Текст книги "Технический риск (элементы анализа по этапам жизненного цикла ЛА)"

Пусть рассматриваются абстрактные вероятностные или статистические модели физических объектов. Модель исследуемого объекта и модель полученных данных отличны. Эти отличия обусловлены тем, что экспериментальные данные отражают не только состояния изучаемого объекта, значения его характеристик и параметров, но и условия проведения, связанные с внешними возмущающими факторами δ₁, а также упрощения и допущения, использованные при обработке эксперимента δ₂. Если первые связаны с внешней средой, то вторые – со структурой объекта, с ее упрощением, которые проявляют себя в моделях, алгоритмах, построенных на основе экспериментальных данных.

Рассмотрим подробнее этот процесс, в основу которого положен морфологический анализ, широко используемый при исследовании и проектировании различных технических объектов [11]. Разберем задачу измерения характеристик случайных процессов, т. е. первый этап построения модели, например, в форме дифференциальных уравнений, позволяющих прогнозировать состояние изучаемого объекта, исследовать его устойчивость, прогнозировать численную величину показателей риска. Этапы таких работ включают следующие погрешности:

1. Получение исходных данных: принцип получения исходных данных (ансамблевый или траекторный) и оператор усреднения, а также количество обращения к исходным данным – погрешности δ₂₁.

2. Схема сравнения с образцовой величиной: количество сравнений (одно или несколько) представляет собой этап, в котором производится сравнение измерительных преобразований; вычислительные преобразования – погрешности δ₂₂.

3. Схема дискретизации траектории по времени: непрерывная; дискретная – погрешность δ₂₃.

4. Схема квантования значений реализаций по уровню: без квантования (непрерывнозначный; аналоговый); с квантованием всех значений (цифровой); с квантованием части значений – погрешность δ₂₄.

5. Добавление вспомогательных сигналов – погрешность δ₂₅.

6. Преобразование по формулам оценивания – погрешность δ₂₆:

– количество значений, используемых в качестве результата измерения одной величины (одноинтервальный – две точки) – δ₂₆₁;

– способ оценивания (параметрический, непараметрический) – δ₂₆₂;

– объем исходных данных (фиксированный или переменный) – δ₂₆₃;

– принцип реализации вычислительных операций (детерминированный, стохастический) – δ₂₆₄;

– принцип организации вычислительного процесса (формул связи текущего значения с предшествующим): одношаговый; многошаговый – δ₂₆₅;

– метод вычислений: с фиксированным числом операций; с переменным числом операций – δ₂₆₆;

– вид измеряемой величины (скалярный, векторный): детерминированная, постоянная; реализация случайного элемента (байесовский) – δ₂₆₇;

– суммарная погрешность на данном этапе имеет вид: .

7. Схема изменения аргумента модели в процессе усреднения: аргумент остается постоянным; аргумент изменяется по заданному закону – погрешность δ₂₇.

8. Получение конечного результата: непосредственно по исходным данным (прямой); пересчетом результатов измерения других характеристик, т. е. косвенным методом – погрешность δ₂₈.

9. Аналитическое описание результатов измерения: без аналитического описания; с аналитическим описанием – погрешности δ₂₉.

10. Учет априорных и апостериорных данных: наличие адаптации (без и при наличии) к априорным и апостериорным (первичным, вторичным) данным – погрешности δ₂₁₀.

Суммарная погрешность модели физической системы, которую мы заложили при построении ее математической модели в процессе эксперимента, записывается в виде

Предположим, что построена математическая модель случайного процесса, т. е. построен, например, алгоритм, связывающий выходной процесс x(t) с входным процессом y(t), характеристики которого заданы в виде x(t) = ψ(y(t),δ_2i), где ψ – оператор преобразования. Наличие погрешностей δ_2i заставляет нас искать показатели качества алгоритма, которые являются характеристикой соответствия алгоритма его назначению, т. е. пригодность алгоритма для получения решения поставленной задачи и близость достижения цели.

Рассмотрим критерий применимости упрощенных математических моделей изучаемых динамических систем. Зададим Р₁, Р₂ и Р₃ Предположим, х = m_х + Δx, где m_х – математическое ожидание х; Δx – отклонение х от его среднего значения (m_x). В этом случае вероятность Р₁ можно записать так [6]:

где а = х^в_доп – m_x; b = х^о_доп – m_x – δx; W₁, W₂ – плотности вероятностей Δх, δх.

