Текст книги "В начале было ничто. Про время, пространство, скорость и другие константы физики"

Итак, на этом этапе нашего доказательства я рассказал вам о двух малых законах, отражения и преломления, и показал, что оба они суть проявления более глубокого закона: что при своем распространении от источника до приемника свет выбирает путь, требующий наименьшего времени. Но почему свет так ведет себя? Каково происхождение этого фундаментального закона геометрической оптики? И откуда свет знает, причем, по-видимому, наперед, какой именно путь займет у него меньше времени? Допустим, он вышел из источника в направлении, которое оказывается неверным, – что же ему, возвращаться и начинать сначала (что потребует еще большего времени) или просто двигаться дальше и будь что будет? Откуда же берется у света способность к предвидению?

* * *

Источник закона наименьшего времени – анархия. А чтобы увидеть, как анархия его порождает, нам придется исходить из того факта, что свет представляет собой электромагнитное излучение – волну колеблющихся электрического и магнитного полей, распространяющуюся со скоростью, которая, что неудивительно, называется скоростью света. Чтобы избежать этой очевидной тавтологии, думаю, следовало бы называть эту скорость как-нибудь вроде максвелловской скорости, в честь Джеймса Клерка Максвелла (1831–1879). Этот шотландский физик прожил очень короткую жизнь, но ее хватило для научного бессмертия, – ведь он первым понял электромагнитную природу света.

Чтобы представить себе свет, подумайте о волне как о цепочке гребней и провалов, несущейся сквозь пространство. Каждый гребень этой цепочки несется со скоростью света. Расстояние между соседними гребнями называется длиной волны света. Высота гребней и глубина провалов между ними соответствует силе электрического поля в каждой точке, а значит, и яркости света. Гребень возникает в том месте, где поле направлено вверх от волны, а провал показывает, что поле направлено вниз. Если бы вы могли почувствовать прохождение светового луча, поставив на его пути палец, вы ощутили бы пульсации электрического поля, с огромной скоростью изменяющего направление в полете. Частота, с которой эти пульсации изменяют направление, соответствует цвету нашего луча: если пульсации относительно медленные (хотя на деле они все равно невероятно быстрые), свет будет красным, если они станут более частыми, свет будет становиться желтым, голубым или даже фиолетовым. Белый свет – это смесь лучей всех цветов, от красного до фиолетового. Названия света «инфракрасный» (краснее красного) и «ультрафиолетовый» (с еще большей частотой пульсаций, чем у фиолетового) говорят сами за себя. Замедлим пульсации еще сильнее и получим радиоволны; ускорим их, и вот вам рентгеновские лучи. Наконец, так как свет любого цвета распространяется ровно с одной и той же скоростью, получается, что более часто меняющие направление пульсации (то есть свет с большей частотой) соответствуют и более короткому расстоянию между гребнями волн (то есть меньшей длине волны). Таким образом, у синего света длины волн меньше, чем у красного, а у рентгеновских лучей волны совсем короткие. Длина волны видимого света – примерно около половины тысячной доли миллиметра. Несмотря на заявления пессимистов, которые называют такие величины невообразимо малыми, это все же почти реально себе представить.

Прочтя это описание и не забывая об анархии, рассмотрим волну определенного цвета, выходящую из некоторого источника и направляющуюся к месту своего назначения (например, к вашему глазу) по полностью произвольному пути. Возможно, она то и дело отклоняется от своего пути, иногда даже поворачивает назад, но все же наконец попадает в ваш глаз. Волна – это последовательность гребней и впадин, летящих по своему извилистому пути; допустим, что в этой последовательности, когда она достигла вашего глаза, случайно оказался ее гребень. Теперь рассмотрим путь, очень близкий к первому, но все же не вполне с ним совпадающий, чуть отличающийся его завиток, пришедший в ваш глаз чуть позже. Эта волна составляет такую же последовательность гребней и впадин, но, поскольку пути различаются, к вам в глаз попадает не гребень, а провал или что-то очень близкое к провалу. И этот провал уничтожает пик, пришедший к вам по первому пути (ведь электрические поля, которыми на самом деле являются все эти гребни и провалы, уничтожают друг друга, если они направлены противоположно). Может, это и не полное уничтожение, но представьте только огромное количество таких путей по соседству с первым из них – и у каждого длина чуть отличается. Тогда понятно, что в целом все гребни и провалы этого множества соседних волн, оказавшись в вашем глазу, друг друга погасят. Другими словами, хоть свету и разрешены все пути, но света, который по ним распространяется, вы не увидите. Анархия сама себя уничтожила.

