Текст книги "Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни"

Связи между шорткатами

Я не могу противостоять искушению прибавить к этой истории небольшой эпилог, в котором пожинаются плоды проделанной ранее тяжелой работы. Моя исходная стратегия вычисления количества способов подъема на вершину лестницы привела меня к вопросу о способах выбора 3 предметов из 7. На самом деле математики уже нашли хитроумный метод, укорачивающий путь к вычислению этих вариантов. Он называется треугольником Паскаля (хотя, как и в случае Фибоначчи, оказывается, что первым его открыл вовсе не Паскаль: это заслуга древних китайцев).

Рис. 1.5. Треугольник Паскаля

Треугольник этот строится по правилу, похожему на правило Фибоначчи, но в этом случае каждый элемент нижележащего ряда вычисляется как сумма двух элементов, расположенных над ним. Используя это правило, построить треугольник легко, но замечательнее всего то, что он содержит все те интересные числа, которые я искал. Предположим, я заведую пиццерией и хочу похвастаться количеством разных пицц, которые у меня можно заказать. Если мне нужно узнать число вариантов выбора 3 начинок из 7 возможных, я беру (3 + 1) – е число в (7 + 1) – м ряду треугольника: 35. Этот шорткат показывает мне, что я могу приготовить 35 разных пицц. В общем случае выбора m предметов из n нужно найти (m + 1) – е число в (n + 1) – м ряду[22]22
  Числа, образующие треугольник Паскаля, – это упомянутые выше биномиальные коэффициенты C^m_n. Вот их общая формула:


[Закрыть]. Но, поскольку именно эти числа давали одно из решений нашей задачи с лестницей, значит, в треугольнике Паскаля есть и числа Фибоначчи. Они получаются при сложении чисел по диагоналям треугольника.

Рис. 1.6. Числа Фибоначчи, треугольные числа и степени двух в треугольнике Паскаля

Связи такого рода – одна из тех вещей, которые я особенно люблю в математике. Кто бы мог подумать, что в треугольнике Паскаля прячутся числа Фибоначчи? Однако, рассмотрев нашу головоломку двумя разными способами, я нашел тайный туннель, шорткат, соединяющий эти, казалось бы, совершенно разные уголки математического мира! А кроме того, оказывается, что в треугольнике спрятаны еще и треугольные числа и степени двойки. Треугольные числа находятся на одной из диагоналей треугольника, а степени двух получаются суммированием всех чисел каждого ряда. В математике полно таких странных туннелей, открывающих перед нами шорткаты, которые мы можем использовать для превращения одних объектов в другие.

Обнаружение паттернов в данных нужно не только для решения занятных задачек о способах подъема по лестницам и тому подобном. Оно является ключевым элементом предсказания развития Вселенной, и Гаусс убедился в этом, когда предсказал траекторию движения Цереры. Это жизненно важный фактор понимания изменений климата. Оно играет центральную роль в помощи компаниям, пытающимся разобраться в неопределенностях будущего. Возможно, оно даже может дать нам некоторые представления о ходе истории человечества. В наше невероятно богатое данными время в интернете каждый день производится один эксабайт (10¹⁸ байт) данных. Это огромное количество чисел, требующих анализа. Но, если заметить в них паттерн, можно найти шорткат к ориентации в этом колоссальном цифровом мире.

Шорткаты на основе паттернов сводятся к выявлению правил или алгоритмов, лежащих в основе производства данных, в которых вы хотите разобраться. Шорткаты этого типа продолжают работать, даже когда масштабы задачи, казалось бы, неконтролируемо увеличиваются. Лестница может становиться все длиннее и длиннее, но шорткат по-прежнему приводит к ответу.

Однако паттерны касаются не только чисел. Во многих областях жизни есть паттерны, которые мы можем использовать для переноса понимания из одной дисциплины в другую. Например, понимание паттернов музыки – важнейшая часть обучения игре на музыкальных инструментах. Всемирно известная виолончелистка Натали Клейн считает, что паттерны музыкальных произведений помогают ей предсказывать направление, в котором может развиваться та или иная пьеса, еще до того, как она дочитает нотную запись.

