Текст книги "Искусство большего. Как математика создала цивилизацию"

В 1786 году Лихтенберг написал своему другу Иоганну Бекману довольно непритязательное письмо[74]74
  Lichtenberg G. C. Briefwechsel, Band III: 1785–1792. Munich: Beck, 1990.


[Закрыть]. “Однажды я предложил молодому англичанину, которого учил алгебре, одно упражнение”, – написал Лихтенберг. По условиям задачи нужно было “найти лист бумаги, для которого все книжные форматы – ин-фолио, ин-кварто, ин-октаво, секстодецимо – были бы подобны друг другу”.

Это напоминает работу с подобными треугольниками, только здесь предметом исследования становятся прямоугольники. Лихтенберг хочет узнать, как найти такое соотношение длины и ширины листа бумаги, которое позволяет уменьшить самый крупный формат, “ин-фолио”, вдвое и получить формат “ин-кварто”, затем уменьшить его вдвое до “ин-октаво” и так далее. Ответ ученика показался Лихтенбергу весьма любопытным, и он сравнил полученные размеры с форматом бумаги, лежащей в ящике его письменного стола. “Установив это отношение, я решил применить его к листу бумаги, воспользовавшись ножницами, – рассказывал он Бекману, – но с радостью обнаружил, что формат уже соответствует искомому. На такой бумаге я и пишу это письмо”.

И здесь он перешел к делу. Лихтенберг поинтересовался, не знаком ли Бекман с кем-нибудь из производителей бумаги, – ему хотелось узнать, как именно они пришли к использованию такого формата, ведь это, по его словам, “вряд ли стало случайностью”. Может, кто-то в бумажной промышленности уже произвел алгебраические расчеты?

Нам это не известно. Но письмо Лихтенберга, в котором описывается простое алгебраическое упражнение и неожиданное открытие того, что математическое решение, возможно, появилось естественным образом, легло в основу европейского стандарта форматов бумаги. В 1911 году лауреат Нобелевской премии по химии Вильгельм Оствальд призвал к использованию соотношения Лихтенберга в качестве международного стандарта в производстве бумаги[75]75
  Ostwald W. Über Papierformate. Mitteilungen des Normenausschusses der Deutschen Industrie. 12 (1918): 199–200.


[Закрыть]. В 1921 году такой стандарт был принят в Германии и быстро распространился по Европе. В 1975 году его утвердили в качестве официального формата документов ООН. Вероятно, вам он известен как серия форматов “А”. Наверняка вы даже сегодня держали в руках листок формата А4, если только живете не в Северной Америке, которая так никогда и не ощутила необходимости перейти на соотношение Лихтенберга. Это соотношение – бесценный ресурс для всех, кому нужно сохранять пропорции, что при увеличении плаката, что при уменьшении чертежа бумажного самолетика.

Задача Лихтенберга о размерах бумаги прекрасно сформулирована на языке риторической алгебры. Ее решение мы уже встречали раньше: длина и ширина относятся друг к другу как 2 к 1. Площадь листа формата А0 составляет 1 м², а значит, его стороны равны 1,189 м и 0,841 м. Поверните его вертикально и разрежьте пополам по ширине, и у вас получатся два листа формата А1, длина каждого из которых равна ширине листа А0, а ширина – половине длины А0. Повторите операцию с каждым из листов – и получите четыре листа формата А2. У всех листов будет одинаковое соотношение длины и ширины. Разрежьте А2 пополам по ширине и получите… впрочем, вы уже догадались.

Алгебраическая формула, лежащая в основе этого стандарта, не слишком сложна. Если бы ученик Лихтенберга применял “символическую” алгебру и обозначил бы длину искомого листа за x, а ширину – за y, то ему нужно было приравнять отношение x к y к отношению y к половине x. Он мог бы записать следующее равенство:

а затем перестроить его таким образом:

что значит:

Макуолтер справедливо отметил, что алгебра определила наши интеллектуальные достижения, и форматы бумаги показывают одно из множества применений квадратных уравнений в реальном мире. Они также позволяют компаниям рассчитывать прибыль при запуске новых продуктов и принимать спутниковые сигналы при помощи параболической антенны. Но полезнее всего квадратные уравнения оказываются при описании природных процессов, например при анализе траекторий движения небесных тел. Чтобы понять почему, давайте посмотрим на кривые, которые задаются уравнениями второй степени.

