Текст книги "Искусство большего. Как математика создала цивилизацию"

В начале VII века исламские народы начали покорение Западной Азии и Северной Африки. К концу столетия они даже вторглись в Европу и обосновались в Испании и на Балканах. Но в XI веке терпение христиан лопнуло. Теперь им даже не позволялось посещать Иерусалим, святой город. В ответ на это в 1095 году папа Урбан II объявил Первый крестовый поход. За ним последовало еще семь походов, растянувшихся на двести лет, впрочем, назвать их успешными сложно. Контроль над Иерусалимом и окрестными землями оставался в руках у мусульман. В такой отчаянной ситуации вселяющие надежду истории о пресвитере Иоанне производили на европейцев особенно сильное впечатление. В итоге они не только подтолкнули развитие навигации на базе тригонометрии, но и позволили искусству вступить в золотой век.

В 1260-х годах английский монах-францисканец Роджер Бэкон обратился к христианам, надеясь призвать их к оружию[54]54
  Edgerton S. Y. The Mirror, the Window, and the Telescope: how Renaissance linear perspective changed our vision of the universe. Ithaca, NY: Cornell University Press, 2009.


[Закрыть]. Он предложил им отвоевать Иерусалим, обратившись к своим познаниям в геометрии. Например, можно было воскресить легендарные “горящие зеркала” древнего мира. По легенде, Архимед с помощью огромных вогнутых зеркал направил солнечные лучи на корабли противника, которые сразу вспыхнули, и крестоносцы, по мнению Бэкона, могли поступить аналогичным образом. Бэкон также предположил, что геометрия сумеет разжечь в христианах огонь посредством искусства, ведь образы, созданные по принципам прекрасной в своем естестве Господней геометрии, не могут не пробуждать страсть. “Я считаю, что человеку, посвятившему себя изучению мудрости Господней, вернее всего заняться исследованием геометрических фигур”, – написал Бэкон в своем “Большом сочинении”. Этот раздел он озаглавил “О пользе оптических чудес для обращения неверных”.

У ученых есть теория, согласно которой Бэкон предлагал воскресить древнее искусство создания театральных декораций. Это позволило бы ставить вдохновляющие религиозные пьесы, чтобы настраивать европейских воинов против сарацинской угрозы. Бэкон писал, что “латиняне” обладали многими навыками, которые стоило бы перенять. Возможно, он имел в виду Витрувия, римского архитектора, жившего в I веке до нашей эры, и знал о мастерстве живописцев, которые создавали задники для театральных представлений:

По установлении в определенном месте центра сведенные к нему линии должны естественно соответствовать взору глаз и распространению лучей, чтобы определенные образы от определенной вещи создавали на театральной декорации вид зданий и чтобы то, что изображено на прямых и плоских фасадах, казалось бы одно уходящим, другое выдающимся[55]55
  Перевод Ф. Петровского.


[Закрыть].

Витрувий здесь говорит о том, что мы сегодня назвали бы перспективой. Этот термин происходит от латинского словосочетания “смотреть сквозь”, поэтому мы могли бы также назвать это оптикой, или наукой о том, как свет проходит сквозь различные среды, как он отражается и преломляется. В древнем и средневековом мире слова “перспектива” и “оптика” были взаимозаменяемыми.

История оптики и перспективы восходит к настоящему гиганту геометрии – Евклиду. Около 300 года до нашей эры этот древнегреческий ученый написал знаковый учебник математики. Он назывался “Начала” и более тысячи лет оставался одним из самых продаваемых текстов – не считая Библии. Чуть менее популярной стала другая его книга – “Оптика”. В ней Евклид описывает, как свет перемещается между объектами или сценами и человеческим глазом, по пути иногда проходя через линзы или отражаясь в зеркалах. Многие наблюдения Евклида покажутся вам знакомыми, даже само собой разумеющимися. Он, например, пишет, что свет перемещается по прямой, и потому из нескольких вы увидите тот объект, высота которого будет больше, поскольку луч света проходит по более высокой траектории.

Евклид полагал, что лучи света расходятся из глаза, а не идут от наблюдаемого объекта. В его времена такое представление было широко распространено и полностью соответствовало геометрии его теории зрения. Его лучи формировали конус света, исходящий из глаза, и видимыми оказывались только объекты, попадающие в этот конус. По мере удаления от глаза “зрительные лучи” расходились в разные стороны, их плотность уменьшалась, и потому очертания далеких объектов расплывались.

