Текст книги "Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления"

Давайте проанализируем числа – это полезно. Наши песочные часы отмеряют 7 и 11 минут, а нам необходимо отмерить 15 минут. Разность между одиннадцатью и семью равна четырем, а это то же число, что и разность между пятнадцатью и одиннадцатью. Значит, при решении нам нужно придерживаться следующей стратегии.

Переверните двое часов. Через семь минут в 7-минутных часах упадут последние песчинки, а вторые часы будут отсчитывать время еще 4 минуты. Именно этот интервал нам и нужен: здесь начнем отсчет 15 минут. Через четыре минуты 11-минутные часы опустеют. Сразу же переверните их – и через 11 минут получите ровно 15 минут, как показано на рисунке.

Впрочем, это не самое лучшее решение, ведь на него у нас ушло целых 22 минуты, хотя отмерить надо было четверть часа. Найдите более подходящий способ.

Измерять время можно и с помощью фитиля.

Ответ

59. ПУТАНИЦА С ФИТИЛЯМИ

У вас есть набор фитилей, каждый из которых сгорает за один час. Длинные и тонкие фитили горят неравномерно: один участок может гореть быстрее, чем другой. Разрезание фитиля пополам не гарантирует, что каждая половина сгорит за полчаса.

1. С помощью двух фитилей отмерьте 45 минут.

2. С помощью одного фитиля как можно точнее отмерьте 20 минут.

Соль этой задачи в том, что понимание математики позволяет исключить условие неравномерности горения и точно отмерить промежутки времени. Мне нравится, что в этой головоломке математика берет верх над физикой.

Ниже предложена еще одна головоломка о том, как преодолеть несовершенство физического мира.

Ответ

60. НЕПРАВИЛЬНАЯ МОНЕТА

В случае подбрасывания обычной монеты вероятность выпадения орла или решки равна 50: 50. Допустим, ваша монета с дефектом, из-за чего вероятность выпадения орла или решки составляет не 50: 50, а какое-то другое соотношение. Можно ли сделать так, чтобы она вела себя как обычная монета? Необходимо найти такую комбинацию подбрасываний, которая обеспечит результат 50: 50.

Монеты – важнейший инструмент в мире головоломок; в следующей главе мы поговорим о них подробнее.

Рычажные весы были единственным инструментом для взвешивания предметов вплоть до XVIII столетия, когда были изобретены пружинные весы с одной чашей. Будучи распространенным измерительным прибором, рычажные весы часто были героями математических головоломок, начиная с эпохи Возрождения до эпохи Просвещения и позднее. Решите одну из них.

Ответ

61. РАЗДЕЛИТЕ МУКУ

У вас есть рычажные весы и две гири весом 10 и 40 граммов. Разделите 1 килограмм муки на две части – 200 и 800 граммов – за три взвешивания.

Предположим, у нас есть набор килограммовых гирь, соответствующих первым шести членам последовательности удваивающихся чисел: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Комбинируя эти шесть гирь, можно получить любой вес от 1 до 63 килограммов. Например:

3 = 2 + 1.

Другими словами, для того чтобы получить 3 килограмма, необходимо взять две гири весом 2 и 1 килограмм.

13 = 8 + 4 + 1;

27 = 16 + 8 + 2 + 1;

63 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1.

В действительности шесть гирь образуют минимальный набор, позволяющий измерить любой вес в килограммах от 1 до 63.

Почему это так, можно понять, рассматривая выражение веса в двоичных числах. В двоичной системе счисления используются только цифры 1 и 0. Двоичные числа – это числа десятичной системы, записанные с помощью 1 и 0: 1, 10, 11, 100, 110 и т. д. Числа 1, 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000 в двоичной системе счисления соответствуют десятичным числам 1, 2, 4, 8, 16 и 32. Таким образом, двоичные числа – это своего рода инструкции в отношении того, как выстраивать числа с помощью последовательности, в которой каждый очередной член в два раза больше предыдущего. Таким образом, в двоичной системе следующие числа записываются так:

3 – это 11

13 – 1101

27 – 11 011

63 – 111 111

Цифра 1 в крайнем правом столбце соответствует 1, цифра 1 в соседнем столбце – 2, цифра 1 в следующем столбце – 4 и т. д. Аналогичным образом цифра 0 в крайнем правом столбце означает отсутствие цифры 1, цифра 0 в соседнем столбце означает отсутствие цифры 2, цифра 0 в следующем столбце – отсутствие цифры 4 и т. д.