Серия форматов бумаги “А”, у которых одинаковое соотношение сторон

Если мы представим любое такое уравнение на графике, рассчитав значения y для каждого значения x, у нас получится линия, которая каким-то образом изгибается и образует кривую. В совокупности эти кривые делятся на четыре класса: параболы, окружности, эллипсы и гиперболы. Если вы знаете, что искать, то одного взгляда на уравнение вам будет достаточно, чтобы понять, какую кривую оно даст. Если в квадрат возведен лишь один x или y, то получится парабола. Если в квадрате стоят и x, и y, а числа (называемые коэффициентами) перед ними одинаковы, то получится окружность. Эллипс даст уравнение, напоминающее то, что задает окружность, где коэффициенты при x и y будут положительными, но разными. Гипербола задается уравнением, где коэффициенты при x и y имеют разные знаки: один из них положителен, а другой отрицателен.

Кривые, задаваемые различными квадратными уравнениями

Различные коэффициенты (a и b на графике) определяют, насколько вытянутыми будут формы или насколько большой окажется окружность. В совокупности эти формы изначально называли коническими сечениями, поскольку они возникают там, где конус пересекает плоскость. Если можете, возьмите фонарик и включите его в темной комнате, чтобы создать световой конус. Если направить луч фонарика прямо вниз, в месте пересечения конуса с полом возникнет окружность. Это простейшее из конических сечений. Теперь направьте луч на стену под углом около 45°. В месте пересечения светового конуса со стеной появится вытянутая окружность – эллипс. Чтобы создать параболу, нужно посветить фонариком на стену под углом, равным углу наклона светового конуса. Снова изменив угол падения света на стену, вы получите половину гиперболы.

Как разрезать световой конус, чтобы получить квадратичные кривые

Любопытно, что все эти математические формы встречаются в природе. Разумеется, вы и сами это знаете, ведь вы видели параболическую радугу и изображение эллиптической орбиты Земли в Солнечной системе. Тем не менее это важно: это значит, что мы должны быть в состоянии составить уравнения, описывающие природные явления на математическом языке. И это открывает дорогу к их глубокому пониманию.

В древности люди тщательно вели числовые записи, фиксируя частоту различных небесных явлений – комет, затмений, соединений и так далее, – и искали закономерности, чтобы рассчитать, когда наступит следующий значимый момент. Однако вплоть до начала XVII века (и даже в первые его годы) это было не более чем перемалывание чисел, и лишь затем появился Иоганн Кеплер. На основе данных Тихо Браге он установил, что планеты вращаются по эллиптическим орбитам, но у него никак не получалось понять почему. Древние греки утверждали, что небеса должны описываться окружностью, которую они считали совершенной формой, – и кто же мог объяснить, почему Вселенная полна тел, движущихся по эллиптическим орбитам? Теперь ответ на этот вопрос очевиден: любой, кто способен связать наблюдаемое движение планет с идеей о том, что на них воздействует одна сила. Например, Исаак Ньютон.

Благодаря прорывным математическим трудам Ньютона нам известно, что траектория тела, движущегося в одну сторону, но находящегося также под воздействием силы, направленной в другую сторону, напоминает одно из конических сечений. В зависимости от скорости тела и величины силы траектория будет либо круговой, как у наших спутников, либо эллиптической, как у планет, которые вращаются вокруг Солнца, либо параболической или гиперболической, как у некоторых комет, время от времени проносящихся мимо Земли. Уравнение движения – скажем, Ньютоново уравнение, описывающее силу притяжения, – также задает траекторию тела в динамике.

Впрочем, алгебру на Западе впервые применили не для изучения планетарных орбит. Неудивительно, что военные еще давным-давно задались вопросом, не может ли алгебра помочь с такими вещами, как расчет угла, под которым солдату следует установить пушку с учетом позиции противника. Ответ – да. Алгебра может справиться с этой задачей.