По тем временам теория Евклида была вполне состоятельной, и в последующих текстах он сумел объяснить целый ряд явлений, таких как отражение в плоских, вогнутых и выпуклых зеркалах и создаваемые линзами оптические эффекты, например увеличение. Благодаря тому, что Евклид смог свести оптические явления к взаимодействию прямых, треугольников и кривых, он применил свои познания в геометрии, чтобы построить совершенно адекватную на первый взгляд теорию визуального восприятия.

Затем в дело вступил Птолемей. Около 165 года нашей эры он доработал труды Евклида. Главным отличием стала его мысль о том, что из глаза выходит не конус, а линия. Он провел геометрическую работу с треугольниками и окружностями и устранил из расчетов точного места формирования отраженного изображения – скажем, перед сферическим зеркалом или позади него – некоторые ошибки, допущенные Евклидом (и допустил собственные). В последующую тысячу лет в оптике доминировали геометрические представления Евклида и Птолемея.

Да, тысячу лет. Нам, пожалуй, сложно понять, как прогресс может идти так медленно, но суровая правда в том, что познания в области оптики находили мало применения. Люди с древности изготавливали простые линзы и зеркала, но низкое качество не позволяло использовать их, например, в качестве очков для чтения. Ситуация начала меняться лишь тогда, когда геометрию и оптику взяли на вооружение христиане.

Нельзя сказать, что геометрией и ее практическим применением интересовались только они. В период активных завоеваний мусульманские ученые заново открыли для себя труды Евклида, перевели его тексты и снабдили их собственными комментариями. Особенную популярность получил комментарий Ибн аль-Хайсама “Книга оптики” – семитомный учебник, написанный в 1011–1021 годах. В нем аль-Хайсам изложил ряд идей, например о том, что зрительные лучи формируют треугольник, состоящий из малых подобных треугольников. В таком случае геометрические проекции показывают, почему предметы становятся тем меньше, чем ближе зрительный луч подходит к глазу, и как крупные предметы получается разглядеть крошечным зрачком.

Треугольные “зрительные лучи” аль-Хайсама позволяют видеть крупные предметы маленьким зрачком

Дойдя в латинском переводе до Европы под названием “О перспективе”, книга аль-Хайсама обрела большую популярность. Однако, несмотря на призыв Бэкона использовать оптику в качестве оружия и наличие множества ремесленников, способных изготавливать все более совершенные линзы и зеркала, в Европе того времени так и не произошел радикальный скачок в военном деле. Зато случилась революция в искусстве.

В перспективе

О рождении линейной перспективы написано столько книг, что не хватит и целого шкафа, поэтому мы лишь коснемся того, как на это повлияла геометрия. Удобной точкой отсчета послужит тот день, когда Филиппо Брунеллески встал в 1 метре 75 сантиметрах от центрального портала собора Санта-Мария-дель-Фиоре во Флоренции.

Хотя мы можем с точностью до сантиметра сказать, где было дело, мы точно не знаем, когда это случилось, и остается только предположить, что на дворе был 1425 год. К тому моменту Брунеллески уже стал знаменитым архитектором и проектировал купол собора. Со своей наблюдательной позиции внутри собора он смотрел на Флорентийский баптистерий, стоящий на другой стороне улицы. Баптистерий – восьмиугольное в плане здание, четкая геометрия которого подчеркивается его декором. Если верить биографу архитектора Антонио ди Туччо Манетти, Брунеллески написал его в идеальной перспективе[56]56
  Manetti A. The Life of Brunelleschi. University Park, PA: Pennsylvania State University Press, 1970.


[Закрыть]. Идеальной настолько, что, закончив, он самодовольно позволил присутствовавшим сравнить написанную на плите картину размером примерно 30 × 30 см с отражением настоящего баптистерия в зеркале, которое держали рядом с плитой.

