Текст книги "Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления"

Ответ

45. НЕРАЗБЕРИХА С ПЛОЩАДЯМИ

Найдите отсутствующее значение.

Наоки Инаба, пожалуй, самый плодовитый и блестящий разработчик дедуктивных головоломок из всех современных специалистов в этой области, хотя о его работе мало кто знает за пределами родины. Благодаря таким людям, как Инаба, а также компании Nikol в Японии сформировалось, возможно, самое активное сообщество любителей головоломок в мире.

По всей вероятности, вы не слышали о Nikoli, но наверняка знаете о судоку, которые впервые появились в журнале Puzzle Communication Nikoli в середине 1980-х годов. Словом «судоку» в Nikoli назвали головоломку Number Place («Место числа»), опубликованную в американском журнале Dell Pencil Puzzles and Word Games. Если на протяжении прошедшего десятилетия вы жили в пещере, позвольте сообщить, что судоку представляет собой квадрат 9 × 9 клеток с несколькими указанными цифрами. Игрок должен заполнить пустые клетки так, чтобы каждая цифра встречалась в каждой строке, в каждом столбце и в каждом малом квадрате 3 × 3 только один раз. Судоку не пользовались особой популярностью до 1986 года, когда в Nikoli решили размещать заданные цифры симметрично, подобно буквам в кроссворде. Небольшое изменение оказалось эффективным, и головоломка обрела успех в Японии. В конце 2004 года судоку впервые появились на Западе, после того как отставному судье Уэйну Гулду, проводившему отпуск в Японии, попалась на глаза эта головоломка. Гулд разработал компьютерную программу для создания таблиц судоку и продал ее британским газетам, в том числе лондонской Times. Через несколько месяцев после первой публикации судоку в Times головоломку начали ежедневно публиковать многие периодические издания во всем мире.

Есть доля иронии в том, что компания Nikoli обрела известность благодаря головоломке, которую не создавала. Однако с момента выхода ежеквартального журнала Nikoli в нем было опубликовано около 600 новых видов головоломок. Nikoli специализируется на матричных головоломках типа судоку, в которых необходимо заполнять матрицу, обычно в форме квадрата. Внимание к деталям – один из факторов, обеспечивающих к ним интерес: в красивых квадратах судоку элементы расположены симметрично, но даже если симметрии нет, судоку все равно создается с большим вниманием к внешнему виду. Правила всегда очень просты, а постепенное заполнение клеток доставляет огромное удовольствие людям вроде меня и оказывает такое же терапевтическое воздействие, как раскрашивание рисунков. Чтобы пробудить в вас интерес к подобным головоломкам, я выбрал четыре примера.

Тираж журнала, публикуемого Nikoli, – около 50 тысяч экземпляров. Среди его читателей не только любители решать головоломки, но и их создатели, присылающие в редакцию несколько сотен предложений в год. Следующая головоломка – «Прямоугольники» (Shikaku – «разделить на квадраты»); ее идея принадлежит 21-летнему студенту по имени Ёсинао Анпуку. Впоследствии он начал работать в Nikoli и сейчас занимает там должность исполнительного редакционного директора.

Ответ

46. ПРЯМОУГОЛЬНИКИ

В головоломке «Прямоугольники» нужно разделить матрицу на прямоугольные и квадратные блоки. Числа в ячейках матрицы определяют площадь блока, содержащего это число (оно эквивалентно количеству ячеек в блоке).

Разберем пример. На представленном ниже рисунке A – исходная матрица, а C – решение, в котором отмечены все прямоугольные и квадратные блоки. Вначале необходимо найти наибольшее число в исходной матрице, поскольку зачастую формы и положение блоков с этим числом будут иметь определенные ограничения. Самое большое число в данной головоломке – 9, а единственно возможные блоки для числа 9 – прямоугольник 9 × 1 или квадрат 3 × 3. В этой матрице нет горизонтальных или вертикальных последовательностей из девяти пустых ячеек, поэтому блок числа 9 должен быть квадратом и может располагаться только в одном положении, показанном на рисунке B. Аналогично единственный прямоугольный блок из восьми ячеек, который содержит число 8, а также единственный прямоугольный блок из шести ячеек, содержащий число 6, должны находиться на отмеченных местах. Как только будут отчерчены некоторые блоки, вы сможете определить позиции других блоков.

