Текст книги "Как работает Вселенная: Введение в современную космологию"

2.6. Масштабный фактор

Теперь, узнав о геометрии Вселенной, мы можем вернуться к обсуждению понятия масштабного фактора. Мы могли бы использовать расстояние между любыми произвольными точками в качестве масштабного фактора, но в однородной Вселенной нет избранных точек. Тем не менее существует естественный пространственный масштаб в замкнутой Вселенной Фридмана. Это радиус кривизны Вселенной, который и используется в качестве масштабного фактора а закрытой модели. В открытой модели радиус кривизны Вселенной отрицателен, так что масштабный фактор а определяется как абсолютная величина этого радиуса. В обоих случаях величина масштабного фактора в настоящее время равна некоторому значению а₀. Мы используем индекс 0, чтобы указать значения величин в современную эпоху.

Совершенно иначе обстоит дело у плоской модели с нулевой пространственной кривизной, в которой нет никакого естественного масштабного фактора. Чтобы обойти это препятствие, полагают а₀ = 1. В результате величина масштабного фактора определяется как отношение расстояния между любыми достаточно удаленными объектами (так что они не являются гравитационно связанными друг с другом) в данной эпохе к его значению сейчас. В этой книге мы будем использовать подобное отношение для всех моделей. Для такого выбора есть несколько причин. Среди прочего наша Вселенная плоская или почти плоская, и мы не знаем значения ее радиуса кривизны.

Мы обозначим это отношение буквой u. Оно совпадает с определением масштабного фактора в случае плоской модели. Для открытых или закрытых моделей ему соответствует соотношение u = a/a₀. Для простоты мы называем его относительным масштабным фактором. Обратная величина 1/u тесно связана с красным смещением z с помощью простой формулы 1/u = 1 + z. Постоянная Хаббла равна H = (du/dt)/u.

Один из возможных способов сделать выбор между тремя моделями Фридмана – это определение так называемого космологического параметра замедления q. Параметр замедления связан со скоростью, с которой уменьшается с течением времени постоянная Хаббла (детали см. в подразделе 2.7.3). Эта величина положительна для всех трех моделей Фридмана. В замкнутой модели она больше, чем 0,5, в плоской модели равна 0,5, а в открытой модели меньше, чем 0,5, но всегда положительна.

Определение параметра замедления реальной Вселенной на основе данные о вспышках сверхновых дало неожиданный результат. Полученное значение оказалось отрицательным, это означает, что наша Вселенная в настоящее время расширяется с ускорением. Открытие принесло его авторам – Солу Перлмуттеру, Брайану Шмидту и Адаму Риссу – Нобелевскую премию по физике в 2011 г. «За открытие ускоренного расширения Вселенной посредством наблюдения дальних сверхновых». Для объяснения этого эффекта необходимо ввести новый элемент, а именно космологическую постоянную, или темную энергию.

2.7. Нерелятивистские решения Фридмана

Как мы уже упоминали в главе 1, через некоторое время после появления релятивистской космологии было обнаружено, что многие ее результаты можно получить, не прибегая к ОТО. В этом разделе мы получим математическое описание трех моделей Фридмана, используя классический ньютоновский закон всемирного тяготения, и вычислим для них параметр замедления.

Рассмотрим вначале простейшую модель, когда Вселенная равномерно заполнена пылевидной материей, т. е. материей, не имеющей давления, с плотностью ρ(t). Выберем произвольную точку, которую будем считать центром Вселенной. Естественно, мы можем взять любую другую точку и назначить ее в качестве центра Вселенной, но из-за однородности Вселенной уравнения и их решения будут теми же.

Рассмотрим сферу радиуса r(t) вокруг этого центра, привязанную к материи и расширяющуюся вместе с ней по закону Хаббла (2.1). Ни один атом или частица материи не могут пересечь эту сферу. Все, что было внутри сферы, остается внутри навсегда, все, что снаружи сферы, всегда будет снаружи, а то, что на поверхности, остается на поверхности. Радиус сферы мал по сравнению со значением c/H, поэтому его изменение нерелятивистское, и мы можем использовать простейший вариант закона Хаббла (2.1) v(t) = H(t)r(t), где v(t) = dr(t) / dt – это скорость расширения сферы с радиусом r(t). Таким образом, H(t) = dr(t) / dt r⁻¹(t).

Объем шара равен 4πr³/3, масса пылевидного вещества внутри этой сферы равна M = 4πρr³/3. Эта масса остается постоянной во время расширения, поэтому, вводя константу B = 3M/4π, мы получаем закон изменения плотности со временем в виде

ρ(t) = Br(t)^–3. (2.8)

Как вы можете видеть, до сих пор не возникло никаких «математических кошмаров». Следующим шагом является получение уравнения, описывающего расширение Вселенной, и выведение из него зависимостей r(t) и H(t).

