Текст книги "Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности"

Родившийся в Польше франко-американский математик Бенуа Мандельброт (1924–2010) будет героем третьей части этой книги, которая посвящена науке Диконии. Собственно говоря, он уже появлялся в нашем повествовании, потому что именно он открыл способ создания фрактальных изображений, подобных тому, что изображено на илл. 8.

В 1960-х годах, когда математический аппарат, приведший впоследствии к появлению формулы Блэка – Шоулза, еще только развивался, Мандельброт утверждал на нескольких конференциях, что распределение Гаусса, возможно, неточно описывает реальное поведение цен. Он предлагал использовать в качестве основы для таких моделей распределение Коши. Другими словами, Мандельброт еще в 1960-х годах предлагал перенести экономические модели из Тихонии в Диконию[68]68
  Mandelbrot and Hudson (2004); Dunbar (2000), р. 93.


[Закрыть]. Это предложение не вызвало у экономистов особо горячего энтузиазма. Возможно, тут сыграли свою роль и не вполне деликатные манеры Мандельброта, но основная причина была не в этом. Если бы его предложение было принято всерьез, экономистам пришлось бы выкинуть все, чего они достигли со времен фон Неймана, Эрроу и Дебрё, и сменить уютные модели равновесных состояний на нечто гораздо менее изящное[69]69
  Mandelbrot (1999).


[Закрыть].

Если бы экономисты так и поступили, Блэк и компания вполне могли прийти к выводу, что у опциона вообще не может быть теоретически правильной цены. Невозможно с уверенностью оценить нечто, не имеющее стандартного отклонения. А даже если бы это и можно было сделать – например, приручив дикое распределение Коши и поселив его в модели, – то это дало бы такие высокие цены опционов, что никто не захотел бы их покупать. Фермер с мельником снова оказались бы в исходном положении. Но практический опыт уже показал: цену опциона можно выбрать так, чтобы обе стороны сочли ее разумной.

Колебания цен, способные оправдать столь радикальное изменение моделей, не встречались со времен Великой депрессии 1929 года. Таким положение дел и оставалось до 1987 года, когда весь мир потряс гигантский экономический кризис, после чего, в 2008 году, на нас обрушился кризис еще более масштабный.

Повседневная жизнь в Тихонии идет своим чередом, хотя диконские явления время от времени и переворачивают все вверх дном. В конце концов, договоры о сделках с опционами могут составляться только в тихонских условиях, потому что в Диконии у опционов просто нет теоретически правильной цены. А эти опционы нужны фермеру и мельнику в качестве страховки от банкротства. Инвестору тоже живется лучше, когда действуют тихонские законы. Когда хаотические законы Диконии наконец берут свое и на горизонте возникает негативный «черный лебедь», это не становится катастрофой ни для фермера, ни для мельника. А вот инвестор теряет последнюю рубашку. Плата за опционы, которую инвестор получал от фермера и мельника, позволяла ему процветать, только пока главенствовали правила Тихонии.

Мораль тут такая: тот, кто хочет зарабатывать инвестициями, должен быть способен пережить полный крах, подняться, отряхнуться и начать все сначала. Тот, у кого не было нескольких банкротств, после которых он каждый раз снова вставал на ноги, – не «настоящий» инвестор. Моему другу Алексу не раз случалось оставаться ни с чем, но каждый раз ему удавалось собраться с силами и добиться еще большего успеха, чем раньше. Если не считать мантры «чудес не бывает», чаще всего я слышу от Алекса, что «впереди всегда ждет возможность». Но чтобы выгодно использовать возможности, что ждут впереди, инвестору нужно добиться успеха с возможностями предыдущими, даже если в конце концов они приведут его к банкротству. В жизни инвестора банкротство – не признак поражения; это всего лишь неприятный, но неизбежно повторяющийся побочный эффект его деятельности.