А теперь ваша очередь.

Компанию Nikoli основал Маки Кадзи – страстный любитель скачек, поэтому он назвал ее в честь подготовленного в Ирландии жеребца, который, будучи фаворитом, проиграл на скачках в Эпсоме в 1980 году. Впервые я встретился с Кадзи в 2008-м, в офисе Nikoli в Токио. Он рассказал мне о двух своих хобби – коллекционировании канцелярских резинок и фотографировании номерных знаков, на которых цифры соответствуют строкам таблицы умножения, например: 23 06 (2 × 3 = 6) и 77 49 (7 × 7 = 49). Во время следующей нашей встречи в 2016 году Кадзи сообщил, что его коллекция канцелярских резинок продолжает расти и пополнилась новыми интересными экземплярами из Таиланда и Венгрии. Что касается фотографий номерных знаков, у него уже набралось 85 процентов изображений строк из таблицы умножения от 1 до 9. «Я близок к завершению, – сообщил мне Кадзи, – у меня есть правило: не искать такие номерные знаки намеренно. Я фотографирую только те, которые попадаются случайно».

Ответ

47. КИТАЙСКАЯ СТЕНА

Цель головоломки «Китайская стена» (от англ. slitherlink – скользящие линии) – соединить точки горизонтальными и (или) вертикальными линиями так, чтобы получился один замкнутый контур. Числа в ячейках обозначают количество линий, которые могут быть расположены вокруг соответствующего числа. Так, вокруг ячейки с числом 1 должна проходить только одна линия, вокруг ячейки с числом 2 – две и т. д. Вокруг пустых ячеек можно проводить любое количество линий. Однако полученный контур не должен пересекаться и разветвляться.

На представленном ниже рисунке A самые очевидные варианты начала – это ячейки с числом 0, поскольку вокруг них не будет линий. Отметьте их маленькими крестиками, чтобы видеть, что там не должно быть никаких линий, как показано на рисунке B. Один из крестиков расположен возле ячейки с цифрой 3, что оставляет место только для трех линий вокруг нее. Нарисуйте их. На рисунке C мы можем продолжить контур вверх, причем существует лишь один способ обвести ячейку с цифрой 2 двумя линиями. Обратите внимание: на рисунке B я отметил также точки a, b, c и d в тех местах, где потенциальные линии могут выйти из точки между ячейками с цифрой 3. Контурная линия должна пройти через эту точку, так как в случае, когда ячейку окружают три линии, они проходят через четыре точки. Контур проводится либо через a, либо через b, либо через c, либо через d, поскольку, если он проходит и через a, и через b или через c и d, образуется ответвление, а это запрещено условием задачи. Во всех случаях контурная линия проводится через две другие стороны обеих ячеек с цифрой 3, поэтому мы можем отметить их на рисунке С. Решение задачи представлено на рисунке D.

Следующую головоломку решите самостоятельно. Помните, что единственный контур должен быть замкнут без пересечений и ответвлений. Существует лишь одно решение, и оно может быть найдено только с помощью логики.

«Китайская стена» – одна из любимых головоломок Маки Кадзи (и моих), разработанных компанией Nikoli. Мне нравится медленно выстраивать контур, змейкой постепенно обвивающий всю схему. Его построение приносит большое удовольствие.

Ответ

48. АДСКИЙ ГОЛЬФ

Компания Nikoli постоянно разрабатывает новые головоломки. Задача «Адский гольф», один из ее последних продуктов, создана под влиянием игры в гольф, и в ней учтено, что по мере приближения к лунке удары становятся короче.