Итак, возьмем число 13, которое записывается в двоичной системе как 1101. Эта группа цифр справа налево означает: одна цифра 1, нет цифры 2, одна цифра 4 и одна цифра 8. Другими словами, 13 = 1 + 4 + 8 – как и было сказано.

Но давайте больше не будем отвлекаться на двоичные числа, какой бы интересной ни была эта тема. Вернемся к весам и гирям.

Поскольку наш набор гирь (1, 2, 4, 8, 16, 32) позволяет измерить любой вес в килограммах от 1 до 63, мы можем взвесить любое целое количество килограммов от 1 до 63, положив на одну из чаш весов соответствующую комбинацию гирь. А что, если использовать обе чаши?

Ответ

62. ЗАДАЧА БАШЕ О ВЗВЕШИВАНИИ

У вас есть рычажные весы. С помощью какого минимального набора гирь можно измерить любой вес от 1 до 40 килограммов в целых числах, если гири можно класть на любую чашу?

Эта задача включена в книгу Леонардо Пизанского Liber Abaci («Книга абака», или «Трактат об арифметике»), хотя она более известна как задача о гирях французского математика Клода Гаспара Баше.

Баше был поэтом, переводчиком и математиком, а также автором сборника головоломок. В 1612 году он опубликовал первое издание книги Problèmes Plaisants et Délectables Qui Se Font Par Les Nombres («Занимательные и приятные числовые задачи»). В ней собраны многие из тех головоломок, с которыми вы здесь уже встречались, такие как переправа через реку, покупка сотни птиц и переливание жидкости в трех кувшинах. На протяжении трех столетий сборник Problèmes Plaisants считался стандартным текстом по занимательной математике, на нем основывалась вся последующая литература о головоломках. Кроме того, в книге Баше представлен самый известный анализ задачи с рычажными весами.

Баше внес еще один важнейший вклад в историю математики: перевел «Арифметику» древнегреческого математика Диофанта на латынь. Именно на одной из страниц этого перевода французский математик Пьер Ферма написал, что нашел чудесное доказательство теоремы, сформулированной под влиянием этого текста, но не может записать его, поскольку поля книги слишком узкие. Доказательство последней теоремы Ферма (уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет решений, выраженных в целых ненулевых числах a, b и c, если n больше 2) ускользало от математиков на протяжении 350 лет, что сделало ее за это время самой знаменитой нерешенной задачей в математике.

Вот вам задача для подготовки:

У вас есть восемь идентичных монет. Девятая монета фальшивая: она выглядит так же, но весит чуть меньше остальных монет. Сможете ли вы найти ее всего за два взвешивания?

Возможно, вы захотите решить эту задачу самостоятельно, в таком случае не читайте написанное далее. Я привожу здесь решение, чтобы вы смогли справиться со следующими головоломками.

Чтобы решить задачу о фальшивой монете, разделите монеты на три группы по три монеты. Если мы обозначим их номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, то первый раз взвешиваем монеты 1, 2, 3 и монеты 4, 5, 6. При этом чаши весов будут либо уравновешены, либо нет.

Если чаши весов уравновешены, как показано на рисунке слева, значит, более легкая монета – это номер 7, 8 или 9. Если одна чаша весов перевешивает другую, как на среднем рисунке, то более легкая монета – это номер 1, 2 или 3. Если же чаши весов расположены как на рисунке справа, значит, это монета номер 4, 5 или 6. Во всех трех случаях мы можем сузить вероятность поиска более легкой монеты с одной из девяти до одной из трех.

Теперь, при втором взвешивании, нам остается только сравнить вес одной из оставшихся монет с другой монетой, отложив третью в сторону. Более тяжелая монета перевесит чашу весов, а если чаши будут уравновешены, то фальшивая монета – та, что вы отложили. Вот и все.

