Текст книги "Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно"

Мелочёвка

ИГРА В РАЗМЕН МОНЕТ

Не пойми меня превратно, американский цент (или в обиходе пенни), но ты совсем ничего не стоишь. Хуже того: поскольку ты обходишься казначейству США дороже стоимости металла, из которого отчеканен, ты не просто ноль без палочки. Ты – отрицательное число. Лучше бы тебя отправить на покой и округлить все цены, чтобы самой мелкой монетой стал пятицентовик.

Исключение – игра «Мелочёвка». Здесь твоя тусклая медь получает шанс засиять. Ты не просто играешь ключевую роль, но и определяешь стратегию. «Берегите ваши пенни», – советует создатель игры, Джеймс Эрнест. Итак, цент, мы спасаем тебя, а взамен просим, чтобы ты спасал нас.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? От двух до шести.

Что потребуется? Копилка с монетами.

В чем цель? Не растратить все монеты до конца.

Какие правила?

1. В начале игры у каждого игрока четыре одноцентовика, три пятицентовика (никеля), два десятицентовика (дайма) и один четвертак (квотер).

2. Во время вашего хода вы кладете одну из своих монет в центр стола. Затем вы можете забрать любую комбинацию монет, общая стоимость которых строго меньше номинала той монеты, которая была положена на стол. Например, если вы положили дайм (10¢), то можете забрать не более 9¢. В течение некоторых ходов (включая первый) вы не можете забрать ни одной монеты.

3. Побеждает последний игрок, у которого остались монеты.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Первая стратагема ясна: разменяйте как можно больше монет. Поскольку вы начинаете с 64¢ и теряете как минимум один цент за каждый ход, теоретически ваша платежеспособность сохраняется в течение 64 ходов. Но всякий раз, когда вы забираете меньше максимума (скажем, 6¢ взамен десятицентовика или 15¢ взамен четвертака), потенциальные ходы утекают. В худшем случае, если не разменять ни одной монеты, вы обанкротитесь всего за 10 ходов.

Каждый цент дает вам ровно один ход: вы кладете его на стол, но ничего не можете забрать. Пятицентовик может обеспечить пять ходов, но только если вы заберете четыре цента сдачи. Если на столе нет ни одной одноцентовой монеты, то пятицентовик принесет вам лишь один ход. Та же логика с десятицентовиком и четвертаком. Чем выше номинал монеты, тем меньше вероятность, что вы сможете выдоить из нее максимальное число ходов.

Отсюда вытекает одна из возможных стратегий: вначале расставайтесь с одноцентовиками и пятицентовиками, а десятицентовики и четвертаки держите до того момента, когда появится возможность выгодно их разменять. Так может стоит переименовать игру?

А вот и нет. Если придерживаться этой стратегии, то противники расхватают ваши мелкие монеты, словно стервятники с Уолл-стрит, а вы не сможете извлечь особой выгоды, когда выложите монеты покрупнее. Поэтому требуются тщательно продуманные компромиссы. Стремитесь потерять как можно меньше, но не спешите расставаться с мелкими монетами.

Кто бы мог подумать, что разменивать деньги так сложно?

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Эту игру придумал Джеймс Эрнест, основатель и владелец компании Cheapass Games. Он пишет: «"Мелочёвка" – одна из наших старейших и простейших игр». Некоторое время это изречение красовалось на визитной карточке компании.

Игра напоминает головоломки, в которых требуется наскрести ту или иную сумму, используя как можно меньше монет.

Например, потребуется минимум девять монет, чтобы набрать 99¢: три четвертака, два десятицентовика и четыре одноцентовых монеты. (Собрать доллар мелочью проще: понадобится всего четыре монеты по 25¢.) Головоломка: для составления какой суммы меньше 99¢ требуется больше всего монет и сколько должно быть этих монет?[45]45
  Подсказка: потребуется опять-таки девять монет, чтобы набрать 94¢ (три четвертака, один десятицентовик, один пятицентовик и четыре одноцентовых монеты).


[Закрыть]

Другие головоломки с монетами напрямую связаны с системой выбора номиналов. В США требуется в общей сложности 470 монет, чтобы оптимальным образом набрать все суммы от 1¢ до 99¢: одна монета, если вам нужен 1¢, две монеты, чтобы набрать 2¢… и так далее, вплоть до девяти монет для 99¢. Можно ли уменьшить это число, изменив номиналы монет, то есть отказавшись от системы цент-никель-дайм-квотер в пользу другого набора из четырех монет?