Прежде чем мы к этому приступим, рассмотрим куда более простую родственную задачу. Где-то в космосе есть сферически симметричная планета с массой М и радиусом R, которая не имеет никакой атмосферы и не вращается, поэтому влиянием этих факторов можно пренебречь. Ее обитатель пинает ногой, щупальцем или псевдоподием футбольный мяч массой m вертикально вверх со скоростью V. Как будет двигаться мяч? Очевидно, что он будет двигаться в радиальном направлении от центра планеты. Улетит ли он в космос или упадет обратно на поверхность планеты (рис. 2.7)?

Как мы можем узнать, что произойдет? Достаточно использовать закон сохранения энергии. Суммарная энергия мяча равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия в любой момент равна mv²/2, где v – это текущая скорость мяча. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия мяча и планеты равна – GMm/a, где G – гравитационная постоянная, a – текущее расстояние между мячом и центром планеты. Потенциальная энергия отрицательна вблизи планеты и становится равной нулю, если мяч удаляется от планеты на очень большое расстояние. Кинетическая энергия шара всегда неотрицательна. Таким образом, для того чтобы мяч улетел в космос, его полная энергия тоже должна быть неотрицательной. Так как полная энергия сохраняется, это также относится и к его начальной энергии Е, равной

Значение называется второй космической скоростью. Это минимальная скорость, которую необходимо иметь объекту, например мячу, чтобы выйти за пределы гравитационного притяжения массивного тела. Вторая космическая скорость для Земли составляет около 11,2 км/с. Если начальная скорость мяча меньше v₂, он будет падать обратно на планету. Максимальную высоту подъема мяча при V < v₂ можно легко получить непосредственно из закона сохранения энергии. При V = v₂ скорость мяча будет уменьшаться с увеличением расстояния от планеты, стремясь к нулю на бесконечном удалении от нее. Если V > v₂, то его скорость вдали от планеты уменьшится до некоторой положительной предельной величины, равной Эти три случая соответствуют отрицательной, нулевой и положительной полной механической энергии мяча.

Как ни странно, эти случаи соответствуют также и трем основным сценариям космологического расширения. Вернемся к сфере из пылевидной материи и рассмотрим частицу массы m, которая все время находится на поверхности. В какой-то момент времени ее кинетическая энергия равна mv²/2 = mH²r²/2. Гравитационная потенциальная энергия обеспечивается только взаимодействием с веществом внутри сферы и равна – GMm/r = –4πGρmr²/3. Полная энергия равна

где A = const из закона сохранения энергии. Мы ввели обозначение для критической плотности материи

ρ_крит = 3H²/8πG. (2.11)

Обратите внимание, что величина ρ_крит зависит от величины постоянной Хаббла H и изменяется во времени. В настоящее время она равна 1,88×10^–26 h² кг/м³, где h = H₀/(100 (км/с)/Мпк). Используя величину h, полученную из астрономических наблюдений, можно получить ρ_крит = (8,62 ± 0,12)×10⁻²⁷ кг/м³. Чему это соответствует? Самая разреженная среда, с которой когда-либо сталкивалось человечество, – это межпланетное пространство в Солнечной системе. Его плотность в районе орбиты Земли мала и составляет примерно 10^–20 кг/м³ (6 протонов на 1 см³), что более чем в 80 млн раз больше критической плотности.

Разность между плотностью вещества ρ и критической плотностью всегда имеет тот же знак, противоположный знаку константы А. При А > 0 всегда выполняется условие ρ < ρ_крит. Энергия частицы (2.10) положительна, и, следовательно, частица может достичь бесконечности. Ее скорость уменьшается, стремясь к положительному предельному значению v = √A. Вселенная вечно расширяется, начиная с Большого взрыва, и без Большого хруста/хрустя. Этот случай соответствует открытой модели Фридмана. При А = 0 имеем ρ = ρ_крит и в любой момент вечного расширения частица имеет нулевую энергию и может достигать бесконечности, но с нулевой предельной скоростью. Это плоская модель Фридмана. Если А < 0, то всегда ρ > ρ_крит и энергия частицы отрицательна. Она не может достичь бесконечности. Рано или поздно расширение Вселенной останавливается и сменяется сжатием. Это замкнутая модель Фридмана.