Следующая задача стала широко известной во время Второй мировой войны. Она привела лучшие умы союзников в такое смятение, что кто-то даже предложил подкинуть фальшивую монету на вражескую территорию, чтобы вызвать хаос в мозговом центре немцев.

Ответ

63. ФАЛЬШИВАЯ МОНЕТА

У вас есть 11 одинаковых монет. Двенадцатая монета – фальшивая. С виду она такая же, как все, но отличается весом. Вам неизвестно, легче она или тяжелее остальных.

Сможете ли вы за три взвешивания найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее других монет?

Кстати, для весов с одной чашей (таких как современные цифровые весы, показывающие вес в килограммах) тоже можно придумать интересные головоломки с фальшивыми монетами.

Ответ

64. СТОПКА ФАЛЬШИВЫХ МОНЕТ

У вас десять стопок монет, по десять монет достоинством один фунт в каждой. Девять стопок состоят из подлинных однофунтовых монет, а в одной – все монеты фальшивые. Вам известен вес однофунтовой монеты, а также то, что фальшивая монета на 1 грамм тяжелее настоящей. Какое минимальное количество взвешиваний требуется для того, чтобы определить стопку фальшивых монет на весах с одной чашей?

Преемником Клода Гаспара Баше в части придумывания головоломок считается француз Эдуард Люка, чьи труды по занимательной математике появились в конце XIX века. Помимо того что Люка был виднейшим математиком своего времени и добился больших успехов в понимании простых чисел, он изобретал новые головоломки и анализировал классические задачи такого рода. Рассказанная далее история подлинная и взята из французского учебника по математике 1915 года. Автор пишет, что случай произошел на научной конференции много лет назад. Несколько известных математиков, в том числе выдающихся, прохаживались после обеда и беседовали. Люка вступил с ними в разговор и предложил решить представленную далее задачу. Одни математики ответили неправильно, другие промолчали. Задачу так никто и не решил.

Вам слово, дорогой лектор.

Ответ

65. ИЗ ГАВРА В НЬЮ-ЙОРК

Ежедневно в полдень океанский лайнер отправляется из Гавра в Нью-Йорк; в то же самое время из Нью-Йорка в Гавр тоже выходит лайнер. Путь через океан в любом направлении занимает ровно семь дней и семь ночей. Сколько лайнеров до прибытия в Нью-Йорк встретит на своем пути лайнер, вышедший из Гавра сегодня?

Мне нравится эта задача, поскольку притом что речь в ней идет о рядовом событии (корабли отправляются и прибывают в порт), присутствует также интересная математическая изюминка. Существует множество замечательных головоломок о транспорте, которые зачастую касаются того, о чем люди размышляют во время путешествий.

Ответ

66. ПОЛЕТ ТУДА И ОБРАТНО

Самолет совершает рейс из пункта А в пункт Б и обратно. В безветренный день полет занимает одинаковое количество времени в обоих направлениях. Но что произойдет, если погода будет ветреной? Полет в два конца займет больше или меньше времени, столько же, как обычно, или это зависит от направления ветра?

Допустим, ветер дует в одном направлении на протяжении всего полета. Очевидно, что при попутном ветре при движении самолета туда и обратно полет в два конца займет меньше времени, чем при полном отсутствии ветра. Можно предположить, что самолет летит из пункта А в пункт Б по прямой линии туда и обратно. Для начала проанализируйте, что произойдет, если самолет летит из пункта А в пункт Б при попутном ветре, ускоряющем его движение на этом участке пути, а возвращается при встречном, замедляющем его перемещение в обратном направлении. Будет ли влияние ветра полностью нейтрализовано в этом случае? Подумайте также о том, как будет лететь самолет, если ветер станет дуть под углом к траектории полета.

Изучение приборной панели во время длинной поездки на автомобиле тоже дает повод для арифметических развлечений.