Говорят, на свалке богача можно найти больше ценного, чем во всем имуществе бедняка. В некотором смысле фермер и мельник финансируют платой за свои опционы именно свалку инвестора, и именно ее существование дает инвестору лучшие шансы на восстановление после банкротства, чем есть у фермера или мельника. Правда, верно и то, что инвестору необходим такой склад характера, который помогает принять неотъемлемо присущую этой профессии нестабильность. Все это подводит нас к вопросу, сокрытому в самом сердце части IV этой книги: каким образом можно добиться какого-либо баланса между основанным на равновесии миром Тихонии и неравновесностью Диконии? Давайте для начала заглянем в беспорядочный и суматошный мир Диконии.

Часть III
Дикий мир

Стремиться следует не к тому, чтобы не проиграть в случае кризиса; следует стремиться использовать обратную сторону медали, позитивные чудеса, когда никаких кризисов нет.

7
Математика непредсказуемого

Хаотично работает не сердце, а мозг.

В числе всевозможных увлекательных экспонатов будапештского Дворца чудес выставлен механизм, показанный на илл. 12. От центра колеса отходят три планки, каждая из которых состоит из двух соединенных шарниром сегментов. Таким образом, каждая из планок представляет собой двойной маятник – то есть маятник, к концу которого прикреплен другой. Все три маятника закреплены винтом в центре колеса. Если выбрать начальное положение трех двойных маятников и отпустить их, они начинают раскачиваться. Тут-то и происходит самое удивительное: кажется, что внешние сегменты всех трех двойных маятников движутся совершенно случайным образом. В их движении нет никакого явного ритма или смысла. Иногда один из них взлетает вверх и даже может – в самый неожиданный момент – совершить полный оборот, как маятниковые качели в парке аттракционов. Запустите маятники еще раз. И еще раз. Каждый раз результаты будут получаться совершенно непохожими на предыдущие.

Посетители по большей части стоят перед этим экспонатом как завороженные. Кое-кто, глядя на три штанги, движущиеся столь поразительно непредсказуемым образом, и впрямь впадает в состояние легкого гипноза[70]70
  Об исследованиях гипноза можно прочитать в Nash and Barnier (2012).


[Закрыть]. Даже не столько хаотичность, сколько огромное разнообразие движений этого маятника не позволяет отвести от него глаз. По данным современных исследований гипноза, именно такая сосредоточенность является единственным необходимым условием для входа в гипнотическое состояние. Без всего остального – расслабленности, слов гипнотизера, даже самого присутствия гипнотизера – можно обойтись.

Илл. 12. Двойной маятник во Дворце чудес в Будапеште

(Фото Петера Тамаша)

Когда моей дочери было восемь лет, она сама научилась входить в некое состояние, подобное трансу. Когда ее брат, пятью годами старше, спросил, как она это делает, она охотно ответила: «Надо изо всех сил сосредоточиться на чем-нибудь – на пламени свечи или просто на пятне на стенке». А когда брат спросил: «А глаза закрывать?» – она ответила: «Да не важно. Но для первого раза, наверное, лучше закрыть».

Двойной маятник может быть превосходным средством для медитации, но нас он интересует с научной точки зрения: действительно ли движение трех маятников хаотично – или же в нем есть некая регулярность, а мы просто недостаточно умны или наблюдательны, чтобы обнаружить ее? Интуитивно кажется, что верен второй вариант. Трудно представить, что такое простое устройство, все движения которого полностью определяются вращением колеса, может порождать абсолютно непредсказуемое поведение.

Илл. 13. Хаотическая траектория простого двойного маятника[71]71
  https://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum


[Закрыть]

Это интуитивное представление ошибочно. Не так давно математики доказали, что движение даже такого простого устройства, как двойной маятник, может быть абсолютно непредсказуемым. Для этого даже не обязательно иметь три маятника – достаточно и одного. На илл. 13 показана траектория такого двойного маятника, звенья которого начинают движение из горизонтального положения. Точнее говоря, на рисунке изображена траектория движения после одного такого запуска. В следующий раз, даже если маятник начинает двигаться почти точно так же, как раньше, траектория будет даже и близко не похожа на прежнюю.

