Текст книги "Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности"

Описывая Джона фон Неймана, историк науки Джейкоб Броновски сказал: «Он был самым умным из известных мне людей, безо всякого исключения. Он был гением»[38]38
  См. http://commenting-the-commentaries.blogspot. com/2007/05/ johnny-von-neumann-jacob-bronowki. html.


[Закрыть]. Еще когда фон Нейман учился в Будапеште, в легендарной лютеранской гимназии Фашори, товарищи по учебе знали, что он гений, – а сами они тоже были людьми незаурядными. Из этой школы вышли всемирно известные ученые, в том числе Юджин Вигнер, Джон Харсаньи и Эдвард Теллер. Фон Нейман умер рано, всего лишь в пятьдесят три года, оставив после себя новаторские работы по самым разным предметам, в том числе по архитектуре вычислительных систем, квантовой механике и теории игр. За годы, прошедшие после его смерти, пять человек получили Нобелевские премии по экономике за результаты, достигнутые в области теории игр, а еще десять или двенадцать Нобелевских премий были присуждены экономистам, применившим математические методы, которые разработал фон Нейман.

Фон Нейман не был гением рассеянным, витающим в облаках, каким мы часто воображаем гения. В нем не было ничего не от мира сего. Мыслями он мог парить в высях, но ногами прочно стоял на земле. В конце 1930-х годов, когда вновь созданный Институт перспективных исследований (Institute for Advanced Study) в Принстоне, Нью-Джерси, предложил ему место, он затребовал годовую зарплату $16 000, что по тем временам было изрядной суммой. Кроме того, он выдвинул еще одно условие: он не хотел оказаться в таком месте, где бы не было никого умнее его. Он считал, что если вы – самый умный из присутствующих, значит, вы находитесь не там, где нужно. По счастью, в тот же институт уже поступили на работу Альберт Эйнштейн и Герман Вейль, а двумя годами позже к ним присоединился и Курт Гёдель. Все трое бежали из гитлеровской Европы.

Фон Нейман спросил Эйнштейна, какое жалованье тот думал просить, Эйнштейн скромно сказал, что, по его мнению, он может стоить несколько тысяч долларов в год. Тогда фон Нейман велел Эйнштейну исчезнуть на несколько дней и за это время выбил для него годовую зарплату $18 000.

Эйнштейн с Гёделем часто проводили дни напролет в лесах, окружающих Принстон. Иногда к ним присоединялся фон Нейман или кто-нибудь другой из ученых, но чаще всего они были вдвоем. На одной из таких прогулок никто из них не произнес за день ни слова, а когда они вернулись домой, каждый сказал жене, что у них состоялась в высшей степени увлекательная беседа. Оказывается, молчать тоже не все равно с кем.

Был ли фон Нейман гением? Большинство математиков, вероятно, сказало бы, что был. Его необычайный талант можно проиллюстрировать конкретным примером. В 1940-х годах в математическом фольклоре появилась одна весьма непростая задача: какой толщины должна быть монета, чтобы, будучи подброшена, она с равной вероятностью падала орлом, решкой и ребром? Ясно, что обычные монеты очень редко остаются стоять на ребре после броска, но по мере увеличения толщины монеты вероятность такого события должна возрастать. Представим себе монету в форме высокой консервной банки – такая монета оказывалась бы на ребре гораздо чаще, чем орлом или решкой кверху. Поэтому где-то между толщиной обычной монеты и толщиной консервной банки должна существовать золотая середина – толщина, при которой монета остается на ребре или оборачивается при падении орлом или решкой с точно равной вероятностью. Где же она?

Я столкнулся с этой задачей на третьем курсе математического факультета. Очевидное решение требует использования математического анализа, но расчеты получаются очень трудоемкими: у меня лично на вычисление всех необходимых интегралов ушло добрых две недели. (Ответ, к слову, получается такой: отношение толщины монеты к ее диаметру должно быть равно 0,354.) Существует легенда, что на одной вечеринке в Соединенных Штатах эту задачу предложили фон Нейману. Выслушав ее условия, он где-то на полминуты уставился в пространство, а затем объявил ответ. Бывшие на вечеринке гости пришли в сильное волнение: они были уверены, что Джонни фон Нейман нашел какое-то изящное решение этой задачи, которое смогут понять даже люди, далекие от математики. Затаив дыхание, они спросили его: «Джонни, как ты это сделал?» На что фон Нейман бесхитростно ответил: «Ну, я просто взял интегралы».