А теперь рассмотрим не произвольный, а прямой путь между источником и вашим глазом. И на этот раз волна, летящая вдоль него, может прийти к вам в глаз своим гребнем. Теперь возьмем свет, который приходит по соседнему пути – почти, но все-таки не совсем такому же, как прямой путь. Он закончится у вас в глазу почти на гребне – ведь пройденное им расстояние почти такое же, что и по прямой. Но, так как пути настолько похожи, он никогда не закончится впадиной и не погасит гребень, которым закончилась первая волна. Есть множество путей, которые очень близки к прямому, и все они заканчиваются почти на гребне. Они сосуществуют: они не уничтожают друг друга. Другими словами, вы увидите свет, который распространяется по этим близким к прямому путям. В заслоне, поставленном анархией, обнаружилась лазейка.

Может показаться, что я просто подтасовал свои доводы, попросив вас принять на веру, что у извилистых путей всегда найдутся соседи с противоположным знаком волны, а у прямых путей их нет. Но я основываю это различие на жестких математических истинах. Знаю, что это звучит немного похоже на «поверь мне, ведь я врач». Но то, что мы сейчас получили, – это стандартный результат общепринятой физической оптики (или волновой оптики – той версии оптики, которая учитывает волновую природу света, а не просто изначально принимает путь, по которому он распространяется, за геометрическую прямую). В примечаниях вы найдете подробный разбор этой аргументации [19]19
  Пусть амплитуда волны, приходящей в точку прибытия по одному из путей, равна a₀. Амплитуда волны, приходящей по немного отличающемуся пути, описываемому параметром p, мерой изогнутости пути, равна a_p. Эти две амплитуды связаны соотношением a_p = a₀ + p(da/dp) + ½p²(d²a/dp²) +… Если путь достигает минимума, то член da/dp = 0 и две амплитуды отличаются только величиной второго порядка по p; все остальные пути отличаются гораздо сильнее, до первого порядка p. Эксперты уже понимают, что я буду обсуждать не амплитуду, а фазовую длину.


[Закрыть].

Теперь, должно быть, вы уже почувствовали, куда нас привело наше обсуждение. Не существует закона, который управляет направлением распространения света – свет может выбирать любое направление, любой путь между источником и точкой прихода. Но вследствие такого свободного и лишенного каких-либо ограничений поведения мы получаем закон: свет распространяется по такому пути, на котором время его распространения оказывается наименьшим. Нет, свет не знает наперед, какой из путей в результате окажется кратчайшим по времени; он не способен предугадывать. Он распространяется одновременно по всем возможным путям, и оказывается, что только на пути, на котором время распространения минимально, световые волны не гасят друг друга. Из анархии возникает закон.

