Текст книги "Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности"

Теорема Эрроу – Дебрё (в несколько упрощенном виде) утверждает следующее:

Если в некоторой экономической системе…

• нет монополий – то есть существует более или менее свободный рынок;

• нет влияния внешних относительно экономики факторов (например, стихийных бедствий, войн или народных волнений);

• предпринимательская деятельность не оказывает воздействия вне самой экономики (например, не порождает загрязнения окружающей среды, коррупции или мошенничества);

• экономика ведет себя более или менее непрерывным образом – то есть малые изменения деятельности отдельных лиц или компаний приводят к малым же изменениям всей экономической системы;

• спрос и предложение, в том числе рабочей силы, абсолютно гибки;

• и выполняются некоторые другие технические требования, например то, что экономисты называют законом убывающей предельной полезности или законом убывающей доходности (отдачи),

то для такой экономической системы существует состояние равновесия[59]59
  Arrow and Hahn (1971); Mandler (1999); Kornai (1971); Корнаи строит при помощи того же математического аппарата теорию с диаметрально противоположными выводами.


[Закрыть].

Под состоянием равновесия понимается такое положение, в котором невозможно увеличить долгосрочную прибыль при помощи стратегии, не диктуемой условиями этого состояния равновесия. Когда такое состояние наступает, оно может продолжаться долго, так как никто не заинтересован в его нарушении.

Чему учит эта теорема правительство страны, экономика которой находится более или менее в равновесии? Можно предположить, что правительство будет стараться поддерживать такое, по-видимому, идеальное состояние экономического спокойствия. Для этого ему нужно всего лишь обеспечивать выполнение условий теоремы Эрроу – Дебрё, а для этого оно может принимать меры, способствующие выполнению этих условий даже в случае их изменения. Такие меры необходимы потому, что даже равновесная экономика постоянно изменяется – например, в связи с технологическими новшествами, совершенствованием продукции, демографическими изменениями или метеорологическими и климатическими явлениями. Таким образом, дело правительства – выявлять нарушения условий теоремы Эрроу – Дебрё, например образование монополий или народные волнения, и корректировать свою политику соответствующим образом. Все остальное вполне можно оставить на усмотрение саморегулирующейся «невидимой руки».

На первый взгляд, такое состояние дел кажется полной победой Адама Смита. «Невидимая рука» способна – с небольшой помощью правительства – создавать устойчивое экономическое равновесие, и поддержание этого равновесия гарантируется теперь неумолимой логикой математики. Но все это остается справедливым лишь до тех пор, пока выполняются условия теоремы Эрроу – Дебрё.

Многие из этих условий подразумевают, что экономика должна существовать в общих пределах Тихонии. Например, они не допускают существования монополий. Пока мы находимся в Тихонии, это ограничение остается разумным, поскольку монополии не создаются из набора мелких компонентов, а образуются в результате действия типично диконского механизма, так называемого эффекта Матфея, который я объясню в одной из следующих глав. Экстремальные социально-экономические эффекты легко могут порождать нарушения стабильности, характерные для Диконии, так что их исключение логично считать необходимым для поддержания тихонского спокойствия. Я не говорил о смысле таких концепций, как «непрерывность», «убывающая предельная полезность» или «убывающая доходность», но они также более или менее строго диктуют, что экономика, соответствующая теореме Эрроу – Дебрё, должна быть экономикой тихонской.

Из теоремы Брауэра о неподвижной точке не было очевидно, до какой степени эту теорему следует считать произведением тихонской науки. С одной стороны, она не имеет никакого отношения к распределению Гаусса. Однако она содержит математическое ограничение, указывающее в этом направлении: теорема Брауэра о неподвижной точке применима только к замкнутым множествам. Следовательно, для существования равновесия мир должен быть замкнутым – по меньшей мере замкнутым в некотором смысле. Но мир Диконии далеко не замкнут. В Диконии повседневно происходят «чудеса». С учетом этого почти не важно, к какой именно категории чудес они принадлежат – псевдочудес, «истинных» чудес (то есть явлений, необъяснимых при нынешнем состоянии науки) или же трансцендентных чудес, то есть случаев божественного вмешательства, выходящих за рамки тематики этой книги.

