Текст книги "Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности"

3
Источник чудес: идея Гёделя

Если вы – самый умный из присутствующих, значит, вы находитесь не там, где нужно.

В этой книге я пишу об идеях Курта Гёделя уже в четвертый раз. Каждый раз я писал о них по разным причинам. Хотя математическое содержание теоремы Гёделя не изменилось, следствия из нее настолько глубоки, что я снова и снова возвращаюсь к ней.

В книге «Способы мышления» (Ways of Thinking) я использовал теорему Гёделя, чтобы показать, что у того, чего можно достичь чисто рациональным мышлением, неизбежно существуют некоторые пределы, и для выхода за эти пределы необходима некая особая уловка. Этой уловкой оказалась человеческая интуиция. В книге «Этические расчеты» (Moral Calculations) я писал о концепции сотрудничества. Это, на вид такое простое, понятие оказалось на удивление трудно – на самом деле невозможно – определить. Как ни определяй поведение, основанное на принципах сотрудничества, всегда можно применить методику, разработанную Гёделем, и сконструировать такую коллективную игру, в которой все игроки неизбежно проигрывают, если неуклонно придерживаются сотрудничества в соответствии с этим определением, а различные стратегии, не предполагающие сотрудничества, позволяют всем выиграть. Таким образом, бесспорного, всеобщего и окончательного решения задачи о сотрудничестве быть не может. В книге «Эволюция денег» (The Evolution of Money) я доказывал, что методика Гёделя не только дает возможность вывода его радикально новаторской теоремы в области логики, но может быть использована и для описания корневого механизма дарвиновской эволюции, который, в свою очередь, можно применить к эволюции биологической, к эволюции идей (мемов) и к эволюции экономической (денег и капитала). Следовательно, Гёдель открыл нечто гораздо большее, нежели изящный и действенный математический метод; его открытие оказывается природным механизмом, лежащим в основе самых разных явлений.

Теперь же идея Гёделя покажет нам, почему помимо редких явлений дикого мира, подчиняющегося закону Коши, могут существовать и другие типы чудес. А когда мы дойдем до IV части книги, гёделевская точка зрения также поможет нам понять, почему мы говорим об одних типах поведения и отношений и не говорим о других, а также подготовить нас к чудесам, которые встретятся нам в будущем.

В 1931 году Курт Гёдель опубликовал в немецком журнале Monatshefte für Mathematik und Physik статью «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем I» (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I). Теорема VI этой статьи, прославившаяся впоследствии под названием первой теоремы Гёделя о неполноте, была сформулирована следующим образом:

Для каждого ω-непротиворечивого рекурсивного класса формул k существует такая рекурсивная классовая формула, что ни ∀ (ν, r), ни ¬∀ (v, r) не принадлежат к Flg (k), где ν – свободная переменная r[26]26
  В Hofstadter (1979), р. 17, теорема приводится в изначальной формулировке.


[Закрыть].

Гёдель исходно сформулировал это утверждение по-немецки, но я могу вас заверить, что для немецкоязычного читателя-неспециалиста оно было ничуть не более понятным, чем для нас в переводе. В переложении на обычный язык теорема утверждает приблизительно следующее:

Любая математическая система, которая 1) основана на конечном числе аксиом (утверждений, принимаемых без доказательства), 2) построена строго формальным образом, 3) содержит аксиому, предполагающую существование бесконечной последовательности натуральных чисел (причем ноль считается натуральным числом, и за каждым натуральным числом идет следующее), и 4) не содержит противоречий (в том смысле, что в рамках этой системы невозможно доказать как некоторое утверждение, так и утверждение, обратное ему), заведомо содержит такие утверждения, которые можно точно сформулировать в рамках этой системы, но нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Теорема Гёделя о неполноте чрезвычайно сильно потрясла математиков и логиков. В течение двух с половиной тысяч лет – с самого момента появления математики в современном смысле этого слова – математики твердо верили, что любое математическое утверждение, которое можно ясно и точно сформулировать, рано или поздно можно будет доказать либо опровергнуть, используя формальные методы математической дедукции. Нужно только быть достаточно умным – и доказательство найдется. Но Гёдель разбил эту мечту вдребезги. Он показал, что существуют такие математические утверждения, которые никто, как бы умен он ни был, никогда не сможет ни доказать, ни опровергнуть.

