Электронная библиотека » Алексей Семихатов » » онлайн чтение - страница 12


  • Текст добавлен: 22 ноября 2023, 13:10


Автор книги: Алексей Семихатов


Жанр: Физика, Наука и Образование


сообщить о неприемлемом содержимом

Текущая страница: 12 (всего у книги 47 страниц) [доступный отрывок для чтения: 15 страниц]

Шрифт:
- 100% +

Рис. 4.12. Кольца Сатурна по фотографиям космического аппарата «Кассини». Щель Кассини – темная полоса в центральной части изображения


*****

Драма для троих. Настоящая задача трех тел – задача о движении трех идеальных шаров или точек, гравитационно притягивающих друг друга, – отличается от задачи про два больших тела (например, Землю и Луну, даже если считать их идеально круглыми) и космический корабль. Траектория «Луны-2» между Землей и Луной могла быть достаточно сложной, но эта сложность не идет ни в какое сравнение с тем, что происходит, когда третье тело не малое, как космический аппарат. Когда все три участника имеют сравнимые массы, их движение приобретает в общем неконтролируемый – непредсказуемый – характер вот каким неожиданным образом. Никто, конечно, не отменял законы Ньютона, и какие бы три тела – будем говорить о трех звездах – мы ни взяли, их относительные скорости и положения изменяются со временем в точном соответствии с этими законами. Но эволюция любой системы зависит еще и от ее начального состояния (см. главу «прогулка 1»). Чтобы предсказать движение, надо решить уравнения движения, взяв за начальное определенное состояние всей системы: скорости и положения всех тел-участников в некоторый выбранный момент времени. Даже если в нашем распоряжении очень мощный компьютер, позволяющий делать сложнейшие вычисления, сами эти начальные условия всегда определены с какой-то степенью приближения. Небольшая неточность в начальных условиях в задаче Кеплера приведет к небольшой неточности в предсказании движения, и в этом смысле мы не сильно боимся неточностей. Буквально как на спокойной реке, где и правда бояться нечего: оттого, что вы не заметите сдвиг вашей лодки на полметра вправо или влево, ваш путь вниз по течению никак принципиально не изменится. Все иначе на бурной реке: при заходе в порог разница в полметра может привести к драматически различным продолжениям. Задача трех тел – это что-то вроде еще «ухудшенного» путешествия по сильно порожистой реке. Малые изменения в начальных условиях приводят к радикально различным вариантам развития событий. Немного удивительно, что действие одной лишь гравитации придает движению трех (всего трех) тел ничуть не меньший азарт, чем при выборе, справа или слева обойти камень в потоке[69]69
  Системы, где малые изменения на входе приводят с течением времени не к умеренным изменениям их состояния, а к радикальной, качественной смене картины, называются неустойчивыми. Это несколько более общее понятие, чем неустойчивость, с которой мы встречались в главе «прогулка 2», но слово все равно кажется подходящим; с течением времени состояние системы склонно радикально измениться «из-за любой ерунды».


[Закрыть]
. Добивается этого гравитация посредством механизма, по существу близкого к гравитационной праще. Если в системе двух тел их сближение всегда ограничено некоторым расстоянием (в частности, тела не могут столкнуться – за исключением того случая, когда они прицельно направляются навстречу друг другу), то в системе трех тел такого ограничения нет. Имеющееся в системе «количество вращения»[70]70
  Технически: сохраняющийся полный момент количества движения.