Яркое представление о том, как в экономике отражается как тихонское, так и диконское влияние, можно получить, взглянув на биржевые операции с опционами[60]60
  Вот несколько хороших источников по этой теме: Bodie et al. (2001); Kohn (2003); Mishkin (2001).


[Закрыть]. Представим себе, что мы фермеры, выращивающие пшеницу в некой далекой стране, в которой денежная единица называется «ору», а мера количества зерна называется «коргель». Мы посеяли зерно и подсчитали все свои затраты – в том числе расходы на посевное зерно, стоимость трудозатрат от посева до сбора урожая, капитальные вложения в сельскохозяйственную технику, стоимость ремонта и так далее. Мы учли все факторы, которые нужно было учесть. По нашим расчетам получилось, что если не произойдет никаких неприятностей и погода будет хорошей, то мы сможем окупить свои затраты, если после сбора урожая нам удастся продать пшеницу по 90 ору за коргель. Это хорошо, так как в данный момент пшеница продается по 100 ору за коргель. Тем не менее мы продолжаем беспокоиться, потому что нам случалось видеть, как цены на зерно падают в течение одного сельскохозяйственного сезона на целых 20 ору за коргель, а если к концу лета наша пшеница принесет нам всего по 80 ору за коргель, нам конец. Наша ферма будет в убытке, и мы не сможем купить семена для посева будущего года. Во сколько мы оценили бы предложение гарантии покупки нашей пшеницы после сбора урожая по нынешней цене, то есть по 100 ору за коргель? Готовы ли мы прямо сейчас заплатить по 10 ору за коргель за такой опцион?

Если к моменту сбора урожая цена на пшеницу упадет ниже 100 ору, мы реализуем опцион. Именно ради этого мы его и покупали. Теперь нам все равно, насколько упадут цены. Даже если они будут ниже 100 ору, мы продадим свою пшеницу по гарантированной цене в 100 ору за коргель. Поскольку опцион стоил 10 ору, мы застраховались от возможного банкротства, потому что за вычетом из гарантированной цены стоимости опциона у нас останется по 90 ору за коргель, и этого хватит на покрытие наших затрат. Если же цена поднимется выше 100 ору, нам не будет смысла продавать пшеницу по 100, так как появятся покупатели, готовые заплатить за нее больше. В конце концов, мы купили опцион на продажу по 100 ору, а не заключили контракт, по которому мы должны продать пшеницу по этой цене. В этом случае мы потеряем деньги, заплаченные за опцион на продажу по 100 ору, но это нас не расстраивает, потому что мы все равно получаем прибыль – ее размер будет зависеть от цен на пшеницу ко времени сбора урожая. Как бы то ни было, мы получим заведомо больше, чем 90 ору за коргель. Если, скажем, цена взлетит до 120 ору, мы окажемся гораздо богаче. Такой опцион на продажу (или «пут-опцион»), несомненно, сто́ит тех 10 ору за коргель, которые мы заплатили, потому что он страхует нас от банкротства при неблагоприятном положении дел, в то же время оставляя нам возможность извлечь прибыль в случае улучшения ситуации.

Теперь представим себе, что мы не фермеры, а мельники. Мы не продаем пшеницу; мы ее покупаем и мелем, а затем продаем муку. Хотя цены на муку зависят от цен на пшеницу, изменяются они не синхронно; между ними существует некоторая задержка. Поэтому наши интересы противоположны интересам фермера: чем дешевле пшеница, тем нам лучше, а ее подорожание уменьшает нашу прибыль.

Как и наши друзья-фермеры, мы тоже произвели расчеты, чтобы определить свои операционные затраты, в том числе капитальные вложения и расходы на необходимый время от времени ремонт мельницы. Мы выяснили, что нам нечего опасаться, если цена на пшеницу не поднимется выше 110 ору за коргель. При 110 ору за коргель мы не получим прибыли, но и не понесем убытков. Как и фермера, нас вполне устраивает текущая цена 100 ору: если мы сможем купить зерно по этой цене, мы можем рассчитывать на вполне приличную прибыль. Но если к моменту сбора урожая она поднимется до 120 ору, нам конец. С тем же успехом можно будет закрыть мельницу, потому что мы будем терять деньги на переработке каждого коргеля пшеницы. Поэтому нам, как и фермеру, нужна страховка. Сколько мы готовы заплатить за гарантию того, что во время сбора урожая мы сможем купить пшеницу по нынешней цене 100 ору за коргель? Предположим, что этот опцион предлагается мельникам по той же цене, что и фермерам, – по 10 ору за коргель.