Четыре условия, которые я описал выше, нельзя назвать ни чрезмерно строгими, ни излишне заумными. Им соответствует бо́льшая часть той математики, которую мы используем повседневно. Таким образом, теорема Гёделя утверждает, что во всех математических системах, кроме самых простейших, непременно должны возникать задачи чисто математические, но не разрешимые методами самих этих систем. Отсюда и название «теорема о неполноте»[27]27
  О философских предпосылках теоремы Гёделя см. Copi and Gould (1968). Об ограничениях математики см. Chaitin (2002).


[Закрыть].

Было бы соблазнительно углубиться еще дальше в удивительные следствия из теоремы Гёделя. Я попытаюсь устоять перед этим искушением, чтобы не отклоняться слишком далеко от темы этой книги. По счастью, у нас есть «Гёдель, Эшер, Бах» Дугласа Р. Хофштадтера – книга, которая сама по себе является небольшим чудом. Даже ее издатели не предполагали, что им удастся продать целые миллионы экземпляров этой длинной и сложной книги, посвященной математическим вопросам. Таким образом, можно сказать, что книга «Гёдель, Эшер, Бах», в которой представлены многочисленные далеко идущие следствия из теоремы Гёделя и гёделевского мышления, была настоящим «черным лебедем». Одной из причин ее успеха было то, что Хофштадтеру удалось пересказать теорему Гёделя простым языком, не используя сложных математических формулировок, но сохранив абсолютную математическую точность. Однако для этого ему потребовалось приблизительно столько же страниц, сколько во всей моей книге.

Я не буду даже пытаться состязаться с этим великолепным достижением. Вместо этого позвольте мне представить несколько гёделевских дивертисментов, чтобы проиллюстрировать охват следствий из теоремы Гёделя и показать, почему она изменила наше мышление столь фундаментальным образом. Я надеюсь, что эти наброски позволят понять, почему открытие Гёделя, кажущееся столь эзотерическим, смогло лечь в основу трех моих предыдущих книг, в которых ничего эзотерического не было, и почему его можно использовать снова, чтобы пролить свет на происхождение чудес.

В некой деревне существует закон, согласно которому человек, назначенный деревенским брадобреем, должен брить всякого, кто не бреется сам, и не имеет права брить никого из тех, кто бреется самостоятельно. Кто же тогда бреет брадобрея? Заметим прежде всего, что брадобрей не может брить самого себя, так как ему запрещено брить тех, кто бреется сам. Но если он не бреет самого себя, то он все-таки должен брить самого себя, потому что он обязан брить всех тех, кто не бреется самостоятельно. Поэтому наша задача приобретает гёделевский оттенок: она сводится к логическому парадоксу, не имеющему решения.

Разумеется, мы легко можем заключить, что жители деревни приняли глупый закон, искусственно сформулированный так, чтобы создать парадокс. Однако эта аналогия иллюстрирует самую суть теоремы Гёделя: в любой формальной системе законов существуют противоречия. С этой точки зрения не важно, глуп тот или иной закон или продуман до мелочей. Что бы он ни утверждал, всегда можно измыслить такую ситуацию, в которой этот закон должен действовать, но не действует. А если такую ситуацию можно вообразить, то рано или поздно окажется, что в чьих-нибудь интересах создать ее, чтобы избежать последствий применения этого закона. Именно поэтому мы то и дело встречаем лазейки, позволяющие обойти закон, и существование таких лазеек неизбежно: добавление новых правил, закрывающих эти лазейки, приводит только к образованию новых.

В недалеком прошлом, когда Венгрией правил коммунистический режим, некоторые книги были запрещены властями. Продажа или распространение таких книг и даже обладание ими или их чтение были нарушением закона. Время от времени, охваченный любопытством, я пытался найти названия запрещенных книг. Мне это так и не удалось, потому что перечень запрещенных книг также был запрещенной книгой[28]28
  Аналогичным образом издававшийся Главлитом СССР «Перечень сведений, запрещенных к опубликованию в открытой печати, передачах по радио и телевидению» выходил под грифом «Секретно».