[Закрыть]
распределяется на большее число участников; если тел только два, сохранение количества вращения не позволяет им излишне сблизиться, но, как только появляется возможность передать некоторое количество вращения третьему телу, запрета на сближение больше нет и одно из тел может пройти сколь угодно близко к другому. На малом расстоянии взаимодействие сильное, а из-за того, что тела движутся, они тем или иным образом обмениваются энергией движения. В результате одно из тел может оказаться буквально выстреленным в какую-то сторону: оно с большой скоростью уходит от оставшихся двух тел. Те продолжают совместными усилиями притягивать его, и, как вариант, улетающее тело может через некоторое время повернуть обратно под действием этого притяжения. Вновь набрав скорость, оно возвращается к двум другим, которые тем временем спокойно обращались вокруг общего центра масс. В эту идиллию вторгается энергичное третье тело, и скорее рано, чем поздно, возникают условия для очередного «выстрела» каким-то из тел. Выстрел может оказаться фатальным: тело приобретет такую скорость, что уже никогда не вернется. Иногда драма растягивается надолго – уходящее тело еще раз-другой «передумывает», – но в конце концов система трех тел склонна к распаду. Когда именно это произойдет и какое из трех тел будет все-таки выброшено прочь, зависит от тонких деталей того, как происходят тесные сближения. Вот здесь-то и оказывается, что даже небольшие неточности в знании скоростей и положений всех тел не позволяют нам правильно предсказать их поведение даже с помощью самого мощного компьютера: малые изменения в момент сближения развиваются в качественно различные сценарии. Нет возможности предсказать, кто из участников будет изгнан; иногда почти-изгой все-таки возвращается и после серии тесных взаимодействий выброшенным оказывается кто-то еще. Задача трех тел – это истерическая драма.

В задаче трех тел не исключены, конечно, специальные конфигурации, например такие, где два тела обращаются «вокруг друг друга» (вокруг общего центра масс), а третье находится далеко от обоих и по существу обращается вокруг них как целого (опять же, вокруг центра масс всех трех, если выражаться строго – что, честно говоря, страшно надоело). Такие конфигурации тройных звезд во Вселенной есть, и одна из них даже по соседству с нами (4,3 светового года от Солнца). Это Альфа Центавра, а точнее – Альфа Центавра A, B и C. Первая из них – звезда, похожая на Солнце, лишь немного более старая, массивная и яркая. (В земном небе это третья по яркости звезда, но увидеть ее можно, только находясь к югу от 29° северной широты. В Каире она еще не видна, а в Нью-Дели только-только появилась над горизонтом.) Ее компаньон Альфа Центавра B светит в два раза слабее Солнца и имеет несколько меньшую массу. Обращаясь одна вокруг другой, две звезды временами сближаются до 23 а.е. – что несколько больше, чем радиус орбиты Урана, но это как-никак две звезды. Третья звезда, Альфа Центавра C, – та самая Проксима Центавра. Название означает «ближайшая» – разумеется, к Земле/Солнцу; но от звезд A и B этот красный карлик находится по-настоящему далеко, почти в 13 000 а.е., и обращается вокруг них примерно за полмиллиона земных лет (хотя не исключено, что и просто пролетает мимо – точно определить характер орбиты, с учетом имеющихся в задаче расстояний, не так легко; в любом случае «в последнее время» и в довольно протяженном будущем Проксима – ближайшая к нам звезда). Известны системы и из большего числа звезд, но они всегда иерархические: например, две тесные пары, находящиеся достаточно далеко друг от друга и обращающиеся – каждая практически как целое – вокруг общего центра масс.

Кратные звездные системы организованы иерархически

Около половины звезд во Вселенной (в Галактике во всяком случае) именно двойные: две звезды, часто разные по своим свойствам, обращающиеся друг вокруг друга. Удивительно или нет, но в XXI в. выяснилось, что и двойные звезды могут обзаводиться планетами[71]71
  Мы встречались с экзопланетами на предыдущих прогулках. Больше всего экзопланет открывают по ослаблению света из-за прохождения планеты через диск звезды, на втором месте – измерение скорости звезды вдоль луча зрения.


[Закрыть]
. Две звезды и планета – смягченный вариант системы трех тел (два больших тела и одно малое, но все же способное оказывать некоторое обратное воздействие на звезды). Как же устроились такие планеты в семьях двух звезд? Ответ на этот вопрос определяет, что видят в своем небе их предполагаемые обитатели, а заодно может подсказать, насколько разумно предположение, что они там имеются. Планета Татуин, например, обращается вокруг пары звезд «сразу» (вокруг тесной двойной системы, если выражаться более профессионально). Это значит, что Люк Скайуокер с младенчества видел, как две звезды восходят и заходят вместе (рис. 4.13) и вообще держатся рядом: они обращаются на сравнительно небольшом расстоянии друг от друга, а планета, наоборот, находится на удалении и обращается вокруг них «как целого».