Для этого Брунеллески просверлил в плите маленькое отверстие. “Отверстие было размером с чечевичное зернышко с лицевой стороны, расширялось конусообразно, как дамская соломенная шляпка, и достигало диаметра дуката или чуть больше с обратной стороны”, – сообщает Манетти. Брунеллески предлагал человеку заглянуть в отверстие, повернув картину задней стороной к себе и держа в вытянутой руке плоское зеркало. Человек видел отражение картины. Затем Брунеллески говорил ему опустить зеркало. Теперь сквозь просверленное отверстие человек смотрел на настоящий баптистерий. По словам Манетти, разница была минимальной.

Флорентийский баптистерий. Christopher Kaetz, изображение из открытого источника, via Wikimedia Commons

Разумеется, Манетти писал это через много лет после того, как перспектива произвела революцию в живописи, и сложно сказать, не повлияли ли более поздние подвижки в технике и технологии на его свидетельство. Однако при создании картины Брунеллески почти наверняка опирался на отражение в зеркале. Оно давало ему двумерную проекцию трехмерного баптистерия, а потому ему не приходилось искать оптимальный способ показать, как человеческий глаз воспринимает свет, идущий от здания. В 1460-х годах Антонио Аверлино, упомянув о Брунеллески, написал, что “это, несомненно, было тонкой и прекрасной вещью – вывести правило из того, что показывает тебе зеркало”[57]57
  Licht M., Tigler P. Filarete’s Treatise on Architecture (Yale Publications in the History of Art, 16), trans. with intro. by John R. Spencer. The Art Bulletin. 49, no. 4 (1967): 351–60. Цитируется в переводе В. Глазычева (с изменениями).


[Закрыть]. Далее Аверлино (писавший под псевдонимом Филарете) подробно объяснил, как с помощью зеркала строить правильную линейную перспективу: “Гляди в него – и с большей легкостью увидишь очертания предмета, который ближе к тебе, а тот же, что дальше, будет казаться тебе в сокращении”.

Все правила, которые мы усваиваем, когда учимся рисовать, – что предметы вблизи кажутся больше предметов в отдалении, а параллельные прямые сходятся в далекой точке – можно изучить по отражению в зеркале. Как только это становится понятно, зеркало перестает быть нужным. Все сводится к геометрии – той, которую вывел Евклид. Изображая, скажем, сцену в храме, вы решаете, в какой точке находится наблюдатель, и зарисовываете геометрическое построение зрительных лучей, идущих от деталей сцены к его глазу. Затем вы помещаете плоскость – скажем, холст – туда, где будет изображение. Там, где зрительные лучи, идущие от деталей сцены, проходят сквозь холст, вы и помещаете эти детали на холсте. В 1435 году Леон Баттиста Альберти пошагово описал построение линейной перспективы в книге, которую посвятил Брунеллески[58]58
  Alberti L. B. On Painting. London: Penguin, 1991.


[Закрыть].

Столетие спустя люди еще явно следовали его рекомендациям: на ксилографии Альбрехта Дюрера “Художник, рисующий лютню”, созданной в 1525 году, показан такой же процесс, только вместо зрительных лучей используются тонкие нити. Это был единственный способ добиться реалистичного “перспективного сокращения” таких изогнутых поверхностей, как корпус лютни[59]59
  Lamb E. The slowest way to draw a lute. Scientific American Blog Network, 2014.


[Закрыть].

Впрочем, еще можно было прибегнуть к помощи камеры-обскуры. Геометрию этого инструмента первым описал один из архитекторов Софийского собора – Анфимий Тралльский. В 555 году он построил схему перемещения световых лучей, на которой показал, как лучи отражаются в зеркале и проходят сквозь маленькое отверстие. Но все устройство камеры-обскуры целиком первым описал аль-Хайсам. В своей “Книге оптики” он объясняет, что происходит, когда свеча стоит перед “окном в темную камеру, где напротив этого окна находится белая стена или (также белое) непрозрачное тело”. По сути, на стене появляется изображение свечи, которое умелый художник легко может превратить в картину, поместив на стену холст и работая прямо не сходя с места.

