Текст книги "Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни"

3
Шорткаты языковые

Одна из песен, которые я больше всего люблю петь на зимних праздниках, – это «Двенадцать дней Рождества». «В первый день Рождества мне шлет моя любовь… куропатку на грушевом дереве». В каждый следующий день подарки предыдущих дней повторяются с добавлением следующих:

1-й день: 1 куропатка

2-й день: 1 куропатка + 2 голубки

3-й день: 1 куропатка + 2 голубки + 3 курочки

…и так далее.

Сколько же всего подарков пошлет мне моя любовь к двенадцатому дню Рождества?

Один из самых действенных шорткатов, которые я открыл, занимаясь математикой, – это подбор правильных слов для разговора о задаче. Суть дела очень часто бывает замаскирована словами, не позволяющими увидеть, о чем на самом деле идет речь. Когда находишь другой способ сформулировать задачу, выражаешь головоломку по-другому, решение внезапно становится гораздо более ясным. Иногда перевод в другие слова помогает увидеть скрывающиеся за числами странные корреляции в статистике продаж какой-нибудь компании. Значительная часть нашей жизни – игра, но преобразование этой игры в другую, в которую вы умеете выигрывать, может дать вам сильнейшее преимущество. Одним из самых волнующих открытий в то время, когда я учился математике, было открытие того, как словарь, переводящий с языка геометрии на язык чисел, способен открыть шорткат в гиперпространство – многомерную вселенную, исследованию которой и посвящена с тех пор моя профессиональная деятельность в математике.

В науке и вне ее есть все больше концепций, которых, как нам кажется, даже не существует, если мы не найдем правильные способы их описания. Один из таких примеров дает концепция эмерджентных явлений – что свойства целого порождаются его составляющими частями. Например, трудно понять, что вода мокрая, если рассматривать отдельные молекулы H₂O. Хотя наука, по-видимому, предполагает, что все что угодно можно свести к поведению таких фундаментальных частиц и уравнениям, определяющим их поведение, этот язык совершенно не подходит для описания явлений. Миграцию стаи птиц невозможно выразить уравнениями, описывающими движение атомов, из которых эти птицы состоят. Макроэкономические явления редко становятся понятны, если использовать только язык микроэкономики. Нельзя понять, как рост учетных ставок влияет на инфляцию, на языке отдельных товаров, хотя причиной макроэкономических явлений и являются микроэкономические изменения. Даже наши концепции свободы воли и сознания невозможно полноценно выразить в терминах нейронов и синапсов.

Переход на другой язык в описании эмоционального состояния человека может радикально изменить его чувства. Вместо слов «я тоскую», которые, как кажется, помещают вас в жесткую формулу, привязывающую вас к грусти, можно сказать «у меня тоска», и внезапно появляется возможность, что тоска вас покинет. Американскому психологу XIX века Уильяму Джеймсу приписывают такие слова: «Величайшее открытие моего поколения состоит в том, что человек может изменить свою жизнь, изменив свой умственный настрой». Но могущественное воздействие языка затрагивает не только личность. Язык играет важнейшую роль в социальном построении реальности. Общество может порождать объекты, называя их. Концепция национального государства основывается на словах в той же мере, что и на географическом положении или человеческом сообществе.

Иногда смена языка приводит к тому, что идеи, трудно поддающиеся выражению на одном языке, вполне могут быть высказаны на другом. Тот факт, что в немецком языке у существительных есть род, позволяет создавать игру слов, невозможную в английском. Поэт Генрих Гейне написал стихотворение о любви покрытой снегом сосны к опаленной зноем пальме Востока. По-немецки сосна (Fichtenbaum) мужского рода, а пальма – женского, но в английском переводе этот нюанс теряется[38]38
  Потому что у английских существительных нет грамматического рода. Интересно отметить, что этот нюанс теряется и в самом известном русском переводе этого произведения, стихотворении «На севере диком стоит одиноко…» М. Ю. Лермонтова (1841), хотя в русском языке грамматический род вполне существует. Зато, например, в переводах Ф. И. Тютчева («На севере мрачном, на дикой скале…», 1827) и А. А. Фета («На севере кедр одинокий…», 1841) сосна заменена кедром – возможно, именно ради его мужского рода.