До сих пор я говорил только о свете, распространяющемся в однородной среде, такой как вакуум или (с хорошей степенью приближения к вакууму) воздух. Откуда же берется закон Снеллиуса и вся оптика линз в наших камерах и микроскопах, в которых свет как только не изгибается, проходя через последовательности принимающих различные формы прозрачных сред? В этих случаях необходимо учитывать показатель преломления среды и его влияние на цуг гребней и впадин. В плотной среде свет распространяется медленнее, поэтому, хотя его электрическое поле пульсирует с той же частотой (цвет луча не меняется, когда луч проходит через воду или стекло), гребни и провалы волны становятся ближе друг к другу: длина волны уменьшается. Изменение расстояния между гребнями и впадинами меняет вид пути, который окружают не уничтожающие нашу волну соседи. «Волна выживания» больше не идет по прямой между источником и точкой назначения. Теперь безопасный путь – это прямая линия в первой среде, которая затем ломается и переходит в другую прямую линию во второй среде. После проведения вычислений оказывается, что «путь выживания», где соседи не стараются тебя погасить, – это в точности тот путь, который соответствует условию наименьшего времени прохождения и который описывается законом Снеллиуса. Анархия – мать оптики.

Здесь я должен вставить важное замечание. Уничтожение волн на соседних с данной волной путях тем более эффективно, чем короче длина волны или чем выше частота излучения. Когда длина волны очень мала, даже крохотные отклонения путей друг от друга дают очень разные относительные положения гребней и провалов, и взаимное уничтожение волн оказывается практически полным. Зато когда волны имеют большую длину, ситуация смягчается – тогда даже довольно серьезные отклонения путей друг от друга не обязательно приводят к взаимному гашению волн. В геометрической оптике, о которой я говорил, световые волны считаются настолько короткими, что даже бесконечно малые различия между путями оказываются роковыми. В результате получается, что свет способен распространяться только вдоль участков геометрически точных прямых. На практике длины световых волн не бесконечно малы, и геометрическая оптика оказывается неидеальным приближением. Те малые отклонения от прямых линий, которые в результате приходится разрешить, наблюдаются в виде аберраций линз и в виде других оптических явлений. Длины радиоволн достигают нескольких метров, а то и больше, поэтому для этих волн геометрическая оптика – плохое приближение. Даже большие объекты не могут преграждать путь таким волнам. Радиоволнам стены не помеха.

Хотя звуковые волны не являются электромагнитными (это волнообразное распространение перепадов давления), они следуют тем же правилам распространения, что и свет. Однако здесь типичные длины волн порядка метров (длина волны «до» первой октавы 1,3 метра). Поэтому «геометрическая акустика» была бы очень плохим приближением в мире, заполненном объектами размером с человека. Вот почему и для звуков стены – не преграда.

* * *

Вы можете с полным правом возразить: закон, который я выбрал, чтобы продемонстрировать, как анархия ограничивает сама себя, достаточно тривиальный – какой-то детский «внезакон». Однако дальше в этой главе вы увидите, что дело обстоит ровно наоборот – у этого закона невероятно богатое содержание. В нашем обсуждении распространения света на деле заключен гораздо более глубокий смысл, чем кажется на первый взгляд. Та же самая анархия, которая самим отсутствием каких-либо ограничений сковывает свет по рукам и ногам, подобным же образом сковывает и всю материю. Эта идея объясняет квантовую механику, а если распространить ее дальше, то и механику классическую.

Ключевая концепция, которая мне нужна, чтобы сделать этот переход, заключается в том, что частицы похожи на волны. И тут мне придется погрузить вас в самую суть еще одной из великих научных революций, которые поставили на место здравого смысла нечто такое, что во многих отношениях оказывается гораздо проще него, – хоть и может выглядеть на первый взгляд шокирующе непохожим на правду. Как я уже отмечал в главе 1, классическая физика аккуратно разделяла частицы и волны, рассуждая о тех и о других по-разному. Их природа и характеристики выглядели совершенно непохожими. Частицы были точечными сущностями, строго локализованными в пространстве; волны – вечно колеблющимися и растягивающимися в пространстве чуть ли не до бесконечности. Можно ли представить себе что-то более различное? И кто мог бы их спутать?