Как и Гаусс, фон Нейман не был гением в смысле нашего определения; я бы назвал его человеком необычайно талантливым. Его разум можно сравнить со случаем, в котором Фиби поворачивается почти параллельно стене и стреляет почти невообразимо далеко – но только почти. Его почти невообразимо быстрое вычисление интегралов есть проявление ума, способного чрезвычайно быстро делать обычные вещи, а не ума, порождающего идеи, бывшие до того непредставимыми. Возможно, сам фон Нейман был о себе того же мнения; он считал Гёделя и Эйнштейна умнее себя. Заметим, однако, что история о зарплате Эйнштейна говорит о том, что с точки зрения повседневного здравого смысла фон Нейман был гораздо сообразительнее. С другой стороны, у Гёделя и Эйнштейна, которые были гениями по любым стандартам, возникали такие идеи, какие никогда не приходили в голову фон Нейману. Еще одно доказательство ума фон Неймана состоит в том, что он одним из первых среди математиков осознал масштаб теоремы Гёделя и немедленно оставил свои исследования в области математической логики.

Оба гения дорого заплатили за свою гениальность. Некоторые психологи считают, что у Эйнштейна можно было диагностировать синдром Аспергера, легкую форму аутизма. Гёдель, несомненно, страдал паранойей. Например, он был убежден, что ему в пищу добавляют отраву, и не соглашался есть, пока его еду сначала не попробуют жена или Эйнштейн. Когда его жена попала в больницу – дело было через много лет после смерти Эйнштейна, – он умер от голода в возрасте семидесяти двух лет.

Я не собираюсь подкреплять распространенное убеждение, что гений непременно должен быть сумасшедшим. Никакого научного доказательства того, что все гении безумны, не существует. Чтобы подтвердить эту гипотезу, нам понадобилась бы гораздо бо́льшая выборка гениев. Возможно, примером обратного положения вещей может служить Ньютон, хотя и ему часто ставят посмертные диагнозы – аутизм или по меньшей мере синдром Аспергера, а иногда биполярное расстройство или паранойя[39]39
  Ньютон с аутизмом: http://news.bbc.co.uk/2/hi/health/ 2988647.stm; с биполярным расстройством: http://www.amousbi-polarpeople.com/isaac-newton.html; с паранойей: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Newton.html.


[Закрыть]. Диагнозы настолько широко разбросаны, что Ньютон с тем же успехом мог быть человеком совершенно здоровым, только непостижимо умным, разумеется, и тем и выделяться из общей массы. Он занимал важные и ответственные должности: в частности, он был лукасовским профессором математики в Кембриджском университете и президентом Королевского общества, а также хранителем и управляющим Королевским монетным двором.

Ни истории Эйнштейна и Гёделя, ни их отличия от Джона фон Неймана сами по себе не доказывают, что ум гения качественно отличается от ума необычайно талантливого человека. Тем не менее эти истории показывают, почему я думаю, что гений – это настоящее чудо, что бы там ни возражал мой друг Алекс.

Но, может быть, Алекс и прав. Если допустить существование гипервещественных чисел, то появление гения становится редким выстрелом того же стрелка, который порождает умы более ординарные. Но в случае гения наша Фиби стреляет в точку, находящуюся дальше любой дали, и вероятность такого выстрела столь бесконечно мала, что кажется нулевой нам, чьи умы воспитаны на традиционных числах.

С моей стороны, было бы глупо продолжать говорить о чудесах, не попытавшись определить, что именно я называю этим словом. Нам, людям, свойственно творческое использование языка, и мы употребляем слова не только в их прямом смысле, но и в переносном. Со временем слово приобретает несколько разных значений. Если поискать определение слова «чудо» в толковом словаре, там можно найти приблизительно следующее:

0. Замечательная вещь, достойная восхищения: поистине превосходный представитель своего рода.

1. Достижение или происшествие, настолько выдающееся или необычное, что оно кажется выходящим за рамки человеческих возможностей или устремлений.

2. Событие или эффект в физическом мире, отклоняющиеся от законов природы.

3. Необычайное событие, в котором проявляется божественная сила или вмешательство в человеческие дела.

Эти четыре весьма разных определения приведены здесь в порядке возрастания «чудесности». Мы сразу же отбросим определение 0. Меня не интересуют такие «чудеса», как какой-нибудь сыр, завоевавший первый приз на сельской ярмарке, или даже та ловкость, с которой мистер Микобер перехватывает жизненно важное письмо в «Дэвиде Копперфилде» Чарльза Диккенса: «Урия… бросился к письму, чтобы разорвать его. Но мистер Микобер с чудесной ловкостью так удачно хлопнул его линейкой по суставам пальцев, что правая рука Урии вышла из строя»[40]40
  Цит. по изд.: Диккенс Ч. Жизнь Дэвида Копперфилда, рассказанная им самим / Пер. с англ. А. В. Кривцовой и Е. Л. Ланна // Собр. соч.: В 30 т. М.: Гос. изд. худ. лит., 1959. Т. 16.