Изменения траектории двойного маятника хорошо иллюстрируют так называемый эффект бабочки. Это выражение, возникшее в 1970-х годах, закрепилось в массовой культуре и стало названием снятого в 2004 году психологического триллера, авторами сценария и режиссерами которого были Эрик Бресс и Дж. Мэки Грубер. Это же название получили сборник стихов[72]72
  Книга американского поэта Гарри Хьюмза, опубликованная в 1999 г.


[Закрыть], детективный роман[73]73
  Третий роман в серии «Убийство в штате Мэн» Милдред Б. Дэвис и Кэтрин Рум (2008).


[Закрыть] и рок-группа[74]74
  Австралийская группа The Butterfly Effect, образовавшаяся в 1999 г. и работающая в жанре «альтернативный металл».


[Закрыть].

История выражения «эффект бабочки» начинается с американского метеоролога Эдварда Лоренца, написавшего в 1963 году статью об одном загадочном случае[75]75
  http://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_effect (https://ru.wikipedia.org/wiki/Эффект_бабочки).


[Закрыть]. Он запускал в компьютере программу моделирования погоды, и когда запустил ее во второй раз, то несколько поленился и ввел округленное значение одного из параметров – 0,506 вместо точного значения, равного 0,506127. Это малое изменение привело к получению совершенно другой модели погодных условий. Как такое могло случиться? В программе не было ничего случайного: Лоренц использовал полностью детерминированную модель. Единственная разница заключалась в изменении одного числа на одну десятую процента. Лоренц был поражен тем, насколько радикально может повлиять на результат столь малое изменение начальных условий.

Лоренц тщательно изучил это явление, и из его исследований развилась теория хаоса, некоторые аспекты которой еще столетием раньше описал великий французский математик Анри Пуанкаре (1854–1912). Впрочем, он не позаботился придумать столь удачное название – и это было большой ошибкой, потому что там, где дело касается «забега» к лавровым венкам, умение себя подать играет весьма важную роль[76]76
  Популярное описание теории хаоса можно найти в Gleick (2008); более математически ориентированное раскрытие этой темы приводится в Stewart (2002); ее коммерческие приложения рассматриваются в Kotler and Caslione (2009).


[Закрыть]. Поэтому мы не связываем создание теории хаоса с именем Пуанкаре. Но вряд ли дух великого француза вознегодует от пренебрежения: с именем Пуанкаре связаны десятки математических и физических концепций, хотя ни одна из них не приобрела такой популярности, как теория хаоса.

Лоренц заключил, что некоторые математические системы (например, его модель для составления метеорологических прогнозов) работают таким образом, что малейшие изменения в исходных данных порождают огромные изменения в поведении системы. До этого математики считали, что отличительная черта любой удобной для анализа детерминированной системы заключается в том, что малые возмущения в исходных данных (например, небольшие ошибки измерений или ошибки округления) оказывают лишь малое влияние на результат.

В первой статье по этой теме Лоренц привел замечание одного своего коллеги-метеоролога: «Если ваша теория верна, то одного взмаха крыльев чайки было бы достаточно, чтобы навсегда изменить развитие погодных условий». История о том, как чайка превратилась в бабочку, навсегда утеряна в фольклорной мгле. Одни говорят, что это изменение внес редактор с обостренным чувством стиля. Другие утверждают, что сам Лоренц впоследствии говорил о бабочке в одной из своих лекций. Как бы то ни было, «эффект бабочки» вошел в общеупотребительный язык, и теперь в светской беседе можно услышать, что один-единственный взмах крыльев бабочки в Бразилии может вызвать торнадо в Техасе. Иногда бабочка находится в Токио, а результатом становится ураган в Нью-Йорке.