[Закрыть]. Этот перечень стал гёделевской концепцией. На самом деле в такой секретности не было особой необходимости: «Индекс запрещенных книг» (Index Librorum Prohibitorum) Католической церкви, существовавший с 1559 по 1966 год, сам запрещен не был.

Такова природа диктатуры. Радикально тоталитарные идеи не только сомнительны с этической точки зрения, но часто и противоречат сами себе. Эти идеи тоталитарны, потому что они обещают полные, логические ответы – как будто речь идет о задачах из области чистой математики – на важные вопросы человеческого существования, например о том, как сделать людей счастливыми. Но, поскольку существует бесконечное множество систем ценностей и форм счастья, в этом случае также действует дух теоремы Гёделя. Никакая математически точная идеология не может сделать всех счастливыми. В любом обществе неизбежно будут существовать совершенно нормальные люди, которым социальные нормы их среды не позволяют реализовать себя. Если общество утверждает, что таких людей не существует, это означает одно из двух: либо общество лжет, либо, как следует из теоремы Гёделя, данная общественная система не является непротиворечивой. Говоря несколько напыщенно, теорема Гёделя гарантирует, что история не имеет решения.

Тем из нас, кто жил в Восточной Европе под советским господством, кажется чудом, что диктатуры XX века в конце концов были свергнуты. Пока диктаторы находились у власти, мы не могли представить себе никакого реалистического сценария, который приводил бы к их краху. Разумеется, мы знали, причем на собственном опыте, что они внутренне противоречивы и, следовательно, в конечном счете должны оказаться неустойчивыми, но теорема Гёделя не предсказывала их падения. Она показывает нам механизм, по которому могут происходить чудеса, но не гарантирует появления каких-либо конкретных чудес.

Эту же теорему можно применить к разделу философии, который называется эстетикой. Поскольку существует бесконечное множество разновидностей красоты, теорема Гёделя гарантирует, что в любой непротиворечивой эстетической системе существует тип красоты (а также тип уродства), красота которого не может быть логически выведена внутри самой системы. Неудивительно, что в произведениях искусства мы встречаем такое множество проявлений гёделевской красоты. Хофштадтер в основном иллюстрирует это положение рисунками Эшера и фуг Баха, но немало других примеров можно найти и в литературе.

В одной из сказок «Кибериады» Станислава Лема изобретательный инженер Трурль создает Совершенного Советчика для злого короля Мандрильона. Первым делом король приказывает Советчику избавиться от Трурля, чтобы не платить инженеру за работу[29]29
  Lem (1985).


[Закрыть]. Трурль хочет получить свой гонорар, но как ему добиться цели? Если он попытается заставить короля заплатить, ему придется бороться с созданным им же совершенным разумом. Советчик легко разоблачает все планы Трурля и защищает короля от всего, что изобретатель предпринимает, чтобы получить свои деньги. Однако в конце концов Трурль добивается своего. Он начинает писать Советчику дружелюбные, невинно выглядящие письма. Разумеется, Совершенный Советчик не глуп и понимает, что по замыслу инженера эти письма должны возбудить у короля подозрение – именно благодаря их кажущейся невинности. В их невинных словах наверняка скрыт какой-то тайный код. Хотя Советник настаивает на своей невиновности, король проникается уверенностью в том, что Трурль и Советник плетут какой-то заговор, и, когда Трурль упоминает в одном из писем голубые винтики Советника, а Советник утверждает, что не имеет о них никакого понятия, король приказывает разобрать Советника до последнего винтика. Но, лишившись Советника, король становится уязвим для превосходящего интеллекта Трурля, и ему в конце концов приходится заплатить изобретателю.