[Закрыть].

Назовем явления, соответствующие определению 1, псевдочудесами. Они представляют собой огромные отклонения от среднего, такие, какие возникают время от времени в Диконии. Это не чудеса по нашему определению, так как они повторяются статистически предсказуемым образом. Это попросту редкие события. И в соответствии с законами Диконии, вытекающими из распределения Коши, на любое такое чудо рано или поздно найдется нечто еще более чудесное.

Для формулировки определения истинных чудес я хотел бы несколько изменить определение 2, уточнив, что к чудесам относятся явления, отклоняющиеся от законов природы в том виде, в каком их понимает современная наука. Теорема Гёделя – по меньшей мере ее дух, если не ее строгое математическое выражение, – убеждает нас, что такие явления будут возникать всегда, как бы далеко и в каком бы направлении ни продвинулась наука.

Наконец, назовем явления, удовлетворяющие определению 3, – то есть вызванные божественным вмешательством, – трансцендентными чудесами. Им никогда не удастся дать научного объяснения, ибо существование таких чудес всегда будет оставаться вопросом веры.

Даже если псевдочудеса – и не «настоящие» чудеса, они, несомненно, могут казаться явлениями чудесными. Мне показалось чудом, что Джон фон Нейман сумел всего секунд за тридцать вычислить в уме то, на что у меня, медалиста Международной математической олимпиады, ушло две недели напряженной работы с карандашом и бумагой. Даже если на самом деле он считал не полминуты – никто не засекал время с секундомером; вполне может быть, что ему потребовалась минута или две, – его достижение все равно остается поразительным. Такова пропасть, разделяющая просто талантливого математика и человека настолько талантливого, что подобные ему рождаются всего раз или два в столетие. Поэтому у нас есть все основания считать появление математиков уровня фон Неймана, Гаусса или Коши чудом в повседневном смысле этого слова. Но такие чудеса довольно хорошо разъясняет наука Диконии.

Истинные чудеса отличаются от них. Современная им наука не в силах раскрыть их тайну – так же, как наука нынешняя не в состоянии дать точного объяснения распаду Советского Союза или разрушению Берлинской стены. Но сегодня, имея в своем арсенале теорему Гёделя, мы можем сказать, что такие чудеса могут произойти в любой момент как в Тихонии, так и в Диконии и застать нас совершенно врасплох. Поэтому имеет смысл готовиться к ним и накапливать опыт, который позволит нам – даже если мы не можем их предсказать – по меньшей мере приспосабливаться к их существованию, предотвращать причинение ими чрезмерного вреда и, если они окажутся чудесами позитивными, использовать их с выгодой для себя.

Как-то раз у моей двоюродной сестры появилась очень неприятная кожная инфекция. Ее отец, профессор медицины, обратился к своему коллеге, знаменитому дерматологу, и тот взялся лечить девочку, прилагая при этом все возможные усилия и используя новейшие достижения медицины, так как речь шла о дочери коллеги. Шли месяцы, но инфекция все не проходила. Однажды вечером, за семейным ужином, мой отец задал своему брату-врачу неожиданный вопрос: «А как бы ты лечил свою дочь, будучи семейным врачом в какой-нибудь маленькой глухой деревушке у словенской границы?» Дядя тут же ответил: «Ромашковыми компрессами, разумеется». Затем он попробовал это средство, и через три дня девочка выздоровела. С точки зрения современной медицины мы стали свидетелями настоящего чуда, хотя лет за сто до того никакого чуда в этом не было бы, потому что тогда ромашковый компресс наложили бы с самого начала, и никого не удивило бы, что это помогло. Может быть, это не будет чудом и сто лет спустя, потому что к тому времени медицина, возможно, изучит кожные инфекции этого типа и их реакцию на ромашку.

Чудеса трансцендентные представляют собой самые настоящие чудеса в самом строгом смысле этого слова. Их существование не могут объяснить ни естественные науки, ни математика, ни статистика, хотя человеку верующему такие проявления Божественного промысла кажутся вполне объяснимыми. Однако я, будучи человеком научного склада ума, не буду отделять подобные проявления от того, что я называю истинными чудесами, и совершенно оставлю в стороне вопрос о том, являются ли они действительно трансцендентными чудесами или же наука когда-нибудь сумеет истолковать каждое из них. Несомненно одно: науке придется как следует потрудиться над объяснением гениальности.