В дальнейшем у меня будет возможность поговорить о шорткатах в психотерапии со Сьюзи Орбах. Оказывается, она использует множество паттернов человеческого поведения. Она может опираться на паттерны, о которых узнала в процессе работы с предыдущими пациентами, в помощи новым обращающимся к ней пациентам. Но люди – существа несколько более беспорядочные и своеобразные, чем числа, так что с этими паттернами, о которых расскажет Орбах, следует обращаться с осторожностью. Лучше всего паттерны работают, когда мир выражается в числах, что все чаще и чаще происходит в нашем цифровом мире. Наши цифровые отпечатки все в большей степени преобразуют наше человеческое поведение в числа. Стоит найти в этих числах паттерн, и перед вами открывается шорткат к возможности предсказания будущих действий человека.

Шорткат к шорткатам

Обнаружение паттернов – это поразительный шорткат к пониманию будущего. Если вы обнаружите паттерн в биржевых курсах, это может дать вам преимущество, когда вы займетесь инвестициями. Где бы вы ни сталкивались с числами, ищите в данных скрытые паттерны. Но паттерны бывают не только в числах. Они есть и у людей. Если вы заметите паттерн в ударах своего противника по игре в теннис, вы будете готовы к его следующему обводящему удару. Если вы поймете паттерны в пищевых привычках посетителей своего ресторана, вы сможете кормить их, не производя чрезмерного количества отходов и не создавая запасов невостребованной еды. Выискивание паттернов было основополагающим шорткатом человечества с тех самых пор, как мы начали делать первые шаги из своей саванны.

Пит-стоп: Музыка

Несколько лет тому назад я решил научиться играть на виолончели. Но это дело оказалось более долгим, чем я надеялся, так что я активно ищу хитрые шорткаты, которые могли бы мне помочь. Если математика – наука паттернов, то музыка – это искусство паттернов. Не может ли все дело быть в успешном использовании этих паттернов?

Виолончель – не первый инструмент, на котором я учился играть. В том же году, когда мистер Бейлсон рассказал нам историю о юном Гауссе, учитель музыки нашей общеобразовательной школы спросил, кто из нашего класса хочет научиться играть на каком-нибудь музыкальном инструменте. Руки подняли три человека. В конце урока учитель отвел нас в кладовку при кабинете музыки. В ней не было практически ничего, кроме трех труб, составленных в стопку. Поэтому все трое стали играть на трубе.

Я не жалею об этом выборе. Труба – чудесный, многосторонний инструмент. Я набил руку, играя в духовом оркестре нашего городка, играл в окружном оркестре и даже немного пробовал свои силы в джазе. Но, тихо сидя в оркестре и считая про себя такты в ожидании следующего вступления труб, я смотрел на сидевших на авансцене виолончелистов, которые, как мне казалось, играли все время. Должен признаться, мне было немного завидно.

Теперь, уже взрослым, я решил потратить те небольшие деньги, которые завещала мне крестная, на покупку виолончели. На остатки от этой суммы я собирался брать уроки. Но меня несколько беспокоило, удастся ли мне научиться играть на новом инструменте во взрослом возрасте. В детстве меня не волновало, что на обучение музыке уходит много времени. Я учился в школе, впереди были еще многие годы учебы. Но, когда мы взрослеем, лет впереди остается меньше, и мы становимся гораздо более нетерпеливыми. Я хотел играть на виолончели прямо сейчас, а не через семь лет. Есть ли какой-нибудь шорткат к игре на музыкальном инструменте?

Книга «Гении и аутсайдеры»[23]23
  Русское издание: Гладуэлл М. Гении и аутсайдеры: Почему одним все, а другим ничего / Пер. с англ. О. Галкина. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2019.


[Закрыть] (2008) Малкольма Гладуэлла популяризировала теорию, гласящую, что достижение мастерства в любой области требует по меньшей мере 10 000 часов упражнений. Там было высказано спорное заявление, что этого может быть достаточно для достижения международного признания в своей области, хотя исследователи, на результатах которых оно было основано, заявили, что их результаты истолковали неверно. Но неужели не существует никакого шортката, который позволил бы мне выступать с исполнением виолончельных сюит Баха, не тратя 10 000 часов на упражнения? Если заниматься по часу в день, эти упражнения заняли бы 27 лет!