Искусство войны

Нередко ученые посыпают голову пеплом, узнавая о том, какое применение находят их труды в военной сфере. Пожалуй, самый известный пример – атомщик Роберт Оппенгеймер, который возглавлял Манхэттенский проект по разработке первой в мире атомной бомбы. Через три года после первого атомного взрыва он заявил, что “физики познали грех, и лишиться этого знания они никогда не смогут”[76]76
  Oppenheimer J. R. Physics in the contemporary world. Bulletin of the Atomic Scientists. 4, no. 3 (1948): 65–86.


[Закрыть]. В XVI веке о таком же чувстве стыда заявил математик Никколо Тарталья.

Тарталья – это прозвище, означающее “заика”. Оно приклеилось к Никколо еще в детстве в Брешии, после того как город осадила французская армия. Они с матерью спрятались в часовне, но туда ворвались французы, и один солдат мечом рассек Никколо рот. Бедный мальчик чуть не лишился способности говорить, но оказался человеком невероятно сильной воли. Заика не только выжил (отчасти благодаря тому, что его мать самоотверженно вылизывала ему раны, чтобы в них не попала грязь), но и вырвался из нищеты, в которой жила его семья, сам освоил науки и стал уважаемым математиком.

В рамках своих исследований Тарталья решил “задачу артиллериста”: определил, как угол наклона пушечного ствола влияет на дальность полета снаряда[77]77
  Valleriani M. The Nova scientia: transcription and translation, 18 April 2013, https://edition-open-sources.org/sources/6/12/index.html.


[Закрыть]. Из-за этого его замучила совесть. Он отметил, что такое применение алгебры “вредно”, “разрушительно для рода человеческого”, а также “предосудительно, оскорбительно и жестоко, а потому заслуживает тяжелой кары Господней и людской”. И сжег все свои рукописи.

Но затем передумал.

Когда османский султан Сулейман укрепил позиции и стал грозить всему христианству, нежелание Тартальи применять его новую артиллерийскую науку для убийства людей затмила его преданность своим христианским братьям и сестрам. “Учитывая, что волк собирается напасть на наше стадо, – написал он своему покровителю герцогу Урбинскому, – я считаю более недопустимым скрывать эти вещи”. И он представил герцогу алгебру артиллерии.

Что же определяет траекторию артиллерийского снаряда? Допустим, пушка стоит в точке p на оси x и стреляет горизонтально по цели, находящейся в точке q. Снаряд вылетает из ствола со скоростью v. Не принимая в расчет сопротивление воздуха, скажем, что на него воздействует единственное ускорение, гравитация a, а значит, он полетит по одному из конических сечений – по параболе. По прошествии времени t он достигнет точки q, и это можно описать следующим уравнением:

q = p + vt + 1/2 at²

Иными словами, итоговое положение снаряда по оси x равняется сумме его начального положения, скорости, умноженной на время t (скорость, умноженная на время, – это просто расстояние), и половины ускорения, умноженного на время t в квадрате.

Впрочем, вам, вероятно, не захочется, чтобы пушка стреляла горизонтально. А когда вы поднимаете ее ствол на угол A, чтобы обеспечить определенную дальность стрельбы, вам приходится учитывать горизонтальный и вертикальный компоненты траектории полета снаряда. И так мы возвращаемся в сферу тригонометрии.

Определение дальности полета пушечного снаряда с помощью треугольников

Вертикальная скорость равняется v sin A (где v – начальная скорость). Эта вертикальная скорость падает до нуля, когда снаряд достигает максимальной высоты. Та же сила, которая замедляет его полет, – гравитация – теперь ускоряет его движение к земле, и снаряд начинает падать, а поскольку никаких новых сил на него не воздействует, падение занимает то же время, что и взлет. Горизонтальная скорость равняется v cos A и остается неизменной (как помните, мы не принимаем в расчет сопротивление воздуха). Алгебра позволяет нам вычислить время до столкновения снаряда с землей, а также преодоленное снарядом горизонтальное расстояние. Если нам известно, на какое расстояние мы хотим послать снаряд, мы можем скорректировать угол A, чтобы обеспечить себе идеальную дальность стрельбы.