В этой игре вы должны загнать мяч, отмеченный кружком, в соответствующую лунку, обозначенную буквой H. Число в кружке – это расстояние (количество ячеек), которое должен пройти мяч после первого удара. Если в результате первого удара мяч не попадет точно в квадрат H, второй удар должен быть на одну ячейку короче. Если и после второго удара мяч не достигнет цели, третий должен быть на одну ячейку короче и т. д. Таким образом, траектория движения мяча, обозначенного цифрой 3, будет состоять либо в точности из трех квадратов, либо из трех квадратов, за которыми последуют еще два квадрата, либо из трех квадратов, за которыми последуют еще два квадрата, а затем еще один квадрат. Мячи могут передвигаться только по горизонтали или по вертикали. Каждый новый удар делается либо в том же направлении, что и предыдущий, либо в другом.

Пути мячей не могут пересекаться. Кроме того, нужно попасть в лунку после каждого удара. Два мяча не должны попадать в одну лунку. Затененные области обозначают песчаные ловушки (бункеры). Мяч, отправленный в лунку коротким ударом, пересекает бункер, но не должен туда упасть.

В приведенном примере A – исходная схема. Первым делом нужно определить, какие мячи однозначно попадут в цель. Например, мяч с цифрой 3 в верхнем левом углу должен пройти три квадрата после первого удара. Однако он не может передвигаться по горизонтали, иначе угодит в бункер; следовательно, его нужно отправить по вертикали вниз, как показано на рисунке В. Аналогично мяч с цифрой 3, находящийся рядом с первым мячом по диагонали, тоже угодит в бункер, если отправить его в горизонтальном направлении, поэтому его нужно направить вниз. Каждый из этих двух мячей достигнет лунки после удара на два квадрата. Таким образом, мяч из верхнего левого угла следует и далее перемещать вниз, поскольку траектории движения мячей не должны пересекаться, после чего он попадает в лунку. Другой мяч должен продолжить движение по горизонтали, так как в случае передвижения вниз не найдется лунки, куда он мог бы попасть после перемещения на один квадрат. Стало быть, этот мяч тоже найдет свою лунку. Решение задачи представлено на рисунке С.

А теперь сделайте первый удар!

Ответ

49. СВЕТ

Последняя головоломка от Nikoli – об электрических лампочках, освещающих комнату. В задаче Akari («Свет») нужно осветить всю матрицу, разместив определенным образом лампочки, изображенные в виде кружков. Черная ячейка с цифрой указывает, сколько лампочек должно быть размещено в соседних ячейках непосредственно сверху, снизу, слева или справа от нее. Каждая лампочка освещает все незаблокированные квадраты в своей строке и столбце. Квадраты, не примыкающие к квадратам с цифрами, могут быть с лампочками или без. В решении задачи все белые квадраты должны быть освещены, причем две лампочки не могут находиться на пути света друг друга.

В данном примере A – начальная схема. Поскольку каждая цифра подсказывает, сколько лампочек нужно расположить рядом с соответствующим квадратом по горизонтали и вертикали, нам известно, что лампочки есть во всех горизонтальных и вертикальных клетках рядом с обеими клетками с цифрой 0 (на рисунке В я обозначил их точками). Две лампочки рядом с квадратом 4 граничат с квадратом 2, а мы знаем, что они не могут находиться у двух других сторон квадрата 2, поэтому я поставил еще одну точку в клетке над квадратом 2. На рисунке С стрелками обозначены строки и столбцы, освещенные четырьмя лампочками, отмеченными на предыдущем рисунке. В клетке над квадратом 3 не может быть лампочки, потому что он находится на пути света от другой лампочки, а значит, у каждой из трех оставшихся сторон квадрата 3 должна быть лампочка. Мы также можем определить, что лампочку следует поместить в клетке а, поскольку во всех остальных позициях, которые могли бы осветить этот квадрат, запрещено вкручивать лампочки – либо потому, что мы отметили их как не имеющие лампочек, либо потому, что они находятся на пути света от другой лампочки. Решение показано на рисунке D.

А теперь пролейте немного света на следующую схему.

Размещение электрических лампочек в помещениях необычной формы приводит нас к последней геометрической головоломке.