[Закрыть]. Иногда что-то теряется и при переводе в обратную сторону. По-английски можно сказать his car and her car (его машина и ее машина), но во французском переводе системы Google Translate начинается путаница – sa voiture et sa voiture, – потому что во французском важнее оказывается род машины, а не ее владельцев. В русском языке есть по особому названию для всех видов снега и дождя, какие только можно вообразить. В некоторых языках всего пять слов для обозначения цветов, а в английском их множество. Я уже говорил, насколько важно для меня понятие паттерна (pattern); однако, когда я пытаюсь перевести это слово на французский, оказывается, что в этом языке нет слова, у которого были бы все те многочисленные смысловые грани, которые есть у английского.

Роль различий между языками чрезвычайно интересовала и моего героя, Карла Фридриха Гаусса. В школе он поражал учителей успехами в латыни и молниеносным пониманием классических литературных трудов. Более того, когда Гаусс начинал учиться на деньги, которые выделил герцог Брауншвейгский, он чуть было не выбрал вместо курса математики курс классической филологии.

Маршрут, по которому пролегал мой собственный путь к математической профессии, был довольно похожим. В детстве я хотел стать разведчиком и считал, что знание языков будет важным навыком, который позволит мне общаться с коллегами – агентами разведки – во всем мире. Я записывался на уроки по всем языкам, которые преподавали в моей общеобразовательной школе, – французскому, немецкому, латыни. Я даже начал изучать русский, благо по Би-би-си передавали уроки русского. Но, в отличие от Гаусса, освоение этих языков давалось мне нелегко. Я не мог продраться сквозь неправильные глаголы и причудливое правописание. Мечты о карьере разведчика казались все менее реалистичными, и это приводило меня в совершеннейшее отчаяние.

Только когда мой учитель мистер Бейлсон дал мне почитать книгу под названием «Язык математики»[39]39
  Книг с такими – или близкими – названиями существует несколько, но в данном случае речь, видимо, идет о книге Land Frank William. The Language of Mathematics. Ее первое издание вышло в 1960 г.


[Закрыть], я начал понимать, что математика – тоже язык. Я думаю, он не только видел, что я жажду найти язык без неправильных глаголов, в котором все правильно и логично, но и понимал, что меня не сможет не увлечь способность этого языка описывать окружающий меня мир. Из этой книги я узнал, что математические уравнения могут рассказывать историю движения планет в ночном небе, что симметрия может объяснить форму пузырьков, пчелиных сот или цветков, что числа позволяют понять гармонию музыки. Для описания Вселенной нужно было учить не русский, не немецкий, не английский, а математику. А еще я узнал из «Языка математики», что математика – это не один язык, а множество языков и прекрасное средство создания словарей, переводящих с одного языка на другой для создания новых языковых шорткатов.

История математики помнит множество великолепных моментов такого рода.

Математическая грамматика

Объяснение многих из паттернов, которые я показывал вам до этого момента, опирается на поразительный математический шорткат – алгебру. Секрет алгебры заключается в том, что она позволяет перейти от частного к общему. Это означает, что при рассмотрении каждого конкретного случая не требуется прокладывать новый путь. Можно не рассматривать по отдельности каждое число, а взять букву х и объявить, что она обозначает любое число.

Позвольте показать вам маленький фокус: задумайте число. Удвойте его. Прибавьте 14. Разделите результат на 2. Вычтите число, которое вы задумали с самого начала. Я гарантирую, что теперь у вас получилось число 7. Мы использовали этот фокус в начале пьесы «Исчезающее число», авторов которой я консультировал. Пьеса рассказывала о сотрудничестве индийского математика Сринивасы Рамануджана с кембриджским математиком Г. Г. Харди. Меня всегда поражало, в какое изумление этот фокус каждый вечер приводил публику – как будто мы волшебным образом читали мысли зрителей. На самом деле тут, разумеется, работает не волшебство, а математика. Ключ к пониманию того, каким именно математическим трюком вас обманули, заключается в идее алгебры.

Алгебра – это грамматика, лежащая в основе поведения чисел. Она чем-то похожа на программный код: алгебра работает независимо от того, какие числа вы вводите в программу.

Алгебру разработал руководитель багдадского Дома мудрости Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Дом мудрости, основанный в 810 году, был главным интеллектуальным центром своего времени и привлекал со всего мира ученых, изучавших астрономию, медицину, химию, зоологию, географию, алхимию, астрологию и математику. Исламские ученые собрали и перевели множество античных текстов, чем, по сути дела, сохранили их для потомства. Без них мы, возможно, ничего не знали бы о древних культурах Греции, Египта, Вавилона и Индии. Однако ученые, работавшие в Доме мудрости, не удовольствовались одними лишь переводами математических трудов, написанных другими. Они хотели создавать свою собственную математику. Именно это стремление к новым знаниям и привело к созданию языка алгебры.

