Текст книги "Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности"

Хаос и масштабная инвариантность неразлучны. Единственное очевидное и тривиальное исключение из этого правила составляет отрезок прямой. Все остальные масштабно-инвариантные объекты обладают всеми тремя характеристиками хаоса, сформулированными в предыдущей главе:

1. Система должна быть определена малым числом переменных. Например, множество Мандельброта определяется очень простым уравнением с одной-единственной комплексной переменной, и даже оболочка Мандельброта, изображенная на илл. 20, определяется всего тремя переменными. Если мы используем элемент случайности для увеличения богатства формы, это добавляет всего одну дополнительную переменную. Более сложные фракталы определяются бо́льшим числом уравнений, но это число обычно находится в промежутке от пяти до десяти. Однако даже фракталы, созданные с использованием гораздо большего количества переменных, могут проявлять хаотическое поведение, как мы видели на примере человеческого мозга: он создается из тысяч генов и проявляет хаотические черты.

2. Система должна быть чрезвычайно чувствительна к малым изменениям начального состояния. В случае фракталов начальное состояние выражается уравнениями, определяющими фрактал. И действительно, малейшие изменения параметров этих уравнений изменяют вид фрактала самым радикальным образом.

3. В какой-то момент своего развития хаотическая система должна оказываться сколь угодно близко ко всем состояниям, которых она теоретически может достичь. В той области плоскости или трехмерного (или многомерного) пространства, в которой фрактал определен, он плотен в том же смысле, в котором плотно облако: он не заполняет все точки, как твердое тело, но приближается ко всем точкам своей области определения. Любые точки этой области, не принадлежащие фракталу, сколь угодно близки к точкам, которые ему принадлежат.

Свойственна фракталам и непредсказуемость хаоса. Если взять случайную точку на плоскости и спросить, принадлежит ли она данному фракталу, не существует универсального способа найти ответ на этот вопрос. В это, может быть, трудно поверить, так как фрактал определяется несколькими уравнениями и теоретически мы должны быть способны определить, принадлежит ли та или иная точка множеству их решений. Но Гёдель говорит: если окажется, что нам это не под силу, ничего удивительного в этом не будет. В случае двойного маятника мы можем проследить его траекторию исходя из начального состояния, и если эта траектория пройдет через нашу случайно выбранную точку, то мы сможем заключить, что точка действительно лежит на траектории. Но если маятник не пройдет через эту точку, мы никак не можем предсказать, пройдет ли он через нее когда-нибудь в дальнейшем.

То же справедливо и в отношении фракталов: единственный способ определить, принадлежит ли та или иная точка данному фракталу – это продолжать решение соответствующих уравнений на компьютере. Если компьютер нарисует именно ту точку, которую мы выбрали, то можно быть уверенным, что она принадлежит фракталу. Но до того, как это случится, мы не будем иметь никакого понятия, случится ли это когда-нибудь. Следовательно, если точка все же не принадлежит фракталу, мы никогда об этом не узнаем, как бы долго ни работал наш компьютер.

Хотя все фракталы хаотичны, не всякое хаотическое явление имеет фрактальную структуру. Например, траектория двойного маятника хаотична, но фракталом не является. Однако верно, что фракталы – это наиболее часто встречающиеся проявления хаоса в природе. Иными словами, хаос обычно проявляется в природе в масштабно-инвариантном виде. Разумеется, в этом не было бы ничего удивительного, если бы оказалось, что Мандельброт на самом деле выявил некий доселе неизвестный принцип, справедливый в очень широком диапазоне условий. Масштабная инвариантность может быть тем способом, который дает природе возможность экономичного построения объектов с чрезвычайно богатой структурой. Также может быть, что масштабная инвариантность – это реальное проявление свойственной природе нетерпимости к пустоте. За исключением тривиального случая отрезка прямой, масштабная инвариантность автоматически порождает хаос, а хаос, как мы видели в предыдущей главе, не терпит пустоты – в том смысле, что он плотно заполняет всю свою область определения. На нашем нынешнем уровне знаний все это – лишь умозрительные догадки, но мы точно знаем одно: масштабная инвариантность и сопутствующий ей хаос встречаются в природе повсеместно.