На рисунке ниже показано горизонтальное сечение комнаты. Лампочкой обозначено местоположение единственного источника света. Когда свет включен, стена, отмеченная жирной линией, полностью остается в тени. Будем исходить из предположения, что остальные стены не отражают света.

Ответ

50. ТЕМНАЯ КОМНАТА

Разработайте проект комнаты с прямыми стенами, где единственный источник света расположен так, что часть каждой стены или вся стена остаются в тени.

Все стены комнаты должны быть соединены. Нельзя включать в проект отдельно стоящие стены или выступающие кромки.

Кто решит эту головоломку последним, будьте добры, выключите свет.

Ответ

10 увлекательных головоломок. Умнее ли вы 12-летнего ребенка?

Правила: пользоваться калькуляторами не разрешается.

1. Четыре из представленных ниже фрагментов пазла можно соединить в виде прямоугольника. Какой фрагмент при этом не будет использоваться?

Ответ

2. Если следующие дроби разместить в порядке возрастания, какая окажется посредине?

Варианты ответов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ

3. Буква e встречается в данной последовательности ___ раз.

Seven (7); eight (8); nine (9); ten (10); eleven (11).

Сколько из приведенных выше пяти слов можно поставить на месте пробела, чтобы предложение было правильным?

Варианты ответов: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5[19]19
  Здесь приведены номера слов в последовательности seven… eleven. Прим. ред.


[Закрыть].

Ответ

4. Ниже изображен рисунок на песке под названием lusona, который рисуют члены племени чоква – одного из народов банту, обитающего в западной части Центральной Африки. При создании такого рисунка художник использует палочку или прутик, чтобы одним неразрывным движением начертить на песке линию, которая начинается и заканчивается в одном месте. В какой точке могла бы начинаться линия, изображенная на данном рисунке? (Разорванная линия в местах пересечения нарисована первой, а сплошная – поверх нее.)

Ответ

5. Какое из представленных ниже выражений можно разделить на все целые числа от 1 до 10 включительно?

Варианты ответов: а) 23 × 34; б) 34 × 45; в) 45 × 56; г) 56 × 67; д) 67 × 78.

Ответ

6. Валет червей: Я украл пироги.

Валет треф: Валет червей лжет.

Валет бубен: Валет треф лжет.

Валет пик: Валет бубен лжет.

Сколько валетов говорят правду?

Варианты ответов: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) нужны дополнительные данные.

Ответ

7. Грани куба необходимо раскрасить так, чтобы две грани с общим ребром были разного цвета. Какое минимальное количество красок понадобится?

Варианты ответов: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6.

Ответ

8. Бабушка утверждает, что становится моложе. Она вычислила, что сейчас в четыре раза старше меня, а пять лет назад была в пять раз старше, чем я. Чему равна сумма наших возрастов в настоящее время?

Варианты ответов: а) 95; б) 100; в) 105; г) 110; д) 115.

Ответ

9. В следующем выражении замените каждый квадрат либо знаком «+», либо знаком «–» так, чтобы результат вычисления был равен 100.

123 45 67 89

Количество знаков «+» равно p, а количество знаков «–» равно m. Чему равно p – m?

Варианты ответов: а) −3; б) −1; в) 0; г) 1; д) 3.

Ответ

10. Для укладки пола используются плитки двух размеров, одна – со стороной 1 единица, а вторая – со стороной 4 единицы. Для замощения по схеме, изображенной на рисунке, понадобится очень много таких плиток. Какое из соотношений ближе всего к отношению количества серых плиток к количеству белых?

Варианты ответов: а) 1:1; б) 4:3; в) 3:2; г) 2:1; д) 4:1.

Ответ

Глава 3. «Пернатая» математика. Практические задачи

В этой главе я собрал головоломки, в основе которых лежит происходящее в реальном мире. В одних задействованы знакомые объекты, например чаши, кувшины, фитили и картофель. Другие описывают ситуации из повседневной жизни, такие как соревнования по бегу, полет на самолете, а также поход за покупками. С этой старейшей из всех задач в этой книге мы и начнем.

