Текст книги "Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно"

Числовые цепочки

ИГРА СОПЕРНИЧАЮЩИХ ВИНОГРАДНЫХ ЛОЗ

Из игр, вошедших в эту книгу, «Числовые цепочки» вызвали наиболее восторженные отзывы моих тестировщиков. Возможно, потому что числа в ней ведут себя так, как вам и не снилось: не выстраиваются стройными рядами, а змеятся и скользят по игровому полю, как побеги разумного растения. Неудивительно, что Уолтер Джорис, создатель сотен игр, считает «Числовые цепочки» своим шедевром.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое.

Что потребуется? Два карандаша разных цветов и игровое поле 6 × 6 клеточек. Если хотите, чтобы игра длилась дольше, попробуйте сделать поле 8 × 8 клеточек (или 7 × 7 с заштрихованной клеточкой в центре[35]35
  На игровом поле с нечетным количеством клеточек первый игрок получает значительное преимущество, захватывая центральную клеточку, поэтому мы закрашиваем ее, чтобы игра была честной.


[Закрыть]). Вначале каждый игрок записывает числа 1, 2, 3 по диагонали, как показано на рисунке.

В чем цель? Добраться до большего числа, чем ваш противник.

Какие правила?

1. Выберите одно из своих чисел и поставьте следующее в соседнюю клеточку (по вертикали, горизонтали или диагонали).

2. Можно выбрать любое число, если место позволяет. Кроме того, можно пересекать цепочку чисел по диагонали.

3. Играйте до заполнения поля, даже если у одного из игроков нет возможности сделать ход.

4. Побеждает тот, кто запишет наибольшее число.

Опытные игроки могут принять измененные правила, описанные в «Заметках дегустатора».

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Я обожаю эту игру. Так что позвольте мне выйти за рамки вежливости и спутать ваши карты.

Как и во многих чисто стратегических играх, в «Числовых цепочках» у первого игрока есть преимущество. Это не фатально; в конце концов, многим нравятся шахматы, хотя белые выигрывают в 55 % партий. Однако, в отличие от шахмат, в «Числовых цепочках» у второго игрока есть убийственная стратегия: просто копировать ходы противника. Симметричная игра гарантирует ничью.

Чтобы обойти эту уловку, советую немного поменять правила. Первый игрок делает первый ход как обычно. Затем, начиная с первого хода второго игрока, каждый записывает два числа за ход.

«Нарушьте симметрию, – отмечает автор и тестировщик игр Джо Кисенветер, – и сыграете блестяще. Вы стремитесь расширить собственную территорию или отрезать путь противнику? Слепо следуете за ним или пытаетесь вытеснить со своей части поля?»

Джо считает эту игру классической и удивляется, «что ее не придумали еще в древности».

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Кажется, что «Числовые цепочки» существовали всегда, но нет: они появились в XXI веке благодаря незаурядному интеллекту Уолтера Джориса. За годы, прошедшие с публикации его книги «100 стратегических игр», он создал еще кучу головоломок, оригами, причудливых художественных проектов, оригинальных мультиков и новых игр (в том числе и «Числовые цепочки»). Порождения его ума невероятны. На мой взгляд, это просто человек-пульсар, испускающий излучение Джориса, иначе и не скажешь.

Когда я попросил Уолтера назвать самую любимую из придуманных им игр, он без колебания указал на «Числовые цепочки» (хотя тогда их правила еще не были опубликованы).

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что при разработке справедливой системы самая большая проблема – очередность.

Стандартный подход к определению очередности увидеть несложно: просто загляните на школьный двор на переменке и посмотрите, как капитаны набирают команды[36]36
  А лучше не надо. Школьники не любят, когда посторонние подглядывают за их спортивными играми на переменах.


[Закрыть]. Вначале выбираешь ты, потом я, потом ты, потом я, потом ты… и так далее, пока не останутся самые слабые кандидаты.

Процедура проста, легка и крайне несправедлива.