Как видим, все три версии космологической модели Фридмана – открытая, закрытая и плоская – можно объяснить столь же легко, как движение камня, брошенного вверх. Чтобы улететь бесконечно далеко, скорость камня должна быть равна второй космической скорости (это соответствует плоской модели) или превышать ее (открытая модель). Камень, брошенный медленнее, сначала летит вверх, а затем начинает падать вниз (закрытая модель). Тем не менее в рамках нерелятивистской космологии мы не можем определить, что замкнутая, плоская и открытая модели имеют соответственно положительную, нулевую и отрицательную пространственную кривизну. Это возможно только с помощью релятивистской космологии, основанной на ОТО.

Подставляя уравнение (2.8) в уравнение (2.10), мы получаем уравнение Фридмана для Вселенной, заполненной пылевидной материей, без космологической постоянной и зависимости H(r):

Решив их, мы получаем зависимости r(t) и H(t):

Вместе с зависимостью ρ(t), определяемой формулой (2.8), они завершают описание трех возможных сценариев космологической эволюции в рамках нерелятивистской космологии.

Рассмотрим смысл и свойства решений Фридмана. Прежде всего перейдем от констант А и В к величинам с более четким физическим смыслом. Выберем опорный момент времени в системе наблюдателя, неподвижного по отношению к окружающей среде. Назовем этот момент текущей эпохой или «сейчас». Снабдим все значения, относящиеся к этому моменту, индексом 0. Мы уже делали это раньше, когда ввели параметр Хаббла H₀ – текущее значение зависящей от времени постоянной Хаббла H. Следующей используемой величиной будет так называемый параметр плотности материи Ω_m = ρ/ρ_крит. Как числитель, так и знаменатель этого отношения зависят от времени согласно формулам (2.8) и (2.11). Следовательно, параметр плотности вещества тоже зависит от времени. Обозначим его текущее значение Ω_m0. Нам также понадобится текущее значение радиуса сферы r₀, играющее роль текущего значения масштабного фактора.

Применив формулы (2.4) и (2.7) к текущей эпохе, мы получаем:

B = ρ₀r₀³ = Ω_m0 ρ_{c 0} r₀³ = 3H₀²Ω_m0 r₀³/8πG. (2.14)

Из (2.10) и (2.11) определим

Из уравнения (2.15) мы еще раз убеждаемся, что случай Ω_m > 1 соответствует А < 0, т. е. закрытой модели, в которой Вселенная в конечном итоге опять собирается в точку, случай Ω_m < 1 соответствует открытой модели с А > 0, а Ω_m= 1 соответствует плоской модели с А = 0.

Подставляя уравнения (2.14) и (2.15) в уравнение (2.12), мы получаем:

Здесь мы ввели относительный масштабный фактор u = r/r₀, который может быть легко преобразован при r < r₀ в красное смещение z простым соотношением 1/u = 1 + z.

Уравнение (2.16) полностью описывает зависимость H(u) или H(z). В современную эпоху u = 1, и оно выполняется автоматически. Проанализируем зависимость постоянной Хаббла от относительного масштабного фактора или красного смещения z.

При Ω_m = 1 (плоская модель) имеем H = H₀u^–3/2, что соответствует монотонному уменьшению Н, стремящемуся к нулю при u → ∞. При Ω_m < 1 (открытая модель) постоянная Хаббла также снижается, но медленнее. При Ω_m > 1 (закрытая модель) первый член в скобках отрицателен, а второй – положителен. Второй член уменьшается быстрее, чем первый. Таким образом, если бы эта модель допускала большие значения u, то правая часть уравнения (2.16) в конечном итоге стала бы отрицательной, что невозможно. Таким образом, относительный масштабный фактор Вселенной увеличивается до тех пор, пока постоянная Хаббла не становится равной нулю, а после этого уменьшается. Мы можем найти максимальный масштабный фактор, приравняв выражение в квадратных скобках к нулю:

umax = rmax/r₀ = Ω_m0/(Ω_m0 – 1). (2.17)

Чтобы найти зависимости от времени, нам нужно подставить уравнения (2.14) и (2.15) в уравнение (2.13), которое сводится к

Все, что требуется, чтобы вычислить этот интеграл, – заглянуть в хороший справочник. В простейшем случае плоской модели (Ω_m0= 1) мы получаем:

Значение константы интегрирования выбрано таким образом, чтобы момент t = 0 соответствовал Большому взрыву.

Для открытой модели (Ω_m0 < 1) мы имеем:

где p = Ω_m0/(1 – Ω_m0) > 0.

Для закрытой модели (Ω_m0 > 1) мы имеем другое громоздкое выражение

где s = Ω_m0/(Ω_m0 – 1) > 1.