Ответ

67. ПРОБЕГ АВТОМОБИЛЯ

Обычно в современных автомобилях устанавливают два одометра (измеряют количество оборотов колеса). Первый измеряет общий пробег автомобиля за весь период эксплуатации (его показания не обнуляются), а второй измеряет путь, пройденный автомобилем за одну поездку (его показания можно обнулить). Если показания любого из одометров будут состоять из одних девяток, то следующее число, которое он покажет, будет включать в себя только нули.

Допустим, первые четыре цифры на одометрах одинаковые, как показано на рисунке.

Если не обнулять счетчик пробега за одну поездку, при каком общем пробеге на обоих одометрах снова первые четыре цифры будут одинаковыми?

А теперь задумаемся над тем, как мы передвигаемся благодаря собственным усилиям.

Ответ

68. ОБГОН

1. Вы принимаете участие в забеге и обгоняете человека, бегущего вторым. Какое место вы занимаете?

2. Вы участвуете в забеге и обгоняете человека, бегущего последним. Какое место вы занимаете теперь?

Ответ

69. СТИЛИ БЕГА

Констанс и Дафни участвуют в забеге ровно на 26,2 мили. Констанс бежит весь марафон с постоянной скоростью: 1 миля за 8 минут. Дафни бежит с разной скоростью, чередуя рывки с медленным бегом, и покрывает каждую милю за 8 минут и 1 секунду. Другими словами, какую бы милю дистанции вы ни взяли – первую, последнюю или, скажем, отрезок с 13,6 мили до 14,6 мили, – Констанс пробежит ее ровно за 8 минут, а Дафни на секунду больше.

Может ли Дафни выиграть этот забег?

Не предоставляя слишком много информации, хочу отметить, что это возможно, причем главное – найти правильную стратегию. На мой взгляд, задачу можно отнести к разряду парадоксов, а не головоломок. Существуют логические парадоксы – предположения, приводящие к внутренне противоречивым выводам, и шуточные парадоксы – на первый взгляд абсурдные утверждения, которые после внимательного анализа оказываются истинными. Ниже предлагаются две задачи такого типа.

Ответ

70. ВЯЛЫЙ КАРТОФЕЛЬ

Стокилограммовую кучу картофеля оставили лежать на солнце. Вес картофеля на 99 процентов состоит из воды. После дня пребывания на солнце часть воды испарилась, и теперь 98 процентов веса картофеля приходится на воду. Чему равен новый вес картофеля?

Следующая задача была опубликована в издании 1896 года книги Уолтера Роуза Болла Mathematical Recreations and Essays[23]23
  Издана на русском языке: Роуз Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М.: Мир, 1986.


[Закрыть] – первой важной книги по занимательной математике, написанной на английском языке. Впервые увидев свет в 1892 году, эта книга выдержала 14 изданий, причем последние четыре (вышедшие после смерти автора), 1939-го, 1942-го, 1974-го и 1987 годов, включали в себя поправки и дополнительные разделы, написанные известным канадским геометром Гарольдом Коксетером. Помимо всего того, чем Роуз Болл занимался в Кембридже, где он построил свою научную карьеру, он основал одно из старейших в мире сообществ иллюзионистов Pentacle Club. В своем завещании математик распорядился передать деньги Оксфордскому и Кембриджскому университетам, каждый из которых учредил кафедру Роуза Болла по математике.

Ответ

71. ПЛАН ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ

Вам предложили новую работу со стартовой заработной платой 10 тысяч фунтов в год. Начальник просит вас выбрать один из способов ее повышения.

План А: повышение на 500 фунтов каждые полгода, то есть каждые шесть месяцев ваша заработная плата на следующие шесть месяцев увеличивается на 500 фунтов.

План Б: ежегодное повышение на 2000 фунтов.

Какой план вы выберете?

Ответ

72. ДЕЛЕНИЕ ТРОСТИ

Дик распиливает свою трость на две части. Если точка деления выбирается случайным образом, какова в среднем длина меньшей части трости?

Одна из самых известных задач Эдуарда Люка – это ménage[24]24
  От франц. ménage – «домашнее хозяйство» или «организация домашнего хозяйства». Прим. ред.