Эти четыре категории всего лишь разделяют разные базовые определения чудес; они совершенно не касаются определяющих характеристик чуда – его уникальности и неповторимости. Мы вернемся к этой теме в части III, после того, как увидим, что некоторые явления, происходящие в Диконии, хотя и не обязательно неповторимые, по меньшей мере бывают гарантированно непредсказуемыми. Самое интересное – если угодно, чудо – заключается в том, что такие результаты появляются не из какой-нибудь специализированной науки о чудесах, а из нормального, абсолютно лишенного чудес тихонского научного метода.

Часть II
Тихий мир

На свалке богача можно найти больше ценного, чем во всем имуществе бедняка.

4
Могущество нормального распределения

Некоторые из законов природы ведут мир к Тихонии, другие – к Диконии.

Сэр Фрэнсис Гальтон (1822–1911), двоюродный брат Чарльза Дарвина, был настоящим ученым-универсалом. Он открыл метеорологическое явление, известное под названием антициклона; он первым предложил использовать для идентификации отпечатки пальцев; он первым составил карты некоторых районов Намибии. Он исследовал вопрос о том, продлевает ли молитва жизнь человека, и не нашел никаких подтверждений этого эффекта. Кроме того, он первым применил к психологии математические концепции расхождения средних значений и стандартного отклонения[41]41
  Одна из его знаменитых книг – Galton (1874/2008) – переиздается до сих пор.


[Закрыть]. Ему потребовалось это потому, что, хотя он изучал мир Тихонии, его интересовало не столько среднее, сколько крайности. Например, он пытался выяснить, до какой степени необычайная талантливость может быть наследственной.

Гальтон исследовал детей в тех семьях, где родители по определенным меркам были «выше среднего», чтобы понять, как родительский уровень отразится на потомках. Поскольку в то время стандартизованные тесты на интеллектуальное развитие и другие методики оценки, применяемые в психологии, еще не были изобретены, он использовал качественное понятие превосходства. В его категорию «людей гораздо выше среднего» входили, в частности, судьи, ученые, ведущие политики и знаменитые медики. Поскольку в Викторианскую эпоху, в которую он жил, такие профессии были чисто мужскими, Гальтон изучал отцов и сыновей. Он выяснил, что сын выдающегося отца в среднем проявляет качества, превосходящие средний уровень, но, как правило, оказывается человеком менее выдающимся, чем его отец. Почему это так? Значит ли это, что мир стремится к посредственности? Возможно, в Тихонии, в которой явления в основном скапливаются вокруг среднего, именно так дело и обстоит. Но, как оказывается, даже в Тихонии не существует общего стремления к среднему.

Разумеется, у сыновей есть не только отцы, но и матери; может быть, именно они в ответе за то, что сыновья уступают отцам? Гальтон перенес свои исследования на случаи, в которых существует всего один родитель. Вместо изучения отцов и сыновей он начал анализировать потомство растений табака, которые размножаются бесполым путем. Он выбрал характеристику, которую было гораздо легче выразить численно, чем человеческое превосходство, – длину листьев. Гальтон обнаружил, что листья потомков длиннолистных растений табака тоже оказываются длиннее среднего, но, как правило, не такими длинными, как у родительских растений.

Итак, кажется, причина того, что у выдающихся отцов рождаются менее выдающиеся сыновья, не связана с половым размножением, но от этого результаты наблюдений не становятся менее загадочными. Гальтон назвал это явление «регрессией к среднему» – другими словами, возвратом к середине. Но назвать еще не значит объяснить. Почему население в целом не становится со временем более усредненным? А оно и в самом деле таким не становится. Гальтон исследовал несколько поколений растений табака и обнаружил, что в разных поколениях приблизительно одинакова не только средняя длина листа, но и стандартное отклонение: в каждом поколении присутствовала приблизительно одна и та же доля растений с необычайно длинными листьями. То есть растения табака, по-видимому, не склонны сползать к посредственности – и то же можно сказать и о людях; в каждую эпоху появляются свои выдающиеся личности.

Гальтон рассудил так: если дети необычайно одаренных людей не блещут удивительными талантами, то, вероятно, выдающимися оказываются дети людей среднего уровня или, возможно, уровня чуть выше среднего. Поэтому он решил повторить те же исследования, развернув их в другую сторону: на этот раз он хотел рассмотреть не детей, а родителей высокоталантливых людей. Разумеется, ни о какой причинно-следственной связи тут речи быть не может: если отец может влиять или не влиять на достижения своего сына, было бы абсурдом предполагать, что талант сына может каким-то образом передаваться в обратную сторону, отцу. Во всяком случае, Чарльз Дарвин, двоюродный брат Гальтона, уже покончил с концепцией улучшения в биологии. Эволюция организмов управляется случайной приспособленностью к окружающей среде, а не движением к какой-то «улучшенной» форме. В свете этого открытия идея исследования не следующего, а именно предыдущего поколения казалась уже не столь бессмысленной.