Мы использовали эти формулы для построения рис. 2.2. Теперь построим его еще раз, как рис 2.8, добавив масштабы на осях. Мы используем значение H₀ = 68 (км/с)/Мпк, которое, впрочем, влияет только на временной масштаб графика. Мы использовали довольно экстремальные значения Ω_m0= 0,5 и Ω_m0= 1,5 для открытой и закрытой моделей.

Уравнение (2.21) дает нам промежуток времени от Большого взрыва до момента, когда замкнутая Вселенная достигает своего максимального размера, и равный ему промежуток времени с этого момента до Большого хруста:

Общее время жизни замкнутой Вселенной равно 2ΔT.

Некоторые полезные величины могут быть получены без каких-либо дифференциальных уравнений типа (2.12). Параметр замедления в космологии определяется как[35]35
  Строго говоря, правая часть должна содержать a вместо r, но мы используем r, потому что масштабный фактор a не может быть должным образом введен в нерелятивистской космологии, как объяснено в разделе 2.6. Кроме того, их относительное изменение одно и то же: a/a₀ = r/r₀, поэтому формула (2.23) с r определяет тот же параметр замедления, что и формула с a.


[Закрыть]

Здесь точка над переменной означает ее производную по времени, а две точки – вторую производную по времени. Таким образом, является скоростью частиц на поверхности сферы, а  – их ускорением.

Мы можем определить эту величину, использовав формулу для ускорения частицы на поверхности сферы

Параметр замедления равен

Здесь Ω_m = ρ/ρ_крит – параметр плотности материи. Можно убедиться, что расширение действительно замедляется и параметр замедления q равен 0,5 для плоской модели, превышает 0,5 для закрытой модели и находится в интервале от 0 до 0,5 для открытой модели.

Из уравнений (2.10) и (2.11) также следует, что

Ранее мы встречались с этой же формулой, но примененной к текущему моменту времени (2.15).

Обратите внимание, что из закона Хаббла (2.1) следует

что означает, что

Таким образом, замедление означает не только уменьшение Н, оно означает, что q положительно и Величина Hr убывает при q > 0 согласно формулам (2.23) и (2.27). Это означает, что абсолютная величина отклонения Ω_m от единицы увеличивается при расширении Вселенной. Эти отклонения положительны для закрытой модели и отрицательны для открытой. Только плоская модель остается все время плоской. В любом случае модели Фридмана без космологической постоянной, или темной энергии, обеспечивают увеличение величины |1 – Ω_m|.

Рассмотрим объем V, заполненный материей с плотностью энергии ε и давлением р. Оба параметра изменятся, если мы сожмем или расширим этот объем, и сделают они это согласованно. Зависимость между давлением и плотностью энергии называется уравнением состояния. Мы уже обсуждали это в разделе 1.3. Уравнение состояния называется баротропным, если давление является функцией только плотности энергии p = p(ε).

Начнем с получения зависимости этих величин от объема. Для случая пылевидной материи эта зависимость имеет вид (2.8). Для того чтобы получить ее для материи с баротропным уравнением состояния, мы используем закон сохранения энергии, он же первый закон термодинамики, который имеет вид

dE = dQ − dA. (2.29)

Здесь E = εV – внутренняя энергия материи, dE – ее изменение, dQ – количество тепла, поглощенного этой материей, а dA = pdV – механическая работа, совершенная материей в ходе ее расширения.

Термодинамический процесс с dQ = 0 называется адиабатическим. Он не сопровождается передачей тепла внутрь или наружу системы. Чтобы сделать процесс адиабатическим, в лабораториях используется специальное оборудование для предотвращения передачи тепла в ту или иную сторону. В повседневной жизни мы используем термос, чтобы горячие или холодные напитки хранились в практически адиабатических условиях. Но никто не нуждается в термосе, чтобы сделать адиабатическим космологическое расширение. Действительно, температура в однородной Вселенной везде одинакова, поэтому не происходит никакой передачи тепла из одного места в другое, а передача тепла наружу невозможна, ведь Вселенная не имеет никакого «снаружи».

С учетом этого уравнение (2.29) сводится к

dE = d(εV) = εdV +Vdε = −dA = − pdV, (2.30)

или

Vdε = –(ε + p)dV. (2.31)

Зная баротропное уравнение состояния p = p(ε), мы можем легко найти его решение:

Особенно просто рассмотреть случай весьма популярного среди космологов уравнения состояния

p = wε, w = const. (2.33)

Из формул (2.32), (2.33) и учитывая, что V ~ r³, получаем:

Здесь ρ₀ – плотность материи в тот момент, когда сфера имела размер r₀ или Вселенная имела масштабный фактор a₀. В релятивистской космологии это просто настоящий момент, или «сейчас». Так, плотность материи ρ зависит от ее текущего значения ρ₀ и отношения размеров, выраженного через красное смещение z. Случай пылевидной материи без давления соответствует w = 0. Подставляя это значение в уравнение (2.34), мы, как и следовало ожидать, получим уравнение (2.8).