Вы, вероятно, можете находить алгебраические паттерны и самостоятельно, даже не осознавая, что занимаетесь алгеброй. В детстве, запоминая таблицу умножения, я начал замечать некоторые любопытные паттерны, скрывающиеся за этими расчетами. Например, спросите себя, сколько будет 5 × 5. А потом посмотрите на 6 × 4. Есть ли между этими ответами какая-нибудь связь? Теперь возьмите 6 × 6 и 5 × 7. А потом 7 × 7 и 6 × 8. Надеюсь, вы уже заметили, что второй ответ каждый раз меньше первого на единицу.

Выявление таких паттернов помогало мне превращать скучное заучивание таблицы умножения в нечто чуть более интересное. Эти паттерны открыли мне шорткат в обход зубрежки, часто требуемой в школе. Но действует ли этот паттерн всегда? Если я возведу в квадрат произвольное число, будет ли результат всегда на единицу больше произведения чисел, стоящих по обе стороны от исходного?

Я попытался описать этот паттерн словами, но в IX веке в Ираке был создан новый математический язык – язык алгебры, – позволяющий выразить ее более ясно. Пусть х – произвольное число. Тогда результат возведения х в квадрат будет на 1 больше, чем произведение (х – 1) на (х + 1). Или, если написать алгебраическую формулу,

x² = (x – 1)(x + 1) + 1.

Такой алгебраический язык также позволил математикам показать, почему этот паттерн остается справедливым, какое бы число вы ни выбрали. Если раскрыть скобки в выражении (х – 1)(х + 1), получится х² – х + х – 1 = х² – 1. Прибавим к этому 1 и получим просто х².

Этот же подход – использование x вместо произвольного числа – позволяет понять и тот простой фокус, в котором вы получили число 7. Нужно всего лишь перевести операции на язык алгебры.

Задумайте число: x.

Удвойте его: 2 x.

Прибавьте 14: 2 x + 14.

Разделите на 2: x + 7.

Вычтите исходно задуманное число: x + 7 – x = 7.

И у вас действительно получается число 7.

Суть в том, что это работает всегда, какое бы число вы ни задумали, – даже если вы решили схитрить и задумали мнимое число! Вот еще один фокус, которому научил меня мой друг, математический фокусник Артур Бенджамин. Ключ к пониманию механизма этого фокуса дает алгебра. Бросьте две игральные кости. Перемножьте два выпавших числа. Перемножьте числа, оказавшиеся на нижних гранях костей. Затем умножьте верхнее число первой кости на нижнее число второй. А потом нижнее число первой кости на верхнее число второй. Наконец, сложите все четыре полученных числа. Результат всегда будет равен 49. Бенджамин использует здесь то удобное обстоятельство, что числа на противоположных гранях игральной кости всегда дают в сумме 7. В сочетании с небольшими алгебраическими выкладками из этого следует, что ответ всегда равен 49, то есть 7 в квадрате.

x × y + (7 – x) × (7 – y) + x × (7 – y) + y × (7 – x) = 7 × 7 = 49

Но алгебра пригодилась не только для фокусов. Она положила начало огромной волне новых открытий. Теперь в распоряжении математиков были не только слова, но и понимание грамматики, позволявшей им соединять эти слова. Алгебра дала нам язык, пригодный для описания устройства Вселенной.

Вот что говорил о могуществе алгебры Лейбниц: «Этот метод избавляет от труда разум и воображение, которые мы прежде всего должны экономить. Он позволяет нам рассуждать ценой небольших усилий, используя буквы вместо сущностей для облегчения бремени, которое ложится на воображение».

Свет в темном лабиринте

Одним из первых осознал значение этого языка для расшифровки тайн природы итальянский ученый XVI века Галилео Галилей. Именно ему принадлежит следующее знаменитое изречение: «Философия написана в той величественной Книге (я имею в виду Вселенную), которая всегда открыта нашему взору, но читать ее может лишь тот, кто сначала освоит язык и научится понимать знаки, которыми она начертана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых нельзя понять ни единого из стоящих в ней слов и остается лишь блуждать в темном лабиринте»[40]40
  Цит. по: Галилей Г. Пробирных дел мастер / Пер. с ит. Ю. А. Данилова. М.: Наука, 1987.