Сам Трурль резюмирует свое решение так: «Некогда было сказано: чтобы перевернуть планету, достаточно вне ее отыскать точку опоры; так и я, желая повергнуть разум, во всем совершенный, нуждался в точке опоры – ею мне послужила глупость»[30]30
  Перевод К. В. Душенко.


[Закрыть][31]31
  Ibid., р. 194.


[Закрыть]. Трурль с самого начала был уверен, что теорема Гёделя гарантирует существование этой точки опоры, но обнаружение конкретного гёделевского вопроса, способного победить объединенный разум Совершенного Советчика и короля Мандрильона, потребовало гениальности конструктора.

В рассказе «Лотерея в Вавилоне» Хорхе Луиса Борхеса лотерея представляет собой орудие судьбы, а судьба может раздавать как блага, так и несчастья[32]32
  Borges (1988).


[Закрыть]. Раб, у которого не было денег на покупку лотерейного билета, украл его. Когда тираж лотереи был разыгран, рабу выпало, что ему должны выжечь язык. Но, кроме того, его следовало наказать за кражу билета, а согласно кодексу вавилонских законов наказанием за такую кражу также было выжигание языка. Возникла неразрешимая проблема: должен ли раб потерять свой язык в наказание за воровство или, как предлагали его более великодушные сограждане, лишиться его просто потому, что так велела судьба? У этой гёделевской задачи нет простого решения. Если законы Вавилона гласят, что язык может быть выжжен, только если причина такого наказания установлена однозначно, то для раба произойдет чудо: он сможет сохранить свой язык, хотя формально его должны дважды выжечь.

Существует целое семейство анекдотов о пассажирах в купе поезда – иногда они бывают еще пациентами психиатрической больницы или заключенными в тюремной камере, – которые называют анекдоты по номерам. В одном из вариантов этой истории оказавшийся в такой группе новичок называет наугад случайный номер и остальные пассажиры набрасываются на него за то, что он рассказал непристойный анекдот. В другом варианте все они покатываются со смеху, потому что этого анекдота они раньше не слышали.

Блестящая идея Гёделя заключалась в присвоении номеров всем математическим утверждениям. Такая операция вряд ли покажется кому-нибудь особенно уморительной, но тем не менее она осуществима, а получив возможность называть утверждения по номерам, мы достигаем важного уровня математической формализации. Нумерация утверждений означает внесение их в некий упорядоченный перечень. Сначала отметим, что любое математическое утверждение может быть выражено в виде формулы – например, в рамках системы «Принципов математики», которая упоминается в заголовке статьи Гёделя[33]33
  Полное доказательство теоремы Гёделя см., например, в Hofstadter (1979), гл. 4–8; Nagel and Newman (1983).


[Закрыть]. Поэтому мы можем начать с утверждений, состоящих всего из одного символа, а когда они закончатся (а они непременно закончатся, так как система должна содержать конечное количество символов), перейти к утверждениям, состоящим из двух символов, и так далее. Рано или поздно должно стать ясно, что любое возможное утверждение войдет в этот перечень и, следовательно, ему будет присвоен номер. Свой номер получит и теорема Пифагора, и утверждение «2 + 2 = 4», и теорема о разложении на множители разности двух квадратов: a² – b² = (a + b)(a – b). Разумеется, номера будут присвоены и всем ложным утверждениям, например утверждениям «2 > 3» и «2 + 2 = 5», а также неправильному разложению (a + b)(a + b) = a² + b².

Затем Гёдель прошел еще на шаг дальше и отдельно пронумеровал все верные доказательства. Точно так же, как это было сделано для утверждений, доказательство, которое устанавливает справедливость математического утверждения, может быть представлено в виде последовательности логических формул, подчиняющихся определенным правилам. Гёдель применил к ним тот же метод, который он использовал для формул: он начал с доказательств из одного символа, затем перешел к доказательствам двухсимвольным и так далее. В результате каждый возможный правильный вывод получил номер, обозначающий его положение в последовательности верно составленных доказательств. Поскольку доказательства расставлены в порядке возрастания длины, любое доказательство, каким бы длинным оно ни было, рано или поздно должно появиться в этом перечне.