Работа Тартальи стала первым из множества применений алгебры в военной сфере. Еще одно – определение размера лагеря в зависимости от числа солдат, которых необходимо в нем разместить. Также алгебра позволяет рассчитать, какое денежное содержание и снабжение требуется для батальона. Из самых простых задач – оценка количества солдат, необходимых для прокладки траншеи определенной длины за заданное время. Или расчет количества пороха для оружия. В книге “Арифметический военный трактат, или Стратиотик”, опубликованной в 1579 году, Леонард Диггес объясняет, как решать все перечисленные задачи с помощью алгебры[78]78
  Hurley W. J., Finan J. S. Military operations research and Digges’s Stratioticos. Military Operations Research. 22, no. 2 (2017): 39–46.


[Закрыть]. Так, он отмечает, что если вам известно количество пороха, необходимое для оружия, которое вдвое меньше вашего, то нельзя просто увеличить количество пороха вдвое, чтобы получить достаточный уже вам объем. Нужно произвести расчеты на основе “чисел, полученных при кубическом умножении”, поскольку “правило пропорции здесь просто не работает”. Иными словами, если ружье вдвое больше, вам потребуется в 2³ (то есть в 8) раз больше пороха, а не в 2 раза больше. Диггес также задает следующий вопрос о распределении вооружения:

В распоряжении у сержанта-майора 60 знамен, у каждого знамени по 160 копейщиков и пехота с оружием ближнего боя. Генералы хотят, чтобы он сформировал одну большую роту и окружил ее семью шеренгами копейщиков. Сколько копейщиков и сколько алебардистов ему понадобится, чтобы сформировать наибольшую роту, и сколько шеренг должно быть в войске?

По тем временам этот вопрос был насущным: командующим нужно было понимать, как лучше всего распределять оружие между различными подразделениями пехоты, чтобы максимизировать их эффективность, при этом защищая пехотинцев от кавалерийских атак противника. На том этапе истории битвы в основном велись подразделениями, выстроенными в геометрические формации. Правильное построение было вопросом жизни и смерти для солдат, и часто от него зависели успехи государства. Чтобы решить задачу Диггеса, нужно прибегнуть к алгебраическому поиску неизвестной величины. Ответ на первый вопрос: 2520 копейщиков.

Примерно тогда же, когда Тарталья работал над алгеброй пушечного огня, математику превращали в оружие и совершенно другим способом. В те годы алгеброй владели немногие, и этот навык производил немалое впечатление, а потому с помощью него один математик мог доказать свое превосходство над другим и даже отнять у него работу. Серьезные последствия таких математических дуэлей – потерпев поражение, математик вполне мог умереть с голоду, – ускорили дарвиновскую эволюцию новых алгебраических методов. В математике тогда выживал действительно сильнейший, но выжившим следовало соблюдать осторожность, и профессиональные математики тщательно отбирали учеников, которым передавали тайные алгебраические знания. Им вовсе не хотелось, чтобы какой-нибудь ученик раскрыл их секреты конкурентам или вступил в противостояние с учителем, надеясь занять его место. В результате математика распространялась медленно, а недоверие между математиками росло. Мы редко связываем математику с замалчиванием, ревностью и паранойей, но в истории о том, как мы пришли от квадратных уравнений к кубическим (x³) и уравнениям четвертой степени (x⁴), все это есть.

Битва за куб

Наш рассказ начинается со знакомого имени – Лука Пачоли. В книге “Сумма арифметики”, опубликованной в 1494 году, Пачоли заявил, что, хотя существует общая формула для решения квадратных уравнений (квадратичная формула, которую мы разбирали ранее в этой главе), представляется невозможным вывести общую формулу для решения кубических уравнений, где x возведен в третью степень. Иными словами, для уравнений следующего вида[79]79
  Как мы помним из первой главы, отрицательные числа тогда еще не отвоевали себе место под солнцем, поэтому Пачоли говорил не об одном кубическом уравнении, а о разных его типах: один тип – когда отрицательных значений среди чисел a, b, c, d не было, второй – когда только d < 0, и так далее. – Прим. науч. ред.