У вас явное преимущество: ведь вы выбираете первым, а я всего лишь вторым. Затем у вас еще одно преимущество: выбор № 3 против моего жалкого № 4. Я даже не успею подать официальную жалобу, а вы уже продвинетесь дальше, ведь за вами выбор № 5, а у меня ничтожный № 6.

Крошечные преимущества накапливаются, превращаясь в одно большое – так называемое преимущество первого игрока. Оно нависает над миром игр как грозовая туча, эдакая постоянная угроза справедливости.

Взять хотя бы шахматы. Для таких неуклюжих новичков, как я, они достаточно сбалансированы. Но для мастеров очевидно различие между белыми, обладающими правом первого хода, и черными, плетущимися в хвосте… ну, это прямо-таки черно-белая ситуация. «Задачи у них разные, – писал гроссмейстер Евгений Свешников. – Белые стремятся к победе, черные – к ничьей!» Первый игрок может свободно атаковать, а второй сразу начинает защищаться. «Когда я играю белыми, то выигрываю потому, что играю белыми, – сказал однажды Ефим Боголюбов. – А когда я играю черными, то выигрываю потому, что я Боголюбов». Мне нравится его энергия.

Я мог бы продолжать. Преимущество первого игрока подтачивает словно червь принципы «Четырех в ряд», «Монополии», «Риска», «Гекса», шашек, го (по оценкам знатоков, преимущество первого игрока составляет 6–7 очков) и, среди бесчисленного множества других игр, «Числовых цепочек». Но зачем зацикливаться на несправедливости, будто справедливость недостижима?

Почему бы не обратиться к математике, расставляющей все по своим местам?

Вопросы распределения ресурсов (даже нематериального ресурса, например ходов в игровом процессе) по сути своей арифметические. Неудивительно, что поиск справедливости приводит нас в холодные и бесстрастные объятья математики.

В книге «Новые правила классических игр» Уэйн Шмитбергер демонстрирует несколько толковых систем нейтрализации преимущества первого игрока. Во-первых, решение путем свободного торга: пусть игроки делают ставки за право первого хода. Например, до начала игры в «Числовые цепочки» я могу сказать: «Позвольте мне сделать первый ход – и заработаете дополнительное очко». А вы можете либо повысить ставку («Позвольте сделать первый ход мне – и заработаете два дополнительных очка»), либо принять мою.

Во-вторых, метарешение: сыграйте две партии, меняясь ролями, и сложите результаты, набранные в каждой партии. Такой подход кажется довольно справедливым, но, как ни парадоксально, он может дать преимущество второму игроку. (Тому, кто делает первый ход во второй партии.) Начиная вторую партию с четкой целью, он может соответствующим образом скорректировать стратегию[37]37
  Шмитбергер предлагает мудрое (хотя и фантастическое) решение: играть обе партии одновременно.


[Закрыть].

В-третьих, классическое математическое решение, известное как «правило пирога» или «я режу, ты выбираешь». Идея связана с распределением десерта. Один разрезает лакомство на две части, а другой первым выбирает кусок. Тот, кто режет, стремится к тому, чтобы куски были идеально равны, иначе ему достанется меньшая часть. Как применить это правило к «Числовым цепочкам»? Я делаю первый ход и за себя, и за вас, а вы выбираете цепочку, которую будете продолжать.

Все эти идеи хороши. Но лично я предпочитаю четвертый метод для балансирования сил в «Числовых цепочках»: не воспринимать буквально правило «ходить по очереди».

Звучит радикально. Но так ли это? Ни заветы на каменных скрижалях, ни голос из неопалимой купины никогда не предписывали игрокам ходить поочередно. Например, в лигах фэнтези-спорта[38]38
  Игроки набирают виртуальную команду из реальных игроков, а затем суммируют их достижения в настоящих играх. – Прим. пер.


[Закрыть] часто действуют по принципу «змейки». Вначале игрока выбирает А, за ним В, затем С, а потом снова С, за ним В, затем А, и вновь А, В, С и так далее. Роль «первого игрока» не закреплена. Первый становится последним, а последний – первым.