51. СОТНЯ КУР

Если петух стоит 5 денежных единиц, курица 4 единицы, а цыпленок ¼ единицы, сколько петухов, кур и цыплят можно купить за 100 единиц так, чтобы всего получить 100 пернатых?

Китайский математик Чжэнь Луань придумал эту задачу в середине VI века, хотя впервые подобные задачи (как приобрести 100 животных трех видов за 100 денежных единиц) появились столетием ранее, и тоже в Китае.

Это замечательная головоломка: удивительно лаконичная, с неочевидным решением. Проверив в уме несколько чисел, вы совсем запутаетесь. Любимая загадка китайцев о сотне животных распространилась в Индии, на Ближнем Востоке и в Европе. Сборник головоломок Алкуина под названием «Задачи для развития молодого ума», о котором я уже упоминал, содержит три варианта этой головоломки: продаются кабаны, свинки и поросята по десять, пять и половине динария; лошади, коровы и овцы – по три солида[20]20
  Динарий – римская серебряная монета, ходившая во времена Республики и начала Империи, впервые была отчеканена в 268 г. до н. э. Солид – римская золотая монета, выпущенная в 309 г. императором Константином. Прим. ред.


[Закрыть], одному и двадцать четвертой части солида; верблюды, ослы и овцы по пять, одному и двадцатой части солида. Последний вариант, возможно, отдавая должное происхождению головоломки, Алкуин называет задачей восточного торговца.

Современные читатели при решении подобных задач сразу же представят их в виде уравнений. Если вы покупаете х петухов, y кур и z цыплят, то вопрос Чжэнь Луаня можно перефразировать так:

1. x + y + z = 100 (поскольку всего должно быть 100 птиц).

2. 5 x + 4 y + z/4 = 100 (потому что общая сумма составляет 100 единиц).

Решив эти уравнения, вы получите ответ.

Чжэнь Луань, Алкуин и их современники решали задачи такого рода посредством догадок, проб и ошибок. У них не было возможности использовать алгебру, поскольку после крушения античной цивилизации эта наука надолго прервала свое развитие и начала возрождаться сначала на Востоке с IX века, а потом и в Европе. Однако решать подобные задачи с помощью уравнений гораздо проще и, пожалуй, интереснее. В задачах о сотне животных мне нравится именно то, что они одними из первых демонстрировали огромную силу алгебраических методов. Эти головоломки сыграли определенную роль в развитии и распространении новых математических методов, причем не только в виде блестящего доказательства их эффективности, но и в качестве интересных логических проблем, которые потребовали от математиков средних веков и эпохи Возрождения более глубокого анализа.

Алгебра – раздел математики, в котором числа и величины представлены в уравнениях в виде символов, например x, y и z. Слово «алгебра» происходит от арабского al-jabr – «восстановление». Багдадский ученый IX столетия Аль-Хорезми использовал это слово для обозначения математической операции, которая в современной науке подразумевает взятие какого-нибудь члена из одной части уравнения и его «восстановление» в другой. С помощью восстановления и других операций Аль-Хорезми разработал методы решения простых уравнений.

Египетский математик Абу Камил, живший в IX–X веках, написал ряд работ с подробным анализом идей Аль-Хорезми. В одной из них шла речь о задачах с покупкой 100 птиц за 100 денежных единиц. «Мне известен тип задач, который может показаться захватывающим, оригинальным и притягательным людям как высокого, так и низкого положения, как ученым, так и безграмотным, – писал он. – Однако, обсуждая друг с другом решения, люди обмениваются не совсем верными суждениями и догадками, поскольку не видят наглядного принципа или системы… Чтобы сделать этот вопрос понятнее, я решил написать книгу».

Давайте решим эту задачу. У нас есть два уравнения:

1. x + y + z = 100 (поскольку всего должно быть 100 птиц).

2. 5 x + 4 y + z/4 = 100 (потому что общая сумма составляет 100 единиц).

Как правило, для решения подобных уравнений (в школе их называют системой уравнений) необходимо столько уравнений, сколько есть переменных. Например, для трех переменных нам понадобится три уравнения.