Это несколько упрощенное описание того, что на самом деле сделал Гёдель. Исходя из некоторых формальных соображений, он использовал для нумерации формул и доказательств гораздо более сложную систему. Но то описание, которое я привел выше, отражает основную идею. Вся эта нумерация утверждений и доказательств преследовала одну-единственную цель: гарантировать существование в перечне Гёделя одного очень странного утверждения – впоследствии это утверждение получило в честь Гёделя название «утверждение G». Если перевести утверждение G с математического языка на человеческий, его можно сформулировать следующим образом: Не существует такого натурального числа х, что доказательство с номером x есть доказательство утверждения G. Другими словами: Перечень всех возможных доказательств не содержит доказательства того утверждения, которое вы сейчас читаете.

Мастерский ход Гёделя заключался в выражении этой странной, логически закольцованной формулы математически точным образом. Затем он доказал, что утверждение G не может быть доказано (то есть в его перечне доказательств нет доказательства G). Не может быть доказано и обратное ему утверждение (потому что, как мы увидим дальше, оно на самом деле ложно). Если бы утверждение G было одним из нумерованных анекдотов, которые рассказывают пассажиры поезда, пассажиры могли спорить до скончания времен, следует ли смеяться над анекдотом G или возмущаться, услышав его, потому что обосновать ту или другую точку зрения было бы невозможно.

Следует иметь в виду, что G – очевидно, «хороший» анекдот в том смысле, что это утверждение истинно: если бы оно не было истинным, то истинным должно было бы быть утверждение, опровергающее его. В этом случае существовало бы натуральное число х, такое, что доказательство с номером x доказывало бы утверждение G. Но поскольку само G утверждает, что такого числа не существует, это означало бы, что доказательство x доказывает собственное небытие. Значит, утверждение G должно быть истинным – но если это так, тогда возможно представить вот этот самый абзац в виде конечного набора математических символов и тем обеспечить его включение в перечень доказательств, а из этого следует, что утверждение G должно быть ложным. Так кто же бреет брадобрея?

В отличие от рассказчиков анекдотов математики не запутались в этих рассуждениях и не пустились в бесконечные споры. Они смогли принять тот факт, что математика устроена именно так. Более того, многие задачи, остававшиеся нерешенными на протяжении многих лет, оказались утверждениями, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть, и в том, что никто не смог их решить, не было ничего удивительного[34]34
  Например, было доказано, что так называемая континуум-гипотеза в традиционной аксиоматике теории множеств представляет собой гёделевское утверждение (Cohen 1966).


[Закрыть].

Прошли десятки лет, и американскому математику Абрахаму Робинсону пришло в голову, что было бы интересно добавить отрицание G к классической системе математики в качестве новой аксиомы[35]35
  Robinson (1996); Goldblatt (1998).


[Закрыть]. В конце концов, рассуждал он, в результате все равно получится математическая система, и если классическая математика непротиворечива – то есть в ней нет такого утверждения, которое можно и доказать, и опровергнуть, – то математика, полученная путем добавления одной этой аксиомы, тоже должна быть непротиворечивой. Если бы новая система оказалась противоречивой, в ней существовала бы возможность и доказать G, и опровергнуть G. Но поскольку единственное различие между старой и новой системами сводится к добавлению аксиомы об отрицании G, которую нельзя использовать для доказательства G, из этого следует, что доказательство G может быть возможно в новой системе, только если оно возможно и в старой, для которой Гёдель доказал его невозможность. Если бы новая система получилась противоречивой, в ней можно было бы получить как доказательство G, так и его опровержение, но, поскольку при помощи G невозможно получить опровержение G, из этого следует, что в исходной системе доказать G было невозможно. Следовательно, добавление отрицания G к классической математике дает непротиворечивую математическую систему – разумеется, если предположить, что классическая математика исходно непротиворечива.