Этот метод прекрасно работает в «Числовых цепочках». Делая по два хода кряду, вы имеете возможность и отразить нападение противника, и пуститься в атаку.

Однако, честно говоря, даже в этой схеме есть недостаток. По сути дела, мы по очереди получаем преимущество первого игрока: вначале вы, затем я, затем вы, затем я. Но в этом случае вы обладаете преимуществом первого игрока в получении преимущества первого игрока. Независимо от того, в первый раз вы наслаждаетесь этим преимуществом, в седьмой или в 93-й, вы опережаете меня.

Это та же проблема, но на новом уровне абстракции.

Нарушит ли это баланс сил в конкретной игре? Скорее всего, нет. Но ваш доброжелательный сосед-математик расстроится. К счастью, есть более надежное решение – система чередования ходов, обеспечивающая идеальный баланс сил на любом уровне абстракции.

Вначале вы делаете ход (обозначим его «0»), затем я («1»).

Затем копируем последовательность ходов и используем в новой паре 0 вместо 1, а 1 вместо 0.

Повторяем ту же процедуру: копируем последовательность из четырех ходов и меняем роли.

И снова.

И еще раз.

И снова, до тех пор, пока игра не закончится.

Это замечательное математическое ухищрение (сформулированное специалистом по теории чисел, заново открытое шахматным гроссмейстером и названное «последовательность Морса – Туэ») предлагает самое справедливое чередование ходов, какое только можно себе представить. Оно нейтрализует не только преимущество первого игрока (потому что 0 предшествует 1 так же часто, как 1 предшествует 0), но и преимущество в получении преимущества первого игрока (потому что 01 предшествует 10 так же часто, как 10 предшествует 01), преимущество в получении этого преимущества (потому что 0110 предшествует 1001 так же часто, как 1001 предшествует 0110) и так далее, до бесконечности. В книге по математике справедливого распределения это называется «чередовать чередование чередования чередования…».

Где бы речь ни шла об очередности (серия пенальти, тай-брейки в теннисе, заказ блюд в эфиопском ресторане), математики не в силах сдержать улыбку, когда навязывают последовательность Морса – Туэ ничего не подозревающим обывателям.

Вот наглядный пример. Вы замечали, что кофе на дне кофейника крепче? Так вот, для того чтобы получились две чашки одинаково крепкого кофе, наливайте бодрящий напиток в стиле Морса – Туэ. Чайная ложка кофе в левую чашку, чайная ложка кофе в правую чашку… пока кофе не остынет и не придется заваривать новый.

Хотя у последовательности Морса – Туэ есть практическое применение, я предлагаю воспринимать ее как остроумную абстракцию, идеальную иллюстрацию, показывающую, что даже такая незамысловатая игра, как «Числовые цепочки», помогает понять теоретическую структуру абсолютной справедливости. Путь к пониманию истины начинается с игры.

Кстати, если вы намерены играть в стиле Морса – Туэ, советую записывать последовательность ходов на бумаге.

И не расстраивайтесь, когда будете сбиваться. Это неизбежно.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Три игрока. Играйте на треугольном поле, чередуя ходы змейкой. Треугольники, имеющие общие вершины, считаются смежными[39]39
  Шестиугольное поле не так удачно, поскольку основные сюрпризы таятся в ходах по диагонали, а шестиугольники всегда имеют несколько общих вершин.


[Закрыть]. Поле, изображенное ниже, хорошо для разминки, но для игры поинтереснее советую добавить еще пару рядов треугольников.

Четыре игрока. Играйте на поле большего размера (8 × 8 или 10 × 10 клеточек). Игроки начинают свои цепочки в угловых клеточках. Ходы чередуются змейкой.

Вольное начало. Игроки могут разместить первую тройку чисел где угодно. (Спасибо Михаю Марусяку за эту идею.)

Свежие семена. Вы можете в любой момент поставить единицу в пустой клеточке, даже если она не граничит с теми, где записаны ваши числа. Этот ход считается за два. (Спасибо Энди Джуэллу за эту идею.)

