Текст книги "История с узелками"

Разные разности, или Miscellanea Carrolliana

Трудности и парадоксы

Трудность первая[10]10
  Сформулирована 18-летним Кэрроллом в 1850 г. – Примеч. пер.


[Закрыть]. Где происходит смена дат?

Половина земного шара (или около того) всегда освещена Солнцем. По мере вращения Земли освещенный участок перемещается с места на место и рано или поздно достигает любой точки земного шара.

Предположим, что в Лондоне сейчас наступил вторник. Через час-другой вторник наступит на западе Англии. Не будь морей и океанов, мы могли бы, следуя по пятам за вторником[11]11
  Лучше всего представлять себе это так. Вы идете по Земле вслед за Солнцем и по пути спрашиваете у местных жителей, какой день недели у них наступил. Трудность, о которой идет речь, станет очевидной, если предположить, что Земля всюду заселена и все ее обитатели говорят на одном языке.


[Закрыть], совершить кругосветное путешествие и через 24 часа вернуться снова в Лондон. Как известно, в Лондоне через 24 часа после вторника наступает среда. Спрашивается, где, в каком месте земного шара, один день недели сменяется другим? Где вторник (как, впрочем, и любой другой день недели) перестает быть самим собой?

На практике указанной нами трудности не возникает по той простой причине, что значительная часть кругосветного путешествия, совершаемого каждым днем недели, приходится не на сушу, а на море, а что именно делает в открытом море тот или иной день недели, никому не известно. Кроме того, обитатели земного шара говорят на великом множестве языков, вследствие чего любая попытка проследить за названием дня недели по всей Земле обречена на неудачу. Но разве нельзя мысленно представить себе, что с поверхности Земли исчезли моря и океаны, а все ее обитатели заговорили на одном языке? К чему бы это привело, понять чрезвычайно трудно. Может быть, исчезло бы всякое различие между днями недели, неделями, месяцами и т. д.[12]12
  Сознавая всю нереальность подобного предположения, мы выдвигаем его лишь в качестве рабочей гипотезы.


[Закрыть] и мы говорили бы: «Битва при Ватерлоо произошла сегодня, часов этак с 2 000 000 назад». Может быть, нам пришлось бы провести на поверхности земного шара некую воображаемую линию, при переходе через которую происходила бы смена дат. В этом случае обитатель одного дома, просыпаясь, говорил бы: «О-хо-хо[13]13
  Восклицание, обычно произносимое при пробуждении. Как правило, сопровождается зевотой и потягиванием.


[Закрыть], вот вторник и наступил!», а обитатель соседнего дома, расположенного в нескольких милях к западу от первого за воображаемой линией, просыпался бы на две-три минуты позже со словами: «О-хо-хо, вот среда и наступила!» О том, какая неразбериха царила бы в домах, оказавшихся на самой линии смены дат, вряд ли нужно говорить: каждое утро их обитатели ссорились бы между собой из-за того, как следует называть наступивший день. Третьей возможности я не вижу, разве что предоставить каждому называть любой день недели, как ему вздумается.

Мысль о том, что жизнь на Земле, лишенной морей и океанов, была бы сопряжена с известными трудностями, высказывалась и раньше, например автором замечательной поэмы «Если б Земля стала грушей…»[14]14
  Если б Земля стала грушей, Все океаны – сушей, В реках чернила были, Что бы тогда мы пили?


[Закрыть]. Однако, поскольку поэта волновали лишь трудности добывания питьевой воды (которые бы, несомненно, возникли), он не смог уделить должного внимания интересующей нас проблеме.

Всякое разумное решение изложенной выше трудности будет воспринято с благодарностью.

Трудность вторая. Какие часы лучше?

Какие часы лучше: те, что показывают точное время раз в году, или те, что показывают точное время дважды в сутки? «Конечно, вторые! – ответите вы. – Какие тут могут быть сомнения?» Прекрасно, читатель, пусть будет по-вашему, а пока пойдем дальше.