Я решил обратиться к одной из своих любимых виолончелисток всех времен, Натали Клейн. Клейн впервые привлекла внимание мировой публики в 1994 году, когда стала одной из самых молодых победителей престижного конкурса «Молодой музыкант года», проводимого телерадиокомпанией Би-би-си; там она исполняла концерт для виолончели Элгара. Каков же был ее путь к всемирной славе?

Натали начала играть на виолончели в шесть лет, но всерьез стала заниматься этим инструментом на несколько лет позже. «К четырнадцати или пятнадцати, – рассказала она мне, – я старалась заниматься от четырех до пяти часов в день. Некоторые работают гораздо больше. Есть дети, которые в шестнадцать лет упражняются часов по восемь в день. Есть коллеги, скажем, из России или дальневосточных стран, где работать в таком режиме с жесткой дисциплиной начинают гораздо раньше, чем у нас на Западе».

Этот уровень дисциплины, объяснила Клейн, был нужен для закрепления двигательной памяти и точности, которых требует владение инструментом: «Несомненно, есть минимальное число часов, которое нужно потратить, когда учишься играть на инструменте, по три-четыре часа в день в подростковом возрасте. Это необходимо, потому что иначе физически невозможно добиться нужной механики движений». Взять, например, Яшу Хейфеца. Хейфец был одним из величайших скрипачей в истории. Известно, что бо́льшую часть своей жизни он каждое утро упражнялся, играя гаммы – в общей сложности несколько тысяч часов одних лишь гамм.

В этом отношении виолончелисты подобны спортсменам. Невозможно пробежать марафон или победить в спринтерском забеге на 100 метров без многочасовых тренировок. Эта настройка тела и разума, дающая возможность быстро играть музыкальные фразы, требует самого обычного повторения. Я знаю по собственному опыту, что некоторые пьесы я могу научиться играть, только повторяя фразы снова и снова, чтобы тело почти что знало, что́ ему делать, без участия мозга.

Но Клейн настойчиво подчеркивала, что одного лишь упорного труда мало. «Важно, что именно ты повторяешь, – говорит она. – 10 000 часов упражнений – дело хорошее, но это обязательно должны быть 10 000 часов того, что нужно. Их нельзя просто отработать. Как я говорю своим ученикам, в эти 10 000 часов должны быть вовлечены разум, тело и душа».

Может показаться, что упорные упражнения – вовсе не шорткат, но это не так. Как часто мы тратим время впустую, потому что делаем что-то неправильно или не стараемся прилагать максимум усилий или просто не понимаем, зачем мы тратим на то, чем занимаемся, столько времени?

Когда речь заходит о действенных упражнениях, часто говорят о так называемом потоке. Поток – это термин, который венгерский психолог Михай Чиксентмихайи ввел в 1990 году для описания психологического состояния, в котором мы полностью погружены в то, чем занимаемся. Он писал: «…лучшие моменты нашей жизни… приходят к нам не в состоянии расслабленности или пассивного созерцания… наилучшие моменты обычно случаются, когда тело и разум напряжены до предела в стремлении добиться чего-то трудного и ценного»[24]24
  Из книги «Flow: The Psychology of Optimal Experience» (1990), цит. по: Чиксентмихайи М. Поток: Психология оптимального переживания / Пер. с англ. Е. Перовой. М.: Смысл: Альпина нон-фикшн, 2011.


[Закрыть]. Поток существует на стыке высочайшего мастерства и чрезвычайной трудности. Если вам не хватает мастерства, а вы пытаетесь сделать нечто слишком трудное, вы впадаете в состояние тревоги. Если некое дело оказывается слишком легким для вашего уровня мастерства, вам, вероятно, становится скучно. Но, если у вас есть и мастерство, и задача соответствующего уровня трудности, вы можете достичь состояния потока или «оказаться в зоне». Всем нам хотелось бы достичь этого состояния; многие пишут инструкции по методам попадания в поток, рекомендуя медитации, специальное потоковое звуковое сопровождение, пищевые добавки, психические триггеры потока, кофеин…

Но Клейн относится к таким средствам быстрого достижения результатов скептически. «К потоку не бывает шорткатов, – говорит она. – Чтобы нарушать правила, их сначала нужно выучить, и ощущение освобождения, которое приводит в поток, приходит именно тогда, когда эти правила нарушаешь. В состояние вдохновения приводит дисциплина».

