецы плохо видят в темноте, поэтому охотиться на них лучше ночью. Это опасно, да и вероятность «обращения» возрастает, но в борьбе за выживание не пристало привередничать. Вы занимаетесь исследованиями две-три недели, потом уточняете некоторые цифры и вносите в модель изменения.

Необходимо ввести третье уравнение, описывающее скорость уничтожения зомби. Вы подсчитываете, что с новой тактикой и импровизированным оружием, а также при численном превосходстве вам удастся ежедневно уничтожать 90 % действующих зомби. Как и в прошлый раз, запишем уравнение сначала в словесной форме:

Ежедневное изменение численности убитых зомби = 90 % × Z.

Представив изменение количества уничтоженных врагов в виде и вспомнив, что 90 % – то же самое, что и 0,9, получим:

Во время непосредственного уничтожения живого мертвеца он по-прежнему может кого-нибудь заразить, причем коэффициент, согласно вашим оценкам, возрастает с 0,25 до 0,75. Еще придется учесть ежедневную убыль популяции ходячих трупов – на количество уничтоженных. Из-за двух новых параметров Ż-уравнение примет такой вид:

Несмотря на спешность вопроса, оставить уравнение с десятичной дробью в числителе мы не можем, поэтому упрощаем:

Ḣ-уравнение, описывающее ежедневное изменение человеческой популяции, остается неизменным: не учитывается – прежде, чем вы выйдете на ночную охоту, зомби будут нападать на людей целый день. Вот что у нас получается:

Начинаем оперировать цифрами. Согласно наиболее оптимистичному прогнозу, на 20-й день в городке 920 человек и 81 живой труп. Подставив в каждое из трех уравнений Z = 81 и H = 920, получаем:

Люди, в атаку! В первый день человеческого восстания ожидается уничтожение почти 73 зомби. Однако, вычисляя изменение городской популяции, вы видите, что тут без потерь тоже не обойдется. Используем в Ḣ-уравнении те же Z = 81 и H = 920:

Нажимаем кнопки на калькуляторе – том самом, на солнечных батареях, – и получаем:

Ой-ой-ой! В первую же ночь контратаки погибнет почти 56 человек. Чтобы понять, стоит ли оно того, следует взглянуть на последнее уравнение, определяющее изменение численности активных зомби:

Вновь подставим сюда Z = 81 и H = 920, а также вычисленное ранее

Можете называть меня SIR

Задействованная в этом сценарии реальная математическая модель известна как SIR, где S означает «восприимчивый» (susceptible), I – «инфицированный» (infected), R – «выздоровевший» (recovered). Эта модель, разработанная еще в 1920-х годах группой британских ученых – врачом Рональдом Россом, эпидемиологом Андерсоном Маккендриком, биохимиком Уильямом Кермаком, математиком Хильдой Хадсон и другими, – использовалась для моделирования пандемии COVID-19. Так же, как и в ситуации с зомби-апокалипсисом, нужно было найти способ ограничить скорость заражения и таким образом «сгладить кривую» – увеличить продолжительность пандемии, но снизить нагрузку на систему здравоохранения и другие жизненно важные службы. Возможно, если бы вирусы были видны невооруженным глазом и выглядели столь же устрашающе, как и блуждающие по улицам плотоядные зомби, люди соблюдали бы социальную дистанцию с куда большей охотой.

Да! Нам удается получить отрицательный прирост количества зомби. Несмотря на предполагаемые огромные потери среди людей в первую ночь контратаки, общая численность ходячих мертвецов сократится. Дни зомби-апокалипсиса в Моддлтоне, считайте, сочтены.

Обрабатываем остальные цифровые данные и выстраиваем вот такой график:

К 20-му дню, на который запланирована контратака, наблюдается резкое падение численности как горожан, так и зомби, но далее ситуация складывается явно в пользу человеческой популяции. Через 35 дней или, если хотите, спустя пять недель после того, как в Моддлтон проник первый ходячий труп, вы вместе с другими выжившими – их 731 – стоите на ступеньках ратуши и празднуете победу. Что там творится в мире? Кто знает! Но на местном уровне вы справились с беспрецедентным кризисом превосходно и наверняка сохраните за собой кресло мэра.