Альбрехт Дюрер. “Художник, рисующий лютню”. Albrecht Dürer, изображение из открытого источника, via Wikimedia Commons

Линейная перспектива в живописи – построенная хоть с помощью геометрических набросков, хоть с помощью оптических инструментов – стала революционной технологией. Отныне изобретатели могли создавать реалистичные изображения своих творений, позволяя ремесленникам изготавливать по точным меркам их части (а иногда и указывать, что устройство не будет работать, пока никто еще даже не взялся за инструмент). Чтобы по достоинству оценить перспективные изображения, достаточно взглянуть на наброски да Винчи. Но самое большое влияние перспектива сразу оказала на мир искусства: в эпоху Возрождения многие художники стали писать картины по новым правилам, создавая образы, максимально приближенные к жизни. Сложно сказать, в какой степени они опирались на математически построенные прямые, которыми расчерчивали холсты и плиты, а в какой – на проекции, полученные с помощью линз и зеркал. Художник Дэвид Хокни предположил, что неопределенность в этом вопросе вовсе не удивительна, ведь это были секреты мастерства. В конце концов, люди зарабатывали на жизнь благодаря своему умению пользоваться методами Брунеллески, поэтому художникам не было смысла раскрывать свои хитрости, подобно тому как современные фокусники не раскрывают свои. Впрочем, некоторых все же можно было уговорить. Например, в 1506 году Альбрехт Дюрер написал некому Пиркгеймеру, что собирается поехать в Болонью “ради секретов искусства перспективы, которым хочет научить [его] один человек”[60]60
  Dürer A. Memoirs of Journeys to Venice and the Low Countries, trans. Rudolf Tombo. Auckland: Floating Press, 2010. Перевод Ц. Нессельштраус.


[Закрыть]. По всей видимости, Дюрер выложил за этот урок немалую сумму.

Камера-обскура аль-Хайсама

Сегодня мало кто готов платить за освоение перспективы – она хорошо изучена, и принципы Брунеллески изложены во множестве книг. По большей части благодаря системам автоматизированного проектирования (CAD) мы осуществляем конструирование, не прибегая к тригонометрии – ни сферической, ни любой другой. Насколько я знаю, сегодня геометрию по-прежнему используют лишь те, кто строит новые миры (конечно, не считая математиков). Вероятно, транспортиры еще время от времени достают дизайнеры визуальных эффектов, создающие компьютерную графику для голливудских фильмов. Кнопку синуса на калькуляторе периодически нажимают и программисты, разрабатывающие реалистичные физические механики видеоигр. Но для всех остальных геометрия осталась в прошлом.

Пожалуй, основная ценность геометрии сегодня состоит в построении связей между нейронами головного мозга, ведь именно эти связи позволяют нам мыслить абстрактно. Умение вообразить половину куба и накрыть ее полусферой, чтобы представить себе купол Софийского собора, может, и не несет особой пользы само по себе, однако этот навык помогает человеку решать многие другие задачи. Стыдно признать, но я им не владею. Точнее, не владел, пока не построил полукуб и полусферу в системе автоматизированного проектирования и не вложил их друг в друга в едином 3D-чертеже. Там я не только разглядел те части полусферы, которые отнимал от нее Герон, но и повертел получившуюся конструкцию, посмотрел на нее со всех сторон и – наконец-то – все понял. И потому у меня остается лишь один вопрос: как Герон и Евклид поняли геометрию?

У древних геометров было гораздо меньше возможностей для визуализации своих конструкций, чем у нас. И все-таки их мозг был словно создан для геометрии, в то время как мой для нее не предназначен. То же самое можно сказать и об Эратосфене. Я пытаюсь представить, что нахожусь за пределами Земли и смотрю на положение Солнца и Полярной звезды, на земную ось и смену дня и ночи при вращении земного шара. Я должен быть в состоянии увидеть, как в разное время суток меняются тени, позволяя измерить длину окружности Земли. Я должен быть в состоянии представить способ измерить наклон оси. И это должно позволить мне понять, как движение земной поверхности относительно звезд дает мне способ выяснить, в какой именно точке поверхности я нахожусь.