Однако непротиворечивость классической математики – вещь далеко не очевидная. Хотя большинство математиков верит в истинность этой идеи, доказать ее не удалось никому. Тем не менее математики знают, что математика не может быть лишь немножко противоречивой. Сотни лет назад было доказано, что если бы в классической математике было одно-единственное противоречие, то для любого утверждения, которое может быть доказано, могло бы быть доказано и обратное утверждение. Таким образом, математика может быть либо абсолютно непротиворечивой, либо полной противоречий. Этого соображения математикам вполне достаточно, чтобы верить в ее непротиворечивость. Гёдель шокировал их и в этом отношении, потому что из его теоремы следует, что доказать непротиворечивость любой достаточно сложной системы математики внутри самой этой системы невозможно. Непротиворечивость всегда будет оставаться в некотором роде вопросом веры.

С учетом этого идея Абрахама Робинсона кажется абсурдной. В самом деле, он решил построить математическую систему, содержащую заведомо ложную аксиому. Как если бы я каким-то образом оказался не только мужчиной – а я мужчина, – но также и женщиной. Разумеется, в реальности такое невозможно (если не учитывать в этом примере гермафродитизма и бигендерности). Я не женщина, и на свете не существует никого, кто был бы мною и женщиной. Но в математике такие парадоксы возможны. Если классическая математика непротиворечива, то непротиворечивой должна быть и новая система, так как Робинсон получил ее добавлением независимой аксиомы. С математической точки зрения эта новая система будет такой же чистой и упорядоченной, как и старая. Поэтому в исследовании новой системы и рассмотрении теорем, которые можно из нее вывести, нет ничего дурного.

Оказывается, что при работе в новой системе придется переосмыслить сущность номеров доказательств в смысле гёделевской нумерации. Добавление опровержения G требует добавления некоего «обобщенного» натурального числа. Хофштадтер называет его «супернатуральным числом»[36]36
  В математике есть супернатуральные числа, или числа Штайница, которые не имеют отношения к тем, что упоминаются здесь. «Супернатуральные числа» Хофштадтера – это гиперцелые числа, подкласс гипервещественных (они же гипердействительные), о которых и идет речь в главе. – Прим. ред.


[Закрыть], потому что в нем есть нечто почти чудесное. Чтобы дать этому супернатуральному числу имя, обозначим его буквой I, так как число это – плод нашего воображения, или, если обратиться к латыни, imaginatio. Вся традиционная математика по-прежнему прекрасно работает без I, а вся математика, использующая отрицание G, должна использовать I. Если вычисление, в котором используется I, дает результат, принадлежащий к области традиционной математики, то I из него исчезает – так же, как в некоторых вычислениях исчезает другой математический объект, который обозначают буквой i – мнимая единица: (1 + i) × (1 – i) = 2.

Страстные поклонники Гарри Поттера должны помнить, что платформа № 9 3/4, от которой отходят поезда в Хогвартс, – это тоже воображаемая платформа, но начинающийся от нее путь тем не менее куда-то ведет.

Робинсон обобщил концепцию супернатуральных чисел на все множество чисел вещественных и назвал их «гипервещественными числами». Супернатуральное число I не может быть ни одним из традиционных натуральных чисел, так как это привело бы к существованию доказательства G в классической математике. Поэтому I не может быть равно 0, 1, 2, 3 или какому-нибудь другому натуральному числу. Однако можно допустить, что I больше любого натурального числа, но тем не менее остается именно числом, не превращаясь в какую-либо бесконечно большую величину. Оно может быть удвоено или возведено в квадрат, и результатом этих операций также будут гипервещественные числа. Два гипервещественных числа можно сложить друг с другом или вычесть друг из друга; гипервещественные числа вообще можно сочетать друг с другом, а также с натуральными числами всеми обычными способами. Например, 2I и I + 3 представляют собой числа, допустимые в этой новой математической системе.

Вспомним, что гипервещественные числа возникли при добавлении к традиционной математике аксиомы, опровергающей утверждение G, а поскольку эта аксиома независима от традиционной математики, можно беспрепятственно выполнять все обычные вычисления с числами как вещественными, так и гипервещественными, не опасаясь прийти к противоречию (как обычно, в предположении об исходной непротиворечивости традиционной математики).