[Закрыть], или задача о супружеских парах, в которой необходимо определить, каким количеством способов можно рассадить за столом пары мужчин и женщин так, чтобы мужчины чередовались с женщинами и ни один мужчина не сидел рядом со своей женой. Решение этой задачи слишком сложное для нашей книги; сам Люка включил его в виде приложения в научный труд о теории чисел, а не в книги о занимательной математике. Но если вам любопытно, я сообщу ответ: для двух пар сделать это невозможно, для трех пар существует 12 способов, для четырех – 96 способов, а для пяти – 3120 способов.

Тем не менее весьма забавно, что званые ужины могут стать поводом для изобретения замечательных головоломок.

Ответ

73. РУКОПОЖАТИЯ

Эдвард и Люси пригласили на ужин четыре пары. Каждый человек пожимает руку только тому, кого не встречал раньше. Затем Эдвард спрашивает свою жену и восьмерых гостей, скольким людям они пожали руки, и получает девять разных ответов.

Скольким приглашенным пожала руку Люси?

Мы можем сделать ситуацию не столь официальной.

Ответ

74. РУКОПОЖАТИЯ И ПОЦЕЛУИ

Эдвард и Люси пригласили на ужин нескольких друзей. Некоторые из них не состоят в браке, а некоторые образуют разнополые пары. Мужчины приветствуют друг друга рукопожатиями. Женщины приветствуют и мужчин, и женщин поцелуями. (Разумеется, двое из одной пары не приветствуют друг друга.) Каждый гость на вечеринке приветствует Эдварда, Люси и всех остальных гостей. Исходя из того, что всего было шесть рукопожатий и 12 поцелуев, сколько гостей присутствовало на ужине и сколько среди них людей, не состоящих в браке?

Задачи о званых ужинах сводятся к анализу комбинаций. Хотя порой их слишком много, чтобы все подсчитать. Так что не делайте этого. А когда пойдете в театр, не забудьте свой билет.

Ответ

75. ПОТЕРЯННЫЙ БИЛЕТ

Сто человек выстроились в очередь, чтобы занять свои места в театральном зале на 100 мест. Первый человек в очереди не может найти билет, поэтому занимает случайно выбранное место. Каждый из оставшихся садится на свое место, если оно не занято; в противном случае каждый занимает место, выбранное случайным образом.

Какова вероятность того, что последний посетитель театра займет место, указанное в его билете?

В этой главе представлены головоломки о гипотетических случаях из реальной жизни. Теперь пора заняться тем, что происходит на самом деле.

Ответ

10 увлекательных головоломок. Хорошо ли вы знаете географию?

Правила: пользоваться калькуляторами не разрешается.

1. Назовите самый крупный город в Европе, название которого (на русском языке) содержит только один слог.

Ответ

2. Какой штат США находится ближе всего к Африке?

Флорида;

Северная Каролина;

Нью-Йорк;

Массачусетс;

Мэн.

Ответ

3. Расположите следующие города с запада на восток.

Эдинбург;

Глазго;

Ливерпуль;

Манчестер;

Плимут.

Ответ

4. Расположите следующие города с севера на юг.

Алжир;

Галифакс (Новая Шотландия);

Париж;

Сиэтл;

Токио.

Ответ

5. Расположите следующие города с севера на юг.

Буэнос-Айрес;

Кейптаун;

Остров Пасхи;

Монтевидео;

Перт (Австралия).

Ответ

6. Какая европейская страна имеет общую границу с наибольшим числом других стран Европы?

Ответ

7. Расположите следующие географические объекты по величине численности населения в порядке возрастания.

Шетландские острова;

Остров Мэн;

Остров Уайт;

Джерси;

Фолклендские острова.

Ответ

8. У какой страны мира самая длинная береговая линия?

Ответ

9. Франция – страна с самым большим количеством часовых поясов (12), поскольку в ее состав входят заморские территории и департаменты. В какой из крупнейших стран мира только один часовой пояс?

Ответ

10. Аконкагуа, Эльбрус, Килиманджаро и Мак-Кинли – самые высокие горы в Южной Америке, Европе, Африке и Северной Америке. Расположите их по высоте.