Большинство из нас с таким не справится – по крайней мере, если не прилагать огромных усилий. Почему? Подозреваю, потому что мы живем в технологическом обществе XXI века, где перечисленные геометрические явления встроены в программное обеспечение. У Герона, Евклида и Эратосфена не было ни миниатюрных моделей, ни систем визуализации. Им ничего не оставалось, кроме как учиться представлять все сложности геометрии в уме, желая воспользоваться ее преимуществами. Их достижения показывают, на что способен человеческий мозг, хотя сегодня, когда столь многое делается за нас, об этом легко забыть. Если мне захочется построить геометрическую структуру, я могу открыть систему автоматизированного проектирования. Если мне захочется узнать, в какой точке Земли я нахожусь или как добраться до нужного места, я могу открыть приложение на телефоне. Пилотов по-прежнему учат определять румбы и локсодромии – на случай если откажет система GPS, – но обычным людям эти древние знания не нужны. Я не могу отделаться от чувства, что в определенном отношении мы из-за этого многое теряем. Так, некоторые исследователи утверждают, что, порвав с геометрией, мы ограничили свои творческие способности[61]61
  Ramey K. E. et al. In-FUSE-ing STEAM learning with spatial reasoning: distributed spatial sensemaking in schoolbased making activities. Journal of Educational Psychology. 112, no. 3 (2020): 466–93.


[Закрыть]. Говорят, теперь нашему мозгу не хватает умений, которые были у людей, применявших геометрическое мышление. Но свидетельств этому не так уж много, и, возможно, это не имеет значения. Как бы то ни было, геометрия, бесспорно, сыграла огромную роль в развитии искусства и архитектуры, а также в географических исследованиях. Я пересмотрел свое первое впечатление от нее, которое получил в восьмилетнем возрасте, и теперь уверен, что каждый должен испытать радость геометрии, даже если она не приносит пользу и не меняет мозг.

Не уверен, что сказал бы то же и об алгебре. Томас Джефферсон однажды назвал изучение этого предмета “изысканной роскошью”[62]62
  Gordon I. S., Sorkin S. The Armchair Science Reader. New York: Simon and Schuster, 1959.


[Закрыть], а английский писатель Сэмюэл Джонсон рекомендовал заниматься алгеброй, чтобы делать разум “менее мутным”. Другие, впрочем, не разделяли их энтузиазма. Даже столь подкованный в алгебре человек, как британский математик Майкл Атья, считал ее палкой о двух концах. Алгебра, по его мнению, отнимает у математика характерную для геометрии интуитивную связь с реальным миром и представляет собой математику, лишенную человечности. “Алгебра – это предложенная математику сделка с дьяволом, – сказал он однажды. – Дьявол говорит: я дам тебе мощный инструмент, который ответит на любые твои вопросы. Ты должен лишь отдать мне свою душу”[63]63
  Atiyah M. F. Collected Works, vol. 6. Oxford: Clarendon Press, 1988.


[Закрыть].

Стоит ли алгебра того? Скоро узнаем.

Глава 3. Алгебра. История организации

Уметь считать – прекрасно, но что, если кое-что все же остается неучтенным? Научившись создавать и использовать такие математические инструменты, как квадратные уравнения, мы получили возможность находить недостающие числа и подчинять себе процессы, происходящие в природе. Простейшие вещи – понять, какой налог платить и как победить в битве, даже если вам противостоит всего лишь другой математик, – вскоре превратились в продвинутые алгоритмы для решения любых задач, от прогнозирования движения планет до снижения затрат на эксплуатацию автомобилей и обеспечение выживания человечества в холодной войне.

Во вторник, 17 апреля 1973 года, небольшая транспортная компания начала революцию в сфере, в которой революции никто не ожидал. На 14 малых самолетах она за одну ночь доставила 186 посылок в 25 городов[64]64
  FedEx History, www.fedex.com/en-us/about/history.html.


[Закрыть]. Описать эту революцию просто: каждый из этих рейсов вылетел из Мемфиса в штате Теннесси.

Сначала работу этого “веерного” предприятия обеспечивали всего 389 сотрудников, и приносить прибыль оно стало лишь через два года. Сегодня в его штате 170 тысяч человек, а его годовой доход составляет 71 миллиард долларов. Это FedEx.

Успех FedEx объясняется тем, что основатель компании решил вести всю логистику из точки, являющейся самым удобным центром для доставки грузов по США. Как ему это удалось? Фредерик Смит, основатель и генеральный директор FedEx, почти наверняка взял карту США и нашел на ней аэропорт, расположение которого позволяло свести к минимуму среднее расстояние перемещения посылки. Учитывались и другие факторы: в этом аэропорту круглый год должна была стоять хорошая погода, чтобы он редко закрывался, а его руководство должно было согласиться немного изменить инфраструктуру под нужды предприятия Смита.