Поскольку человеческий интеллект – материя слишком сложная, Гальтон снова решил исследовать переменную, которую можно точно измерить. Он поставил свой обратный эксперимент на табачных листьях. Результаты, которые он получил, были вполне соизмеримы с результатами первого опыта: предки необычайно длиннолистных растений в основном имели листья более короткие, чем у их потомков, но тем не менее более длинные, чем в среднем. Поэтому Гальтон не удивился, когда, вернувшись к рассмотрению человека, обнаружил, что и качества отцов выдающихся людей в основном превышали средний уровень, но в общем и целом значительно в меньшей степени, чем качества их сыновей.

Явление регрессии к среднему проявляется и на другом конце спектра. Чрезвычайно низкий интеллектуальный уровень за несколько поколений хоть и медленно, но возвращается к среднему уровню; в то же время чрезвычайно низкие интеллектуальные способности встречаются у потомства родителей, находящихся на среднем уровне или лишь немного ниже его.

Таким образом, регрессия к среднему есть чисто математический феномен, наблюдаемый всякий раз, когда мы исследуем две отдельные переменные и определяем значения обеих для каждой особи в популяции. Не важно, о каких именно переменных и о какой именно популяции идет речь. Регрессия такого типа – свойство математической структуры, используемой для анализа популяции, а не конкретных свойств человеческих существ, табачных листьев или наследования.

Это положение можно проиллюстрировать на экстремальном примере. Предположим, я утверждаю, что я – великий волшебник и могу одним заклинанием превратить невезение в везение. Узрите же проявление моего могущества! Я предлагаю тысяче человек бросить по три игральных кости. В среднем около пяти из них выкинут неудачное сочетание – скажем, три единицы. Ясно, что это люди невезучие. Но я могу избавить их от невезения: я произношу нараспев свое заклинание и предлагаю им снова бросить кости. Вероятность того, что кто-нибудь из пятерых снова выкинет три единицы, чрезвычайно мала. Я провозглашаю их исцеленными! Однако на самом деле они попросту подпали под действие математического закона регрессии к среднему.

Этот пример можно считать предельным, потому что между результатами первого и второго бросков костей нет абсолютно никакой связи. Очевидно, что второй бросок никак не «наследует» результаты первого. Если бы эти результаты наследовались, причем наследовались точно, то всякий, выкинувший три единицы в первый раз, выкидывал бы их и дальше, какие бы волшебные слова я ни бормотал себе под нос.

Биологическое наследование в большинстве случаев находится где-то между этими двумя крайностями; характеристики передаются потомству до некоторой степени, но их воспроизведение даже близко не подходит к стопроцентному, даже в случае бесполого размножения. Регрессия к среднему присутствует всегда, но она никогда не проявляется так ярко, как в примере с невезучими игроками в кости. Чем сильнее и точнее наследование, тем слабее проявляется в потомстве эффект регрессии к среднему, в то время как при более слабом наследовании регрессия становится сильнее.

Математическое явление регрессии к среднему может даже не иметь связи с наследованием. На самом деле «регрессия» – это набор статистических методов для оценки значения одной переменной исходя из значений другой. При этом, в зависимости от того, оцениваем ли мы значение переменной А по значениям переменной В или значение переменной В по значениям переменной А, результаты получаются разными. Если, например, спросить, каков средний рост мужчин, весящих 90 кг, то ответ – около 180 см. Но если спросить, каков средний вес мужчин ростом 180 см, окажется, что он не достигает ни 90, ни даже 85 кг. И в этом, возможно, нет ничего особенно удивительного, потому что очень низкорослый человек вполне может весить за сотню килограммов, что уменьшает средний рост. Но иногда результаты могут быть весьма неочевидными. Например, если мы пытаемся предсказать, к какому году численность населения Земли достигнет десяти миллиардов человек, то две рассматриваемые переменные – это численность населения и время. Допустим, по всем имеющимся данным выходит, что наиболее вероятная дата, по достижении которой нас станет десять миллиардов, – 2050 год (оценка значения времени по значению численности населения). Но если попытаться узнать, какова будет численность населения Земли в 2050 году (то есть оценить численность по значению времени), то самый точный ответ, который можно получить на том же наборе данных, – 9,3 миллиарда. Причем эти несовпадающие ответы даже не противоречат друг другу.