Если фермеру, чтобы застраховаться от банкротства, нужен был пут-опцион, то мельнику для той же цели требуется «колл-опцион», то есть опцион на покупку. Разумеется, фермер и мельник могли бы просто заключить друг с другом договор, что будущим летом фермер продаст мельнику свою пшеницу по 100 ору за коргель (то есть по нынешней цене), и такая сделка была бы выгодна обоим. Но оба они могут получить и бо́льшую выгоду: фермер разбогатеет, если цена на пшеницу резко взлетит, а мельник – если она резко рухнет. Поскольку им обоим не хотелось бы отказываться от возможности получения большой прибыли, фермер и мельник не станут продавать и покупать заранее по фиксированной цене 100 ору, а предпочтут заплатить за опционы по 10 ору за коргель и получить надежду на крупный доход без риска банкротства.

Всякий предприниматель привыкает к тому, что годы бывают удачными и неудачными. В худшие годы он старается выжить, и опционы дают ему такую возможность. В лучшие годы он стремится получить как можно большую прибыль. С точки зрения фермера, хороший год – это когда цена на пшеницу поднимается необычайно высоко, а с точки зрения мельника – когда она опускается необычайно низко. Тем не менее на этом их риски не заканчиваются. Некоторые касаются их обоих – например, вероятность того, что население разлюбит пшеничный хлеб и все начнут есть рис. Если такое случится, цена 100 ору за коргель не будет особенно выгодной ни для одного, ни для другого. Им лучше попытаться найти не слишком дорогие опционы.

А теперь представим себе, что мы не фермеры и не мельники, а инвесторы. Наша работа – не выращивать пшеницу и не перерабатывать ее в муку, а находить подходящие финансовые инструменты, в которые можно вкладывать деньги. Поскольку мы понимаем, что́ нужно фермеру и мельнику, предположим, что мы предлагаем опцион одному из них или им обоим. Будучи инвесторами осмотрительными, мы хотим определить, по какой цене мы можем продавать опционы, чтобы получить в долговременной перспективе разумную прибыль. Фермера и мельника интересует в первую очередь перспектива краткосрочная: они не хотят, чтобы цены этого года довели их до банкротства. Инвесторы же ничего не имеют против краткосрочных убытков, если у них имеется капитал, достаточный для покрытия таких убытков в течение значительного времени. Инвесторы хотят добиться того, чтобы их инвестиционный портфель оказался прибыльным в долгосрочной перспективе. Если они смогут предложить опционы по цене, которую фермер или мельник сочтут разумной, то эта ситуация окажется выгодной для всех: фермер и мельник получат страховку от катастрофических убытков и сохранят возможность получения крупной прибыли, а инвестор получит долгосрочную прибыль.

Если мы предложим фермеру и мельнику опционы по 10 ору за коргель, оба они сочтут такую цену разумной. Но нам приходится конкурировать с другими инвесторами, и может случиться так, что какой-нибудь другой инвестор удовлетворится ценой опционов по 9 ору за коргель. С точки зрения инвестора, который может позволить себе исходить из очень долгосрочной перспективы, возможно, есть смысл предлагать опционы по сниженным ценам, чтобы приобрести более широкую клиентуру. Разумеется, тут существует та опасность, что ошибочный расчет может в конце концов привести к банкротству – это может случиться даже при продаже опционов по 10 ору.