[Закрыть].

Одной из историй Вселенной, которую он хотел прочитать, было понимание того, как предметы падают на землю. Есть ли какое-нибудь правило, определяющее падение той или иной вещи на землю или продолжение ее полета в воздухе? Сбор данных о предметах, падающих с высокого здания, был делом сложным, так как предметы обычно падают слишком быстро. Галилей придумал удобный способ замедлить этот эксперимент, чтобы успеть собрать нужные данные. Можно было не бросать предметы, а изучать, как шар скатывается по наклонной плоскости. Этот процесс был достаточно медленным и позволял ему отмечать положение катящегося шара каждую секунду.

Наклонная плоскость должна была быть достаточно гладкой, чтобы трение не замедляло движения шара. Галилей хотел получить максимальное приближение к условиям падения того же шара. Когда он изготовил такую гладкую поверхность и начал записывать расстояния, на которые шар перемещался за каждую секунду, он обнаружил очень простой паттерн. Если за первую секунду шар сместился на 1 единицу расстояния, за следующую он проходил уже 3 единицы. За секунду после этого – 5 единиц. С каждой следующей секундой шар набирал все большую скорость и перемещался на все большее расстояние, но длины участков, которые он проходил, попросту соответствовали последовательности нечетных чисел.

Когда Галилей подсчитал суммарное расстояние, пройденное за некоторое время, ему открылась и тайна падения предметов на землю.

Суммарное расстояние, пройденное за 1 секунду, – 1 единица.

Суммарное расстояние, пройденное за 2 секунды, – 1 + 3 = 4 единицы.

Суммарное расстояние, пройденное за 3 секунды, – 1 + 3 + 5 = 9 единиц.

Суммарное расстояние, пройденное за 4 секунды, – 1 + 3 + 5 + 7 = 16 единиц.

Вы уже заметили паттерн? Суммарное расстояние всегда равно полному квадрату. Но какое отношение нечетные числа имеют к числам квадратным? Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем перевести числа на язык геометрии.

Рис. 3.1. Связь квадратных и нечетных чисел

Выкладывая очередное нечетное число по краям предыдущего квадрата, я получаю все бо́льшие и бо́льшие квадраты. Связь между квадратами и нечетными числами внезапно становится очевидной. Это – переход от арифметического рассмотрения к геометрическому – очень полезный шорткат.

Теперь Галилей смог составить формулу суммарного расстояния, которое проходит шар, падающий на землю: расстояние, пройденное через t секунд, пропорционально квадрату t. Так был открыт основополагающий квадратичный закон гравитации. В конечном итоге открытие этого уравнения дало нам возможность вычислять, где приземлится ядро, выпущенное из пушки, и предсказывать траектории планет, обращающихся вокруг Солнца.

В энный день Рождества

Тот же прием, что мы применили для демонстрации связи между нечетными числами и полными квадратами хитрым геометрическим способом, можно использовать и в качестве шортката к решению головоломки этой главы. Чтобы узнать, сколько подарков я получу от своей любви на Рождество, можно пойти длинным путем, последовательно складывая голубок и курочек. Но есть и шорткат – перевести задачу из арифметики в геометрию. Начнем с того, как геометрический подход помогает узнать число подарков, которые я получаю каждый день. Ежедневное количество подарков попросту соответствует треугольным числам, с которыми мы познакомились в главе о паттернах. Я уже рассказывал, как Гаусс разобрался с этими числами, разбив их по парам.

Но есть и другой шорткат, избавляющий от тяжелой работы: взглянуть на задачу с геометрической точки зрения. Разложим подарки треугольником, вершиной которого будет куропатка. Подсчитывать подарки, образующие треугольник, может быть непросто. А что, если составить два треугольника вместе? Тогда получится прямоугольник. Но предметы, образующие прямоугольник, подсчитать легко: нужно всего лишь умножить основание на высоту. А площадь треугольника будет половиной этого результата.

Такой геометрический шорткат к решению – это, по сути дела, тот же прием образования пар чисел, который использовал Гаусс, но слегка замаскированный. Но геометрическая точка зрения позволяет мне создать простую формулу для вычисления любого члена этой последовательности. Если мне нужно n-е треугольное число, я составляю вместе два треугольника и получаю прямоугольник размерами n × (n + 1). Теперь просто делим на 2 и находим число подарков в треугольнике: 1/2  × n × (n + 1).