[Закрыть]:

ax³ + bx² + cx + d = 0

Заявление Пачоли было интересно исключительно в интеллектуальном плане, поскольку применения кубическим уравнениям пока не находилось. Тем не менее болонский математик Сципион дель Ферро, однажды выступивший соавтором Пачоли, взялся за эту задачу. Он нашел способ решить родственное кубическое уравнение, где b равняется нулю, в результате чего получается уравнение “пониженной степени” без x²:

ax³ + cx + d = 0

Как и любой здравомыслящий математик того времени, дель Ферро ни с кем не поделился своим решением. Пока не оказался при смерти. Поняв, что ему осталось недолго, он послал за своим учеником Антонио Фиоре и зятем Аннибалом делла Наве, которым и раскрыл секрет.

Поверенные дель Ферро оказались совсем разными людьми. Его зять осознал, какая честь ему оказана, и никому не рассказал, что у него есть доступ к ценному математическому знанию. Фиоре, напротив, был алчен и амбициозен. Он счел решение кубического уравнения пониженной степени смертоносным оружием. И решил, что первой своей жертвой сделает Никколо Тарталью.

В 1535 году, когда Фиоре устроил состязание, Заика жил в Венеции и преподавал теоремы Евклида. Фиоре мечтал занять его место и по правилам вызвал Тарталью на математическую дуэль. Они предложили друг другу по 30 задач. Все задачи Фиоре были вариациями математических решений кубического уравнения пониженной степени. Тарталья сразу понял, что у Фиоре, очевидно, есть формула, а значит, сохранить работу он сможет только в том случае, если найдет решение сам. Будучи талантливым математиком, он справился с задачей. 12 февраля Тарталья нашел способ решить кубическое уравнение пониженной степени x³ + px = q. На следующий день он понял, как решить уравнение вида x³ = px + q. Вскоре после этого он сумел решить уравнение x³ + q = px. Тарталья справился со всеми кубическими уравнениями пониженной степени, предложенными Фиоре. Фиоре, однако, задачи Тартальи оказались не по плечу. Поединок закончился триумфом Тартальи, который сохранил работу и еще сильнее укрепил свою репутацию, публично отказавшись от 30 изобильных пиров, положенных победителю. Как поверженный Румпельштильцхен, униженный Фиоре исчез из публичной сферы.

И все же Тарталью не ждал счастливый конец. Когда состоялась его дуэль с Фиоре, прославленный миланский математик Джероламо Кардано занимался грандиозным проектом: писал книгу, в которой подробно излагал алгебраические знания своей эпохи[80]80
  Brooks M. The Quantum Astrologer’s Handbook. Scribe, 2017.


[Закрыть]. Кардано услышал о том, что Тарталья принял участие в состязании по решению кубического уравнения пониженной степени, и попросил его предоставить решение для книги. Понимая ценность этого знания, Тарталья ответил отказом. Кардано повторил свою просьбу и пообещал опубликовать решение Тартальи, обозначив авторство. Тарталья не согласился и на этот раз. Тогда Кардано предложил познакомить Тарталью с генералами, которые готовы щедро заплатить за его знания в области математики артиллерии. Тарталья не уступал. В конце концов Кардано сделал странное предложение: если Тарталья сообщит ему решение – как математик математику, – он будет ему благодарен, но публиковать его в книге не станет. Непонятно почему, но Тарталья на это согласился.

Получив решение Тартальи, Кардано и его ученик Лодовико Феррари взялись за полноценное кубическое уравнение. Они решили его – и пошли еще дальше. Отталкиваясь от новаторского метода Тартальи, Феррари решил и уравнение четвертой степени, куда добавляется x⁴. Как и в случае с кубическим уравнением, практического применения для уравнения четвертой степени не было, но Кардано включил все решения в свою рукопись. Впрочем, опубликовать он ничего не мог, потому что в основе всех выкладок лежало решение Тартальи, которое он поклялся не обнародовать.