Статичная диагональ. Это интересное изменение правил предложила Кэти Макдермотт, чтобы сократить потенциал ходов по диагонали. Если вы ставите число в клеточку, соседнюю по горизонтали или вертикали, оно увеличивается как обычно. Но если клеточка лежит на диагонали, то новое число равно предыдущему. Если вы используете это правило, то можете начать игру с единиц в угловых клеточках, а не с цепочки 1–2–3.

От 33 до 99

СКЛАДЫВАТЬ, ВЫЧИТАТЬ, УМНОЖАТЬ, ДЕЛИТЬ… ИНОГДА СРЫВАЯСЬ

Отец и сын, развалившись на полу в гостиной, вместе наслаждаются просмотром видео с поездами на YouTube. Затем, поглядев на часы, сын вскакивает и достает тетрадку по математике. Домашнее задание – всего лишь один, казалось бы, простой вопрос.

Отец чешет затылок, хмурится и отсылает сына с каким-то бессмысленным поручением. А оставшись один, он достает свой планшет Nexus 7 и запрашивает в интернете ответ.

Да, это реклама планшета. Но этот рекламный ролик собрал три миллиона просмотров на YouTube и произвел сенсацию в Японии, поскольку задачка оказалась сложнее тех, что обычно решают в начальной школе. Ответы вроде 8 + 5–1 – 1 и + 5 не годятся, потому что нужно получить ровно 10. Кроме того, нужно использовать все четыре числа, поэтому варианты 1 + 1 + 8 и 5 × (1 + 1) тоже не подходят.

Сможете решить эту головоломку? Ответ – в сноске[40]40
  Нет-нет, не в этой сноске.


[Закрыть].

Эта глава посвящена игре, состоящей из таких головоломок, игре, переворачивающей представления о том, что такое «элементарная математика» – и кто в ней, скорее всего, преуспеет.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? От двух до пяти (можно и больше).

Что потребуется? Карандаши и бумага. Кроме того, пять обычных игральных костей (они могут быть электронными; просто введите в браузере запрос «бросить кости онлайн») и секундомер. Рекомендую раунды по одной-две минуты, но это не догма. Можно и вовсе не засекать время.

В чем цель? Составить число, наиболее близкое к искомому, но без перебора.

Какие правила?

1. Один из игроков, ведущий текущего раунда, называет искомое число от 33 до 99, а затем бросает игральные кости и засекает время. (Можно и не засекать, если вам сложно.)

2. Каждый игрок пытается достичь искомого числа, складывая, вычитая, деля и умножая пять чисел, выпавших на игральных костях. Каждое выпавшее число можно использовать лишь один раз, но на количество и сочетания арифметических операций ограничения не накладываются. Можно использовать скобки. Окончательный ответ должен быть меньше искомого числа или равен ему. Ответ должен быть целым (хотя на промежуточных этапах могут возникать дроби).

3. Сравните результаты. Вычтите их из искомого числа и определите, сколько очков вы набрали. (Чем меньше, тем лучше.) Максимальное количество очков – 10 (чтобы все было честно).

4. Сыграйте несколько раундов, чтобы каждому выпала роль ведущего. Выигрывает тот, кто набрал меньше всего очков.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Знаете, как в кино показывают, что герой делает вычисления? Ну, конечно, в это время вокруг его головы кружат призрачные сверкающие цифры.

Хотели бы вы испытать такое на самом деле?

Нет, я не утверждаю, что игра «От 33 до 99» превратит вас в математического гения из кино. Но в ней есть своя прелесть. Возьмите карандаш и бумагу и наблюдайте, как цифры водят хоровод, образуя неудачные комбинации, а затем разлетаются и предпринимают новую попытку. Даже когда я сражаюсь в этой игре, мне кажется, что я лечу.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Идея игры уходит корнями в глубь веков. В 1700-е годы в учебниках встречались такие головоломки: «Я могу расположить четыре единицы так, чтобы при сложении они давали ровно 12. А ты?»[41]41
  Указан ответ 11 + ¹/₁, но это не единственный вариант.


