Текст книги "Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности"

Прежде чем мы сможем заняться наукой Диконии, нам нужно понять еще одно экстремальное явление Тихонии. Выше я упоминал, что наука, используемая в Диконии, – это та же самая традиционная наука, которая описывает Тихонию. Отличается только выбор естественно-научных и математических моделей. Дело в том, что наука – это всего лишь набор методов, принятый подавляющим большинством ученых. Именно общепринятость методов дает науке гарантию объективности – в том смысле, что справедливость научного вывода или научной теории теоретически (да и практически, в большинстве случаев) может быть независимо оценена по общепринятым стандартам.

Именно это отличает точные науки от других полезных и во многих случаях освященных временем способов познания мира – например, искусства, мистицизма, философии или религии. Получив научный результат, мы не только узнаем то, что мы только что выяснили об устройстве мира, но и точно знаем, как именно мы достигли этого результата. Несомненно, из Одиссеи или «Гарри Поттера» тоже можно узнать о мире многое. Лично я немало почерпнул из этих книг, но не могу ни точно восстановить тот путь, которым я пришел к этому знанию, ни даже выразить то, что я узнал, в численном виде. Я могу сказать только, что эти произведения достоверно рассказывают об окружающем меня мире и их чтение расширило мои познания о нем. Но я не могу даже точно сказать, что именно делает их такими достоверными; понятно только, что их достоверность – не научная. Я не могу сказать, что узнал из Одиссеи Гомера, будто боги классического пантеона вмешиваются в людские дела, а из «Гарри Поттера» – будто где-то существует тайное царство волшебства. То, что я узнал из этих книг, касается человеческих отношений, ценностей и страстей.

Более того, поскольку наука работает с моделями, мы можем понять диапазон применимости каждого конкретного результата. Никакая научная истина не есть истина абсолютная. Эти истины справедливы лишь в пределах применимости конкретной модели, в области, в которой результаты могут быть подтверждены и уточнены экспериментом. Именно поэтому модели, используемые для описания Тихонии и Диконии, могут быть радикально разными и в то же время верными – каждая в своем сегменте мира.

Чтобы мы смогли понять модели, описывающие Диконию, мне нужно упомянуть еще об одном аспекте тихонской науки. Для нее не вызывает никаких затруднений тот факт, что если вероятность некоего конкретного события равна нулю, то это не значит, что такое событие не может произойти. Это утверждение кажется противоречивым, но в его основе лежит весьма простая логика.

Представим себе, что мы ставим карандашную отметку в случайном месте листа бумаги. Вероятность того, что центр этой отметки попадет в какую-либо конкретную точку листа, равна нулю. Дело в том, что будь эта вероятность каким-либо положительным числом, назовем его х, тогда это же самое число x выражало бы и такую же вероятность попадания в любую другую точку. Но число точек на листе бумаги бесконечно, так что сумма вероятностей по всем точкам листа была бы равна не единице, как должно быть, а бесконечности. Поэтому вероятность попадания карандаша в какую-либо конкретную точку бесконечно мала – то есть равна нулю.

Но карандаш должен попасть в какое-то место листа, так что, когда мы прикасаемся карандашом к бумаге, происходит событие, имевшее за мгновение до этого нулевую вероятность. Математика Тихонии способна справиться с этой головоломкой без каких бы то ни было затруднений, хотя для того, чтобы сообразить, как нужно определить вероятность, чтобы можно было создать непротиворечивую теорию, потребовалось участие нескольких выдающихся талантов и пары-тройки гениев. Однако я не стану углубляться в технические детали их работы в этой области.

С точки зрения традиционной науки Тихонии осуществление события нулевой вероятности не означает, что произошло чудо. Или же мы можем сказать, что речь идет о мелком, повседневном чуде, относящемся к разряду того, что я назвал псевдочудесами. Таким образом, наука Тихонии способна работать не только с такими явлениями низкой вероятности, как чрезвычайно низкие или высокие доходы или вечная молодость. Она также может разбираться с событиями, которые происходят несмотря на то, что вероятность их наступления равна нулю. Именно поэтому мы то и дело сталкиваемся с псевдочудесами.