Оказывается, выбор Смита был не оптимальным. В 2014 году профессор математики Кент Моррисон разработал алгоритм, позволяющий произвести более систематический расчет, и использовал данные переписи населения, чтобы выяснить, где именно живут люди в США[65]65
  Morrison K. E. The FedEx problem. College Mathematics Journal. 41, no. 3 (2010): 222–32.


[Закрыть]. Он пришел к выводу, что оптимальная точка для логистического центра находится примерно в 110 километрах к юго-западу от Индианаполиса, в округе Грин в Индиане. До центра Смита в Мемфисе оттуда всего 500 километров. Любопытно, что конкурент FedEx, компания UPS, оказалась чуть ближе. UPS бесстыдно перешла на веерную систему вскоре после успеха FedEx и разместила свой логистический центр в Луисвилле (штат Кентукки), всего в 440 километрах от центра расселения американцев.

FedEx и UPS – классические логистические компании. Логистика – это маркировка, сортировка, группировка и транспортировка. Человеческая цивилизация построена на решении логистических задач, будь то хоть строительство пирамид в Древнем Египте, хоть пришедшее к Наполеону понимание того, что снабжение продовольствием – залог успешной армии, хоть современные задачи по обеспечению того, чтобы пилоты авиакомпаний, посылки с Amazon и пакеты данных, путешествующие по Всемирной паутине, оказывались ровно там, где должны быть в конкретный момент. Для всего этого необходимо то, что математики называют алгеброй. Следовательно, можно смело сказать, что эта книга – хоть в печатной, хоть в электронной версии – оказалась у вас в руках не без помощи алгебры. За доставку отвечает математика.

Решаем квадратное уравнение

Что вообще такое алгебра? Возможно, в вашем представлении – вполне обоснованном, если вспомнить, как алгебру обычно преподают, – это пугающий лабиринт уравнений, буквенная мешанина x, y, z, a, b и c, да еще и куча верхних индексов в придачу (² и ³, а может, даже ⁴). Непосвященных такое, несомненно, обескураживает. Но алгебра – не синоним проблем. На самом деле это просто искусство выявления скрытой информации не основе имеющихся данных.

Слово “алгебра” произошло от арабского “аль-джебр” из названия написанной в IX веке книги Мухаммада аль-Хорезми (о ней упоминалось в первой главе – это “Краткая книга о восполнении и противопоставлении”). В ней собраны древнеегипетские, вавилонские, древнегреческие, древнекитайские и древнеиндийские методы определения неизвестных при наличии заданных величин. Аль-Хорезми дает нам инструкции – формулы, которые мы называем алгоритмами, – по решению простых алгебраических уравнений, таких как ax² + bx = c, и геометрические методы решения 14 разных типов “кубических” уравнений (где x возведен в третью степень).

Кстати, на тот момент в сочинениях аль-Хорезми еще не было ни переменных, ни степеней, ни уравнений как таковых. Изначально алгебра была “риторической” наукой, где задачи и их решения описывались хитросплетениями слов. Неизвестная величина обычно называлась cossa, или “вещь”, и потому алгебру нередко именовали “коссическим искусством”. Первые приверженцы этого искусства решали задачи такого типа:

Двое мужчин вели волов по дороге, и первый сказал второму: “Дай мне двух волов, и тогда у меня будет столько же волов, сколько у тебя”. Потом второй сказал: “Теперь ты дай мне двух волов, и тогда у меня волов будет вдвое больше, чем у тебя”. Сколько волов было всего и сколько их было у каждого из мужчин?

У меня есть кусок льняной ткани 60 футов длиной и 40 футов шириной. Я хочу разрезать его на меньшие фрагменты, по 6 футов в длину и 4 фута в ширину, чтобы каждого отреза хватило на пошив туники. Сколько туник получится из большого куска?

Около 800 года эти примеры собрал и опубликовал в сборнике “Задачи для развития молодого ума” Алкуин из Йорка[66]66
  Hadley J., Singmaster D. Problems to sharpen the young. Mathematical Gazette. 76, no. 475 (1992): 102–26.