Выход из положения нашел школьный учитель из Брешии Дзуан да Кои. Он был знаком с Тартальей и слышал, что Сципион дель Ферро передал свое решение кубического уравнения своему зятю и Фиоре. Да Кои предложил Кардано и Феррари навестить зятя дель Ферро. Они последовали его совету – и узнали тайну, в которую был посвящен Фиоре и которую Тарталья раскрыл самостоятельно. Хотя ученые и сегодня спорят об этичности его поступка, Кардано опубликовал свою книгу, убедив себя, что с формальной точки зрения не нарушает клятву, данную Тарталье.

Тарталья разозлился, узнав, что теперь его добытое тяжким трудом (и невероятно ценное) решение кубического уравнения пониженной степени доступно любому, кто купит книгу Кардано. Они с Кардано обменялись несколькими открытыми письмами, и тон Тартальи с каждым последующим из них становился все более ядовитым. Оскорбленный ученый требовал восстановления справедливости на математической дуэли. Кардано, у которого на карту было поставлено больше, отказался участвовать в поединке. Затем в родном городе Тартальи, Брешии, открылась заманчивая вакансия. Заика подал прошение о принятии на должность, и его одобрили на одном условии: он должен был сразиться на публичной дуэли с учеником Кардано Лодовико Феррари.

Феррари рвался в бой с человеком, который не раз порочил репутацию его любимого учителя. Противники обменялись задачами и сошлись в поединке на глазах у любопытствующей толпы в саду братьев Дзокколанти в Милане 10 августа 1548 года. К несчастью для Тартальи, Феррари лучше него разбирался в решениях уравнений третьей и четвертой степени и использовал их при составлении задач, чтобы разгромить соперника. Он задавал такие вопросы:

Есть куб, сумма ребер и граней которого равна пропорциональному отношению этого куба к одной из его граней. Каков размер куба?

и еще:

Найдите два таких числа, которые при сложении дают столько же, сколько куб меньшего из них, прибавленный к произведению утроенного меньшего числа и квадрата большего числа, а сумма куба большего числа и утроенного квадрата меньшего в 64 раза больше суммы этих чисел.

и еще:

Есть прямоугольный треугольник, в котором построена высота, и сумма одной из сторон с противоположной частью основания дает 30, а сумма другой стороны с другой частью основания дает 28. Какова длина одной из сторон?

Тарталья решил не все задачи. Он покинул Милан с позором. Он все равно получил должность в Брешии, но занимал ее лишь полтора года, после чего разочарованные работодатели перестали ему платить. Феррари, напротив, стал местной знаменитостью и сам занял теплое местечко: он стал старшим налоговым инспектором императора Священной Римской империи в Милане. Хотя практического применения такой алгебре по-прежнему не находилось, алгебраические навыки Феррари – которые он вполне мог больше и не применять – позволили ему разбогатеть и отойти от дел.

Давайте сделаем паузу и подумаем, что мы сами испытали бы, если бы нам предложили решить кубическое уравнение пониженной степени x³ + 6x = 20. По плечу ли оно вам? Кардано в своем “Великом искусстве” предложил такое решение:

Возведите в куб одну треть коэффициента при x; добавьте получившееся число к квадрату половины постоянной уравнения; извлеките из всего этого квадратный корень. Далее повторите описанное и прибавьте к одному из результатов число, уже возведенное в квадрат, а из другого вычтите половину того же… Затем отнимите кубический корень первого от кубического корня второго, и останется значение x.

Довольно сложно, правда? Но в реальности это просто геометрия. Сначала Кардано представляет огромный куб, который делит на шесть блоков и кубов поменьше, – по сути, он занимается достройкой квадрата в 3D. Он знает размеры каждой из фигур и знает, что сумма их объемов дает объем большого куба, который они составляют. Он приводит это к квадратному уравнению и получает ответ[81]81
  Обозначив грань большого куба t, Кардано может сказать, что t³ = u³ + (t – u)³ + 2tu (t – u) + u² (t – u) + u (t – u)², где u – грань одного из маленьких кубов. Перестроим это выражение и получим (t – u)³ + 3tu(t – u) = t³ – u³. Далее можно просто сказать, что x = t – u, и получится формула, с которой все и начиналось: x³ + mx = n, где m = 3tu, а n = t³ – u³. Еще немного преобразований (начнем с подстановки m/3tu на место u в выражение t³ – u³), и получится (t³)² – n(t³) – m³/27 = 0. Вам может показаться, что легче не становится, но это не так. Теперь перед вами квадратное уравнение с t³ вместо x, а решать такие уравнения вы уже умеете.