Природа. Сначала до ученых дошло, что некоторые эксперименты с легчайшими из известных на тот момент частиц, электронами, показали, что те ведут себя так, как будто они волны. Я уже рассказывал о воображаемом завтраке Джей-Джей Томсона и его сына Джорджа, который проходит в ледяном молчании. Джей-Джей абсолютно неопровержимо доказал, что электрон, открытый им в 1897 году, – это частица с определенными массой и зарядом. Но его сын тоже не сидел сложа руки и в 1927 году точно так же убедительно показал, что электрон – волна. Примерно в то же время к тому же выводу пришли Клинтон Дэвисон (1881–1958) и Лестер Джермер (1896–1951), которые установили, что электроны демонстрируют точно такую же картину дифракции волн, что и свет[20]20
  Длина волны λ частицы с количеством движения p дается соотношением де Бройля λ = h/p, где h – постоянная Планка (см. главу 8). Это соотношение, предложенное Луи де Бройлем (1892–1987) в 1924 году, как было показано позже, является следствием более общей формулировки квантовой механики.


[Закрыть].

Были и другие несообразности, вызывающие беспокойство. Все знали, что свет – это волна (в настоящей главе я уже воспользовался этим представлением), и это подтверждалось множеством опытов на протяжении десятилетий. Но тут появились двое вредных надоедал. Первым был немецко-швейцарско-австрийско-американский патентный клерк Альберт Эйнштейн. В 1905 году он показал, что физический эффект, заключавшийся в испускании электронов металлом, который облучают ультрафиолетовым светом (я говорю о так называемом фотоэлектрическом эффектe) легко объяснить, если считать световые лучи потоком частиц. (Это объяснение в 1921 году принесло Эйнштейну Нобелевскую премию; теория относительности, гораздо более интеллектуально мощное и далеко идущее его достижение, в то время еще выглядела слишком подозрительной.) Со временем эти частицы света стали называть фотонами. Другим надоедой был американский физик Артур Комптон (1892–1962). Он в 1922 году доказал, что для того, чтобы объяснить, как свет отскакивает от электронов, его необходимо рассматривать как поток фотонов, которые ведут себя как микроскопические пули. (В 1927 году Комптон тоже получил Нобелевскую премию.) Физика оказалась в затруднительном положении: то, что было частицами, вело себя как волны, а волны, наоборот, успешно притворялись частицами. И никто не мог понять – что, черт побери, происходит?

Именно из осознания двойственной природы электрона и фотона, а позже – всего вещества и излучения, и возникла концепция дуализма. Все субъекты физики демонстрировали свойства как частиц, так и волн, в зависимости от того, какого рода эксперименты с ними проводились. Дуализм стал одной из основ квантовой механики, которая была делом рук (точнее, конечно, мозга) Вернера Гейзенберга, в то время отрезанного от остального мира на уединенном острове, Эрвина Шредингера, уединившегося в горах с женщиной, и Поля Дирака (1902–1984), вообще всегда жившего в своем собственном мире. Все трое, каждый по-своему, пришли к идеям квантовой механики в 1925–1927 годах. Квантовая механика и ее причудливые ответвления, такие как квантовая электродинамика, обеспечивали количественные предсказания экспериментов с невероятной точностью. Они были подвергнуты исчерпывающим проверкам до…надцатых десятичных знаков и ни разу не обнаружили каких-либо отклонений от реальности. Другими словами, квантовая механика, основанная на концепции дуализма, вполне могла оказаться верной.

Теперь, когда мы установили эту отправную точку и осознали дуализм вещества и излучения, пришло время взглянуть, как эта концепция открывает дорогу пониманию природы законов, которые управляют движением частиц. Коль скоро частицы ведут себя как волны, вы уже можете предположить, какой ответ мы должны дать на вопрос о правилах для них: правил не существует. Волны распространяются между источником и пунктом своего прихода без всяких ограничений, вдоль всех возможных путей. Однако все эти пути, кроме одного – того, который требует наименьшего времени прохождения (в этом утверждении мне придется кое-что уточнить, и я вскоре это сделаю), – все эти пути окружены уничтожающими их соседями и в результате элиминируются. Только один путь имеет соседей, которые не разрушают его, путь наименьшего времени – и именно по нему частица и распространяется.