[Закрыть]. Они не слишком отличаются от задач, которые мы решали на школьных уроках математики[67]67
  У того, который просил двух волов, было четыре вола, а у того, который просил одного, – восемь. Из большого куска ткани можно сшить 100 туник.


[Закрыть]. У нас, однако, было преимущество, ведь мы могли превратить их в уравнения, и теперь, прежде чем погружаться в глубины алгебры, нам стоит сделать паузу и осознать, как сильно это облегчало нам жизнь.

Идея отказаться от слов в алгебре появилась лишь в XVI веке. Она пришла в голову французскому чиновнику Франсуа Виету. Получив юридическое образование, Виет на протяжении большей части жизни служил при французском королевском дворе, всячески помогая монархам. Он занимал административный пост в Бретани, был тайным советником короля Генриха III и занимался дешифровкой писем при Генрихе IV. Его звездный час, пожалуй, настал тогда, когда король Испании обвинил французский двор в использовании черной магии. Как иначе, жаловался он папе римскому, Франция могла заранее узнать о военных планах Испании? Но здесь, конечно, обошлось без колдовства. Виет просто оказался умнее испанских шифровальщиков и смог прочесть их переписку, перехваченную французскими военными.

Возможно, именно такая гибкость ума и позволила Виету разглядеть, что риторическая алгебра станет проще, если ввести в нее символы. В своей алгебре он согласными обозначал известные величины, а гласными – неизвестные. У него получалось примерно так:

A cubus + B quad. in A, æquetur B quad. in Z,

а сегодня мы написали бы:

А³ + B²A = B²Z

Его запись, признаться, тоже не была простой, но для начала и это было неплохо. Любопытно, что он использовал знак плюса (и знак минуса в других формулах), но знака равенства еще не ставил. Знак равенства в 1557 году ввел в обиход валлийский математик Роберт Рекорд, который предложил его в книге с забавным названием “Оселок остроумия, являющийся второй частью арифметики и содержащий извлечение корней, коссическую практику с правилом составления уравнений, а также иррациональные числа”.

Раз уж мы коснулись вопроса об алгебраической записи, стоит отметить, что по сей день не угасают ожесточенные споры о том, как буква x стала символом неизвестной величины. По мнению историка культуры Терри Мура, дело в том, что в алгебре аль-Хорезми “неопределенная величина” называлась “шен”[68]68
  Moore T. Why X marks the unknown. Cosmos Magazine, 14 June 2015.


[Закрыть]. В испанском языке нет буквы “ш”, и потому при переводе его трудов испанцы взяли самую близкую к ней букву x, которая дает испанский звук ch. Но в других источниках утверждается, что x нам подарил Рене Декарт, который применил буквы с разных концов алфавита в своей книге “Геометрия”, опубликованной в 1637 году[69]69
  Cajori F. A History of Mathematical Notations, Volume I: Notations in Elementary Mathematics. London: The Open Court Company, Publishers, 1928.


[Закрыть]. Он обозначил известные величины буквами a, b и c, а неизвестные – буквами x, y и z.

Если вас пугает алгебра со всеми ее загадочными символами, представьте, что перед вами способ представить геометрические фигуры в текстовой форме.

Продумывая структуру своей книги, я провел искусственную черту между алгеброй и геометрией. Хотя обычно мы изучаем эти науки по отдельности – в основном потому, что так проще составлять учебный план, – алгебра естественным образом вытекает из геометрии. Это, в сущности, и есть геометрия, которая отказывается от картинок, тем самым позволяя математике освободиться от оков и расцвести. Чтобы понять, как это происходит, давайте вернемся – в очередной раз – к древней практике налогообложения.

Как мы видели в главе о геометрии, налоги часто рассчитывались в зависимости от площади полей – вавилонское слово eqlum, “площадь”, изначально и значило “поле”[70]70
  Høyrup J. Algebra in cuneiform: Introduction to an Old Babylonian geometrical technique. Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte. Preprint Vol. 452 (2013).


[Закрыть]. Неудивительно, что вавилонским чиновникам приходилось решать задачи наподобие вот этой, записанной на глиняной табличке YBC 6967 из Вавилонской коллекции Йельского университета:

Площадь прямоугольника равна 60, а его длина больше ширины на 7. Какова его ширина?