Выбирая ту или иную модель М₂, мы изменяем W₂(δх), оставляя W₁(Δх) неизменной. Можно показать, что при возрастании дисперсии σ²(δх) условие Р₁ = const выполняется, если запас Δ = х_доп – х^о_доп увеличивается. Очевидно, что существует то значение σ²(δх), при котором Δ очень велико и эффективность применения такого объекта недопустимо мала (рис. 1.18).

Рис. 1.18

Таким образом, переход к упрощенной модели при проведении НИР приводит к уменьшению области допустимых состояний ограничиваемого параметра х.

Задача разработчика проекта: наложить ограничения на Δ и принять ее равной Δ*. Все модели, для которых Δ ≤ Δ*, будут допустимы для целей анализа и синтеза. Таким образом, проблема анализа риска и управления им включает в себя: построение плотностей вероятностей фактических х_ф = m_x(t) + Δx(t) и измеренных (оценочных) х_изм = х_ф(t) + δх(t) значений процессов, подлежащих контролю и ограничению. Для построения плотностей вероятностей W₁(x_ф) или W₁(Δx), а также W₂(x_изм) или W₂(δx) необходимы соответствующие математические модели. Построению таких моделей посвящена данная работа.

Для расчета технического риска необходимо иметь плотность вероятностей ограничиваемых параметров, представляющих собой, как правило, случайные процессы. Для аналитического построения искомых плотностей вероятностей необходима математическая модель случайного процесса, а также внешних и внутренних возмущающих факторов. Для решаемой задачи математическая модель движения самолета представляет, в достаточно общем виде, систему нелинейных дифференциальных уравнений, на вход которой поступает белый шум [6]. При этом на выходе системы (модели) получают многомерный марковский процесс, что существенно упрощает нахождение плотностей вероятностей W(·) аналитическим методом. С этой целью используется математический аппарат уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК). Однако при размерности вектора x(t) ограничиваемых параметров больше трех, решение ФПК-уравнения представляет собой трудноразрешимую задачу. В этом случае используют различные процедуры, упрощающие вычисления W(x_i,t), где x_i – процесс, подлежащий контролю, ограничению и прогнозированию, т. е. вычислению x_i(t + Δt), где Δt > 0, а также моделированию его с помощью известных технических средств.

Пусть задана техническая система (объект), на выходе которой возможна регистрация процесса x_i = z(t). Требуется построить математическую модель процесса z(t). Пусть поставлен эксперимент, в котором измерены значения z(t) с погрешностями δ_2Σ, в результате получено z(t) = z_ф + δ_2Σ, где z_ф – фактическое значение z(t); для z(t) построены одномерная плотность распределения ω(z) и корреляционная функция B_z(τ). Построение математической модели процесса z(t) осуществляется в три этапа.

На первом этапе производится аппроксимация одномерной плотности распределения ω(z) изучаемого процесса z(t) плотностью S-распределения Джонсона [19, 20]. При этом исключаются из рассмотрения те процессы, которые не могут быть аппроксимированы указанным образом. Поскольку класс плотностей S-распределения Джонсона образован тремя семействами (S_B, S_U и S_L-распределения), то аппроксимация распределений ω(z) заключается в выборе соответствующего семейства плотностей S-распределения и в определении его параметров. Процедура такой аппроксимации описана в работе [6]. Следует только добавить, что исходной информацией для аппроксимации являются первые четыре момента распределения процесса z(t), которые, в общем случае, следует предварительно вычислить. Для некоторых видов плотности распределения ω(z) эти моменты указаны в справочной литературе. После того, как для ω(z) определено соответствующее S-распределение, для построения математической модели искомого процесса z(t) необходимо описать нормированный гауссовский процесс y(t) и подвергнуть его нелинейному преобразованию Джонсона. Указанное преобразование будет иметь вид

если плотность ω(z) представима в виде плотности S_B-распределения Джонсона;

если плотность ω(z) пред ставима в виде плотности S_U-распределения Джонсона;

если плотность ω(z) представима в виде плотности S_L-распределения Джонсона.

Входящие в выражения (1.10)÷(1.12) параметры λ, γ, η и ε являются параметрами, соответствующими S-распределению Джонсона. Таким образом,

z(t) = ψ_j(y(t)),                  (113)

где 1 ≤ j ≤ 3 в зависимости от вида плотности S-распределения Джонсона, аппроксимирующей заданную плотность ω(z).