А как насчет числа 1/I? Поскольку I больше всех натуральных чисел, из этого следует, что 1/I должно быть меньше всех положительных натуральных чисел, оставаясь при этом числом положительным. Значит, наша система содержит «бесконечно малые» положительные числа. Именно о таких числах математики говорили с тех самых пор, когда Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление. Для них такие числа были скорее абстракцией, нежели конкретным объектом. Но теперь они – «настоящие» бесконечно малые числа – оказались прямо перед нами, в полном нашем распоряжении! Робинсон использовал эти бесконечно малые для создания нового варианта дифференциального и интегрального исчисления, который называется нестандартным анализом[37]37
  Robinson (1996).


[Закрыть]. В нем интегрирование и дифференцирование превращаются из эзотерических концепций, мучающих студентов-первокурсников, проходящих математический анализ, в совершенно тривиальные операции, а сложные расчеты с использованием пределов становятся простыми вычислениями с бесконечно малыми числами.

Однако не все так просто: в этой системе становятся необычайно сложными операции сложения и умножения. Доказано, что при переходе к нестандартной математике с гипервещественными числами либо сложение, либо умножение становится таким же сложным, как операции математического анализа – интегрирование и дифференцирование – в нашей традиционной математике. При этом, работая в новой нестандартной математике, нельзя схитрить и использовать для сложения и умножения традиционную математику, потому что никогда не знаешь, окажутся ли числа, которыми мы оперируем, вещественными или гипервещественными.

В некоторых научно-фантастических произведениях утверждается, что человечество сможет использовать математику, чтобы убедить какую-нибудь внеземную цивилизацию в своей разумности. Но что, если математика, которую разработала эта конкретная цивилизация, – это математика, нестандартная с нашей точки зрения? Возможно, те инопланетяне, с которыми мы будем пытаться установить контакт, даже целые числа воспринимают совершенно по-другому. Может быть, у них даже малые дети с легкостью решают задачи дифференциального исчисления, и наша математика только убедит их в том, что мы безнадежно недоразвиты и имеем лишь самое смутное представление о числах. Увидев, с каким трудом мы решаем даже самые простые уравнения движения, они могут быть шокированы и разочарованы. В то же время мы, возможно, будем гордиться своим превосходством, когда узнаем, что инопланетяне еле-еле могут сложить два обычных десятизначных числа.

Если бы такой внеземной цивилизации с ее внеземной математикой удалось создать некую технологию, недостижимую для нас, – например, машину времени, – то мы почти наверняка сочли бы ее чудом. Если возможности математики, обеспечившие возможность такого изобретения, были бы для нас непостижимы, они казались бы нам волшебством. С другой стороны, возможно, что наши инопланетяне, которым мешала бы сложность сложения и умножения, так и не открыли бы законов электричества. Вполне может быть, что обычный электромотор казался бы им настоящим чудом.

Вернемся к нашей Фиби с ее винтовкой и посмотрим, как она могла бы использовать эту новую систему чисел. Ограничиваясь традиционными вещественными числами (как целыми, так и нецелыми), мы можем выразить все возможные результаты выстрела из винтовки в реальном мире. Но если мы расширим свой горизонт, включив в рассмотрение и гипервещественные числа, то у каждого выстрела появятся новые возможности. Например, пуля может попасть в гиперудаленную точку, находящуюся на расстоянии I + 3 км от середины стены, хотя вероятность такого попадания может быть выражена бесконечно малым числом порядка 1/I. Однако следует отметить, что эта вероятность не будет нулевой: число 1/I заведомо не равно нулю. Оно больше нуля, хотя и меньше любого положительного вещественного числа. Поэтому мы в некотором смысле можем считать такую вероятность «практически» нулевой. Допустив в свою среду гипервещественные числа, мы начинаем получать результаты столь необычайно редкие, что предвидеть их появление мы никак не можем. Тем не менее они могут появляться, и, если это происходит, такой результат совершенно не похож на результат обычного, повседневного выстрела. Тем из нас, кто вырос на традиционных вещественных числах, такой выстрел, возможность существования которого обеспечивает теорема Гёделя, покажется самым настоящим чудом.