Хотя самоподобие интересовало Мандельброта в первую очередь как геометрическое явление, масштабная инвариантность оказалась концепцией гораздо более общего толка. Одним из наиболее плодотворных ее приложений стало открытие безмасштабных сетей, которые прославил во всем мире американский физик венгерского происхождения Альберт Ласло Барабаши в своем бестселлере «Связанное» (Linked).

С точки зрения математиков и физиков, сеть есть структура, состоящая из набора узлов (вершин), некоторые – но не обязательно все – из которых соединены между собою ребрами. Сети могут служить представлением самых разных взаимоотношений. Например, чтобы проиллюстрировать личные отношения в некой группе людей, можно изобразить каждого человека в виде вершины, а наличие ребра, соединяющего две вершины, будет показывать, что эти люди знакомы друг с другом. Нейроны мозга также образуют сеть; некоторые из них соединены друг с другом, другие – нет. Еще одну сеть – так называемый веб-граф – образуют интернет-страницы. Две страницы соединены ребром, если одна из них содержит ссылку на другую. Также можно построить сеть научно-исследовательских публикаций, в которой связи между узлами будут изображать цитирование одной работы в другой. Авиационные маршруты тоже образуют сеть; ее узлы – города, и между двумя городами существует ребро, если эти города соединены беспересадочными рейсами. Важное открытие, сделанное Барабаши и группой его коллег, состояло в том, что сети, встречающиеся в природе, как и социальные сети, по большей части масштабно-инвариантны, так же как по большей части масштабно-инвариантны природные хаотические системы.

Некоторые сети обладают определенной асимметрией. Например, если в сети научных статей в статье В цитируется статья А, то, по всей вероятности, в статье А не цитируется статья В (поскольку статью В, в общем случае, должны были опубликовать после статьи А). Следовательно, ребро, соединяющее узлы А и В, имеет направление. Такие сети называют ориентированными, а их ребра и узлы могут быть входящими или исходящими. Аналогичным образом в сети авиационных маршрутов может существовать прямой рейс из Алтуны в Поттсвиль, а вот прямого рейса из Поттсвиля в Алтуну может и не быть: тогда в сети есть ребро, идущее из вершины Алтуны к вершине Поттсвиля, но нет ребра, идущего в противоположном направлении.

Масштабная инвариантность сетей похожа на масштабную инвариантность геометрических фигур: любая часть сети выглядит более или менее похожей на другую, подсети выглядят как целая сеть, а подподсети – как те подсети, в которых они находятся, так что сказать, в каком масштабе мы рассматриваем сеть, невозможно. При рассмотрении сетей в другом масштабе, в котором узлами становятся не отдельные люди, а города и страны, ее внешний вид изменяется незначительно.

Безмасштабные сети обладают интересными свойствами, которые не обнаруживаются в большинстве других сетей. Например, безмасштабные сети отличаются весьма высокой плотностью в следующем смысле: до каждой пары узлов можно добраться по сравнительно короткому маршруту. Скажем, по имеющимся оценкам считается, что любых двух человек на Земле можно соединить цепочкой из шести или менее знакомых. Интернет также образует очень большую сеть, а именно сеть ориентированную; на каждых двух человек на Земле в нем приходится приблизительно по одной странице. Также и в этом случае почти до любой страницы можно добраться с любой другой страницы не более чем за двадцать переходов по ссылкам. Разумеется, могут существовать как маленькие группы людей, не имеющих знакомых вне своей группы, так и страницы, на которые не ведут никакие входящие ссылки. Хотя до таких «островков» действительно невозможно добраться извне, сказанное выше относительно связности справедливо для подавляющего большинства страниц в интернете.