Хотя шорткатов, позволяющих избежать физического обучения музыканта, и не существует, я все же думаю, что исполнители тратят столько времени на упражнения, занимаясь гаммами или арпеджио, именно потому, что это создает шорткаты, которые выручают их во время выступлений. Если вы видите в партитуре последовательность нот, соответствующую гамме или арпеджио, вам незачем читать каждую ноту. Вместо этого вы можете прибегнуть к шорткату, на изучение которого вы уже потратили множество часов.

Шорткатов к освоению навыков тонкой моторики, необходимых для высококлассного музыканта, не существует, но, возможно, есть шорткаты для разучивания новых пьес. Клейн посоветовала мне работы музыковеда Генриха Шенкера. На самом деле я уже встречался с трудами Шенкера раньше, хотя и в другом контексте. Специалисты по информатике использовали его идеи в попытках запрограммировать искусственный интеллект (ИИ) на сочинение правдоподобных музыкальных произведений. Цель анализа по Шенкеру состоит в выявлении фундаментальной структуры, лежащей в основе музыки, так называемого урзаца, чем-то похожего на паттерны, лежащие в основе числовых последовательностей. Системы ИИ, генерирующие музыку, пытаются обратить этот процесс – начать с урзаца и нарастить на нем музыкальную «плоть». Но Клейн считает, что такой анализ дает ей более рациональный способ освоения музыкальных пьес, которые она разучивает.

«Он упрощает, упрощает и упрощает, пока не получит самую простую формулу, позволяющую понять произведение, – говорит она. – Это можно назвать шорткатом к пониманию структуры музыкальной пьесы. Речь идет о макро-, а не о микропредставлении».

Оказывается, паттерны входят в набор инструментов музыканта, когда он разбирается в сложностях музыкального произведения. Я спросил, не может ли это быть полезным шорткатом к заучиванию музыкальных сочинений? Выявление основополагающей структуры последовательности чисел дает мне шорткат, избавляющий от необходимости заучивать информацию механическим повторением. Сама Клейн запоминает концерты, снова и снова репетируя их исполнение, пока очередная пьеса не закрепляется в ее двигательной памяти. Но для других музыкантов паттерны могут играть важную роль. Клейн сказала мне: «У меня есть друг, Вадим Холоденко. Он своего рода гений. Я видела, как он днем прочитывает пьесу, которую до этого слышал раз или два, а тем же вечером исполняет ее на концерте, и делает это лучше, чем большинство других музыкантов, которые работали над ней три месяца. Он видит крупные формы и абсолютно уверен, что у него все получится, и тогда оставшиеся пробелы заполняются. Он, несомненно, видит макрокартину и верит в макро больше, чем в микро, это уж точно».

Мой преподаватель виолончели научил меня еще одному интересному шорткату для разучивания новых произведений. Часто бывает так, что один и тот же пассаж можно сыграть на виолончели несколькими способами, потому что одну и ту же ноту можно сыграть на разных струнах. Первый и самый очевидный способ сыграть какую-нибудь ноту часто оказывается нерациональным, и в результате рука играющего прыгает по всему инструменту. Но, если мыслить более стратегически, можно найти альтернативные способы исполнения пассажей, при которых вам не нужно все время передвигать руку то вверх, то вниз. Разработка способа исполнения произведения может быть своего рода головоломкой: как лучше всего расположить пальцы на струнах, чтобы сыграть пьесу с наименьшими затратами сил?

Клейн тоже так считает: «Иногда я играю очень изобретательно. Мне кажется, меня никто этому не учил, но мне самой показалось, что было бы очень полезно научиться побольше работать большим пальцем. Это мне очень помогло. Есть еще несколько виолончелистов, которые делают так же, начиная с великого виолончелиста Даниила Шафрана. Я думала, что это мое изобретение, но на самом деле это не так. Все сводится к решению задач. Чем острее задача, тем более творческим может быть ее решение».