Итак, будем считать, что все частицы – не одни только электроны – имеют волновую природу. Анархия требует, чтобы в однородной среде частица распространялась по прямой, так же, как свет – в полном соответствии с аргументами, которые я только что привел. То есть мы позволяем частице распространяться по любому пути в пустом пространстве, и благодаря ее волновой природе единственным путем, на котором у нее не будет деструктивных соседей, будет прямой путь между источником и точкой назначения.

* * *

Но движение по прямым – не единственный вид движения частиц. Мир был бы скучным, полностью предсказуемым местом, если бы этим все и ограничивалось. Как насчет более сложного поведения – движения по орбитам и вообще криволинейного движения? Распространяется ли на него власть анархии? Да. Но чтобы понять это, придется принять к сведению идею действия.

Здесь я оказываюсь в затруднении. В техническом термине «действие» лишь слегка проглядывают те значения, которые это слово имеет в своем повседневном смысле. Я уже призывал вас думать о действии как об усилии, напряжении сил, физическом «пыхтении». Конечно, в физике есть и более формальное определение этого понятия, скрытое в глубине уравнений классической механики, но для того, чтобы вывести его здесь во всем его истинном величии, понадобился бы слишком утомительный технический марафон [21]21
  Формальное определение действия S таково:
  S = ∫пути L(q, q˙)ds,
  где интегрирование ведется вдоль пути с бесконечно малыми шагами ds, q – положение частицы, q˙ – ее скорость и L(q, q˙) лагранжиан системы. В некоторых случаях L – разность между кинетической и потенциальной энергиями частицы, как в выражении для гармонического осциллятора.


[Закрыть]. Поэтому я по-прежнему буду понимать под действием что-то вроде «пыхтения».

Когда классическая частица движется по своей траектории, она несет некоторое количество этого «пыхтения». Согласно сформулированному Мопертюи принципу наименьшего действия, путь, который частица в реальности выбирает в своем движении, соответствует наименьшему количеству «пыхтения» – как, возможно, мы стремимся поступать и сами. Из этого вытекает, что пути частиц, которые были бы вычислены из классической механики Ньютона в соответствии с исходной авторской формулировкой, данной в терминах сил, действующих в каждой точке, могут быть рассчитаны и из условия наименьшего действия вдоль траектории.

Тут возникает вопрос, как же именно частица узнает наперед, какой из возможных путей связан с наименьшим действием. Она ведь может начать двигаться по какому-нибудь соблазнительно благоприятному в этом смысле пути, а потом вдруг наткнуться на преграду в виде противодействующей силы, для преодоления которой ей придется по-настоящему попыхтеть. Но к этому времени будет уже слишком поздно поворачивать назад и начинать все с начала в надежде выбрать путь полегче.

Точно такой же вопрос вставал перед нами при обсуждении распространения света – и ответ здесь точно такой же. Тогда решением проблемы оказывалась волновая природа света в сочетании с анархией. В нынешнем случае решение вытекает из волновой природы вещества – в сочетании все с той же анархией. Вместо коэффициента преломления среды, через которую распространялся свет, замедляя в ней свое движение и вследствие этого изменяя свою фазу в точке прихода (от этого зависело, придется ли на эту точку гребень волны, ее впадина или что-то посредине между ними), теперь мы рассматриваем действие вдоль траектории (количество «пыхтения», связанное с ней), которое влияет на прохождение волны через области с различной потенциальной энергией и таким образом определяет фазу волны вещества в точке ее прихода. Эти вопросы были исследованы Ричардом Фейнманом (1918–1988), одаренным необыкновенным творческим воображением великим ученым и популяризатором науки, который увидел, что они могут привести его прямехонько к квантовой механике[22]22
  Версия квантовой механики, основанная на концепции интерферирующих путей, – фейнмановская формулировка теории на основе интеграла по траектории, предложенная в книге P. Ф. Фейнмана и А. Р. Хибса «Квантовая механика и интегралы по траекториям» (McGraw-Hill, 1965) (Русский перевод: Фейнман Р. Квантовая механика и интегралы по траекториям / Р. Фейнман. М.: Книга по Требованию, 2021. 383 с.).