Оказывается можно. Если заменить пятицентовик на трехцентовик (назовем его «трикель»), то потребуется на 50 монет меньше. Некоторые необычные комбинации еще лучше (например, 1¢, 4¢, 11¢ и 39¢). Тем не менее я благодарен казначейству США, что оно отказалось от этих вариантов, иначе каждая покупка шоколадного батончика приводила бы к остановке мировой экономики.

Хорошая задача для умелого программиста: какой набор четырех номиналов сводит к минимуму количество монет, требующихся для набора всех сумм от 1¢ до 99¢?

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что она лежит в основе цивилизации.

Я не хочу переоценивать значение данной игры. Вы можете забыть о «Мелочёвке» и, если повезет, сохранить жизнеспособное общество. Но, по-моему, «Мелочёвка» вдыхает новую жизнь в математические концепции, делающие возможными нашу экономику.

Вначале появились примитивные единицы обмена. Древние цивилизации по всему миру оценивали свое имущество (овец, коз, кольца от Картье) в простых глиняных жетонах. Один жетон – одна овца. Два жетона – две овцы. Три жетона – три овцы. Четыре жетона… и вы засыпаете. Да, считать овец опасно.

Возможно, цивилизация впервые осознала, что такое числа, когда выстроила эту систему взаимно однозначного соответствия единиц обмена и товаров.

Дальше появились более сложные единицы. Древние общества в Китае и Мезоамерике довольствовались простыми жетонами, а вот шумерам пришла в голову новая идея: один жетон стал означать несколько овец. Так возникли пятицентовики, десятицентовики и четвертаки животноводческой экономики.

Потом произошел переход к абстракциям. Раньше не существовало оторванного от осязаемых вещей числа шесть. Числа означали исключительно определенные количества предметов: семь овец, семь колец от Картье, семь коз за одно кольцо от Картье. Число семь было неотделимо от материального мира.

Но со временем «три овцы» стали обозначаться двумя символами, как и «три козы». Символ для числа «три» был общим. Так родилась математика: возникло абстрактное понятие «числа».

Не три овцы. Не три козы. Не три штуковины. А просто «три».

И еще один решающий поворот истории происхождения чисел: шумеры стали класть свои жетоны в глиняные «конверты», а затем вычерчивать символы на влажной глине, чтобы обозначить содержимое. Археолог Дениз Шмандт-Бессера утверждает: так родилась не только шумерская математика, но и шумерская письменность, что не менее существенно. Нашей грамотностью мы обязаны в немалой степени учету овец[46]46
  Если угодно, «овечьей бухгалтерии», или «овцеучету». На ваше усмотрение.


[Закрыть].

Естественно, я упрощаю. Это не единственный путь появления письменности. Кроме того, глиняные жетоны не были валютой в нашем понимании, потому что использовались не для обмена. Они больше походили на бухгалтерские книги или банковские счета: не на монеты, а на записи о праве собственности.

Тем не менее каждое богатое общество сегодня должно снимать шляпу перед этими жетонами. Или хотя бы перед медяками в копилке.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Другие наборы монет. Попробуйте эти альтернативы (предложенные Джеймсом Эрнестом, создателем игры).

Или используйте эти номиналы монет, существующие в реальных национальных валютах:

Естественно, вы можете использовать собственные комбинации монет. Однако убедитесь, что у всех игроков в начале одинаковый набор дензнаков.

Новые правила размена. Эти две интересные вариации придумал Джо Кисенветер.

1. Идеальная сдача. Вы можете забрать любую комбинацию более мелких монет, стоимость которых меньше или равна той монете, которую вы положили. Например, если вы положили десятицентовик, то можете забрать две пятицентовых монеты (но не десятицентовик).

2. Более чем идеальная сдача. Вы можете забрать все монеты меньшего номинала, чем та, что вы положили на стол, даже если их общая стоимость выше. Например, если вы положили десятицентовик, можете забрать три пятицентовые монеты и пять одноцентовых.

Вот вам хорошая головоломка от Джо: могут ли эти варианты привести к бесконечной игре? Если нет, то каково максимальное количество ходов?

Переворот. Игра в кости для двух игроков от Джеймса Эрнеста. В начале раунда каждый игрок бросает пять обычных игральных костей. Начинает тот, у кого выпало меньше очков. Затем в свой ход вы можете:

1. Коснуться одной из игральных костей противника. Он должен поставить ее в центр стола, а взамен может забрать любое количество игральных костей, сумма очков на которых меньше, чем на той игральной кости. (Иногда таких костей нет.) Например, если вы проиграли пять очков, можете забрать кости с общей суммой 4 очка или меньше.