Яркая метафора опасна тем, что может дать ложное представление о природе того объекта, который она описывает. Несомненно, бабочки машут крыльями по всему Токио, не говоря уже о бразильских дождевых лесах. Но, несмотря на все это трепетание крылышек, мы знаем, что, как отмечала Элиза Дулитл: «Хартфорд, Херефорд и Хэмпшир сильных вихрей лишены». Бабочка из Токио не вызывала урагана. Но малое отклонение в учете ветровых течений при моделировании погодных условий может привести к огромному изменению в метеорологических прогнозах, и тогда дождь «пойдет» в Испании в горах, а не на равнинах[77]77
  Обыгрываются скороговорки, при помощи которых профессор Хиггинс пытался привить Элизе правильное произношение, – «In Hertford, Hereford and Hampshire hurricanes hardly ever happen» и «The rain in Spain stays mainly in the plain». Интересно отметить, что этих фраз не было в пьесе «Пигмалион» Дж. Б. Шоу; они появились в одноименном фильме 1938 г., а затем – в бродвейском мюзикле My Fair Lady («Моя прекрасная леди») и более известном фильме того же названия, снятом в 1964 г.


[Закрыть].

Собственно говоря, теория хаоса предлагает несколько изящных математических моделей, в которых воздействие небольшого изменения начальных условий все более и более усиливается от итерации к итерации, что приводит к гигантским изменениям конечного результата, даже если исходное расхождение касалось всего лишь десятого знака после запятой в одном-единственном из всех замеров. В таких случаях действительно можно представить себе, что воздушный поток, вызванный взмахом крыла бабочки, может стать первым шагом в последовательности событий, которая приведет к возникновению тропического циклона. Но это не значит, что циклон создает бабочка. Он порождается природой метеорологических явлений, которая иногда соответствует модели теории хаоса, говорящей нам, что масштабный эффект может быть следствием самой незначительной причины.

Теория хаоса заставила нас осознать одно неприятное свойство нашего мира: в нем есть явления, которые мы не в состоянии предсказать, и причина этому – не наше невежество или неспособность произвести точные измерения. Непредсказуемость вытекает из самой сути таких явлений, и, когда мы сталкиваемся с чем-то подобным, нам не помогут ни расширение знаний, ни повышение точности измерений, ибо как реальным явлениям такого рода, так и математическим концепциям, которые мы используем для их моделирования, неотъемлемо присуща хаотичность.

К тому же такие явления – не просто теоретические диковины. Они возникают в реальном мире, и нередко, а удивительнее всего то, что некоторые хаотические системы гораздо проще, чем погода. Примером такой системы является двойной маятник, подобный тому, который выставлен в будапештском музее. Он неизмеримо проще, чем атмосфера Земли. Тем не менее мы можем задать его начальное положение лишь с некоторой ограниченной точностью, и различие между начальными положениями при двух запусках маятника даже в несколько тысячных долей миллиметра приводит к радикальным изменениям траектории. Модель абсолютно детерминирована. В ней нет никаких скрытых случайных эффектов. Но поведение ее хаотично.

Рост вычислительных мощностей позволяет моделировать погодные условия со все более высокой точностью. Однако получающиеся математические модели оказываются все более и более похожими на хаотические динамические системы. Если аспекты погоды как природного явления действительно соответствуют математической модели теории хаоса, мы никогда не сможем смоделировать погоду настолько точно, чтобы каждый раз получать точный прогноз. Собственно говоря, дело обстоит еще хуже: число крупных ошибок прогнозирования невозможно опустить ниже некоторого предела. С другой стороны, число мелких ошибок можно уменьшать все дальше и дальше, потому что такие ошибки порождаются нехаотическими аспектами погоды, которые не приводят к разрастанию малых отклонений в сегодняшних атмосферных условиях в крупные отклонения завтрашних погодных условий. Но хаотические компоненты погоды гарантируют, что чудовищно ошибочные прогнозы будут появляться всегда, насколько бы ни продвинулась вперед метеорологическая наука.