Другая особенность безмасштабных сетей состоит в том, что по сравнению с сетями «нормальными» они содержат относительно большое число узлов, количество входящих и исходящих соединений в них намного превышает среднее, а большинство их узлов имеют сравнительно мало соединений. Именно через такие «концентраторы», наделенные множеством связей, в безмасштабной сети передается бо́льшая часть информации. Если мы хотим распространить какую-либо информацию по безмасштабной сети, прежде всего следует найти один из «концентраторов». В социальных науках их обычно называют «лидерами мнений», или «неформальными лидерами». У некоторых приматов эту роль часто играют старые самки, в обязанности которых входит так называемый «груминг» (вычесывание паразитов) всей группы; переходя от одного члена группы к другому, они распространяют информацию. В человеческих обществах похожую функцию может выполнять почтальон или парикмахер[88]88
  См., например, Barabási (2002), Csermely (2009) и Palla et al. (2007).


[Закрыть].

Особенно интересный случай безмасштабной сети представляет собой одна из возможных моделей того, как мы ищем потерянные предметы. Как правило, мы тщательно обыскиваем какой-нибудь определенный участок, перемещаясь при этом очень мелкими шажками. Но через некоторое время мы внезапно уходим из этой точки и начинаем искать совершенно в другом месте, вокруг которого также начинаем передвигаться мелкими шагами. Если нарисовать сеть, узлами которой будут точки, около которых мы ищем, а ребрами – наши переходы между этими точками, мы получим безмасштабную сеть, которую называют «полетом Леви» по имени ее первооткрывателя, французского математика Поля Леви[89]89
  О Леви см. Mandelbrot and Hudson (2004), р. 169–172.


[Закрыть].

Предположим, что мы ищем очки или сотовый телефон (хотя на сотовый по меньшей мере можно позвонить, если под рукой есть другой телефон. Сколько раз я жалел, что у моих очков нет телефонного номера!). Если позвонить невозможно, мы ищем телефон тем самым образом, который описал Леви. Безмасштабные полеты Леви применяют также пчелы и альбатросы, олени и ласточки, когда занимаются поисками пищи и, возможно, материалов для строительства гнезда.

Поль Леви описал этот поисковый алгоритм еще в 1930-х годах и доказал, что при некоторых условиях он соответствует оптимальному методу поиска. Дело в том, что эта стратегия минимизирует вероятность повторного осмотра уже пройденных участков и в то же время максимизирует число осматриваемых участков. Таким образом Леви доказал, что масштабная инвариантность может обладать теоретическими и даже практическими преимуществами. Он, правда, не называл это свойство масштабной инвариантностью или самоподобием, потому что в то время эти концепции еще не были открыты. Он просто выявил существование чрезвычайно особого параметра, который к тому же играет фундаментальную роль в науке Диконии.

Мыслительный процесс Леви весьма впечатлил Джона фон Неймана. Мандельброт пишет: «Джон фон Нейман, бывший позднее моим учителем, говорил мне: “Думаю, что теперь я понимаю, как работают все другие математики, но Леви похож на гостя с чужой планеты. Кажется, у него свои, глубоко личные способы постигать истину, и мне от этого становится неуютно”». Что же касается Леви, Мандельброт добавляет: «Впоследствии, когда я рассказал Леви, как развил его идеи и применил их к экономике, он был ошеломлен и, кажется, раздосадован. Он считал, что “настоящие” математики просто не должны заниматься столь прозаическими вещами, как изучение доходов или цен на хлопок»[90]90
  Ibid., р. 160–162.


[Закрыть].

Леви проложил путь в царство безмасштабных сетей, решив чисто математическую задачу, но прошло еще целых полвека, прежде чем эта концепция попала в мир естественно-научных исследований. Одна из интересных особенностей безмасштабных сетей состоит в том, что нам довольно хорошо понятен механизм их самопроизвольного возникновения. Альберт Ласло Барабаши и Река Альберт разработали для иллюстрации этого принципа чрезвычайно простую и изящную математическую модель и проверили ее на самых разных сетях реального мира, в том числе на сети голливудских актеров, связанных совместной работой в одних и тех же фильмах, на некоторых частях Всемирной паутины и на сети электроснабжения Соединенных Штатов. В каждом из этих случаев сети следовали предсказаниям их модели с весьма высокой точностью[91]91
  Barabási and Albert (1999).