Ответ

Глава 4. Мне нужна ваша помощь, чтобы посадить 9 деревьев. Задачи с предметами

Головоломки, требующие выполнения определенных действий с осязаемыми предметами, пожалуй, самые увлекательные из всего математического досуга. Мы легче и проще входим в состояние глубокой концентрации, когда наши попытки решить задачу не связаны с необходимостью записывать что-то на бумаге или абстрактным мышлением. Такое глубокое погружение в размышления над задачей захватывает, а действия с реальными вещами превращают опыт решения головоломки в игру.

В этой главе мы будем иметь дело с монетами, спичками, марками, бумагой и веревкой, с содержимым вашего кармана или кошелька. Для первой задачи понадобится всего четыре одинаковых монеты. Если бы вам когда-либо пришлось ехать со мной в поезде, я непременно предложил бы вам ее решить.

Расположите четыре монеты на столе по схеме, изображенной на рисунке, так, чтобы пятую монету можно было беспрепятственно поместить в заштрихованной области, соприкасающейся со всеми монетами.

По условиям задачи, вы должны найти способ расположить четыре монеты так, чтобы пятая идеально поместилась между ними. Попробуйте! На глаз это сделать не получится.

Решение сводится к следующему. Сначала необходимо понять, как зафиксировать относительное положение четырех монет. Существует только один способ это сделать – расположить четыре монеты в форме ромба, как показано на рисунке ниже (шаг 1). Для того чтобы закрепить относительное положение монет, нужно передвинуть любую монету в новое положение так, чтобы она соприкасалась с двумя другими.

Таким образом, нам придется перейти от схемы расположения монет, показанной в шаге 1, к представленной выше начальной схеме, придерживаясь следующего правила: на каждом шаге монету нужно размещать так, чтобы она соприкасалась с двумя другими – см. рисунок (шаг 2 и шаг 3).

Головоломки с монетами – это увлекательные маленькие задачки, которые полностью захватывают ваше внимание до тех пор, пока вы не найдете их решение. Как правило, они гораздо сложнее, чем кажется на первый взгляд. Тем не менее, немного подумав, вы сможете их решить.

Описанную выше задачу сто лет назад придумал английский математик Генри Дьюдени. Авторство следующей задачи тоже принадлежит ему.

76. 6 МОНЕТ

Расположите шесть одинаковых монет на столе по схеме, изображенной на рисунке, так, чтобы седьмую монету можно было разместить в заштрихованной области, соприкасающейся со всеми монетами.

Сначала необходимо определить начальное положение для всех шести монет. Затем поочередно передвигать монету на новое место так, чтобы она при этом соприкасалась с двумя другими монетами.

Задача решается за три шага.

Головоломки с монетами весьма увлекательны. Стоит вам разгадать эту, как захочется решить еще одну, и еще…

Ответ

77. ПРЕВРАЩЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА В ЛИНИЮ

Можете ли вы превратить треугольник в линию за семь шагов? Как и ранее, с каждым шагом нужно передвигать монету в новое положение так, чтобы она соприкасалась с двумя другими монетами. Запрещается отрывать монету от стола или с ее помощью передвигать другую монету.

Для решения следующей задачи понадобится восемь одинаковых монет.

Ответ

78. ВОДНАЯ ГОЛОВОЛОМКА

[25]25
  Головоломка называется водной потому, что, как известно, Н₂О – это формула воды. Прим. ред.


[Закрыть]

Придерживаясь тех же правил перемещения монет, что и в предыдущих задачах, сможете ли вы превратить букву H в O за четыре шага?

А можете ли вы вернуться от O к H за шесть шагов?

Мы уже встречались с Генри Дьюдени в этой книге. Он автор головоломки о Смите, Джонсе и Робинсоне, публикация которой вызвала всплеск интереса к решению дедуктивных задач в 1930-х годах.

Дьюдени был величайшим новатором по части придумывания головоломок в Великобритании, а возможно, и во всем мире. За сорок лет работы в газетах и журналах он составил больше классических задач по занимательной математике, чем кто-либо. В этом смысле Дьюдени был очень плодовит. Как говорилось в главе 1, задача о Смите, Джонсе и Робинсоне (задача 7) была опубликована в колонке Perplexities, которую Дьюдени много лет вел в журнале Strand, в 1930 году, в том самом месяце, когда он ушел из жизни.