Особый случай w = –1 или p = –ε дает интересный результат. Уравнение (2.31) гарантирует, что в этом случае плотность энергии постоянна. Расширение или сжатие Вселенной не меняет ни плотность энергии ε, ни плотность вещества ρ, ни его давление p. Этот случай описывает космологическую постоянную Λ.

2.8. Современная модификация модели

Решения Фридмана побудили Эйнштейна отказаться не только от теории статической Вселенной, но также и от идеи космологической постоянной, которую он впоследствии называл величайшей ошибкой в своей жизни, согласно воспоминаниям его коллеги – физика Георгия (Джорджа) Гамова[36]36
  «Много позже, когда я обсуждал космологические проблемы с Эйнштейном, он заметил, что введение космологического члена было самым большим промахом, который он когда-либо сделал в своей жизни. Но этот промах, отвергнутый Эйнштейном, даже сегодня все еще используется космологами, и космологическая постоянная, обозначаемая греческой буквой Λ, поднимает свою гадкую голову снова и снова» [Гамов, 1994. С. 42].


[Закрыть]. Тем не менее другие ученые, занимающиеся новой наукой о свойствах и эволюции Вселенной в целом – космологией, не спешили отказываться от космологической постоянной. Притом что к существованию Λ-члена космологи относились скептически, они рассматривали модели как без космологической постоянной, так и с ее учетом. Долгое время первый вариант хорошо описывал все астрономические данные, но потом ситуация изменилась. Астрономические наблюдения последних десятилетий подтвердили существование космологической постоянной и позволили измерить ее величину Λ = 1,19×10⁻⁵² м⁻².

Космологическую постоянную Λ можно рассматривать как некоторый экзотический вид среды с постоянной плотностью энергии ε_Λ, давлением p_Λ и плотностью вещества ρ_Λ, которые не изменяются в ходе космологического расширения. Причиной такого постоянства является отрицательная работа против отрицательной силы давления, которая сохраняет постоянство плотности энергии Вселенной ε = ρc². И действительно, давление, создаваемое космологической постоянной, отрицательно и характеризуется значением

Это означает, что космологическая постоянная имеет уравнение состояния p_Λ = – ε_Λ, что является частным случаем более общего уравнения (2.33) р = wε с w = –1.

Кроме того, такое уравнение состояния обеспечивает антигравитацию, или гравитационное отталкивание от такой среды. Мы наблюдаем его в виде ускоренного расширения Вселенной с отрицательным параметром замедления. В ранней Вселенной космологическая постоянная была такой же, как и сейчас, и это вряд ли повлияло на эволюцию Вселенной.

В ОТО существует решение, называемое метрикой де Ситтера или решением де Ситтера, описывающее однородное изотропное пространство-время без материи, но с космологической постоянной. Мы опишем его в разделе A.1. Оно имеет интересное свойство. Плотность среды, имитирующей космологическую постоянную, остается все время постоянной: ρ_Λ = const. Вселенная де Ситтера расширяется очень быстро, и расстояние между любыми двумя пробными частицами, помещенными в нее, будет возрастать. В некотором роде это похоже на Страну чудес Льюиса Кэрролла, где вы должны бежать так быстро, как вы можете, чтобы оставаться на месте.

Честно говоря, мы не можем быть уверены, что основная компонента нашей Вселенной точно описывается уравнением состояния p = –ε. Реальное уравнение состояния может немного отличаться. Поэтому космологи предпочитают использовать более общее название «темная энергия». Ее плотность и давление могут изменяться в ходе космологического расширения, но не очень сильно по современным оценкам. Каждый год новые астрономические наблюдения накладывают все более строгие ограничения на уравнения состояния темной энергии, однако частный случай космологической постоянной до сих пор удовлетворяет этим ограничениям.

В любом случае темная энергия является источником антигравитации, которая обеспечивает наблюдаемое астрономами ускоренное расширение Вселенной.

Введение космологической константы изменило применимость трех решений Фридмана. Теперь одного параметра плотности материи недостаточно для определения окончательной судьбы Вселенной. Например, дополнительная сила гравитационного отталкивания, которую обеспечивает космологическая постоянная, допускает существование вечно расширяющейся замкнутой Вселенной.