[Закрыть].

Представим себе сеть, которая увеличивается шаг за шагом, причем вновь прибывшие предпочтительно соединяются с членами сети, присоединившимися к ней раньше всех; чем раньше человек примкнул к сети, тем больше вероятность, что следующий новичок окажется связан именно с ним. Это означает, что те, кто вошел в сеть раньше, обладают непрестанно растущим преимуществом в отношении числа связей по сравнению с теми, кто присоединился к сети позднее. Барабаши и Альберт доказали, что при некоторых условиях этого простого принципа бывает достаточно для образования безмасштабной сети. Тот же результат получается, когда некоторые элементы сети по какой бы то ни было причине оказываются предпочтительнее других. (К слову, ситуация становится более интересной и более сложной, если учитывать возможность существования сильных и слабых связей, – но здесь я не стану углубляться в этот вопрос.) Этот эффект, благодаря которому предпочтительное присоединение приводит к формированию безмасштабной сети, называется эффектом Матфея по библейскому стиху, гласящему: «…ибо всякому имеющему дастся и приумножится, а у неимеющего отнимется и то, что имеет…» (Мф. 25: 29)[92]92
  Эффект Матфея также мог бы называться эффектом Марка, потому что в Мк. 4: 25 говорится то же самое: «Ибо кто имеет, тому дано будет, а кто не имеет, у того отнимется и то, что имеет».


[Закрыть]. В переводе на более понятный язык это значит, что богатые становятся еще богаче, а бедные – еще беднее.

Помимо эффекта Матфея были обнаружены три других явления, которые могут вносить свой вклад в возникновение безмасштабных сетей[93]93
  См. Taleb (2010), гл. 14–17.


[Закрыть]. Первое из них – усложнение, которое обычно способствует появлению в сети модульной структуры, что, в свою очередь, может привести к масштабной инвариантности. Второе – процесс накопления, например знаний или капиталов. Третье – интенсивная конкуренция, пример которой можно найти в биологической эволюции, которой случалось приводить к появлению некоторых организмов с причудливыми свойствами. Хотя строгого доказательства, описывающего то, как именно любые из этих составляющих могут привести к возникновению масштабной инвариантности, пока нет, существуют некоторые логические рассуждения в пользу такого влияния, а также интуитивные представления о том, что усложнение, накопление и жесткая конкуренция вносят свой вклад в создание безмасштабных сетей как в природе, так и в человеческом обществе.

Масштабная инвариантность означает хаос: малейшие изменения начальных условий порождают огромные различия в развитии масштабно-инвариантной сети. Именно поэтому мы встречаем чрезвычайно богатое разнообразие природных и социальных сетей, хотя принципы, лежащие в их основе, сравнительно просты.

Еще в 1960-х годах американский социолог Марк Грановеттер исследовал, как люди занимаются поиском работы. Проанализировав сотни интервью и анкет, он обнаружил, к своему удивлению, что в большинстве своем люди находят работу не по газетным объявлениям и не через близких знакомых. Почти в 80 % всех случаев ключом к успеху оказывается человек, с которым соискатель знаком лишь поверхностно. В 1973 году Грановеттер опубликовал свою знаменитую ныне работу, озаглавив ее «Сила слабых связей» (The Strength of Weak Ties)[94]94
  Granovetter (1973).


[Закрыть]. Эта статья стала крупным «концентратором» в сети публикаций по социологии: ее цитируют около тридцати тысяч раз.

Барабаши выяснил, что это явление не ограничивается областью поисков работы. Более того, оно подчеркивает одно из самых загадочных свойств безмасштабных сетей: почти все многочисленные связи узловой вершины – это связи слабые. Как это ни парадоксально, именно эти слабые связи предотвращают распад сети.