С нашей (инвесторской) точки зрения лучшие годы – это те, в которые цены на пшеницу совсем близки к 100 ору, потому что тогда мы получаем гарантированные 10 ору за коргель от фермера и такую же сумму от мельника и не несем убытков из-за покупки или продажи пшеницы по невыгодной цене. Если цены на пшеницу резко падают, нам приходится покупать у фермера дешевую пшеницу по высокой цене. Если цены резко поднимаются, нам приходится продавать мельнику дорогую пшеницу по цене ниже рыночной. В последнем случае мы можем подстраховаться, купив фьючерсы на пшеницу по нынешней цене – то есть обязавшись купить определенное количество пшеницы во время сбора урожая по цене, установленной сейчас. Предположим, что мы заключили фьючерсную сделку о покупке одного коргеля пшеницы на каждые два коргеля проданных опционов. Разумеется, если цены упадут, купленные фьючерсы на пшеницу окажутся убыточными. Но связанные с ними убытки будут отчасти возмещены доходами от продажи опционов. Поэтому колл-опционы всегда дешевле, чем пут-опционы.

Таким образом, мы видим, что продажа опционов связана с риском, и, когда инвесторы продают опционы, они обычно принимают дополнительные меры для уменьшения этого риска – например, ограничивают риски пут-опционов покупкой некоторого количества фьючерсов на пшеницу по текущей цене[61]61
  Dunbar (2000), р. 100–108; Malkiel (2003); Bernstein (1998).


[Закрыть]. Такая идея никогда не пришла бы в голову фермеру или мельнику. Зачем фермеру покупать у самого себя ту самую пшеницу, которую он производит? Поэтому фермеру и мельнику выгоднее торговать не напрямую друг с другом, а через инвестора.

Это очень упрощенное описание принципа действия опционов. На самом деле цена колл-опциона обычно не совпадает с ценой пут-опциона. При прочих равных условиях цена на пут-опцион может во много раз превышать цену на колл-опцион. Если бы фермер и мельник заключили соглашение друг с другом, такая сделка не была бы честной. Хотя на первый взгляд этого не скажешь, она была бы более выгодной для фермера, так как ему опционы обходятся дороже.

Я упростил это описание и еще в одном отношении, так как говорил только о колл– и пут-опционах. В реальности существует множество других видов опционов, но в мою задачу не входит написание учебника по сделкам с опционами. Я заговорил об этой теме только потому, что вскоре нам станет ясно: для опционов требуется диконская экономика.

Фишер Блэк (1938–1995) был физиком, получившим докторскую степень по математике в Гарвардском университете. Сегодня нет ничего необычного в том, что человек с такой подготовкой обращается к исследованию финансов, но в 1970-х годах, когда это сделал Блэк, это было исключительной редкостью. Его заинтересовала задача определения – по меньшей мере теоретического – правильной цены опционов.

В то время сделки по опционам заключались по большей части по наитию: если цена устраивала как продавца опциона (то есть инвестора), так и его покупателя (то есть фермера или мельника), то сделка заключалась. Если стороны не могли прийти к соглашению, сделка не заключалась. В этих условиях многие фермеры и мельники доходили до банкротства. Блэк хотел найти способ измерения реальной стоимости опционов. Он ясно видел, что жизнь инвесторов далеко не проста. Обменные курсы непрерывно колеблются. Кроме того, у всех есть свои условия: один фермер может быть готов купить опцион на продажу по 100 ору за коргель, а другому, возможно, подойдет и опцион на продажу по 95 ору, но он хочет купить его дешевле. Фермера может заинтересовать приобретение опциона за год до продажи пшеницы, а мельника, возможно, устроит и шестимесячный. Владельцу инженерной фирмы может быть нужен опцион всего на месяц. Блэк расписал все уравнения, вытекающие из таких соображений, но они оказались слишком сложными, и решить их он не смог. А потом он познакомился с Майроном Шоулзом.

Шоулз, который был экономистом, открыл, что теоретически правильная цена опциона не зависит от реальной будущей цены на актив, на который выдается опцион. Имеет значение только величина колебаний цены актива, или, иными словами, стандартное отклонение (экономисты называют эту величину «волатильностью»). Эта идея требовала профессионального экономиста, знакомого с существованием равновесных состояний и теоремы Эрроу – Дебрё. Шоулз добавил к уравнениям Блэка несколько дополнительных положений (например, условия теоремы Эрроу – Дебрё), что значительно приблизило возможность их решения. Но уравнения все равно оставались слишком сложными.