Глава 4
Что может быть проще пи…рога

В офис вашего отряда экоспасателей по каналу экстренной связи поступает сообщение. Неподалеку от заповедника дикой природы, где обитают находящиеся под угрозой исчезновения морские птицы, млекопитающие и водные организмы, сел на мель танкер, из которого вытекают нефтепродукты. Танкер сильно поврежден, и экипаж не в состоянии самостоятельно остановить разлив. У вас есть запас надувных боновых заграждений (или просто бонов), с помощью которых можно сдержать загрязнение. По данным команды танкера, жидкость, вытекающая со скоростью 1000 л/ч, расползается пятном толщиной 0,002 мм; со спасательного вертолета, зависшего непосредственно над разливом, были сделаны фотографии, и у вас есть представление о форме пятна. Вашему отряду по силам установить надувные боны и затем откачать водно-нефтяную эмульсию, но у вас уйдет два часа на то, чтобы добраться до места. Монтируя боновые заграждения, судно движется со скоростью 1,7 км/ч. Если определить заранее длину требуемых бонов, вы сможете в предельно сжатые сроки снарядить экипаж и справиться с проблемой. Какое-то время преимущественное направление ветра и течение в этом районе останутся неизменными, поэтому пятно, которое распространяется под углом 60° от танкера, сохранит свою форму. По оценкам береговой охраны, в вашем распоряжении есть меньше 12 часов – потом пятно достигнет вод заповедника дикой природы. Сумеете ли вы добраться до места и, установив боновые заграждения, сдержать разлив нефтепродуктов, прежде чем те доберутся до охранной зоны?

Нефтяной разлив имеет форму, близкую к сектору – части круга. Чтобы упростить расчеты, следует предположить, что схема размещения бонов также будет похожей на сектор. Вычисления осложняются тем, что пятно растет, поэтому вам придется соотносить границы разлива нефтепродуктов со временем, прошедшим с момента аварии.

Круги издавна очаровывают людей. Независимо от размеров, все круги имеют одну и ту же форму и одинаковые пропорции; как говорят математики, они подобны. И во все века особый интерес ученых привлекало одно соотношение: если взять длину окружности (периметр круга, или протяженность внешней границы) и разделить на диаметр (отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через ее центр, а также длина этого отрезка), всегда будет получаться один и тот же ответ.

Найденное число чуть больше трех – 3,14159265356 при округлении до десятого знака после запятой. Это иррациональное число, то есть его нельзя записать в виде обыкновенной дроби. Будучи представленным в виде десятичной дроби, оно продолжается бесконечно – без групп повторяющихся цифр. Чтобы обозначить его как есть, мы используем греческую букву π («пи»), но если нужен числовой результат, приходится подставлять округленное значение. Число π применяется во многих областях математики, и его значение, похоже, определяет, как геометрия работает во вселенной. А еще оно, конечно, помогает вычислять длину кривых и площади криволинейных фигур. Вы можете преобразовать формулу, определяющую π:

Если умножим обе части уравнения на диаметр, получим:

π × диаметр = длина окружности.

Формула позволяет вычислить криволинейную, сложную в измерении окружность путем умножения прямого, простого для оценки диаметра на π. Это дает нам равенство, которое разве что не звенит подобно школьному звонку:

C = πd.

Если вы помните, радиус (расстояние от центра до окружности) равен половине диаметра. Значит, два радиуса образуют диаметр, и стоит нам только сказать, что d = 2r, как у нас появляется альтернативная формула:

C = π × 2r.

Математики обычно записывают ее следующим образом:

C = 2πr.

Нефтяное пятно напоминает сектор, который представляет собой часть круга, ограниченную двумя радиусами и частью окружности – дугой.

Чтобы вычислить длину дуги, нужно знать, насколько велик сектор, а это определяется его углом. Глядя на спутниковый снимок, вы понимаете, что угол составляет 60°. Учитывая, что круг – это 360°, наш сектор будет шестой частью фигуры. Значит, длина его дуги составляет одну шестую от длины окружности:

Превращаем уравнение в единую дробь:

Сокращаем ее и получаем:

Необходимая длина бонов равняется сумме длины дуги и двух радиусов:

Теперь вынесем r за скобки:

Пока все хорошо. Есть формула для вычисления длины боновых заграждений, которая принимает в расчет радиус пятна. Но не слишком радуйтесь: мы еще должны учесть, что нефтепродукты продолжают вытекать из танкера, и разлив станет расти. На то, чтобы добраться до места, нужно время, поэтому следует выяснить, каким будет радиус пятна к моменту вашего появления.