Все это важно понимать очень четко, потому что в дальнейшем мы увидим, что некоторые из чудес Диконии характеризуются не крайне малой или даже нулевой вероятностью, а отсутствием какой бы то ни было вероятности. То есть существуют такие явления, которым нельзя приписать никакой вероятности, – в том же смысле, в котором у распределения Коши нет стандартного отклонения. Это может быть связано, например, с тем, что такие события невообразимы, но произойти никак иначе они не могут. Есть множество других причин, по которым событию нельзя приписать хоть какой-либо вероятности, но оно тем не менее может произойти. Так обстояло дело со стрельбой нашей Фиби, которая могла попасть в стену в точке, находящейся почти невообразимо далеко.

При обсуждении окраин Тихонии не следует забывать о теореме Гёделя, которая целиком и полностью происходит из тихонской математики, хотя и потрясла эту математику до самого основания. Она произвела поразительно необычный результат, который до того был невообразимым для многих из самых выдающихся теоретиков. Кроме того, она была с точки зрения математиков явлением в высшей степени нежелательным. В 1900 году, когда великий немецкий математик Давид Гильберт составил список наиболее насущных математических задач на наступающее столетие, одним из первых пунктов этого списка было доказательство того, что математика никогда не порождает противоречий[54]54
  Со списком Гильберта можно ознакомиться здесь: http://mathworld.wolfram.com/HilbertsProblems.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_problems (https://ru.wikipedia.org/wiki/Проблемы_Гильберта).


[Закрыть]. Эту задачу Гёдель решил в своей второй теореме о неполноте, но полученный им результат был прямо противоположен ожидавшемуся. Вместо того чтобы доказать, что математика непротиворечива, он доказал, что доказать непротиворечивость математики внутри ее самой невозможно. Говорят, Гильберт рассердился, когда узнал о теореме Гёделя. Джон фон Нейман, как мы видели, просто забросил свои исследования в области логики.

До Гёделя всегда считалось самоочевидным, что для нахождения решения математической задачи требуются только достаточные способности, рассудительность и ловкость. Математик не был стопроцентно уверен, что решение существует, так как поставленная Гильбертом задача о непротиворечивости еще не была решена (не решена она и до сих пор), но у него не было причин сомневаться в том, что рано или поздно непротиворечивость математики будет доказана. После Гёделя приходится постоянно помнить о том, что решение задачи может не даваться не потому, что решающему ее не хватает ума, а потому, что задача эта – гёделева, то есть в рамках системы математики невозможно вывести ни заключенное в ней утверждение, ни утверждение обратное ему. И разумеется, появляется все больше результатов, доказывающих, что некоторые задачи действительно являются гёделевыми.

Если некоторое математическое утверждение гёделево, то математика не способна определить, истинно оно или ложно. Естественная наука, например физика или психология, возможно, сумеет установить, как обстоит дело в контексте реального мира, но математика не может дать никакого определенного ответа. Математика говорит только, что с ее точки зрения любой ответ был бы одинаково хорош – как утвердительный, так и отрицательный. Действительно, нашу математическую систему можно расширить новой аксиомой, содержащей либо само утверждение, либо его отрицание! В обоих случаях математика останется непротиворечивой (если, разумеется, она была непротиворечивой до этого), хотя разные случаи, возможно, потребуют разных математик. Например, если физики установят, что пространство обладает нулевой кривизной, математики создадут модель в форме старой доброй евклидовой геометрии. Однако если физики каким-то образом откроют, что пространство искривлено, то математики смогут предложить целый ассортимент разных неевклидовых геометрий, например разработанные Бойяи и Лобачевским. Вопрос о том, обладает ли пространство нулевой кривизной, – вопрос не математический. На самом деле физики пришли к убеждению, что кривизна пространства должна быть ненулевой.