Однако, несмотря на все эти полезные способы работать с музыкой, в сущности, по мнению Клейн, в том, чем она занимается, не бывает шорткатов: «Для того, кто хочет стать профессиональным виолончелистом, особенно заниматься сольными выступлениями, получить известность, ощущать, что твою работу внимательно изучают, – ничего такого нет. Никаких шорткатов. И именно это мне и нравится. Как известно, Пабло Казальс упражнялся всю жизнь, и когда ему было девяносто пять, его спросили: “Маэстро, почему вы все еще продолжаете упражняться?” – и он ответил: “Потому что мне кажется, что у меня наконец начинает что-то получаться. Я совершенствуюсь”. По-моему, именно это побуждает продолжать работать. Нужно много тяжелого труда, и легче не становится. Чтобы работать всю жизнь, нужно увлекаться своим делом. Невозможно достичь самой высокой вершины».

Именно поэтому многих специалистов не слишком беспокоят шорткаты. Клейн сказала мне: «Идея шортката кажется привлекательной в краткосрочной перспективе, но не в долгосрочной. Я думаю, если бы было много шорткатов, задачи не казались бы нам такими же интересными».

Я признаю, что между стремлением достичь цели и легкостью, с которой это можно сделать, есть некое противоречие. Если задача оказывается слишком легкой, ее решение не приносит удовлетворения. И все же я не хочу заниматься бездумной, монотонной работой. Самое большое удовольствие я получаю именно от тех шорткатов, которые открываются после того, как я некоторое время топчусь на месте, не зная, удастся ли мне вообще добраться до цели. Выбросы адреналина в те моменты, когда становится виден хитроумный путь к решению, – это моя страсть, которая разгоралась по мере совершенствования моего математического мастерства. Но в том, что касается виолончели, я понимаю: хотя некоторые паттерны могут быть полезны, никаких шорткатов, избавляющих от тяжелой работы, тут не существует.

2
Шорткаты вычислительные

Вы – бакалейщик и хотите взвешивать товары от 1 до 40 килограммов на простейших равноплечных весах. Каково минимальное число гирь, необходимых для этого, и какого они должны быть номинала?

Удобный шорткат для выражения какой-нибудь идеи бывает мощным средством ускорения мысли. Тот способ, которым я могу выразить концепцию миллиона при помощи всего лишь семи символов – 1000000, – кажется мне само собой разумеющимся. Но в этих семи символах скрыта целая история поразительно интересных шорткатов, помогающих рационально разбираться в числах и вычислять. В течение всей истории человечества – и даже сейчас, если речь идет о коммерции, строительстве или банковском деле, – те, кому удавалось вычислить ответ быстрее и рациональнее, чем конкурентам, получали преимущество. В этой главе я хочу рассказать о некоторых хитроумных способах, которые мы изобрели для работы с числами и вычислений. Интересно отметить, что эти шорткаты могут быть действенными стратегиями даже там, где речь идет вовсе не о числах.

Многие думают, что раз я работаю в области фундаментальной математики, я, наверное, занимаюсь делением в столбик, вычисляя множество знаков после запятой. Неужели мое рабочее место еще не занял электронный калькулятор? Такое ошибочное представление, что математики – это такие сверхвычислители, встречается часто. Но это вовсе не значит, что в моей работе нет вычислений. Многие изощренные математические темы начинались с задач, требовавших изобретения хитроумных арифметических методов, – как это было с шорткатом, который нашел в школе Карл Фридрих Гаусс. Существует богатая история шорткатов, которые открыли люди, пытавшиеся считать более рационально. Даже калькуляторы, которыми мы пользуемся сегодня, были запрограммированы с учетом некоторых из наиболее удачных шорткатов, придуманных на протяжении многих лет математиками.

Мы привыкли считать компьютеры всемогущими устройствами, способными сделать что угодно. Но возможности компьютеров тоже небезграничны. Взять хотя бы задачу о сложении чисел до 100, которую решал Гаусс. Разумеется, компьютер справится с ней без всякого труда. Однако бывают числа, слишком большие даже для компьютера. Если попросить его сложить все числа, меньшие такого числа, он зависнет. В целом компьютерам по-прежнему нужны люди, придумывающие шорткаты, которые, будучи вставлены в компьютерные программы, позволяют машинам делать больше и быстрее. В этой главе я расскажу о довольно поразительном применении одной на первый взгляд заумной математической идеи – мнимых чисел, – открывшем очень важный шорткат, который позволяет компьютерам решать множество самых разных задач, в том числе сажать самолеты достаточно быстро, чтобы они не сталкивались в воздухе.