Составляя уравнение для расчета длины боновых заграждений, мы исходили из того, что пятно, имеющее форму сектора, двухмерное. На самом деле оно трехмерное и напоминает невероятно тонкий (толщиной 0,002 мм) срез пирога. Вы можете вычислить объем разлива, умножив его площадь на толщину: для этого вам снова понадобится π. Вот формула площади круга: S = πr². У нас есть шестая часть круга, значит, объем пятна будет определяться так:

Толщина пятна составляет 0,002 мм – оно не толще человеческого волоса, чем и объясняется способность нефтяных разливов распространяться на огромную площадь и наносить ощутимый урон окружающей среде. Нам известно, что 0,002 мм – это две тысячных доли миллиметра, а миллиметр – тысячная часть метра, то есть толщина пятна равняется двум миллионным частям метра. Подставим это в формулу объема:

Превратим в единую дробь:

Избавимся от двойки в числителе, разделив обе части дроби на 2:

В итоге у нас остается такое уравнение:

Вы знаете, что объем пятна увеличивается на 1000 л/ч, то есть на 1 м³/ч. Другими словами, объем, выраженный в кубических метрах, – это скорость, умноженная на количество часов, прошедших с того момента, как танкер дал течь. Определив t как количество прошедших часов, что дает V = 1 × t, или просто V = t, подставляем выражение в формулу объема и изменяем ее таким образом, чтобы появилась возможность найти r:

Умножаем обе стороны на 3 000 000:

3 000 000t = πr²,

Идея «Волосы дыбом»

Глядя на документальные кадры с выдрами, шерстка которых была перемазана нефтью, разлившейся после аварии танкера «Эксон Валдиз» в 1989 году, американского парикмахера Фила Маккори посетила блестящая мысль. Он взял галлон (около 3,8 л) масла и вылил его в бассейн сына, имитируя разлив нефти. Затем бросил туда же пару старых колготок жены, предварительно набив их волосами (чего-чего, а волос в парикмахерской Маккори хватало). Спустя две минуты «начинка» впитала в себя масло. Так появилась международная программа «Волосы – нефтяным разливам» (Hair for Oil Spills): ее задачей было собирать отходы парикмахерских, зоосалонов и ферм, где занимаются разведением овец, и использовать все это для борьбы с разливами нефтепродуктов. Лучше всего, конечно, подходят человеческие волосы: они, если судить по тому, как часто мы моем голову шампунем, способны впитать огромный объем маслянистой субстанции – во много раз больше их собственной массы. Кроме того, если отжать биосорбент, его можно использовать повторно.

затем делим обе стороны на π:

Чтобы получить r, а не r², извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

Подставив полученное выражение в формулу расчета длины бонов, вы сможете сказать, сколько боновых заграждений понадобится с учетом показателей времени, прошедшего с момента начала разлива:

Эта формула сообщает кое-что очень важное: требуемая длина боновых заграждений пропорциональна квадратному корню из времени. Ваше судно начнет монтаж спустя два часа после начала течи в танкере и каждый час будет устанавливать 1700 м бонов. Получается вот такой график:

Поначалу нефтяное пятно растет очень быстро, но со временем темп замедляется, и ваш отряд получает шанс наверстать упущенное. Если взглянуть на график, станет очевидно, что нужное (то есть превышающее внешние границы пятна) количество боновых заграждений – от 7000 до 7500 м – будет установлено всего за шесть часов.

Поняв, что возможность добраться до места, установить боны и защитить охранную зону все же существует, вы с облегчением выдыхаете, снаряжаете судно и пускаетесь в плавание.

Уйма π

Помните, как в школе при различных расчетах вас приучали использовать разные приближения π? Как правило, это были 3,14 или Электронные калькуляторы могут отобразить столько знаков после запятой в числе π, сколько может понадобиться для любых вычислений, и ответ будет гораздо точнее. Однако Раджвир Мина из Индии решил, что этого мало, и запомнил 70 000 знаков после запятой. Мировой рекорд был зафиксирован в 2015 году: Мина почти 10 часов с завязанными глазами диктовал число π по памяти. Если зубрежка не ваш конек, можете обратиться к компьютеру: современные машины умеют вычислять π все точнее и точнее. В январе 2020 года был установлен мировой рекорд по уточнению значения π с применением домашнего компьютера: американский аналитик по кибербезопасности Тимоти Малликан после 303 дней вычислений остановился на 50 триллионах знаков после запятой[7]7
  В августе 2021 года мировой рекорд был установлен ученым из Высшей школы прикладных наук в швейцарском Граубюндене – 62,8 триллиона цифр после запятой, вычисленных за 108 дней и 9 часов. – Прим. науч. ред.


[Закрыть].