Рис. 4.13. Закат на планете, обращающейся вокруг двойной звездной системы


Альтернативная схема – планета, расположившаяся на достаточно тесной орбите вокруг одной из звезд, а вторая звезда на значительном удалении. Вокруг общего центра масс, таким образом, обращаются звезда и звезда-плюс-планета. В этом случае закаты и восходы наблюдаются на планете независимо и могут быть весьма разнообразны. От планеты до другой звезды должно быть заметно дальше, чем до «своей» звезды, иначе конфигурация имеет мало шансов на устойчивость[72]72
  В (выборочном) списке таких планет, обращающихся вокруг одной из звезд в двойной системе – Kepler-693, Kepler-420, HD 59686, OGLE-2013-BLG-0341, HD7449, HD87646, HD 41004A, Gliese 86, HD 196885, HD 164509, K2–136, WASP-11, OGLE-2008-BLG-092L [72]. Размеры орбит (большие полуоси) звезды-компаньона и планеты относятся, в том же порядке, как 26, 14, 12, 22, 21, 163, 12, 192, 8, 42, 335, 1060, 3. Малые числа, особенно последнее, вселяют тревогу за судьбу планеты из-за развития неустойчивости.


[Закрыть]
. Если главное для вас – зрелищность восходов и закатов, попросите турагентство поискать такие системы, где дальняя звезда много ярче «своей», ближней, чтобы их вклады в освещенность были сопоставимы; а потом уже выбирайте по цвету звезд[73]73
  Альфа Центавра – это вариант: если одна из звезд A или B имеет свои планеты, то картина закатов и восходов там должна быть поистине впечатляющей из-за тесного сближения звезд. Проксима же от них так далека, что не только не вносит никакого вклада в освещенность, но и разглядеть ее оттуда невооруженным глазом непросто. Зато у самой Проксимы нашлась планета, несильно превосходящая Землю по размеру, и на таком расстоянии от звезды, что там возможна жидкая вода. Но при этом она в 30 раз ближе к своей звезде, чем Земля к Солнцу, и оборачивается вокруг нее за 11 с небольшим земных суток. Весьма вероятно, что на таком близком расстоянии планета гравитационно («приливно») захвачена своей звездой, а это считается не очень хорошей новостью для возможной жизни.


[Закрыть]
. Но даже и далекая вторая звезда влияет на орбиту планеты, и ее расстояние от ближайшего светила может заметно меняться – требуйте полную информацию о возможной внезапной смене сезонов. Да и для планет типа Татуина – обращающихся вокруг обеих звезд «сразу» – тоже не все просто: суммарная сила притяжения, действующая на планету, меняется в зависимости от относительного расположения двух звезд (в особенности если их массы существенно различаются), и планете не так легко оставаться на орбите. Здесь также есть предел приближения, после которого орбита планеты заведомо теряет устойчивость. Несколько парадоксально, но большинство открытых «татуинов» группируются вблизи предела устойчивости. Это заставляет задуматься о том, как же они сформировались, потому что неровная гравитация от двух звезд вообще-то мешает формированию планет. Наиболее реальная возможность – миграция планет из более спокойных далеких областей. Более того, миграцией с далекой орбиты вокруг двух звезд на орбиту поближе к ним дело может и не ограничиться: неровное гравитационное влияние двух звезд способно в определенных случаях перевести планету с орбиты вокруг обеих звезд на орбиту вокруг только одной звезды. (Здесь, возможно, содержится и ответ на вопрос о том, откуда же взялись планеты, обращающиеся вокруг только одной звезды, ведь присутствие второй вообще-то мешает их формированию.)

И конечно, всем тем планетам, так или иначе сформировавшимся в двойных звездных системах, кому не посчастливилось остаться в зоне устойчивости, предстоит быть выброшенными в межзвездное пространство – как и в общей ситуации для системы трех тел, с тем только уточнением, что здесь неустойчивость проявит себя в отношении именно того из трех компаньонов, который сильно дискриминирован по признаку массы. Обмен энергиями движения между массивной звездой и легкой планетой может не просто позволить планете преодолеть притяжение двойной системы, но и придать ей немалую скорость для дальнейшего самостоятельного путешествия. Во Вселенной предполагается существование некоторого количества планет-изгоев (рис. 4.14). В Млечном Пути их, видимо, миллиарды, и они как-то странствуют между звездами. Заметить их крайне сложно, но кандидаты по результатам наблюдений все же появляются. Им присваивают «технические» имена, например: 2MASS J1119–1137, WISEA 1147, WISE 0855–0714, UGPS J072227.51–054031.2 и SIMP J013656.5+093347 (эти планеты находятся в пределах нескольких десятков световых лет от нас). Захват планеты-изгоя какой-то другой звездой со своим собственным выводком планет может произвести там немало изменений, вызвав, например, миграцию планет. (Кстати, не была ли изгоем Планета 9? Если, конечно, она существует.)