Каково же суммарное количество подарков, которые я получаю по прошествии каждого дня? Вот как выглядит эта растущая сумма начиная с первого дня:

1, 4, 10, 20, 35, 56 …

Каждое следующее число получается прибавлением очередного треугольного числа. Скажем, чтобы найти седьмое, нужно прибавить к предыдущему числу седьмое треугольное число. Поскольку седьмое треугольное число – 28, седьмой член нашей последовательности равен 56 + 28 = 84. Но нет ли еще более удобного шортката, чтобы добраться до двенадцатого члена, общего числа подарков за все рождественские праздники, без последовательного сложения треугольных чисел?

Здесь нужно еще раз перейти от чисел к геометрии. Представим себе, что все подарки приходят в коробках одинакового размера. Тогда можно составлять из полученных коробок не треугольник, а пирамиду с треугольным основанием. На ее вершине будет одна коробка, в которой находится одна куропатка на грушевом дереве. На один ярус ниже коробок уже три: одна с куропаткой и две с голубками. Каждый день приходят все новые подарки, и я добавляю их к низу пирамиды. Дает ли такой переход от чисел к геометрическим фигурам возможность понять, сколько всего коробок в пирамиде?

Как это ни удивительно, дает. Если из двух треугольников можно сложить прямоугольник, из шести пирамид одного и того же размера можно образовать прямоугольный штабель коробок. (Чтобы это получилось, вам придется слегка сдвинуть подарки, сложенные в каждую из пирамид.) Если в пирамиде n ярусов, то размеры такой прямоугольной конструкции будут n × (n + 1) × (n + 2). Но она составлена из шести пирамид. Значит, формула количества подарков в каждой отдельной пирамиде будет такой:

1/6  × n × (n + 1) × (n + 2).

Сколько же всего подарков я получу от своей любви к двенадцатому дню Рождества? Подставим в формулу n = 12 и получим 1/6  × 12 × 13 × 14 = 364. То есть по подарку на каждый день года, не считая одного![41]41
  Или двух, если год високосный.


[Закрыть]

Рис. 3.2. Шесть пирамид составляют прямоугольный параллелепипед

Словарь Декарта

Меня всегда приводило в восторг то, как на картинке может проявиться нечто такое, чего не было видно за цифрами. Но нужно соблюдать осторожность. Иногда глаза обманывают нас. Взять, например, следующую картинку.

Рис. 3.3. При перестановке элементов фигуры в ней появляется лишняя клетка

Казалось бы, я просто поменял составляющие части квадрата местами так, чтобы из них получился аккуратный прямоугольник. Но погодите. Площадь квадрата равна 64 клеткам, а площадь прямоугольника – 65. Откуда же взялся этот довесок? На этой картинке трудно увидеть, что диагональ, пересекающая вторую фигуру, – не вполне прямая линия. Края составных частей не совсем прилегают друг к другу, что и приводит к появлению лишней клетки. Декарт, как известно, говорил: «Чувственное восприятие есть чувственный обман». С тех пор, как я увидел эту картинку, я, по-моему, никогда больше не мог полностью верить собственным глазам. Меня устраивают только строгие доказательства связей или паттернов на языке алгебры. Что, если с нечетными числами, которые я выкладывал по краям квадратов, тоже происходит нечто подобное этому хитрому фокусу?

Для разоблачения таких визуальных фокусов бывает полезно применить тот же шорткат в обратном направлении – превратить геометрические фигуры в числа. Декарт был одним из математиков, предложивших идею словаря для переводов между языком чисел и языком геометрии. Этот словарь был одним из величайших лингвистических изобретений, которые наряду с алгеброй позволяют находить шорткаты к пониманию Вселенной.

Собственно говоря, все мы хорошо знакомы с этим словарем: мы используем его, когда видим карту или навигатор GPS. Сетка, накладываемая на город или страну, позволяет мне идентифицировать любую точку на местности: два числа указывают, где эта точка расположена на сетке. Система GPS использует координатную сетку, горизонтальной осью которой служит экватор, а вертикальной – меридиан, проходящий через Гринвич.