В данном случае у нас два уравнения. Однако уравнение предоставляет нам дополнительную информацию, позволяющую решить задачу. Мы можем исходить из того, что птицы не продаются половинами, четвертями и что их количество не может обозначаться отрицательной величиной. (Давайте предположим, что нам необходимо купить как минимум одну особь.) Следовательно, значения x, y и z должны быть натуральными числами и, разумеется, меньше 100.

Приступим к работе. Умножьте второе уравнение на четыре, чтобы избавиться от дроби:

(1) 20 x + 16 y + z = 400.

После нескольких операций «восстановления» получится, что

z = 400 – 20 x – 16 y.

Подставив это значение вместо z в уравнении (1), получим:

(2) x + y + 400 – 20x – 16 y = 100.

Это уравнение можно привести к такому виду:

19 x + 15 y = 300.

Теперь у нас есть одно уравнение с двумя переменными, которое можно решить с учетом других условий. Единственные положительные целые значения x и y, которые мы можем в него подставить, найденные методом проб и ошибок, – это x = 15 и y = 1. (Обратите внимание: 300 делится на 5, а значит, 19x + 15y тоже делится на 5, поэтому x должно быть кратным 5. Этому условию отвечают только значения x = 5, 10 и 15, но подстановка первых двух значений не позволяет решить уравнение.) Следовательно, z = 100 – x – y = 100 – 16 = 84.

Ответ: за 100 денежных единиц можно купить 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка.

В своем труде Абу Камил пишет, что в зависимости от цены трех птиц у этой задачи иногда есть одно решение (как в данном примере), а порой ни одного или, наоборот, несколько. В пример он приводит следующую задачу.

52. СОТНЯ ПТИЦ

Если утка стоит 2 драхмы[21]21
  Драхма – денежная единица в Древней Греции, а также в современной Греции до введения евро. Прим. ред.


[Закрыть], голубь – половину, а куры треть драхмы, сколько уток, кур и голубей у вас будет, когда вы купите 100 птиц за 100 драхм?

Помимо изобретения новой математики средневековые арабские ученые также приняли индийскую систему счисления, состоящую из десяти цифр, включая ноль. Арабские цифры (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0) пришли в Европу примерно в XIII веке. Одной из первых европейских книг, где они использовались, была Liber Abaci («Книга абака», или «Трактат по арифметике») итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Этот труд содержит сведения о вычислениях и измерениях, а также математические головоломки, в том числе задачи о птицах, такие как следующая.

Купите 30 птиц за 30 динариев: куропаток по 3 динария, голубей по 2 динария и воробьев по ½ динария. Эта задача решается замечательным образом, поэтому предоставляю вам возможность сделать это самостоятельно.

На протяжении трех следующих столетий почти все авторитетные математики эпохи Возрождения предложили свои варианты этой задачи, где шла речь о покупке дроздов, жаворонков, иволг, мухоловок, скворцов, гусей, каплунов и прочих пернатых. Такие задания оказались не только занимательным развлечением, но и обеспечили нас данными об истории южно-европейской орнитологии и гастрономии.

Решив одну задачу о птицах, вы сможете решить их все; для этого необходимо просто записать условия в виде системы уравнений и найти ответ в виде целых чисел.

Во многих других головоломках ситуацию также следует представить как систему уравнений. Как правило, в них не хватает уравнений для всех переменных, поэтому при решении приходится полагаться на тщательно продуманный метод проб и ошибок или математическое озарение. Следующая задача – моя любимая, причем не только потому, что количество данных кажется невероятно скудным (всего два уравнения на четыре переменные), но и потому, что фигурирующее в ней число имеет непосредственное отношение к известному бренду.

Ответ

53. 7-ELEVEN

[22]22
  7-Eleven («Семь-одиннадцать») – сеть небольших магазинов в разных странах мира; нынешний владелец – компания Seven-Eleven Japan. В самом начале магазины работали с 7 утра до 11 вечера, поэтому и получили такое название. Прим. пер.