[Закрыть]. В 1881 году впервые была опубликована знаменитая головоломка «Четыре четверки»: читателей просили составить число от 1 до 100 с помощью четырех четверок. (Для этого требовалась изобретательность, например использовать 44,√4, 4! и.4). В 1960-е годы в Шанхае и других городах Китая получила популярность игра «Двадцать четыре» (несложно догадаться: заветным число всегда было 24). И наконец, в 1972 году телешоу на основе нашей игры появилось во Франции, а несколько лет спустя – в Великобритании (под названием «Обратный отсчет»). Правила, описанные выше, я позаимствовал из книги «Игра в кости для чайников» разработчика игр Райнера Книзия. Там игра называется «Девяносто девять».

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что, когда математика приоткрывает дверь шире, вы никогда не знаете, кто войдет и добьется успеха.

Наверное, вам знакомо, как это бывает в школе. День за днем одни ученики щелкают задачи как орехи, другие тормозят, третьи рисуют крокодилов, поедающих неверные ответы. Наблюдая за тем, как учитель раздает проверенные контрольные, вы чувствуете атмосферу состязания: победители против проигравших, отличники против двоечников, «математики» против «гуманитариев».

Рад сообщить, что это не догма.

Однажды учительница Джейн Костик предложила ученикам коррекционного класса миннесотской школы сыграть в «Двадцать четыре» (разновидность игры «От 33 до 99»). Цель была скромной: просто поднатаскать их в арифметических действиях. Но игра зацепила детей. Они увлеклись интеллектуальным марафоном с перебором комбинаций. Задачи с четким алгоритмом решения никогда не производили такого эффекта. Они реагировали и аплодировали так громко, что ученики из маткласса сбежались посмотреть, что происходит, и столпились в дверях. «В конечном итоге, – рассказала мне Джейн, – маткласс вызвал мой класс на соревнование».

В школах делят детей в соответствии с их оценками по математике. Класс триумфаторов пришел к лузерам и объявил войну. Это все равно что если бы университетская хоккейная команда решила сразиться с разношерстной оравой детей, вооружившихся клюшками.

Как бы то ни было, в лучших традициях спортивных фильмов класс Джейн одержал победу.

Большинство математических задач составлено по одному шаблону: «Сначала выкладки, потом результат». Игра «От 33 до 99» переворачивает все с ног на голову: «Сначала результат, потом выкладки». Есть тысячи комбинаций пяти цифр и четырех арифметических действий, поэтому просто перебрать все возможности не удастся. Открывается простор для интуиции, изобретательности и озарений.

Помимо прочего, эта игра привлекла внимание множества людей, которые сроду не были любителями математики.

Возьмем, например, британское телешоу «Обратный отсчет», где половину времени участники играют в один из вариантов «От 33 до 99». Казалось бы, зрелище предназначено для узкого круга зрителей, однако оно выходило уже более 7000 раз. Главный редактор «Книги рекордов Гиннесса» назвал шоу «краеугольным камнем британской поп-культуры», наряду с остроумными ответами, любовью к десертам и нелюбовью к произношению 18-й буквы английского алфавита r.

Вот типичная головоломка 2010 года. Два участника должны скомбинировать шесть чисел, чтобы достичь высокой цели[42]42
  Есть два ключевых отличия в правилах: (1) необязательно использовать все числа; (2) ваше число может быть и больше, и меньше искомого, важно лишь то, насколько оно близко.


[Закрыть]:

Через 30 секунд один пожимает плечами, признав поражение, а другой объявляет, что был близок к цели:

«Отлично, – говорит ведущий. – Есть ли варианты получше, Рейчел?»

Рейчел Райли, телегеничная ведущая, записывающая выкладки участников, небрежно замечает: «Да, конечно». И демонстрирует умопомрачительный трюк:

Рейчел Райли (как и ее предшественница в этом телешоу, Кэрол Вордерман) – необычный персонаж: не сходящая со страниц таблоидов знаменитость, построившая свою карьеру на умении быстро считать в уме. Ее профессиональные обязанности – быть красивой, быть обаятельной и решать в телеэфире сложные арифметические задачи с умопомрачительной скоростью. Я давно освоил первые два навыка, но мне очень далеко до мастерства Рейчел в области устного счета.