Для того, чтобы случайный процесс z(t) имел заданную корреляционную функцию B_z(τ), необходимо подобрать соответствующую функцию (обозначим ее ρ_y(τ)) нормированному гауссовскому процессу y(t), подвергаемому нелинейному преобразованию ψ_j(·) (1 ≤ j ≤ 3). Поэтому на втором этапе проводится расчет корреляционной функции ρ_y(r), который осуществляется по формуле

где

Н_n – полином Эрмита n-й степени. Расчет заключается в получении набора значений ρ_y(τ_i) корреляционной функции случайного процесса y(t), соответствующих выбранным значениям τ_i ее аргумента и удовлетворяющих (1.14). При проведении конкретных расчетов ряд, стоящий в правой части этого равенства, необходимо ограничить несколькими первыми членами; количество оставленных членов должно быть таким, чтобы обеспечивалась требуемая точность выдерживания указанного равенства.

На третьем этапе осуществляется представление случайного процесса y(t) в виде компонент двумерного линейного марковского процесса. При этом полученные на предыдущем этапе значения корреляционной функции ρ_y(τ) процесса y(t) сглаживаются выражением

ρ_y(τ) = e^–h|τ|(cosωτ + βsinω|τ|).            (115)

Обеспечение хорошей точности сглаживания позволяет, используя приведенную в [6, 18, 44, 47, 71, 74, 75] методику, представить случайный процесс y(t) в виде линейного двумерного марковского процесса (y₁(t), y₂(t)), порождаемого следующей системой стохастических дифференциальных уравнений:

где ξ(t) – гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и дельтаобразной корреляционный функцией.

Отметим, что часто встречающиеся на практике корреляционные функции вида

представляют собой частные случаи корреляционной функции (1.15), следовательно, процесс y(t), корреляционная функция которого принадлежит семейству (1.17), может быть представлен в виде компоненты y₁(t) марковского процесса (1.16) после его соответствующего упрощения.

Таким образом, генерация стационарного процесса z(t) с заданными одномерной плоскостью распределения ω(z) и корреляционной функцией B_z(τ) может быть осуществлена путем генерации двумерного линейного марковского процесса (y₁(t), y₂(t)), описываемого системой уравнений (1.15), и последующего преобразования с помощью соотношения (1.13) компоненты y₁(t) данного процесса, которое необходимо проводить после установления ее стационарности. При этом двумерный марковский процесс (y₁(t), y₂(t)) может быть получен, например, как выходной процесс с формирующего фильтра [69], возбуждаемого белым шумом с указанными статистическими характеристиками и построенного в соответствии с системой (1.16).

1.8. Цели и задачи работы

Оправдывает ли себя в эксплуатации тот или иной ЛА, окупятся ли расходы разработки, изготовления и эксплуатации тех или иных новых систем бортового оборудования или новых конструкций планера и двигателя? Технологии их изготовления (рис. 1.19) зависят от соотношения прибыли и потерь при эксплуатации, характеризуемые вероятностями P₁ и P = (P₂, P₃, P₄). При анализе P₁ и P необходимо учитывать целевое назначение ЛА в силу различия, например, спортивных самолетов от самолетов гражданской авиации, для которых, в отличие от первых решающее значение имеет место выход параметров траектории полета в критическую область.

Рис. 1.19. (Здесь 1 – система встроенного контроля бортового оборудования; y = (x_1 опт, …, х_l опт, х₁, …, х_ι, δ₁₁, …, δ_1α), W₂(δ₂) – внешние возмущающие факторы, в том числе от аэродромных средств посадки, управления воздушным движением, состояния атмосферы, СУ – система управления, ИИС – информационно-измерительная система)

Согласно сказанному выше, имеет место несколько групп параметров траектории полета, которые при эксплуатации ЛА подлежат контролю и управлению. Одна из групп А принадлежит области G₁ оптимальных значений. Как правило, G₁ узкая, а параметры, принадлежащие G₁, должны измеряться и выдерживаться с высокой точностью. Вторая группа B должна принадлежать области G₂ (достаточно большой) допустимых значений. Выход параметров B из области G₂ связан с потерями техники, в том числе с ее восстановлением.