[Закрыть].

Итак, если интересующая нас частица рассматривается как волна и кругом царит анархия, что проявляется в отсутствии всякого управления ее движением, то аргументация строится так. Волны распространяются вдоль всех возможных путей между их источником и точкой прихода; каждая из них оказывается в определенной фазе, зависящей от действия, связанного с распространением по тому или иному пути [23]23
  Если волна имеет амплитуду a в точке выхода, то ее амплитуда и фаза в удаленной точке ae^iS/^ћ, где S – действие, связанное с путем ћ = h/2π, а i = √(–1).


[Закрыть]. Вообще говоря, каждый путь соседствует с другими, имеющими совершенно другую фазу – некоторые на гребне, некоторые в провале, – что для данного конкретного пути губительно. Благосклонные соседи, которые не несут разрушения, оказываются только у того пути, который соответствует наименьшему действию. Мы, сторонние наблюдатели, не видим этих скрытых конфликтов: мы замечаем только, что единственным реализующимся путем неизменно остается путь наименьшего действия.

Если величина действия очень велика, как это имеет место у тяжелых частиц – мячей или планет, – то уничтожение друг друга соседями оказывается очень жестким и эффективным. Тогда, как и в геометрической оптике, частицы можно рассматривать как движущиеся по точно определенной «траектории выживания». Получается, что классическая механика вытекает из волновой природы частиц точно так же, как геометрическая оптика – из физической оптики и из волновой природы света. Когда частицы малы, как, скажем, электроны, действие микроскопически мало и взаимное погашение соседями друг друга становится неэффективным, как, например, при распространении звука. Классическая механика в этих случаях не действует, точно так же, как «геометрическая акустика» неприменима к звуку. Теперь для оценки движения частиц надо пользоваться квантовой механикой, которая всегда наготове, но, когда действие велико, остается в тени.

* * *

Наконец, чтобы завершить это обсуждение, мне придется еще упомянуть концепцию дифференциального уравнения. Многие законы природы, и в особенности законы классической и квантовой механики, выражаются именно в этой форме[24]24
  Второй закон Ньютона выражается дифференциальным уравнением F = dp/dt, где F – сила, а p – импульс. Более сложный пример – уравнение Шредингера для частицы с массой m и энергией E в одномерной области, где потенциальная энергия равна V(x): —(ћ²/2m)(d²ψ/dx²) + V(x)ψ = Eψ, где ћ = h/2π и ψ – волновая функция частицы, математическая функция, содержащая всю динамическую информацию о частице.


[Закрыть]. Это важная тема – часто можно услышать, что дифференциальные уравнения составляют математическую основу физики. Уравнения обычного, знакомого всем вида говорят нам, как одно свойство зависит от другого; взять хоть знаменитое уравнение E = mc ², которое показывает, как энергия E зависит от массы m. Дифференциальное же уравнение говорит о том, как изменение одного свойства (отсюда намек на понятие «разности», difference, в слове «дифференциальный») зависит от различных других свойств, включая и само рассматриваемое свойство. Второй закон Ньютона, который гласит, что скорость изменения количества движения пропорциональна действующей силе, – пример вербализации, словесного выражения дифференциального уравнения.