В безмасштабных сетях сильные связи создают островки. Члены такого островка проводят бо́льшую часть времени с другими вершинами того же островка и могут быть почти полностью изолированы от остальной сети. Островки соединены с другими частями сети слабыми связями. В узле, содержащем множество островков, соединенных слабыми связями, именно эти слабые связи удерживают всю структуру в целости, не позволяя сети распасться. Поэтому, как чаще всего наблюдал Грановеттер, найти работу помогают человеку вовсе не близкие друзья. Близкие друзья в основном знакомы с теми же людьми, которых знает и сам соискатель, и в основном советуют поговорить с теми, к кому он уже обращался. Если бы у нас были только сильные связи, мы застряли бы в очень ограниченном мире.

Венгерский биохимик Петер Чермели в течение многих лет изучал белки стресса. Речь идет о белках, образующих одну из самых древних защитных систем организма. Когда какой-нибудь белок сворачивается неправильным образом, белки стресса разворачивают его, предоставляя ему еще одну возможность свернуться правильно. Поскольку белки могут принимать разные трехмерные формы, иногда они сворачиваются таким образом, что не могут выполнять свои функции. Чермели пишет: «Без белков стресса клетка была бы переполнена мусором, белками искаженной формы, вцепившимися друг в друга, как будто настает конец света». Главный вопрос, на который ответил Чермели, был таким: как белкам стресса удается оказаться там, где они нужны? Чермели продолжает: «Первые пять лет я обрушивал [на белки стресса] все то, к чему может прибегнуть биохимик. Я их изолировал, разрезал на части, поджаривал и вымачивал в кислоте, щелочи и радиоактивной жиже. Мне потребовалось пять лет, чтобы понять, что белки стресса не похожи на другие белки… Белки стресса не только скручиваются, но и прилипают, совсем не сильно, но одинаково ко всему»[95]95
  Csermely (2009), р. vii. Повторный перевод с оригинального венгерского издания, р. 9 (в опубликованном английском переводе эта фраза была передана с ошибкой).


[Закрыть].

Как это ни удивительно, ключ к пониманию принципов работы белков стресса нашелся не в биохимии, а в теории сетей. Белки стресса действуют как узлы безмасштабной сети. Эти белки обладают множеством слабых связей. Прочие белки, занятые выполнением своих конкретных физиологических функций, сильно связаны с несколькими другими, с которыми они и выполняют эти физиологические функции, и у них нет ни времени, ни сил на поддержание слабых отношений. Белки стресса подобны старым самкам в обществах приматов, которые вычесывают всю стаю, тем самым поддерживая ее связное единство.

Безмасштабные сети обычно стабилизируются слабыми связями, и стабильность такого типа характерна только для этих сетей. Именно она позволяет им оставаться в какой-то мере постоянными в течение долгого времени, даже если сеть разрастается настолько, что любая вершина оказывается непосредственно связана лишь с пренебрежимо малым участком всей сети. Именно благодаря слабым связям мегаполис с многомиллионным населением может функционировать как согласованное целое. Слабые связи позволяют сотне миллиардов нейронов человеческого мозга формировать логичные мысли. И вполне может быть, что именно слабые связи лежат в основе стремления к масштабной инвариантности как фундаментального принципа природы.

9
Уровни дикости

Существуют вещи более хаотические, чем хаос.

Представим себе, что мы живем в Стране миллиона озер. У нас есть озера разных размеров. Самое большое имеет в ширину 75 км. Ширина второго по величине озера – 45 км, следующего за ним – 30 км. Даже тысячное по размерам озеро имеет в ширину несколько сотен метров. Разумеется, есть и сотни тысяч мелких водоемов, имеющих всего несколько метров в поперечнике, но они нас не очень интересуют[96]96
  Ср. Mandelbrot and Hudson (2004), р. 242–244.


[Закрыть].

Все наши озера тщательно измерены и нанесены на карту. Мы знаем размеры каждого из них. Однако за границей, в Стране ста миллионов озер, лежит неразведанная территория. Она очень похожа на нашу страну, только в сто раз больше. Мы отправляемся в исследовательскую экспедицию, собираясь пересечь неизвестное озеро в этой неизведанной стране. Из-за тумана мы не видим противоположного берега, но отважно отправляемся в путь в своей маленькой гребной лодке. Мы считаем, что у нас достаточно сил и провизии. Крайне маловероятно, чтобы нам настолько не повезло при выборе озера, что оно окажется шириной 100 км, хотя в такой большой стране могут встречаться озера и крупнее. Зная озера своей родины, мы предполагаем, что даже если озеро окажется сравнительно большим (а это, может быть, и так, потому что мы все еще не можем разглядеть противоположного берега, хотя туман редеет), его ширина тем не менее вряд ли превышает 5 км, и пересечь его будет проще простого.