Теоретические соображения Блэка и Шоулза дополнил своими знаниями о привычках инвесторов Роберт Мертон. Уравнения Блэка были чрезмерно сложными, потому что он учитывал все теоретические возможности, в то время как реальные инвесторы из плоти и крови вовсе не заботились – и не имели необходимости заботиться – обо всех возможных случаях. Инвестор – не теоретик. Он не вычисляет интегралов, а занимается практической торговлей. Когда он продает опцион, он автоматически, почти рефлекторно, принимает некоторые практические меры для уменьшения рисков. После того как Мертон уменьшил число рассматриваемых возможностей, решение уравнения стало можно выразить одной математической формулой.

Так в 1970 году родилась формула Блэка – Шоулза[62]62
  Black (1995).


[Закрыть]. В последней четверти XX века она стала одной из наиболее широко используемых инвесторами формул. В печати она появилась только в 1973 году: до этого все ведущие журналы отказывались публиковать ее, потому что математические выкладки казались редакторам слишком запутанными. Впоследствии Майрон Шоулз и Роберт Мертон получили Нобелевскую премию по экономике[63]63
  В 1997 г.


[Закрыть]. Фишер Блэк до этого не дожил. Ходят слухи, что имя Мертона не было увековечено в названии формулы, потому что в то утро, когда Блэк и Шоулз впервые докладывали о своих результатах на конференции, Мертон проспал[64]64
  См. Mandelbrot and Hudson (2004), р. 64, и Lim et al. (2006), р. 67.


[Закрыть].

Формула Блэка – Шоулза позволяет оценить теоретическую стоимость любого опциона. Формула сложна, но вычисления производятся компьютером. В сети можно найти много бесплатных калькуляторов Блэка – Шоулза[65]65
  См. калькулятор Блэка – Шоулза по адресу: http://www. fintools.com/resources/online-calculators/options-calcs/options-calculator/.


[Закрыть]. Сложность формулы никак не мешает легкости ее применения. А применять ее действительно легко. Нужно только ввести текущую цену, «страйк-цену» (она же цена исполнения, то есть та цена покупки или продажи, которую готов гарантировать инвестор), выбрать вариант колл– или пут-опциона и ввести дату истечения срока опциона (то есть дату его реализации). Также необходимо указать волатильность (стандартное отклонение) цены базового актива, а также максимальную на данный момент процентную ставку по практически безрисковым инвестициям, например процентную ставку по вкладам в наиболее устойчивых банках или доходность по государственным облигациям США. Формула Блэка – Шоулза выдаст одно-единственное число – теоретическую цену опциона.

Разработав свою формулу, Блэк, Шоулз и Мертон захотели узнать, как реальные цены на опционы соотносятся с вычисленными по ней. Они обнаружили на удивление большой разброс. Некоторые опционы были значительно недооцененными по сравнению с их формулой, а другие – невероятно переоцененными. Самым недооцененным опционом, который они нашли, был колл-опцион на акции компании под названием National General. Спустя годы Блэк писал: «Мы с Шоулзом и Мертоном ринулись в бой и купили целую кучу этих варрантов. Какое-то время казалось, что мы все сделали правильно. Затем компания под названием American Financial объявила тендер на покупку акций National General. Исходные условия тендера были таковы, что стоимость наших варрантов резко упала»[66]66
  Black (1989), р. 7.


[Закрыть].

Трое ученых потеряли вложенные средства. Компания American Financial покупала акции National General дороже страйк-цены, так что опцион ученых оказался ничего не стоящим. С одной стороны, эта финансовая потеря их огорчила. Но они были рады, что их формула, по меньшей мере на время, правильно предсказывала стоимость опциона. Их подвела не математика, а деловая смекалка. Колл-опционы на акции National General были недооцененными именно потому, что слухи о возможности такого поглощения уже давно носились в воздухе, и профессионалы Уолл-стрит учитывали эту информацию. Блэк пишет в заключение: «Рынок знал нечто такое, чего наша формула не знала… Хотя наш опыт торговли был не слишком удачным, это событие помогло подтвердить правильность формулы. Рыночная цена вела себя неправильно по очень веской причине»[67]67
  Ibid.


[Закрыть].