Параметры, принадлежащие A и B при эксплуатации ЛА, подлежат контролю и управлению. Кроме управляющих воздействий они изменяются под действием возмущающих факторов внутреннего и внешнего происхождения, которые обуславливают их выход из G₁ и G₂ и соответствующие потери. Как правило, указанные факторы не поддаются контролю или неконтролируемы по каким-либо причинам. Как только тот или иной возмущающий фактор начинают контролировать с помощью бортового оборудования, он переходит в разряд параметров состояния ЛА. Среди таких параметров можно рассматривать массу m и центровку x_T ЛА.

Некоторые возмущающие факторы, например, параметры восходящих потоков, сдвиг ветра, мы можем только контролировать. Среди внутренних возмущающих факторов выделим следующие (рис. 1.19):

1) технологические факторы производства планера и двигателя, которые обуславливают некоторые колебания аэродинамических характеристик планера на величину ΔY, ΔX, ΔM, где Y, X, M – подъемная сила, сопротивление и момент ЛА соответственно, а также колебания газодинамических характеристик двигателя на величину ΔP, где P – тяга двигателя, которые обозначим C₁, C₂, C₃, C₄ соответственно;

2) погрешности систем контроля δ₁ и управления, которые обусловливают отклонения параметров состояния ЛА от заданных значений на величину Δx_i ;

3) погрешности систем оптимизации, обусловленные влиянием Δx_i, отклонениями фактических параметров траектории (x_ф)_i от их оптимальных значений (x_opt)_i, т. е. Δx_i = (x_ф)_i – (x_opt)_i, а также собственно их методическими и инструментальными погрешностями.

Задача состоит в разработке таких математических моделей, которые описывают по возможности всю совокупность параметров x и возмущающих факторов, влияющих на плотность вероятностей W(x,δ), служащей для расчета вероятностей P_i . Отметим, что как только подсчитаны вероятности P_i, им с достаточной степенью приближения можно поставить соответствующие частоты рассматриваемых событий и для данного класса ЛА в данных условиях его эксплуатации (стоимость одного рейса, прибыль от этого рейса) можно подсчитать потери и прибыль (в стоимостном выражении) от совокупности рейсов (например, 10⁹) и оценить целесообразность (окупаемость) установки тех или иных новых систем повышения регулярности, безопасности, экономичности, в том числе расхода топлива.

Согласно сказанного выше, цели и задачи количественного анализа технического риска включают в себя

– построение математических моделей погрешностей функционирования оптимизатора расхода топлива ЛА, производства планера ЛА, вычислителя массы и центровки ЛА, измерителя скоростей полета и тяги несущего винта вертолета;

– построение с помощью математических моделей погрешностей, возникающих на всех этапах создания и эксплуатации ЛА, искомых плотностей вероятностей W(x,δ);

– вычисление количественных показателей технического риска с использованием полученных плотностей вероятностей W(x,δ);

– расчет потерь и прибыли по известным количественным показателям технического риска.

Указанным целям и задачам и посвящена данная работа. Методический подход достижения цели и решения задач иллюстрируется на ряде новых систем контроля, алгоритмов оптимизации на материалах расчетов W(x,δ) и летных испытаний систем.

Глава 2. Математическая модель погрешностей функционирования оптимизатора расхода топлива ЛА

2.1. Методы и средства минимизации потерь расхода топлива ЛА

В процессе жизнедеятельности человек постоянно сталкивается с неоправданными потерями, связанными с расходованием энергетических ресурсов в различных областях. Наиболее сложной в плане управления расходования энергоресурсов, формирования оптимальных или экономичных режимов функционирования является авиация (самолеты и вертолеты).

В историческом плане развитие авиации связано с увеличением грузооборота, что, в свою очередь, привело к увеличению расходов топлива. При этом возросла роль экономичных режимов и траекторий полета, что обусловило необходимость развития методов и средств ручного, полуавтоматического и автоматического выдерживания экономичных режимов полета.

Отклонение от экономичных режимов полета обуславливает потери инвестора, а, следовательно, его риск. Такой риск существовал всегда, так как полеты и раньше совершались не по оптимальным траекториям с соответствующими потерями. Другое дело, что потери эти были малые, и потому проведение НИОКР (научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ) по созданию средств, обеспечивающих минимальные расходы, и их реализация были невыгодны. Как только был обнаружен факт больших потерь из-за расхода топлива, началась разработка различных методов и бортовых технических средств для минимизации расхода топлива и в итоге минимизации технического риска.