2. Перевернуть одну из своих игральных костей. Два числа на противоположных сторонах игральной кости всегда дают в сумме семь. Таким образом, один превращается в шесть, два – в пять, три – в четыре (и наоборот)[47]47
  Дополнение: если вы перевернете игральную кость, то не можете перевернуть ее снова, пока не дотронетесь до игральной кости противника. Иначе игра может зайти в тупик.


[Закрыть].

Последний, у кого остались игральные кости, становится победителем раунда и набирает столько очков, сколько выпало на этих костях. Выигрывает тот, кто первым наберет 50 очков.

Пророчества

ИГРА САМОСБЫВАЮЩИХСЯ (И САМОАННУЛИРУЮЩИХСЯ) ПРЕДСКАЗАНИЙ

Пророчество – не просто предсказание. Это поступок. Оно даже может неожиданным образом изменить будущее, которое предвосхищает.

Например, если вы скажете супружеской паре, ожидающей ребенка: «Ваш сын убьет папу и женится на маме», это сильно изменит их стиль воспитания. Если вы скажете доверчивой многомиллионной аудитории: «Эти акции взлетят до небес!», то их начнут раскупать, и цена действительно пойдет вверх. И хорошенько подумайте о последствиях своего пророчества, прежде чем сообщить злому волшебнику, чье имя нельзя называть, что ребенок, родившийся под знаком Льва, может его убить.

Все эти соображения лежат в основе игры «Пророчества», элегантного примера самосбывающихся (и самоаннулирующихся) предсказаний.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое.

Что потребуется? Карандаши разных цветов. Кроме того, нужно игровое поле из четырех-восьми столбцов и четырех-восьми строк.

В чем цель? Точно предсказать, сколько чисел появится в данной строке или столбце, и записать это число где-нибудь в соответствующей строке или столбце.

Какие правила?

1. По очереди вписывайте в пустые клеточки либо число, либо крестик.

2. Каждое число – своего рода пророчество: предсказание, сколько чисел появится в данной строке или столбце. Таким образом, наименьшее число – 1, наибольшее – длина соответствующей строки или столбца (в зависимости от того, что длиннее). Ну а крестик просто заполняет клеточку, не позволяя вписать туда число.

3. Числа в каждой строке и столбце не должны повторяться.

4. Если в клеточке нельзя записать ни одно число, потому что оно будет дублем, ставьте там крестик. Это не ход, а лишь облегчение подсчета.

5. Играйте, пока не заполнится все поле. Затем подсчитайте, сколько чисел в каждой строке. Тот, кто сделал верное предсказание, набирает соответствующее количество очков. То же самое со столбцами.

Обратите внимание, что одно и то же число может быть двойным пророчеством: и для строки, и для столбца. Кроме того, в некоторых строках или столбцах может не быть ни одного сбывшегося пророчества.

6. Побеждает тот, кто наберет больше очков.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Самые восхитительные и мучительные моменты игры – когда пророчество опровергает само себя. Например:

В этой строке неизбежно будет либо два, либо три числа. Тройка уже есть, поэтому игрок, чей цвет зеленый, может, и хотел бы вписать двойку, но смысла в этом нет, поскольку пророчество опровергает само себя и подтверждает предсказание соперника. Это классический парадокс пророка: высказываясь о мире, он меняет его, и тем самым делает высказывание ложным.

Эти моменты напоминают мне об автореферентных фразах. Это лингвистические высказывания, описывающие сами себя. Вот пример:[48]48
  Автор русской версии – Вячеслав Кабанович. – Прим. пер.


[Закрыть]

Эта фраза точно описывает саму себя. Круто, не правда ли? Впервые нечто подобное опубликовал Ли Саллоус. Когда я пытаюсь представить, как Ли сочинял ее, мой мозг перекручивается, словно рог барана, потому что каждое изменение влияет на всю фразу.

Чтобы лучше понять мою мысль, попробуйте заполнить эту простую автореферентную таблицу:

Одна единица уже есть. Если мы попытаемся записать единицу во второй строке, то запутаемся в своих собственных шнурках, потому что единиц будет две. Может, стоит вписать двойку? Но стоит сделать это, вторая единица исчезнет, и наша двойка будет ошибочной.

Любое пророчество здесь опровергает само себя. Эту таблицу невозможно заполнить.

А что, если добавить второй столбец? Ничего не выйдет. Любая попытка заполнить его обречена на провал, как попытка изречь пророчество «Никто никогда не изречет это пророчество».

Сколько же нужно столбцов, чтобы заполнить такую таблицу? Как минимум четыре. Вот одно из возможных решений, а второе попробуйте найти самостоятельно[49]49
  Подходят и более длинные таблицы. Ответы – в библиографии.


[Закрыть].