Рис. 4.14. Планета-изгой в видении художника


Добавления к прогулке 4

Сложное устройство приливов. Вклад в приливы в земных океанах вносит и Солнце. До него примерно в 390 раз дальше, чем до Луны, а приливные эффекты ослабевают с расстоянием не по закону обратных квадратов, а быстрее – как обратный куб, из-за чего каждый килограмм Солнца создает на Земле приливный эффект в 60 млн раз слабее, чем килограмм Луны; но таких килограммов в Солнце в 27 млн раз больше, чем в Луне, и в результате влияние нашего светила оказывается вовсе не пренебрежимым. Оставаясь меньше лунных, солнечные приливы проявляют себя как изменение масштаба или длительности «обычных»; максимальный вклад в высоту прилива Солнце дает в новолуние или полнолуние, когда Солнце, Земля и Луна находятся на одной прямой и эффекты лунного и солнечного приливов складываются; наоборот, когда Луна видна в фазе первой или третьей четверти, Солнце и Луна наблюдаются с Земли под углом 90° друг к другу и лунный прилив накладывается на солнечный отлив.

Картина приливов вообще усложняется по сравнению с наивной из-за того, что Земля не целиком покрыта океаном: наличие континентов вносит вклад в то, откуда и куда хорошо, а откуда и куда плохо передается давление в океане, и высота приливов из-за этого в разных местах разная. Глубина дна и характер подъема дна вблизи берегов также не везде одинаковы. Есть и иные факторы, вносящие дополнительное разнообразие в картину приливов: наклон плоскости лунной орбиты, центробежная сила из-за вращения Земли, несферичность Земли. Приливные эффекты испытывает, строго говоря, не только океан, но и «твердая» часть Земли; амплитуда их гораздо меньше (не превышает нескольких десятков сантиметров). Про влияние приливных эффектов на жидкое ядро Земли известно мало, поскольку о происходящем там вообще можно судить только по косвенным признакам.

Поправки убывают быстрее. Поправки к силе притяжения, учитывающие несферичность Земли, быстрее убывают по мере удаления, чем сила, описываемая законом Ньютона. Обратный квадрат расстояния в ньютоновом выражении (1.1) – это закон природы, а дополнительная сила, зависящая от расстояния по правилу 1/R4 и описывающая поправку на сплюснутость Земли, нет. Ее зависимость от расстояния выводится из закона Ньютона[74]74
  Сам закон тяготения Ньютона – не точный закон природы, как мы уже упоминали и как еще увидим на последующих прогулках. В тех случаях, когда он оказывается лишь «слегка» неточным (как, например, при вычислении орбиты Меркурия), его точность можно повысить, также добавляя определенные поправки. Эти последние имеют фундаментальную природу, поскольку отражают правила, по которым работает гравитация. Везде на этой прогулке речь идет о других поправках: к закону тяготения Ньютона мы относимся как к точному (потому что его точности нам достаточно), а поправки отражают распределение масс в конкретной планете.


[Закрыть]
. Как это получается, хорошо видно на модельном примере «гантели» – двух масс, соединенных тонкой перемычкой. Проще всего случай, когда интересующий нас космический аппарат находится на одной линии с обеими массами. Одна из них расположена ближе к нему, а другая – дальше на расстояние, равное длине перемычки. Считая каждую массу строго сферической, мы, разумеется, можем найти силу притяжения, действующую на космический корабль, складывая два выражения вида (1.1): в одном из них в качестве расстояния надо взять расстояние до ближней массы, а в другом – до дальней. Это точное выражение, никаких поправок к нему не требуется, и только им бы и пользовались, если бы несферические планеты действительно имели вид гантелей. Таких планет не было, пожалуй, даже в «Звездном пути» и других версиях космического эпоса, но я позволю себе некоторую вольность.