Идет время: мы проплыли уже 20 км, а противоположного берега все не видно. Слегка упав духом, мы на минуту перестаем грести, чтобы обдумать положение. Сколько нам еще осталось? Если мы настроены настолько пессимистично, что думаем, что мы, возможно, имеем дело с явлением вечной молодости – экстремальным проявлением Тихонии, – то следует ожидать, что нам остается преодолеть то же расстояние, на которое мы настраивались, когда начинали свой поход, – то есть еще 5 км.

Если мы действительно находимся в Тихонии, такая точка зрения будет крайне пессимистичной, потому что в Тихонии вечная молодость не встречается на каждом шагу; очень немногое в этом мире вечно остается молодым. Гораздо чаще тихонские существа стареют. В приложении к нашей ситуации это должно означать, что чем больше мы уже миновали, тем меньше нам, предположительно, остается. Такое положение вещей кажется гораздо более вероятным. Но в Диконии существуют вещи и намного более странные, чем вечная молодость. Если все же окажется, что мы в Диконии, то чем дальше мы уже уплыли, тем больше нам, предположительно, остается проплыть! Такой вариант совершенно не обрадует экипаж нашей маленькой лодки!

Поэтому, не без некоторого трепета, мы начинаем считать. Предположим, что распределение ширины озер в этой стране такое же, как в нашей, только генеральная совокупность их в сто раз больше. Возможно, это распределение уже было диконским, но мы этого не замечали, потому что знали все озера поименно.

По мере того как мы осознаем, что чем дольше мы гребем, тем дольше нам, вероятно, грести, нас охватывает уныние. Например, если бы нам довелось проплыть 30 км по одному из озер родной страны и мы бы все еще не видели противоположного берега, мы заключили бы, что находимся на одном из двух озер – только у двух ширина превышает 30 км. Значит, нам оставалось бы пройти либо 15 км, либо 45. Таким образом, в родной стране нам осталось бы плыть в среднем 30 км, а не пять, как мы предполагали изначально. Мы понимаем также, что в нашей стране это рассуждение справедливо не только в отношении двух крупнейших озер, но и в любой точке маршрута. Рассмотрев все знакомые нам озера, мы с грустью приходим к осознанию общего правила: если мы уже прошли x км, можно ожидать, что нам остается пройти еще x км.

Распределение озер в нашей стране имеет диконский характер в том смысле, что чем больше мы прошли, тем больше нам, вероятно, остается. Следовательно, мы сталкиваемся с ситуацией гораздо худшей, чем экстремальное тихонское явление вечной молодости, не только в таком походе в чужие края, но и – как мы теперь понимаем – у себя дома.

Поскольку географические условия в этой огромной стране, по сути дела, такие же, как в нашей, у нас есть все основания полагать, что и распределение озер в ней выглядит так же, но самих озер гораздо больше. Чем дальше мы ушли, тем большее расстояние следует считать еще не пройденным. Но насколько большее? На что мы можем рассчитывать здесь, в стране огромных размеров, если, даже проплыв 75 км, мы все равно не видим берега?

Мы знаем, что дома, преодолев такое расстояние, мы должны были бы достигнуть берега, а если мы его не видим, значит, нам пора побеспокоиться о собственном душевном здоровье. Но в Стране ста миллионов озер ничто не гарантирует, что самое крупное озеро имеет в ширину всего 75 км. В такой огромной стране могут встречаться озера шириной в сотни и даже тысячи километров. Оказавшись в этой глуши, мы вынуждены заключить: нам следует ожидать, что до конца пути еще 75 км. А если мы проплывем еще 75 км и все еще не увидим берега, нам придется предположить, что до него остается еще 150 км.