Попробуем решить эту задачу. Если взять ширину за x, то длина – это x + 7. Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, а значит, задается следующим равенством:

A = x (x + 7)

Скобки здесь показывают, что каждое из слагаемых внутри них нужно умножить на величину, стоящую снаружи, и тогда получится:

A = x² + 7x

Вавилоняне решали такие уравнения, производя последовательность действий, показывающих тесную связь между алгеброй и геометрией. Этот процесс называется “достраиванием квадрата”.

Вавилонский метод “достраивания квадрата” для решения квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида x² + bx, сначала нужно было зарисовать его в виде геометрических фигур. x² – это квадрат со стороной x. bx – прямоугольник с длиной x и шириной b. Поделите этот прямоугольник надвое по длинной стороне и переместите одну половину в нижнюю часть квадрата, и у вас почти получится квадрат побольше. Чтобы достроить его, нужно просто добавить маленький квадратик со стороной b/2. Площадь этого квадратика – (b/2)². Получается, что изначальное уравнение эквивалентно равенству (x + b/2)² – (b/2)².

Сталкиваясь с уравнением вида

x² + bx = c

вавилоняне подставляли в него результат достраивания квадрата и получали:

Далее они работали с этим равенством и приводили его к формуле (хотя и не записывали формулу в современном представлении):

Ответ: ширина равняется 5, а длина – 12. Но приглядитесь – разве эта формула вам не знакома? Если я чуть изменю изначальное равенство, чтобы получилось

ax² + bx + c = 0,

то вы сможете решить его по формуле, усвоенной в школе, – формуле для решения квадратного уравнения:

Как видите, когда-то в школе вы узнали не что иное, как метод расчета налогов, которому уже 5000 лет. Впрочем, никто из нас не стал вавилонским сборщиком податей, так зачем же школьникам сегодня решать квадратные уравнения? Это справедливый вопрос, и спорят об этом даже сами учителя математики.

Кривые космоса

На отраслевой конференции, состоявшейся в 2003 году, заслуженный британский учитель математики Терри Блейден высказал мнение, что с квадратными уравнениями лучше знакомить только тех учеников, которым действительно нравится математика[71]71
  Woodward W. Make maths optional – union leader. The Guardian, 22 April 2003.


[Закрыть]. Он отметил, что большинству молодых людей для жизни вполне достаточно и базовой математической грамотности. Других учителей математики настолько возмутило его предложение, что один из них даже ответил ему с политической арены. Тони Макуолтер не один десяток лет преподавал математику, а затем был избран в парламент. “Квадратное уравнение, – заявил он в палате общин, – это не темная комната без мебели, где человеку приходится сидеть на корточках. Это дверь в комнату, полную беспрецедентных достижений человеческого разума. Если не войти в эту дверь – или если сказать, что за ней не найдется ничего интересного, – можно навсегда лишиться доступа к значительной части того, что мы привыкли считать человеческой мудростью”[72]72
  House of Commons Hansard Debates for 26 Jun 2003, https://publications.parliament.uk/pa/cm200203/cmhansrd/vo030626/debtext/30626–22.htm, in col. 1264.


[Закрыть].

Правда ли это? Даже если квадратные уравнения и кажутся людям сложными, это не мешает им ценить человеческие знания и мудрость; в конце концов, мало кто из нас решал квадратные уравнения хоть раз после того, как сдал выпускной экзамен. Но людям, не связавшим свою жизнь с математикой, я все равно могу предельно честно сказать: освоив алгебру, вы развили свою способность к абстрактному мышлению и научились уделять внимание тому, о чем ваш мозг предпочел бы не думать. Тысячелетний опыт и ряд любопытных современных исследований показывают нам, что (как и в случае с геометрией) работа с абстрактными переменными и числовыми связями между ними действительно благотворно сказывается на нашем мышлении[73]73
  Susac A., Braeutigam S. A case for neuroscience in mathematics education. Frontiers in Human Neuroscience. 8 (2014).


[Закрыть]. Алгебра делает человека изобретательным, плодовитым и усидчивым, прививает ему способность нестандартно мыслить и доводить логические рассуждения до конца. Хороший пример – немецкий физик Георг Кристоф Лихтенберг.