В результате работы Гёделя математикам стало ясно, что математика не может исключить возможности параллельного существования нескольких разных математических систем, подчиняющихся разным законам. Мы уже видели, например, что цивилизации, имеющие разные концепции целых чисел, вполне могут существовать бок о бок. У некоторых цивилизаций может не быть понятия о нуле. Вспомним, что гипервещественное, бесконечно малое число 1/I тоже можно в некотором смысле считать нулем, так как оно меньше любого традиционного вещественного числа. Однако это не «настоящий» нуль, так как на это число можно делить, а с нашим традиционным нулем такую операцию проделать нельзя.

Тот факт, что некоторые явления происходят по законам Тихонии, не исключает возможности подчинения других явлений законам Диконии. Нам нужно построить науки обоих миров и тщательно обдумывать, к какому из них принадлежит то или иное конкретное явление. Так гёделевское мышление, первоклассное произведение тихонской науки, заложило основу для понимания чудес Диконии.

Изменение мировоззрения, вызванное открытиями Гёделя, позволило считать явления Диконии не менее закономерными, чем явления Тихонии. Хотя тихонская наука явила на свет распределение Коши, казавшееся странным, потому что у него нет стандартного отклонения, а также теорему Гёделя и идею об использовании опровержения G в качестве аксиомы, что привело к идее о гипервещественных числах, тихонское мышление не допускало, что такие аномальные объекты можно применить в реальном мире. Эти математические явления казались всего лишь теоретическими объектами, представляющими чисто теоретический интерес. Мы еще поговорим о том, что породило необходимость реального изучения Диконии. Первой областью, в которой потребовалось диконское мировоззрение, оказалась экономика.

6
Источники равновесия

Ежа невозможно как следует причесать. Всегда остается место, в котором иголки торчат в разные стороны.

В 1910 году голландский математик Лёйтзен Брауэр доказал одну странную математическую теорему[55]55
  Различные доказательства этой теоремы описаны в общих чертах на странице https://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem (https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Брауэра_о_неподвижной_ точке).


[Закрыть]. Возьмите чашку кофе и как следует перемешайте его ложкой – сколь угодно сильно, но так, чтобы кофе оставался единой массой, не зачерпывая его ложкой и не выливая обратно. Закончив мешать, дождитесь, пока жидкость перестанет двигаться. Теорема Брауэра утверждает, что в кофе будет атом, который останется точно в том же месте, в котором он был до перемешивания. Другими словами, невозможно перемешать кофе в чашке так, чтобы все его атомы оказались в положениях, отличных от тех, в которых были до этого.

Можно предположить, что, если такой атом действительно существует, в конце перемешивания можно слегка сдвинуть его с места; в конце концов, никто не говорил нам, когда именно следует прекратить перемешивание. Но теорема Брауэра гарантирует, что при смещении этого конкретного атома какой-нибудь другой атом в какой-нибудь другой точке чашки сместится в свое исходное положение.

Разумеется, математики не выводят свои теоремы из чашки кофе. Я не хочу сказать, что кофе не играет никакой роли в создании математических теорем. Венгерский математик Альфред Реньи, который жить не мог без этого напитка, заметил однажды, что «математик – это устройство для преобразования кофе в теоремы». Но математики требуют точности, и их доказательство основывается не на чашке кофе, а на замкнутом, компактном и выпуклом множестве в некотором топологическом пространстве; вместо атомов они рассматривают точки этого пространства, а вместо перемешивания – отображение данного множества на само себя. Условие сохранения единой массы кофе выражается требованием непрерывности отображения. Тогда теорема формулируется следующим образом: непрерывное отображение из замкнутого, компактного и выпуклого множества имеет неподвижную точку. Это утверждение называется теоремой Брауэра о неподвижной точке.

Мы понимаем, насколько нестрогим был наш пример с чашкой кофе. Не случайно математики говорят о вещах более абстрактных, чем кофеиносодержащие напитки. Чашка кофе не является замкнутым множеством в математическом смысле слова. Ее границей служит стенка чашки, которая не является частью кофе; к тому же во время перемешивания кофе из него испаряются молекулы воды. Тем не менее такой конкретный пример живо иллюстрирует теорему; хотя ему недостает точности, он пробуждает интерес к задаче.