Однако с математической точки зрения дело обстоит чуть лучше. Хотя способов точного расчета состояния хаотической системы не существует, тем не менее можно вычислить вероятность возникновения в заданных временных рамках определенного состояния. К сожалению, в случае хаотических систем это обстоятельство не приносит большой практической пользы, потому что вероятность возникновения любого экстремального состояния пренебрежимо мала, а объявлять штормовое предупреждение в связи с событием, вероятность которого равна одному шансу из миллиона, никому не захочется. Синоптик, слишком часто поднимающий ложную тревогу, вскоре обнаружит, что его прогнозам никто больше не верит.

В хаотической системе может случиться почти все что угодно. Если наша глобальная метеорологическая система содержит подсистемы, ведущие себя в соответствии с теорией хаоса, то чем более удаленное будущее мы предсказываем, тем вероятнее, что мы наткнемся на такую подсистему. Таким образом, непредсказуемые погодные явления будут всегда: гром всегда сможет грянуть среди ясного неба. Теория хаоса показала нам, что в долгосрочной перспективе погода непредсказуема. Поэтому, хотя за последние сто лет средняя температура на поверхности Земли возросла довольно значительно, мы не можем утверждать с абсолютной уверенностью, что потепление будет продолжаться, – возможно, вместо этого в дело вмешается новый ледниковый период. Лучше использовать теорию хаоса другим образом – изучая различные возможные сценарии и пытаясь вычислить вероятность их осуществления.

Вдали от хаотического состояния мы можем вычислить с достаточно высокой точностью, следует ли, например, ожидать потепления или похолодания, грозы или солнца. Но когда система становится хаотической, может случиться все что угодно.

Вполне возможно, что теория хаоса предлагает хорошую модель неких основополагающих принципов природы, хотя пока что мы не знаем, как сформулировать эти принципы и определить область их применимости. В следующей главе я опишу один общий принцип, который может стать теоретической основой некоторых типов хаотических явлений, но сперва давайте рассмотрим множество областей, к которым могут быть применимы различные модели теории хаоса.

Мы видим в природе, что некоторые системы работают в соответствии с ньютоновской картиной мира: малые изменения причин порождают лишь малые изменения следствий. Но есть и такие системы, правила существования которых лучше описываются теорией хаоса. Именно это я и имел в виду, когда говорил, что к некоторым природным явлениям применимы законы Тихонии, а к некоторым другим – законы Диконии (могут существовать и такие явления, к которым неприменимы ни те ни другие законы, – но здесь я их не рассматриваю). Чтобы увидеть такие системы в действии, нам достаточно заглянуть внутрь самих себя.

По данным недавних исследований, бессознательное человека, возможно, работает более или менее в соответствии с моделями теории хаоса[78]78
  Dietrich (2002); Zdenek (1993).


[Закрыть]. Меня забавляет, когда кто-нибудь из моих студентов-психологов пытается анализировать свое собственное бессознательное, проявляя зачатки профессиональной компетенции, но в то же время показывая, что понимает иные концепции лишь отчасти. «У меня случилась бессознательная оговорка». «Я вдруг понял, что неосознанно хочу…» Эти студенты забывают, что мы называем бессознательное бессознательным именно потому, что мы его не осознаем. А если к бессознательному действительно можно применить теорию хаоса, то мы никогда не сможем полностью осознать его.

Здоровое человеческое сердце по сути дела относится к миру Тихонии, и его патологическое состояние можно обнаружить при появлении на электрокардиограмме хаотических элементов. С другой стороны, здоровый мозг явно принадлежит к миру Диконии. Электроэнцефалограммы, отражающие электрическую активность мозга, показали, что один из компонентов мозговых волн с очень хорошей точностью моделируется хаотической динамической системой[79]79
  Molnár (2001); Damiani (2010).