[Закрыть]: x = 2. Как видите, это легко проверить. Именно поэтому математические дуэли так нравились зрителям: было сразу понятно, преуспели ли противники в своих трудах.

В “Великом искусстве” Кардано хотел представить универсальное решение, которое подходило бы для любого кубического уравнения. Но это было нелегко, поскольку ему приходилось прорабатывать множество вариантов. Например, по отдельности разбирать такие вариации, как x³ + mx = n и x³ + n = mx. Даже имея лишь базовую математическую подготовку, сегодня мы перестроили бы эти уравнения так, чтобы они повторяли друг друга по форме при отрицательном значении m или n. Однако на том этапе математической истории еще не было устоявшейся формы для записи уравнений в разных формах, а сама идея существования отрицательных чисел по-прежнему вызывала дискомфорт. Потому Кардано и разбирал два этих уравнения в разных главах (и потому Тарталья и разработал разные решения для x³ = px + q и x³ + q = px).

Но в конце концов хитрость в стиле достраивания квадрата и подмены x целым выражением позволила вывести универсальное решение для уравнения, которое сегодня мы записали бы так:

ax³ + bx² + cx + d = 0

Благодаря описанной хитрости оно превращается в уравнение, которое можно решить с помощью формулы Кардано для кубического уравнения пониженной степени. В “Великом искусстве” подробно описывается, как Феррари нашел подобный способ решения уравнений четвертой степени – с x⁴.

Что насчет уравнения пятой степени, в котором фигурирует грозный x⁵? Кардано и Феррари предположили, что привычный фокус с подстановкой выражения на место x поможет решить и его. Но в итоге они признали, что не сумели найти подходящий метод. И правильно сделали, когда отказались от дальнейших его поисков. Почти триста лет спустя, в 1824 году, норвежский математик Нильс Абель доказал, что решить такое уравнение методом подстановки невозможно.

Но уравнение пятой степени все же поддается решению. Для этого нужны так называемые эллиптические функции (или эллиптические кривые), которые сегодня применяются в криптографии – науке о хранении тайн. Мы поговорим об этом позже, а пока давайте рассмотрим, где в наши дни находится применение квадратным, кубическим и уравнениям четвертой степени. На первый взгляд, это продолжение труда Тартальи. Но если Заика описывал кривые траектории полета пушечных ядер, то современные новаторы чаще занимаются изгибами физических тел, например автомобиля “Форд Таурус”. И здесь мы видим, как алгебра по-прежнему помогает решать некоторые из самых насущных проблем продвинутого технологического общества.

Изгибы мира

В 1974 году галлон бензина в США стоил около 40 центов. В 1981 году тот же объем бензина стоил уже 1 доллар 31 цент. Американские автопроизводители поняли, что им нужно вмешаться в ситуацию, если они хотят спасти автомобильный транспорт. Но как? Пересмотреть конструкцию двигателей, чтобы сделать их более производительными, оказалось слишком сложно. Гораздо проще было повысить аэродинамику автомобилей.

Первым в полной мере аэродинамическим американским семейным автомобилем стал “Форд Таурус”, выпущенный в 1986 году. Сегодня в это сложно поверить, но американцам тех времен он казался совершенно непривычным – настолько непривычным, что в 1987 году Пол Верховен даже сделал его машиной Робокопа в своем фильме о том, как полиция будущего проводит эксперимент по созданию киборга. “Таурусу” уже стукнул год, но внешне он все еще оставался автомобилем будущего. Почему? Все дело в изгибах. Американские автомобили, выходившие до “Тауруса”, точнее всего будет назвать угловатыми. Прямые линии их кузова облегчали производство, а то, что угловатость повышала сопротивление воздуха и снижала топливную эффективность, никого не беспокоило: бензин стоил дешево. По другую сторону Атлантики, однако, все было иначе.