По всей вероятности, призванием Дьюдени обязан своему деду, пастуху из Южного Даунса, который самостоятельно освоил математику и астрономию. Впоследствии он стал школьным учителем, как затем и его сын. Генри Дьюдени родился в 1857 году, но он не был создан для работы в сфере формального образования. Вместо того чтобы учиться в школе, в возрасте 13 лет он поступил работать клерком в государственное учреждение в Лондоне. Со временем жизнь служащего наскучила Дьюдени, и он начал отправлять придуманные им головоломки в редакции национальных изданий. Вскоре Дьюдени бросил работу, чтобы полностью посвятить себя созданию головоломок.

Его работа отличается не только размахом, но и глубиной, что особенно удивительно для самоучки, а живой арифметический ум не имел равных. В одной задаче из его книги The Canterbury Puzzles[26]26
  Издана на русском языке: Дьюдени Г. Кентерберийские головоломки. М.: Аргументы недели, 2016.


[Закрыть] 1907 года сказано, что куб единицы и куб двойки дают в сумме девять (1³ + 2³ = 1 + 8 = 9). Далее автор предлагает читателю найти еще два числа, сумма кубов которых равнялась бы девяти. Вот ответ:

и

«Один известный клерк страховой компании и один корреспондент взяли на себя труд возвести в куб эти числа, и оба нашли мой ответ совершенно правильным», – писал Дьюдени. Разум приходит в ужас при мысли о том, что он сумел получить этот результат исключительно с помощью бумаги и карандаша.

Дьюдени – автор многих головоломок с монетами. Следующая взята из его книги Amusements in Mathematics («Математические развлечения»), опубликованной в 1917 году.

Ответ

79. 5 ПЕННИ

Это очень сложная задача, хотя ее условия до смешного просты. Каждый читатель знает, как разместить четыре монеты по 1 пенни так, чтобы они были равноудалены друг от друга. Для этого нужно всего лишь положить их горизонтально на стол таким образом, чтобы они, соприкасаясь друг с другом, образовали треугольник, а четвертую монету поместить сверху, в центре. В этом случае каждое пенни соприкасается со всеми остальными, поэтому все монеты находятся на равном расстоянии друг от друга. Теперь попытайтесь сделать то же самое с пятью пенни. Разместите их так, чтобы каждая монета соприкасалась со всеми остальными, – вы обнаружите, что это совсем другое дело.

Вам будет проще решить головоломку (во всяком случае, мне было проще) с самыми большими монетами, которые сможете найти. Дьюдени предложил только одно решение, но их на самом деле два.

В книге Rational Amusement for Winter Evenings («Умственные развлечения для зимних вечеров»), написанной американским математиком Джоном Джексоном в 1821 году, есть следующие строки.

Your aid I want, nine trees to plant

In rows just half a score;

And let there be in each row three.

Solve this: I ask no more.[27]27
  Мне нужна ваша помощь – чтобы посадить девять деревьев в десять рядов, по три дерева в каждом ряду. Решите эту задачу, о большем не прошу. Прим. пер.


[Закрыть]

Их можно перефразировать в виде вопроса: сможете ли вы посадить девять деревьев в десять рядов, по три дерева в одном ряду? Вот как решается эта задача:

В книге «Математические развлечения» Дьюдени пишет, что авторство этой задачи приписывают Исааку Ньютону, хотя нет никаких доказательств ее существования до публикации Джексоном в своей книге. Задачи о посадке деревьев, по условиям которых необходимо расположить определенное количество деревьев в определенном числе рядов, состоящих из определенного количества деревьев, удобнее всего решать с помощью монет. Ниже представлена одна из таких задач, придуманная Дьюдени.

Ответ

80. ПОСАДИТЕ 10 ДЕРЕВЬЕВ

Разместите десять монет на большом листе бумаги так, как показано на рисунке. Можете ли вы передвинуть четыре монеты, расположив их в других местах таким образом, чтобы все десять монет образовали пять прямых линий по четыре монеты в каждой линии?