При отказе от условия непрерывности исчезает и необходимость неподвижной точки. Например, если нам каким-то образом удастся отделить нижнюю половину кофе от верхней (скажем, заморозив весь кофе и распилив его пополам), а затем поместить нижнюю половину наверх, а верхнюю – вниз, то каждый атом, содержащийся в кофе, окажется либо выше, либо ниже своего исходного положения: никаких неподвижных точек в кофе не останется.

Таким образом, теорема Брауэра о неподвижной точке утверждает, что простым перемешиванием невозможно поменять местами верхнюю и нижнюю половины кофе в их исходной конфигурации. Мы можем мешать как угодно, но Брауэр гарантирует, что в каждый момент существует неподвижная точка, а в той конфигурации, которую мы хотим получить, неподвижных точек нет. Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет собой важный математический результат отчасти потому, что она настолько не соответствует нашим интуитивным представлениям: казалось бы, должен существовать способ, который перемещает все атомы в другие точки чашки. Аналогичным образом кажется, что должна существовать возможность причесать ежа. Речь идет о еже, свернувшемся в идеальный шар. Одно из следствий из теоремы Брауэра о неподвижной точке гласит, что, как бы мы его ни причесывали, на поверхности шара всегда останется по меньшей мере одно завихрение – участок, на котором иголки торчат в разные стороны.

Математики обобщили изящную теорему Брауэра во многих направлениях[56]56
  Granas and Dugundji (2003); Border (1989).


[Закрыть], и из различных ее приложений сформировалась целая новая область математики – теория неподвижной точки. Теорема была обобщена на многомерные пространства, на некоторые классы разрывных отображений и на некоторые другие случаи. Японский математик Сидзуо Какутани даже доказал теорему о неподвижной точке для некоторых абстрактных отображений, которые отображают единичную точку в целое множество. С тех пор обобщение Какутани стало одним из основных инструментов математической экономики. Но для того, чтобы извлечь из теоремы Брауэра по-настоящему глубокие выводы, потребовался математик калибра Джона фон Неймана.

Фон Нейман начал не с обобщения теоремы – он занялся рассмотрением ее приложений. Первое разработанное им приложение было довольно неожиданным: создание теории игр. Фон Нейман установил, что то, что Брауэр называл неподвижной точкой, в контексте стратегических игр можно считать – если использовать одно поразительное обобщение, имеющее широкую область применения, – точкой равновесия. «Равновесием» здесь называется набор стратегий (по одному стратегическому плану на каждого игрока), при использовании которого ни один из игроков не может улучшить свое положение только за счет изменения стратегии. Более подробное обсуждение теории игр можно найти в моей книге «Этические расчеты».

Создав теорию игр, фон Нейман понял, что при достаточно абстрактном рассмотрении экономики ее можно представить в виде набора игр и отображений. Стало быть, экономика состоит именно из тех двух компонентов, к которым применима теорема Брауэра о неподвижной точке.

Например, динамика теории игр начинает действовать в переговорах по любой сделке. Интересы игроков естественным образом оказываются взаимно противоположными – так же, как интересы игроков в покер. Но у них могут быть и общие интересы – так же, как все игроки в покер заинтересованы в том, чтобы игорный дом взимал с них как можно меньшую плату, а игра шла без шулерства.

Коммерческие транзакции можно рассматривать как отображения. Когда мы покупаем что-либо, мы отображаем свои деньги в товары. Когда мы производим что-либо, сырье и рабочая сила отображаются в продукцию. Построив такие отображения в абстрактном виде, фон Нейман обнаружил, что экономика непременно должна содержать равновесные точки – не только в соревновательных и, следовательно, описываемых теорией игр аспектах транзакций, но и в столь прозаических областях, как производство и потребление.