Лейтенант Иванова, дежурившая на мостике звездолета, не обратила внимания на форму появившегося вдали небесного тела, а ввела в компьютер только его массу и расстояние до его центра, т. е. до середины перемычки. Компьютер вычислил силу притяжения в виде, который нам удобно записать в условном виде 2 · «до центра». «До центра» означает, что расстояние в законе тяготения Ньютона надо полагать равным расстоянию до центра всей гантельной конструкции, а двойка отражает наше знание о том, что полная масса небесного тела состоит из двух частей. Иванова, конечно, правильно определила полную массу, но еще не осознала, что две части разнесены друг от друга. Прочитав следующие несколько строк в «Справочнике звездоплавателя», она пришла в ужас от сделанной ошибки. На большом расстоянии от странного небесного тела не слишком важно, как в нем распределена масса, но по мере приближения это будет делаться все существеннее – и на основе неправильной информации компьютер проложит неверный курс. Правильная формула для силы притяжения имеет вид («до ближней» + «до дальней»), где участвуют два различных расстояния, до ближней и до дальней массы. Стереть что бы то ни было в корабельном компьютере невозможно, и все, что может предпринять Иванова для исправления ситуации, – добавить информацию, каким-нибудь приближенным способом учитывающую, что две массы не сидят в одной точке. Она записывает разницу между верным и неверным (не-слишком-верным) выражениями для силы: ((«до ближней» + «до дальней») – 2 · «до центра»), а затем переписывает то же самое другим способом: ((«до ближней» – «до центра») – («до центра» – «до дальней»)). Она знает, что если выражение зависит от расстояния как 1/R2, то разность таких выражений, вроде («до ближней» – «до центра»), зависит от расстояния приблизительно как 1/R3. Это, кстати сказать, общее правило, следующее из математики, а не из закона тяготения; если бы сила вела себя как 1/R3, то разница двух сил вела бы себя как 1/R4 и так далее. Лейтенант Иванова применяет это правило к каждой из двух внутренних скобок в приведенном выше выражении. Таким путем она приходит к выводу, что поправка к первоначальному выражению для силы притяжения со стороны гантели представляет собой разность двух выражений, каждое из которых зависит от расстояния как 1/R3. Иванова не останавливается: к полученной разности двух однотипных выражений с зависимостью 1/R3 она снова применяет общее правило (которое хорошо помнит еще с первого курса летного училища). В итоге она заменяет всю поправку на одно выражение, ведущее себя в зависимости от расстояния уже как 1/R4. Звездолет спасен (он и не собирался подлетать к гантели так близко, чтобы понадобились поправки к поправкам, зависящие от «следующих» обратных степеней расстояния), карьера Ивановой успешно продолжается, а метод получения поправки, зависящей от расстояния как 1/R4 (как и всех «следующих» поправок), оказывается отличным средством и для реальных планет – во всех случаях, когда их масса не распределена равномерно по шару.

«Издевательское» решение задачи трех тел. Математическая победа над задачей трех тел – колоссальный прорыв после решения задачи двух тел Ньютоном – почти состоялась. Почти, но не совсем. С самого начала, конечно, никто не ожидал готовых формул для всего бесконечного разнообразия возможных движений в системе трех тел, но ведь не все математические функции задаются каким-то внутренним образом, как, скажем, синус, sin t. Есть менее амбициозные способы определить функцию, один из них – в виде «бесконечной суммы» слагаемых, каждое из которых выглядит просто. Собственно, сам синус можно записать в таком виде:



Числа в знаменателях накапливаются здесь в соответствии с несложным правилом (так называемые факториалы): 6 = 2 · 3, 120 = 2 · 3 · 4 · 5, 5040 = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7, 362 880 = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 и так далее – с пониманием, что не надо останавливаться в прибавлении слагаемых. Вся информация о функции, собственно, и содержится в этих коэффициентах. Если остановиться, например, после пяти слагаемых, получится не точное значение синуса числа t, но достаточно близкое к точному, если t мало; если же число t не мало, то надо продолжить добавлять слагаемые, следуя правилу их построения[75]75
  Например, выбрав для буквы t значение 25° и переведя его в радианы перед подстановкой в формулу, получаем расхождение в двенадцатом знаке после запятой. Но для угла 115° расхождение наступает уже в пятом знаке, а после 200° начинает резко нарастать. (Но, правда, это только первые пять слагаемых.)