Почему же компания American Financial считала целесообразным платить за эти акции гораздо больше, чем они «на самом деле» стоили? Логику компании можно объяснить на одном очень простом примере. Представим себе, что мы владеем маленьким рыболовецким предприятием. У нас есть рыболовное судно, и, поскольку мы забрасываем сети в открытом море, нам удается поймать больше рыбы, чем рыбакам, которые ловят с берега. Но дела у нашей компании идут не блестяще. По каким-то причинам она не оправдывает ожиданий, и рынок оценивает ее стоимость низко. Но тут мимо проходит инвестор – пусть у нее будет морское имя Марина, – и она замечает, что, когда капитан смотрит в другую сторону, команда бездельничает на палубе, загорая на разложенных сетях. Неудивительно, что дела компании идут не блестяще. Марина не может легко и быстро решить эту проблему, но ей приходит в голову, что, возможно, судно вообще не нужно использовать для рыбной ловли. После небольшого переоборудования его можно приспособить, например, для увеселительных прогулок, и тогда оно будет приносить гораздо больше денег, чем рыболовство.

Марина могла бы просто построить новое прогулочное судно, но это заняло бы много времени, да и к тому же туристы потому и приезжают на морские прогулки в эту маленькую рыбацкую деревеньку, что хотят выйти в море на настоящем рыболовном судне. На этих морских прогулках туристы даже смогут ловить рыбу себе на ужин. Старое, потрепанное штормами судно обеспечит как раз такую ностальгическую атмосферу, как нужно. Но судно должно быть надежным, и его надо привести в соответствие с нормативными требованиями. Итак, Марина решает, что не хочет строить новый корабль. Более целесообразно вложить деньги в покупку и переоборудование нашего рыболовецкого судна, и она даже готова, если потребуется, заплатить за него несколько дороже его нынешней рыночной цены.

Марина никому не рассказывает о своей идее до заключения соглашения с нами, владельцами рыболовецкой компании. Может, она вообще будет держать свою идею в тайне как можно дольше, чтобы не допустить на рынок подражателей. В этом отношении наш пример отличается от случая с акциями National General, в котором намерение American Financial приобрести эту компанию не могло оставаться в тайне, и рынок предусмотрительно назначил цену сделки еще до того, как она состоялась. Возможно, рынок не понимал мотивов American Financial, но чувствовал, что назревают какие-то события.

Формула Блэка – Шоулза не учитывает именно этого «ощущения, витающего в воздухе». Она и не может его учесть, так как такое ощущение – не математическая концепция, а самая настоящая бизнес-идея. Марина, проходившая мимо марины, оказалась ближе к гениальности, чем формула Блэка – Шоулза, потому что была единственным человеком, придумавшим нечто, не приходившее в голову никому другому.

Хотя формула Блэка – Шоулза, несомненно, заслуживала Нобелевской премии, все ее элементы витали в воздухе еще с 1960-х годов. Чтобы решить все связанные с нею технические проблемы, потребовалось, чтобы три специалиста из разных областей – математики, экономики и предпринимательства – объединили свои специализированные знания и интеллектуальные способности. К тому же им помогли многие другие исследователи. Таким образом, формулу Блэка – Шоулза можно считать плодом упорной работы талантливых и опытных профессионалов, но ни в коем случае не произведением гения.

Чтобы эта формула была справедливой, колебания цены на базовый актив (то есть на то, на продажу или покупку чего выпускается опцион) должны иметь тихонское распределение. Если бы цены подчинялись, скажем, распределению Коши, то численно выразить их колебания в виде стандартного отклонения было бы невозможно, и мы не смогли бы даже запустить калькулятор Блэка – Шоулза. Но математическая основа формулы Блэка – Шоулза относится к Тихонии и еще более очевидным и несомненным образом. Формула явно предполагает, что распределение колебаний цен описывается гауссовой кривой. А эта кривая описывает такое распределение до тех пор, пока экономика находится в мире Тихонии и колебания цен определяются множеством слабых компонентов. Однако идея, подобная той, которая пришла в голову нашему инвестору Марине, – это идея цельная, творческая и масштабная. Такие возникают довольно часто и многим позволили разбогатеть. И они неизбежно уводят экономику в Диконию.