“Форд Таурус” 1986 года. IFCAR, изображение из открытого источника, via Wikimedia Commons

Из-за особенностей налогообложения топливо в Европе всегда стоило дороже. В 1970-х годах цены на нефть росли, и европейцам приходилось пускать все больше средств на эксплуатацию своих автомобилей. Но они нашли частичное решение проблемы и стали производить автомобили с обтекаемым аэродинамическим кузовом.

К счастью для Ford, в компанию недавно перешел работать американский дизайнер Джек Телнак, который прежде работал в Европе. Находясь по другую сторону океана, он наблюдал за эволюцией топливосберегающих изгибов, которые мы сегодня считаем отличительной чертой европейского автомобильного дизайна.

Инженеры Ford не могли просто ввести уравнение нужной кривой в формовочный станок. Не могли они и загрузить в компьютер тысячи точек, чтобы построить каждую кривую в проекте, – это было бы крайне неэффективно. Им необходимо было найти другой способ создания требуемых кривых. Но Телнак знал, что к началу 1960-х годов два французских автомобильных инженера-конструктора уже решили эту проблему.

Хотя эти кривые назвали кривыми Безье, их, пожалуй, стоит считать совместной разработкой Пьера Безье из Renault и Поля де Кастельжо из Citroën. Большую часть математических расчетов провел де Кастельжо. Но в машинном зале новую разработку первым применил Безье, и именно он дал другим возможность последовать их примеру.

Чтобы понять, что такое кривая Безье, представьте два прямых отрезка, формирующих две стороны треугольника. Постройте их в любом месте листа под любым углом друг к другу. Назовите один AB, а другой – BC. Теперь разделите отрезки на равное число секций – скажем, на десять. Пронумеруйте их от A = 0, чтобы B = 10, а затем от B = 0, чтобы C = 10. Теперь постройте прямые, соединяющие 1 с 1, 2 с 2 и так далее.

Кривая Безье, построенная из прямых

Видите кривую? Вообще-то ее там нет, ведь вы построили одни прямые. Но каждая из ваших прямых – “касательная” к кривой, то есть прямая, всего в одной точке соприкасающаяся с кривой, точная форма которой определяется положением A, B и C относительно друг друга.

Безье назвал точку B контрольной, поскольку при сдвиге B получается другая кривая. При одной контрольной точке кривая всегда задается квадратным уравнением, содержащим значения A, B и C. Если добавить еще одну контрольную точку, получится кривая, которая задается кубическим уравнением. Если добавить третью – кривая четвертой степени. Если вам не хочется добавлять контрольные точки, можно добавлять кривые. Подобно тому, как Кардано и Феррари нашли решение уравнения четвертой степени, приведя его к кубическому уравнению (а кубическое – к квадратному), вы можете построить кубическую кривую Безье, установив, как взаимодействуют две квадратные кривые, а кривую четвертой степени – с помощью двух кубических.

Обтекаемый “Форд Таурус” был обласкан критиками и – что важнее, учитывая катастрофическое падение позиций Ford на автомобильном рынке, – стал отлично продаваться. Напрашивается вполне резонный вывод о том, что алгебра спасла американскую автомобильную промышленность[82]82
  Patton P. The shape of Ford’s success. The New York Times, 24 May 1987.


[Закрыть].

Так на свет появились не только современные аэродинамические автомобили. Пользуясь этим методом для построения любых кривых, можно проектировать мосты, здания и самолеты. Впрочем, он также находит применение и в менее очевидных сферах, например в дизайне шрифтов. Эта книга – вне зависимости от того, бумажный у вас экземпляр или электронный, – существует благодаря алгебре. Используя шрифт формата TrueType, например Times New Roman, Helvetica или Courier, вы строите квадратные кривые Безье, которые определяют, где размещать чернила или пиксели[83]83
  The mathematics behind font shapes – Bézier curves and more, 27 November 2018, https://jdhao.github.io/2018/11/27/font_shape_mathematics_bezier_curves/.


[Закрыть].