Чрезвычайно существенно, что в экономике имеются точки равновесия; более того, вся экономика может находиться в состоянии равновесия. В некотором роде удивительно, что экономические системы настолько устойчивы, учитывая, что каждый из действующих в экономике игроков, вообще-то говоря, заботится только о своих собственных интересах. В своей великой книге «Исследование о природе и причинах богатства народов», вышедшей в 1776 году, шотландский экономист Адам Смит говорит: «Не от благожелательности мясника, пивовара или булочника ожидаем мы получить свой обед, а от соблюдения ими своих собственных интересов». Ниже он описывает, как именно эгоистический интерес может послужить на пользу обществу:

Каждый отдельный человек… не имеет в виду содействовать общественной пользе и не сознает, насколько он содействует ей. Предпочитая оказывать поддержку отечественному производству, а не иностранному, он имеет в виду лишь свой собственный интерес, и, осуществляя это производство таким образом, чтобы его продукт обладал максимальной стоимостью, он преследует лишь свою собственную выгоду, причем в этом случае, как и во многих других, он невидимой рукой направляется к цели, которая совсем и не входила в его намерения; при этом общество не всегда страдает от того, что эта цель не входила в его намерения. Преследуя свои собственные интересы, он часто более действительным образом служит интересам общества, чем тогда, когда сознательно стремится делать это[57]57
  Цитаты из Адама Смита приведены в переводе П. Н. Клюкина.


[Закрыть][58]58
  Smith (1776/2014), кн. 1, гл. 2; кн. 4, гл. 2.


[Закрыть]

Хотя концепция экономического равновесия была с тех пор определена с гораздо большей точностью, основная идея остается неизменной: совокупное воздействие отдельных своекорыстных действий должно обеспечивать эффективную работу экономики. Однако в течение долгого времени идеи Смита не получали признания ни у политиков, ни у экономистов. Вопрос был слишком важен, а примеры, приведенные Смитом, как бы ярки они ни были, казались слишком произвольными. Можно ли в самом деле верить, что «невидимая рука» будет делать то, что раньше приписывалось личным добродетелям, и позаботится об общественных интересах? Во многих случаях этого не происходит. Разрушение окружающей среды продолжалось – и оставалось без внимания – довольно долго, и «невидимая рука» никак ему не мешала. Не было известно, где именно действует «невидимая рука» и каковы пределы ее воздействия. Нужно отдать должное Смиту: он и не утверждал, что своекорыстные интересы всегда ведут к общественному благу, – в отличие от многих фанатичных последователей его учения. Например, он предупреждал об опасностях монополизма и чрезмерного вмешательства коммерческих интересов в политику.

Не предложил Смит и точного доказательства справедливости своего принципа даже в тех областях, в которых тот и правда действует. Его теория была чисто умозрительной. Значительная часть «Богатства народов» посвящена перечислению ярких примеров благонамеренного вмешательства государства, приводящего к катастрофическим последствиям. Поэтому не стоит удивляться, что его книге все никак не удавалось убедить политиков социалистического толка предоставить «невидимой руке» свободу действий, так же как не удавалось убедить сторонников свободного рынка в том, что временами той же «невидимой руке» требуется государственное управление.

До того как за дело взялся фон Нейман, никто не знал, как преобразовать теорию Адама Смита в полноценную экономическую модель, для которой можно было бы определить область применимости. Фон Нейман первым предложил экономистам модель, пригодную к использованию.

В 1994 году Премия по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля была присуждена трем исследователям, работавшим в области теории игр: Джону Нэшу (герою книги и фильма «Игры разума»), Джону Харсаньи и Рейнхарду Зельтену. В 2005 году ту же премию получили еще два специалиста по теории игр – Роберт Ауман и Томас Шеллинг. Еще с десяток нобелевских лауреатов получили свои награды за экономические модели, основанные на теореме Брауэра о неподвижной точке или ее приложениях, разработанных фон Нейманом. Сам фон Нейман этой премии не получил, потому что он умер в 1957 году, за дюжину лет до присуждения первой Нобелевской премии по экономике (она не входила в число пяти премий, учрежденных самим Нобелем, и официально называется Премией памяти Нобеля). Одна из первых премий была присуждена в 1972 году Кеннету Эрроу. В 1954 году они с лауреатом 1983 года Жераром Дебрё доказали, исходя из идей фон Неймана, математическую теорему о существовании общих равновесных состояний, которая считается фундаментальной теоремой теорий равновесия.