Отягощенный образованием зануда может поворчать, что все это не имеет отношения к «настоящей» математике. Сами математики часто шутят о том, как плохо они умеют считать. Такое признание сбивает с толку непосвященных: это все равно что услышать, как хирурги жалуются на свою неуклюжесть, поэты щеголяют неграмотностью, а Рик Эстли заявляет, что бросит вас и подведет[43]43
  Намек на мировой хит 1987 года «Никогда тебя не брошу» (Never Gonna Give You Up) британского певца Рика Эстли. – Прим. пер.


[Закрыть]. Однако математики не вычислители, как и музыканты не настройщики инструментов. Математика – это искусство обращения с абстракциями и решения задач, а не вычислительных хитростей.

Поэтому такие игры, как «От 33 до 99», ближе к истинной природе математики, чем привычные домашние задания. Любой дурак, вооружившись калькулятором, сможет вычислить, сколько будет (10 + 6 + 1) × 37 + 5 × 4. Но как перебрать комбинации 1, 4, 5, 6 и 10 в поисках суммы, которая при умножении на 37 дает результат, чья разность с 649 в точности (глубокий вдох) равна комбинации оставшихся чисел?

Для этого нужна стратегия. Нужно мастерство. И изрядная толика вдохновения.

Или планшет Nexus 7 на худой конец[44]44
  Чуть не забыл! Сногсшибательное решение головоломки из японской рекламы: Убедитесь сами: в знаменателе получается ⁴/₅, то есть 0,8, поэтому в итоге получается ровно 10.


[Закрыть].

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Двадцать четыре. Напряженная версия «От 33 до 99» для настоящих спринтеров.

1. Установите таймер на 24 секунды, но пока не включайте.

2. Бросьте четыре игральные кости (в идеале десятигранные, но подойдут и шестигранные). Игроки должны получить число 24, комбинируя выпавшие числа и используя математические операции.

3. Тот, кто находит ответ первым, кричит: «Двадцать четыре!» – и запускает таймер. У остальных есть еще 24 секунды на решение.

4. Все, кто успевает найти решение (включая того, кто запустил таймер), получают одно очко. Тот, кто крикнул «Двадцать четыре!», но ошибся в вычислениях, теряет одно очко. Выигрывает тот, кто первым набирает пять очков.

Банкомёт. Разновидность игры «От 33 до 99» из той самой книги «Игра в кости для чайников» Книзии. Нужна всего одна игральная кость, поэтому большую роль играет случай. Кроме того, вы можете использовать каждую операцию лишь единожды.

Вот как делается каждый ход:

1. Бросьте кость и запишите результат.

2. Бросьте кость снова. Возьмите первое число и сложите, вычтите, умножьте или разделите его на второе. Остаток при делении отбросьте. Запишите результат.

3. Бросьте кость еще три раза. Каждую арифметическую операцию можно использовать лишь один раз. Стремитесь получить как можно большее число – это и будет количество набранных вами за раунд очков.

Договоритесь, сколько раундов сыграть. Побеждает тот, кто наберет больше всего очков.

Клеточки с числами. Эта игра, получившая популярность благодаря педагогу Мэрилин Бернс, выворачивает «От 33 до 99» наизнанку. Очередность операций задана, но вы можете менять порядок, в котором располагаются числа.

Для начала каждый игрок рисует один и тот же шаблон вычисления, в том числе две «холостые» клеточки. Например:

Затем кто-нибудь несколько раз бросает игральную кость (в идеале десятигранную, но сойдет и шестигранная). Каждый игрок вписывает числа на пустые места в произвольном порядке. Два числа можно пропустить, поместив в холостые клеточки.

После того, как все клеточки заполнятся, выполните вычисления. Побеждает тот, кто ближе всего приблизится к выбранному заранее числу (например, 2500).

Преподаватель математики Дженна Лайб называет эту игру «абсолютным хамелеоном», потому что можно выбрать математические операции любого уровня сложности.