Сложность проблемы минимизации технического риска обусловлена наличием человека (экипажа) в ЛА. При этом в процессе минимизации риска необходимо анализировать и оценивать влияние

1) свойств и параметров объекта, влияющих на выполнение поставленной цели;

2) оператора (человека), информационно-измерительной системы, системы управления.

3) внутренних возмущающих факторов, включая работу системы встроенного контроля бортового оборудования;

4) системы оптимизации режимов пилотирования и необходимый объем контролируемых параметров состояния X_i при ее построении;

5) внешних возмущающих факторов.

Для оценки влияния указанных факторов на технический риск необходимы математические модели объекта контроля и управления, процедур оптимизации, систем контроля и управления.

На начальном (первом) этапе разработка методов и средств снижения себестоимости авиаперевозок, как правило, сводилась к выдерживанию расчетной или оптимальной скорости полета. Рекомендации по выбору экономичного режима полета при этом условии просты и легко выполнимы для экипажей: в полете должны выдерживаться расчетные высоты, зависящие от веса самолета, и скорость (число Маха) полета, близкие к максимально допустимым величинам в данных условиях независимо от скорости ветра и небольших вариаций цены топлива, центровки самолета.

В случае выполнения полета в режиме минимальных километровых расходов топлива (максимальная дальность) задача определения экономичных высот и скоростей полета сложнее, но также допустима для решения экипажами самолетов в реальных условиях выполнения предполетной подготовки и полета. Вследствие усложнения задачи выбора оптимальных режимов полета достаточно точное ее решение становится не по силам экипажам самолетов в условиях полета. Однако ошибки в выдерживании параметров траектории полета на расчетном уровне приводят к существенным экономическим потерям. Так, например, ошибка в 0,01 от числа Маха (М) на крейсерском этапе полета самолета типа ТУ-154 приводит к потерям топлива от 1 до 3 %. Это обстоятельство обусловило необходимость создания бортовых систем и средств оптимизации режимов пилотирования.

Проблема разработки методов и средств минимизации расхода топлива решается при различных начальных условиях – уровнях состояния техники, которым соответствуют различные величины показателей технического риска.

Для первого уровня максимальная величина технического риска связана с разработкой алгоритмов управления одним параметром для эксплуатируемых самолетов, двигателей и бортового оборудования.

На втором уровне величина технического риска уменьшается за счет создания нового комплекса бортового оборудования, например, системы оптимизации расхода топлива, включая разработку и внедрение новых систем таких, как системы контроля массы и положения центра тяжести. При этом самолет, двигатель и процессы их производства осуществляются согласно существующим методам, т. е. заданы.

На третьем уровне минимизации технического риска в качестве исходного задан двигатель, создается конструкция самолета и бортовое оборудование согласно концепции минимизации этого риска. Рассмотрим кратко, как это можно осуществить.

Предположим, на этапе ОКР для идеально исполненных с позиции минимальных погрешностей обводов несущих поверхностей δ₁ и бортового оборудования δ₂ получена P(Z). В процессе серийного производства δ₁ и δ₂ будут изменяться и, как правило, в худшую сторону, что приведет к увеличению P(Z). Мы имеем возможность изменять δ₁, δ₂ в сторону уменьшения с соответствующим повышением стоимости самолета. При этом нас интересует задача минимизации расходов, а, следовательно, и технического риска. Решение задачи перераспределения, например, погрешности измерения числа М (т. е. погрешности δ₂) и погрешности производства δ₁ путем увеличения последней и уменьшением первой, предлагается производить так, чтобы вероятность P(Z) была постоянной величиной.

На четвертом уровне минимизации технического риска осуществляется проектирование самолета в целом как системы (комплексно). На пятом уровне минимизация осуществляется путем проектирования комплекса, включающего не только собственно системы: самолет, двигатель, бортовое оборудование, но и производство, а также системы наземного сопровождения полетов.

Каждый уровень характеризуется своей величиной финансовых вложений ОКР, которая достигает наибольшей величины на последнем, пятом, уровне. Это значит, что не для каждого класса самолетов с его экономической отдачей следует осуществлять минимизацию технического риска пятого уровня.