[Закрыть]

Покупатель заходит в магазин 7-Eleven и покупает несколько товаров.

– С вас 7,11 фунта, – говорит кассир.

– Забавно… – отвечает покупатель.

– Да, – говорит кассир, – я только перемножил цены этих четырех товаров.

– А разве вы не должны были их сложить?

– Согласен, но сумма цен дает то же число.

Сколько стоит каждый товар?

Для решения задачи нужно знать пару простых математических фактов. Во-первых, простое число – это целое число, которое делится только на себя и на 1. Список простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Во-вторых, нужно знать основную теорему арифметики и, самое важное, главное правило простых чисел, а именно: каждое целое число можно представить в виде произведения уникального множества простых чисел. Например:

60 = 2 × 2 × 3 × 5

711 = 3 × 3 × 79

123 456 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 643

В каждом случае число можно разбить на простые множители только одним способом. Возможно, вы принимали это правило как нечто само собой разумеющееся, даже не зная его названия. Как бы там ни было, основная теорема арифметики поможет вам составить одно из уравнений, необходимых для решения данной задачи.

Для деления больших чисел на простые множители вам может понадобиться калькулятор или компьютер. Но даже несмотря на это, задача остается невероятно увлекательной.

Что связывает великого математика XIX столетия Симеона Дени Пуассона с актером Брюсом Уиллисом, героем голливудских боевиков? Оба решили представленную ниже головоломку. Биограф Пуассона писал, что эта головоломка стала той искрой, которая разожгла интерес юного француза к математике. «Без всяких размышлений о таких вещах, не зная ни условных обозначений, ни алгебраических методов, без какой-либо предварительной подготовки он решил [ее] самостоятельно – и в тот самый день почувствовал, что в нем родилась любовь к математике, от которой он не должен отказываться. Так начался его путь к славе». Браво!

На Брюса Уиллиса эта головоломка повлияла столь же жизнеутверждающе. В фильме «Крепкий орешек 3: Возмездие» он и актер Сэмюэл Джексон решили эту задачу, чтобы обезвредить бомбу с часовым механизмом. Если это смогли сделать Уиллис и Джексон, сможете и вы.

Ответ

54. ТРИ КУВШИНА

У вас есть 8-литровый кувшин с вином и два пустых кувшина емкостью 5 и 3 литра. Ни на одном из них нет мерной шкалы.

Налейте в один из кувшинов ровно 4 литра вина.

Впервые эта задача появилась в летописи XIII века аббата Альберта из городка Штаде близ Гамбурга. Этот опус включает самое подробное описание средневекового похода паломников из Северной Европы в Рим, написанное в форме диалога между двумя странствующими монахами Тирри и Фирри. В их шутливых беседах содержится несколько головоломок. «Раздели вино, – говорит Тирри Фирри, поддразнивая его задачей с тремя кувшинами, – иначе останешься без ничего».

Решать эту головоломку действительно весело, и я предоставляю вам возможность сделать это обычным способом, то есть, переливая вино из одного кувшина в другой, посмотреть, чем это закончится. Сделайте это, прежде чем продолжите читать.

Теперь я покажу вам другой способ решения задачи о трех кувшинах, используя шары, перемещающиеся по бильярдному столу необычной формы.

Бильярдный стол (см. рисунок) представляет собой параллелограмм со сторонами пять и три единицы, состоящий из равносторонних треугольников. Я обозначил их на рисунке, поскольку эти треугольники образуют систему координат (x, y). В ней значения x расположены по горизонтали, а y – по диагонали.

На следующем рисунке показано, что произойдет, если поместить шар в позицию с координатой (5; 0) и отправить его вдоль стороны треугольника. Шар отскочит от стенок бильярдного стола в точках (2; 3), (2; 0), (0; 2), (5; 2) и (4; 3), прежде чем двинется дальше. (Математические бильярдные столы лишены трения, поэтому шары перемещаются в том направлении, в каком вы их отправляете.)

А теперь рассмотрим удар по шару, расположенному в точке (0; 3). Он отскочит от стенок в точках (3; 0), (3; 3), (5; 1), (0; 1), (1; 0), (1; 3) и (4; 0), прежде чем продолжит свой путь.