Также важно, что дифференциальные уравнения выражают бесконечно малые изменения свойств. Причина (и преимущество) такого подхода заключаются в том, что условия могут изменяться от точки к точке. Например, во втором законе Ньютона сила может меняться от места к месту и от одного момента времени к другому, и чтобы найти суммарное влияние этих изменений на траекторию частицы, необходимо рассмотреть кумулятивный, накопленный результат выполнения множества (по сути, бесконечного числа) малых (бесконечно малых) шагов. Мы говорим, что общее действие силы может быть найдено посредством «интегрирования» (в сущности, суммирования всех этих малых шагов) или, эквивалентно, что дифференциальные уравнения могут быть «решены интегрированием». Таким образом, если в одной точке пространства сила оказывает какое-то одно влияние, а в соседней точке – другое, тело испытает толчок в первой точке и еще один толчок во второй, а общим результатом действия этих сил окажется сумма обоих толчков. Теперь, надеюсь, вы понимаете, что дифференциальное уравнение как раз и служит для того, чтобы описать, как частица (к примеру) как бы на ощупь прокладывает себе путь к месту назначения, определяя тем самым свою траекторию.

Основные, фундаментальные, вездесущие дифференциальные уравнения физики – дети анархии. Как вы уже видели, анархия порождает законы наименьшего времени в оптике и наименьшего действия в механике. Эти минимумы относятся к пути в целом, а не к бесконечно малым его участкам. И тем не менее замечательным математическим результатом является тот факт, что если пробираться на ощупь в соответствии с подходящим дифференциальным уравнением, это гарантирует вам движение вдоль в целом минимального пути. Дифференциальное уравнение дает вам инструкции, что делать в каждой конкретной точке пространства и в каждый конкретный момент времени – сдвигаться налево или направо, ускоряться или замедляться и так далее, – и все это для того, чтобы вы оказались в точке своего назначения, двигаясь по пути, требующем наименьшего времени и наименьшего действия[25]25
  Чтобы найти путь, соответствующий наименьшему действию (как определено в примечании 5), ищите путь, на котором δ ∫_пути L(q, q˙)ds = 0, где δ означает изменение пути. Это условие минимизации удовлетворяется при условии, что ∂L/∂q – d(∂L/∂q˙)/dt = 0, которое представляет собой дифференциальное уравнение (уравнение Эйлера – Лагранжа). Если лагранжиан имеет форму L = ½mq˙² – V(q), уравнение Эйлера – Лагранжа превращается во второй закон Ньютона.


[Закрыть]. Глобальный критерий рассыпался на множество точечных локальных инструкций. Получается, что, хотя по общему мнению дифференциальные уравнения составляют ключевую особенность физики, весьма вероятно (и, по-моему, так оно и есть), что, по крайней мере в рамках классической и квантовой механики, они представляют собой лишь вспомогательные конструкции. Ключевыми являются основанные на анархии глобальные свойства природы, а дифференциальные уравнения всего лишь дают локальные правила поведения – что-то вроде руководства для автостопщика по выбору кратчайшего маршрута.

* * *

Итак, куда нас завела анархия? Мы дали свету свободу искать свой путь, не связывая его никакими правилами, – и он тут же обязался следовать правилу двигаться по пути, который требует наименьшего времени прохождения. Мы согласились с экспериментальными доказательствами дуализма частиц, в частности с тем, что у них есть волновые признаки, – и едва мы освободили от выполнения каких-либо правил и частицы, они подчинились правилу двигаться по пути наименьшего действия. Как геометрическая оптика при уменьшении длины волны света естественно вытекает из оптики физической, так и классическая механика следует из волновой (это старое название квантовой механики), когда движущееся тело перестает быть микроскопически малым и приобретает размеры, соответствующие нашему повседневному опыту. Еще мы увидели, что фундаментальные и вездесущие дифференциальные уравнения классической и квантовой механики являются лишь локальными инструкциями, позволяющими свету и частицам находить путь, который удовлетворяет глобальным критериям наименьшего времени (для света) и наименьшего действия (для частиц), и на ощупь следовать этому пути. Анархия привела нас к физике.