Всякий раз, когда я играю в «Пророчества», мой разум попадает в подобные рекурсивные циклы. Будет ли мое следующее предсказание опровергать само себя? Только что числа казались незыблемыми и правдивыми, и вот они рассеиваются как сон, как утренний туман. В результате получается игра с ошеломляющей стратегической глубиной.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Игру придумал симпатяга по имени Энди Джуэлл.

В 2010 году Дэниел Солис запустил проект «Лучшая игра тысячелетия». Задача состояла в том, чтобы придумать простую, глубокую игру, в которую будут играть на протяжении тысячи лет. Тогда Энди Джуэлл и представил на суд публики игру «Пророчества» (вариацию его настольной игры «Размер имеет значение»).

Наступил 2020 год. «Пророчества» стали одной из любимых игр моих тестировщиков, а сам Энди, с которым я вступил в переписку по электронной почте, оказался остроумным, скромным и чрезвычайно полезным знатоком стратегических игр[50]50
  Он даже позволил мне переименовать его игру в «Пророчества», хотя у него был наготове десяток более интеллектуальных и литературных названий.


[Закрыть].

Будут ли играть в «Пророчества» целое тысячелетие? А почему бы и нет? На самом деле вам не нужны ни бумага, ни карандаши, ни даже цифры. Можно просто чертить какие-нибудь закорючки на земле. «Если наши потомки разучатся считать, – заметил Энди, – невозможность сыграть в эту игру, по моему скромному мнению, будет наименьшей из их бесчисленных проблем».

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что игра с парадоксальными числами, описывающими себя, помогла вступить в компьютерную эру.

Эта история начинается в конце XIX века, когда математики взялись за грандиозную задачу: найти логические основы своей науки. Они надеялись выстроить своего рода непоколебимую башню, каждый ярус которой опирается на предыдущий, вплоть до нерушимого фундамента, то есть набора простых постулатов, из которых вытекают все математические теоремы.

Естественно, решающим шагом был выбор подходящих постулатов.

Типичный путь – начать с пустого множества, абстрактного мешка, внутри которого ничего нет. Таким образом, у вас появляется ноль, и можно продолжать. Множество, содержащее пустое множество, – это единица. Множество, содержащее единицу и пустое множество, – это двойка. Множество, содержащее единицу, двойку и пустое множество, – это тройка. И так далее.

Продолжайте в том же духе, выстраивая все более сложные логические структуры множеств-множеств-множеств, пока не охватите все возможные числа, фигуры и уравнения.

И получится, что вся математика зиждется на нескольких простых постулатах о множествах.

Увы, на протяжении десятилетий эти попытки не приносили успеха. Все время накапливались парадоксы, заставлявшие математиков менять основополагающие постулаты. Однако новые постулаты приводили к новым парадоксам или не годились для создания фундамента для математической башни.

Наконец, в 1930 году логик по имени Курт Гёдель показал, где корень всех зол. Проект поиска незыблемых оснований в принципе был несбыточной мечтой.

Его аргументация выглядит примерно так. Для начала выберите любой набор аксиом для арифметики в качестве фундамента математической башни. Затем Курт показывает, что эти аксиомы создают своего рода язык, который позволяет закодировать утверждения (например, «0 равен 0») в виде чисел (например, 243 000 000). Наконец, Курт предъявляет утверждения, ссылающиеся на свой собственный номер и говорящие, что «невозможно доказать истинность утверждения с этим номером».

Короче говоря, порочный круг.

Действительно, невозможно доказать истинность утверждения «невозможно доказать истинность утверждения», потому что в таком случае оно оказалось бы ложным. А если мы докажем, что оно ложно, оно, без тени сомнения, окажется истинным!

Невозможно доказать ни истинность, ни ложность. Такие утверждения относятся к жуткой категории, которую Курт окрестил «неразрешимые утверждения».

Ученые надеялись найти фундамент математики. Курт заложил бомбу под эту надежду. Независимо от того, какие постулаты вы выбираете, всегда найдутся утверждения, которые вы не сможете ни доказать, ни опровергнуть, высоты, недостижимые для вашей башни.

Самый амбициозный математический проект столетия был обречен на неудачу, и всё из-за автореферентных чисел.

После того как бомба Курта взорвалась, математики попытались спасти хотя бы что-нибудь из-под обломков. Алан Тьюринг задумался над созданием машины, которая помогает классифицировать утверждения на истинные, ложные и неразрешимые, – своего рода математический детектор лжи.

Или, как мы говорим сейчас, компьютера.

Я вспоминаю этот сюжет всякий раз, когда играю в «Пророчества». Числа, описывающие себя, числа, опровергающие себя, логические гордиевы узлы, петли обратной связи… Все это не просто хи-хи да ха-ха. Это первичный бульон, в котором зародилась компьютерная эра.