[Закрыть]
.

Похожим образом, после применения ряда математических трюков (работы Сундмана 1907–1912 гг.), вроде бы была решена и задача трех тел: положение каждого тела определяется подобной «бесконечной суммой», в которой t связано с временем, прошедшим с некоторого начального момента. Для каждого коэффициента определено правило его вычисления в зависимости от масс всех трех тел и их начального состояния. В зависимости от требуемой точности для данного значения времени необходимо вычислить то или иное количество коэффициентов и таким образом предсказать, как же будет происходить движение. Сама по себе математика при этом точная, все погрешности определяются только тем, сколько слагаемых (сколько коэффициентов) мы сумели вычислить. Ура? Появилось ли в наших руках (почти) такое же мощное средство, как эллипсы, гиперболы и параболы, дающие решение задачи двух тел? Может быть, в начале XX в. вычисление требуемого числа коэффициентов и было трудной задачей, но уж в век компьютеров…

Ирония, однако, состоит в том, что даже при очень малых значениях времени (когда ничего интересного еще не успевает произойти) для сколько-нибудь приемлемой точности предсказания требуются многие миллионы слагаемых. А для «интересных» значений времени – поистине «вселенское» число слагаемых. Парадоксальным образом, хотя формально нам известно общее решение задачи трех тел, оно не приносит никакого знания об их поведении[76]76
  Эх, как бы отнесся к этому Ньютон?! Ведь он, собственно, и изобрел идею представления решений в виде подобных «бесконечных сумм», и успешно ее использовал в разнообразных задачах.


[Закрыть]
.

Специальные (и красивые) системы трех тел. Системы трех тел приходится исследовать разными непрямыми математическими методами (в сочетании с моделированием их поведения на компьютере). Среди важных вопросов: возможно ли там периодическое движение? Тогда можно было бы искать во Вселенной какие-то интересные образования. Правда, от них требуется устойчивость, иначе они распадутся под действием малых посторонних влияний и шансы наблюдать их в космосе будут заведомо равны нулю. Довольно неожиданным образом нашлась конфигурация из трех тел равной массы, которые движутся в одной плоскости по восьмерке друг за другом (рис. 4.15). Еще более неожиданно, что это движение оказалось устойчивым: малые влияния несколько меняют траектории, но не разрушают общую картину, как не разрушает ее и неточное совпадение трех масс. Такая устойчивость вроде бы открывает возможность встретить подобную конфигурацию где-то в космосе. К сожалению, чтобы три тела с близкими массами пришли в такое движение, их надо запустить весьма специальным образом (начиная с того, что все три должны двигаться в одной плоскости!), а это крайне маловероятно, и оценки показывают, что шансы встретить подобную систему во Вселенной очень близки к нулю. Жаль.


Рис. 4.15. Три тела равной массы на орбите, имеющей форму восьмерки. Для каждого тела пунктирной линией отмечена 1/12 часть его орбиты. Штриховые прямые показывают, что в момент нахождения одного из тел на середине «боковой» части восьмерки два других находятся на одинаковом расстоянии от него


Рис. 4.16. Четыре семейства планарных периодических орбит в системе трех тел


Эта система была первоначально открыта на компьютере, а потом удалось доказать ее существование и без помощи машин. К настоящему моменту обнаружены уже тысячи разнообразных периодических конфигураций в системе трех тел, в большинстве своем неустойчивых, но часто интересных геометрически (рис. 4.16).


Страницы книги >> Предыдущая | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | Следующая
  • 0 Оценок: 0

Правообладателям!

Данное произведение размещено по согласованию с ООО "ЛитРес" (20% исходного текста). Если размещение книги нарушает чьи-либо права, то сообщите об этом.

Читателям!

Оплатили, но не знаете что делать дальше?


Популярные книги за неделю


Рекомендации