Давайте тщательнее проанализируем эти координаты:

Не кажутся ли вам эти числа знакомыми? Надеюсь, что да! Ведь это и есть два возможных решения задачи о трех кувшинах.

Для того чтобы не запутаться, обозначим 5-литровый кувшин буквой A, а 3-литровый буквой Б.

Сначала оба кувшина пусты.

Наполним кувшин А. Состояние кувшинов такое: А = 5 литров, Б = 0 литров. Запишите это значение как (5; 0).

Теперь перелейте жидкость из кувшина А в кувшин Б. В кувшине А остается 2 литра, а кувшин Б полон, то есть в нем 3 литра. Кувшины находятся в точке (2; 3).

Вылейте жидкость из кувшина Б в третий кувшин. Теперь кувшины в точке (2; 0).

Перелейте жидкость из кувшина А в кувшин Б: (0; 2).

Снова наполните кувшин А: (5; 2)

Перелейте жидкость из кувшина А в кувшин Б: (4; 3).

Все: в кувшине А 4 литра, а значит, задача решена.

Объем жидкости в кувшинах А и Б в точности соответствует координатам точек, в которых шар отскакивает от стенок бильярдного стола после удара из точки (5; 0).

Если бы при поиске решения головоломки мы сначала наполнили кувшин Б, то объем жидкости в кувшинах А и Б можно было бы описать координатами точек, в которых шар отскакивает от стенок бильярдного стола после удара из позиции (0; 3).

Метод решения задач с кувшинами посредством шаров открыл британский статистик Морис Твиди в 1939 году, когда ему было двадцать лет. Каждый раз, когда шар отскакивает от стенок ромбовидного стола, траектория его движения приводит вас к следующему действию.

Если вам когда-либо понадобится вылить определенное количество жидкости из полной посуды в две пустые емкости поменьше без мерной шкалы, объем которых равен х и y, все, что вам нужно будет сделать, – это построить ромбовидный бильярдный стол со сторонами х и y и катать по нему шары.

Господа Уиллис и Джексон, если вы читаете эти строки, примите мои слова к сведению.

Ответ

55. ДВА ВЕДРА

Вы стоите у ручья с двумя ведрами вместимостью семь и пять галлонов. Как набрать шесть галлонов воды за минимальное количество переливаний?

Идея переливания жидкости из одного сосуда в другой лежит в основе ряда других занимательных головоломок.

Ответ

56. КОФЕ С МОЛОКОМ

В термосе у вас кофе, в чашке – молоко. Вы налили некоторое количество кофе в чашку с молоком, а затем перелили немного напитка назад в термос так, чтобы уровень жидкости в обеих емкостях был таким же, как изначально.

Чего больше – кофе в чашке или молока в термосе?

Эта задача вам на завтрак, а следующая предназначена для более позднего времени дня.

Ответ

57. ВОДА И ВИНО

У вас есть пинта воды в одном кувшине и пинта вина в другом. Вылейте полпинты воды в вино и перемешайте. В кувшине с вином теперь пинта вина и полпинты воды. Вылейте полпинты разбавленного вина в кувшин с водой так, чтобы в каждом кувшине оказалось по одной пинте жидкости. Перемешайте. Продолжайте переливать по полпинты из одного кувшина в другой.

После скольких переливаний в двух кувшинах будет одинаковое содержание вина в жидкости?

Жидкость не единственное вещество, которое льется. Примерно таким же свойством обладает песок. Ниже представлен вариант задачи с кувшинами, в котором необходимо измерять время, а не объем.

Ответ

58. 15 МИНУТ СЛАВЫ

С помощью песочных часов на 7 и 11 минут отмерьте ровно четверть часа.

Я помогу вам решить эту задачу. Итак, у нас есть пара песочных часов и мы будем их переворачивать. Перевернув одни часы, мы смогли бы отмерить только либо 7, либо 11 минут, то есть вернулись бы к тому, с чего начали.