Курт усматривал в своих автореферентных числах парадокс лжеца. Вот простейшая форма этого древнего подвоха: «Данное утверждение ложно». Оно не может быть ни истинным (иначе оно оказалось бы ложью), ни ложным (иначе оно оказалось бы истиной). Таким образом, это утверждение окутано непроницаемым туманом: ни истинно, ни ложно, ни живо, ни мертво, не облагается налогом, но и не освобождено от налога. Своего рода семантический призрак, не завершивший свое дело на земле.

Вернее, так обстояли дела, пока на сцене не объявился Курт. Он запрятал этот древний парадокс, тысячелетия терзающий несчастных логиков, внутрь коробки с транзисторами, где тот обрел свое истинное призвание: терзать всех нас.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Экзотические игровые поля. Необязательно играть на прямоугольном поле. Вот пример с пятью областями, пересекающими друг друга и разбитыми на 16 ячеек:

Больше игроков. Можно играть втроем или вчетвером. Просто нарисуйте игровое поле побольше (например, 7 × 7).

Крестовые пророчества. Пусть числа предсказывают не количество чисел, а количество крестиков в строке или столбце.

Игровое поле – судоку. Возможно, наикрутейший вариант. Возьмите в качестве игрового поля неразгаданное судоку. Пусть каждое число пророчит количество чисел не только в строке или столбце, но и в своем сегменте 3 × 3. Вписанные числа-подсказки не засчитываются ни одному из игроков.

Парадокс Берри. Ладно-ладно, это не игра. Просто я хочу продемонстрировать вам последнего демона из ящика Пандоры с автореферентными числами.

Парадокс начинается с простого наблюдения: для описания бóльших чисел обычно требуется больше букв. Например, для числа «девять» требуется шесть букв, а для числа 729 – одиннадцать («девять в кубе» – короче, чем «семьсот двадцать девять»). Библиотекарь Дж. Берри расширил эту идею. Чему равно «наименьшее натуральное число, для описания которого требуется не менее ста букв»?

Звучит разумно. Наверняка такое число (чему бы оно ни было равно) существует… но вы ведь только что определили его, использовав меньше ста букв! Определение опровергает само себя.

Множество числовых игр

Когда я начал работать над этой книгой, мне очень хотелось включить в каждую часть пять дополнительных игр – ни больше, ни меньше. Почему я отказался от этого плана? Дело в том, что есть немало незамысловатых, но изящных числовых игр. Не мог же я закрыть на них глаза, не правда ли? Поэтому я бегло расскажу еще о семи играх.

ИГРА В МЕДИАНЫ

«Посредственность» – игра для трех участников, в которую впервые сыграли на ресторанных салфетках брат, сестра и их приятель[51]51
  Другое название этой игры – «Хруска» в честь американского сенатора Романа Хруски. Однажды, защищая кандидата в верховные судьи, он сказал: «Пусть даже он посредственность. Но у нас немало посредственных судей, адвокатов и обычных граждан. Они ведь имеют право хотя бы на минимальное представительство в Верховном суде, не правда ли»


[Закрыть].

Каждый игрок загадывает целое число от 0 до 30[52]52
  Это не догма. Некоторые любят играть без ограничений, то есть загадывать абсолютно любое число.


[Закрыть]. Затем игроки называют свои числа. Побеждает тот, чье число оказывается медианным (то есть срединным). Он набирает соответствующее количество очков. Если два игрока загадали одно и то же число, третий игрок вправе выбрать победителя.

Но не спешите. У игры есть еще одна особенность. Вы играете определенное число раундов (скажем, пять), и побеждает не тот, у кого больше всего очков, а тот, кто набрал медианное число. По словам соавтора игры Дугласа Хофштадтера, это единственный способ, обеспечить «соответствие духа целого духу составляющих его частей».

Несколько советов напоследок:

1. Рекомендую выставлять количество очков за раунд на всеобщее обозрение, чтобы каждый мог выбрать свою стратегию.

2. Для игры требуется нечетное количество игроков[53]53
  Это выгодно отличает «Посредственность». Многие игры для трех игроков не очень хороши, поскольку побуждают игроков, занявших второе и третье место, объединиться и напасть на победителя. В «Посредственности» такой «сговор» невозможен и невыгоден.


[Закрыть], но если вас четное количество, просто вообразите невидимого игрока, который всегда загадывает число 15.

3. Чтобы игра стала по-настоящему захватывающей, сыграйте пять раундов. Побеждает тот, кто выиграл в медианном количестве раундов.