Например, если я хочу посетить дом, в котором родился Декарт, находящийся в городе Декарт (названном так не по удивительному совпадению, а уже после его смерти[42]42
  Причем далеко не сразу: Декарт умер в 1650 г., а его родной город Ла-Э-ан-Турен (La Haye en Touraine) был переименован в Ла-Э-Декарт (La Haye-Descartes) в 1802 г., а в Декарт (Descartes) – только в 1967-м.


[Закрыть]), попасть туда мне помогут его координаты: широта 46,9726497 и долгота 0,7000201. Любое положение на планете можно выразить при помощи двух таких чисел. Геометрия планеты переведена на язык чисел.

Декарт изложил эту плодотворную идею – применения координат для описания геометрии – в книге «Геометрия» (1637). При помощи этих чисел, называющихся теперь в честь человека, предложившего такой перевод, декартовыми (картезианскими) координатами, можно определить геометрическое положение не только на поверхности планеты, но и на любом изображении. Словарь Декарта открыл возможность перевода между геометрией и алгеброй.

Могущество этого перевода становится особенно ясным, когда нужно описать движение некоего объекта в пространстве. Бросьте мяч – и я смогу описать высоту мяча над землей в момент, когда он находится на заданном расстоянии от бросившего его. Связь между этими двумя величинами выражается математическим уравнением. Пусть х – расстояние, которое мяч пролетел по горизонтали. Пусть v – скорость мяча в вертикальном направлении в момент броска, а u – его горизонтальная скорость. Если обозначить высоту мяча над землей буквой y, то эти ингредиенты дадут формулу для определения этой высоты:

Буква g обозначает величину, которую называют ускорением свободного падения. Она определяет, насколько сильно мяч притягивается к данной планете под действием силы тяжести.

Как бы сильно или высоко вы ни бросили мяч, уравнение остается тем же самым. Нужно только изменить значения u и v, играющие роль регуляторов настройки, которые можно подкрутить, чтобы изменить форму траектории. Понимание этой закономерности, которая определяет, как летят по воздуху любые мячи, позволяет предсказать, где мяч упадет на землю. Ее формула – это квадратное уравнение относительно х. Если вы футболист и хотите узнать, где вам нужно встать, чтобы принять летящий мяч на голову и отправить его в ворота противника, вам нужно решить это уравнение относительно х. Как я рассказывал в предыдущей главе, древние вавилоняне нашли алгоритм для решения этой задачи еще четыре тысячи лет назад.

Но такие квадратные уравнения описывают не только траектории мячей. Если посмотреть на изменения цен на товары с колебаниями спроса и предложения, их зачастую можно описать уравнениями такого же типа. Когда уравнения описывают числа, появляется возможность научиться находить точку экономического равновесия, в которой товар оценивается при равенстве предложения и спроса. Компания, не умеющая использовать язык уравнений для представления своих данных, будет, как сказал Галилей, блуждать в темном лабиринте, пока ее конкуренты будут загребать прибыли.

Если у вас есть набор данных, полезно попытаться найти уравнение, описывающее связь между ними. Его обнаружение открывает поразительный шорткат к предсказанию того, что может случиться в будущем.

Такие паттерны бывают необычайно универсальными. В случае брошенного мяча не важно, кто именно бросил мяч, как его бросили или где его бросили. Даже если заменить один мяч на другой, общий вид уравнения останется неизменным.

Но при подгонке уравнений к данным необходима осторожность. Если взять данные о численности населения Соединенных Штатов за последнее столетие, они довольно хорошо описываются квадратным уравнением, подобным тому, с помощью которого мы описывали траекторию мяча. Однако, если использовать более сложное уравнение, в котором степень х доходит до х¹⁰, соответствие данным получается и вовсе точным. Казалось бы, это говорит о том, что более сложная формула должна дать более точные предсказания. Единственный недостаток состоит в том, что на середину октября 2028 года это уравнение предсказывает падение численности населения Соединенных Штатов до нуля. Или же уравнение знает нечто такое, чего не знаем мы.

Эта история служит предостережением тем, кто считает, что для научных исследований достаточно одного лишь использования больших данных. В данных действительно могут проявляться паттерны, но, чтобы понять, почему эти паттерны должны быть основаны на тех или иных уравнениях, мы по-прежнему должны сочетать данные с аналитическим мышлением. Сделанное Галилеем открытие квадратичного закона гравитации было впоследствии объяснено благодаря теоретическому анализу Ньютона, показавшему, почему в данном случае правильно использовать именно квадратные уравнения.