Если вам удалось это сделать (а Дьюдени утверждает, что это не так уж трудно), определите, сколькими способами можно решить эту задачу при условии, что каждый раз вы начинаете с одной и той же позиции?

При решении этой головоломки, если монеты немного сдвинутся, может возникнуть путаница, поэтому я рекомендую отмечать их исходное положение на бумаге.

Дьюдени составил несколько задач с участием десяти точек, или «деревьев», расположенных на пяти линиях по четыре точки на каждой линии. Если исключить из задачи условие о том, что можно передвигать только четыре монеты, чтобы вы могли передвигать столько монет, сколько хотите, то можно составить еще пять схем расположения десяти монет в виде пяти прямых линий по четыре монеты в каждой. Дьюдени назвал эти схемы: «звезда», «стрела», «циркуль», «воронка» и «коготь». (Решение предыдущей задачи он называл «ножницами».) Схема в виде звезды показана на рисунке ниже. Удастся ли вам составить остальные четыре схемы?

А теперь отгадайте загадку: почему в начале ХХ столетия была известна женщина по имени Генри Дьюдени?

Элис Виффин было восемнадцать, когда она вышла замуж за Генри Дьюдени. Впоследствии она стала успешной писательницей, ее благосклонно сравнивали с Томасом Харди и Эдит Уортон. На обложках своих книг Элис предпочитала ставить свою фамилию в замужестве: миссис Генри Дьюдени. Она написала около пятидесяти романов; многие из них посвящены жизни провинциального юго-востока. Чета Дьюдени построила загородный дом, они также вращались в лондонских литературных кругах. Элис была наперсницей сэра Филипа Сассуна, чрезвычайно богатого человека, члена парламента и светского льва, который устраивал приемы в своем особняке в Кенте.

Отношения этой пары были бурными. После того как Элис завела роман, супруги расстались, но в 1916 году снова поселились вместе в городке Льюис. В их доме у каждого был свой кабинет; они располагались один над другим. Элис вела подробный дневник о жизни с Эрнестом[28]28
  Эрнест – второе имя Генри Дьюдени. Прим. ред.


[Закрыть], или, как она его называла, Льюисом. В 1998 году дневник был опубликован; это задушевное, но при этом колкое повествование о жизни с величайшим изобретателем головоломок. В дневнике так много интимных подробностей, что порой становится неловко. Эрнест боготворил жену, но был склонен к ревности. «У Эрнеста отвратительный характер, но он не может ничего с этим поделать, поскольку даже не знает об этой проблеме, по-моему. Кроме того, он весьма изысканно пытается загладить свою вину, – писала Элис. – Как бы там ни было, если твой муж гений, а ты сама тоже относишься к числу одаренных людей, конфликты неизбежны…»

Одним из исключительных талантов Дьюдени была его способность сделать головоломку из любого обычного предмета. Ниже приведена задача о сигарах, которую он придумал в своем лондонском клубе. «[Эта задача] надолго завладела вниманием членов клуба, – писал Дьюдени. – Они никак не могли разобраться в ней и считали неразрешимой. Однако я продемонстрирую, что ответ на удивление прост».

В головоломке речь идет о сигарах, но мне кажется, что найти решение легче, если работать с монетами, поэтому я сформулировал ее иначе. (Если вы хотите знать оригинальный текст, просто замените в условии слово «монета» на слово «сигара».)

Ответ

81. БОРЬБА ЗА ПРОСТРАНСТВО

Два игрока сидят за квадратным столом. Сначала первый кладет монету на стол, затем второй, после чего они продолжают делать это по очереди. По условию задачи, монеты не должны соприкасаться. Победителем становится тот, кто положит монету на последнее свободное место.

Кроме того, размер стола должен быть больше одной монеты, иначе игра окончится после первого же хода; все монеты одинаковые.

Один игрок непременно выиграет. Кто именно – тот, кто начинает игру, или тот, кто ходит вторым? И какова его стратегия?

К рассказу о Дьюдени мы вернемся немного позже, а сейчас, пока монеты лежат на столе, я хотел бы еще немного позабавиться с ними.