[Закрыть]. Эти волны «регулярно хаотичны», то есть они регулярно бывают абсолютно иррегулярными. Однако при некоторых заболеваниях такие флуктуации исчезают до такой степени, что их отсутствие может быть использовано в качестве диагностического индикатора – например, для предсказания склонности к эпилепсии.

Режимы работы сердца и мозга обладают настолько разительными фундаментальными различиями, что эти органы стали символами двух противоположных типов поведения. Мы считаем, что эмоции хаотичны и диктуются сердцем, и в то же время верим, что наш мозг работает стабильным и предсказуемым образом. Теория хаоса говорит, что наши взгляды на эти органы следует изменить на диаметрально противоположные. Хотя Библия и призывает «наклонить сердце твое к размышлению»[80]80
  Притч. 2: 2.


[Закрыть], сегодня мы знаем, что размышление происходит вовсе не в сердце. Но у науки на осознание этого факта ушло неимоверно много времени. Именно этому вопросу – «Голова или сердце?» – посвятил свой последний крупный эксперимент великий французский физик Антуан Лоран Лавуазье.

Лавуазье был не только ученым, но и аристократом, и в дни Французской революции этот статус пришелся не к месту и стоил ему головы. В 1794 году его судили, приговорили к смертной казни и отправили на гильотину в числе двадцати восьми fermiers généraux, «генеральных откупщиков», разбогатевших на сборе податей от имени короля. Узнав о приговоре, он понял, что ему предоставляется уникальная возможность, шанс дать окончательный ответ на один из величайших неразрешенных вопросов физиологии: где находится вместилище воли – в мозге или в сердце? Не следует относиться к этому вопросу с высокомерием, основанным на наших нынешних знаниях: сейчас-то мы знаем, что мозг занимается мышлением, а сердце перекачивает кровь. Но тогда многие признаки указывали на то, что органом воли может быть именно сердце. Например, когда мы страстно хотим чего-нибудь, мы ничего не ощущаем в голове, но можем чувствовать, как сердце терзается желанием.

Лавуазье запланировал следующий эксперимент: после отделения головы от тела он собирался моргать до тех пор, пока был на это способен. Если бы оказалось, что голова может моргать без посредства сердца, это доказало бы, что вместилищем воли является мозг. Чем дольше ему удавалось бы моргать, тем убедительнее было бы доказательство того, что воля к морганию проистекала только из его головы. Он поручил ассистенту вести подробную запись происходящего и опубликовать результаты эксперимента под именем Лавуазье. На гильотину он взошел с радостью, сознавая, что ему предстоит сделать еще одно важное дело во имя науки. И разумеется, после того как голова Лавуазье была отделена от тела, она продолжала непрерывно моргать в течение пятнадцати секунд. Другие источники говорят о двадцати секундах, третьи называют целых тридцать.

Я много где встречал эту историю. Можно предположить с почти абсолютной уверенностью, что в ней нет ни слова правды. Это пример того, что позднее стали называть городской легендой. Не существует никаких свидетельств того, что ассистент Лавуазье выпустил такую публикацию. Никто из очевидцев казни не упоминает о моргании. В университетских курсах нет ни следа упоминания о таком эксперименте. Уж во всяком случае, он не входит в нынешние учебные программы, хотя сейчас у нас есть гораздо более убедительные (и менее жуткие) доказательства того, что вместилищем воли, как и мышления вообще, является именно мозг. Но даже если все было совсем не так, эта история иллюстрирует долгий путь к открытию того факта, что наша способность к логическому мышлению связана с хаотической составляющей мозговой деятельности, которая существует, по-видимому, только у вида Homo sapiens. Тем не менее наша память относительно достоверна, наша личность изменяется медленно и лишь в редких случаях резко, и мы способны мыслить более или менее связно. Как же увязать стабильность, необходимую для всего этого, с хаосом, царящим в нашем мозге?