У меня имеется двое часов: одни вообще не идут, другие отстают на минуту в сутки. Каким из них вы отдадите предпочтение? «Ну, конечно же, тем, что отстают». Великолепно! А теперь заметьте: часы, отстающие на минуту в сутки, должны отстать на 12 часов, или 720 минут, прежде чем они снова покажут точное время. Следовательно, такие часы показывают точное время лишь раз в два года. Часы же, которые стоят, показывают точное время всякий раз, когда наступает час, указываемый положением их стрелок, а это происходит дважды в сутки. Итак, одно противоречие в своих высказываниях вы уже допустили.

«Но что толку от того, что стоящие часы дважды в сутки показывают точное время, – возразите вы, – если нельзя сказать, когда это происходит?» Почему нельзя?

Представьте себе, что часы остановились ровно в восемь часов (утра или вечера – неважно). Разве не ясно, что в восемь часов утра и в восемь часов вечера они будут показывать точное время? И так будет всякий раз, когда наступит восемь часов утра или восемь часов вечера. «Это-то мне ясно», – ответите вы[15]15
  Вы могли бы и не сдаваться так легко, а вместо этого задать вопрос: «Откуда я узнаю, что наступило восемь часов утра (или вечера)? По моим часам этого не скажешь!» Терпение, дорогой читатель, терпение! Вам известно, что, когда наступает восемь часов утра или восемь часов вечера, ваши часы показывают точное время. Не сводите поэтому глаз с часов, и в тот момент, когда они покажут точное время, вы сможете с уверенностью сказать, что наступило восемь часов (чего именно – утра или вечера, – мы не уточняем, поскольку отличить утро от вечера не так уж сложно). «Но…» – попытаетесь возразить вы. Вот так-то, дорогой читатель: чем дольше вы будете спорить, тем больше вы будете запутываться. Благоразумнее прекратить спор и признать себя побежденным.


[Закрыть]. Прекрасно! Но тогда вы второй раз противоречите себе. Постарайтесь выйти из затруднения, по возможности не впадая в новые противоречия.

ЧТО ЧЕРЕПАХА СКАЗАЛА АХИЛЛУ

Ахилл догнал Черепаху и с удобством расположился у нее на спине.

– Итак, наше состязание окончено? – спросила Черепаха. – Вам все-таки удалось преодолеть всю дистанцию, хотя она и состояла из бесконечной последовательности отрезков, и достичь финиша? А ведь, по правде говоря, я думала, будто какой-то мудрец доказал, что сделать этого нельзя.

– Почему нельзя? – возразил Ахилл. – Еще как можно! Да что можно – уже сделано! Solvitur ambulando[16]16
  Решено мимоходом (лат.).


[Закрыть]. Видите ли, длина отрезков неограниченно убывала и поэтому…

– А если бы длина отрезков неограниченно возрастала? – перебила его Черепаха. – Что тогда?

– Тогда я бы не сидел там, где я сижу, – скромно ответствовал Ахилл, – а вы к этому времени уже успели бы несколько раз обойти вокруг земного шара.

– Стоит ли обольщаться несбыточными надеждами? И без того тяжко. Я почти расплющена: вес-то у вас немалый! – заметила Черепаха. – Если позволите, я лучше расскажу вам о состязании на другую дистанцию. Большинство людей ошибочно полагают, будто в этом состязании их отделяют от финиша лишь два-три шага. В действительности же, чтобы добраться до финиша, необходимо преодолеть бесконечно много этапов, и каждый последующий этап длиннее предыдущего.

– С превеликим удовольствием! – с жаром воскликнул греческий воин, доставая из шлема огромный блокнот и карандаш (в те далекие времена карманы были лишь у очень немногих греческих воинов). – Я весь внимание! И пожалуйста, говорите помедленнее: ведь стенографию еще не изобрели!

– О, первая аксиома Евклида! – мечтательно промолвила Черепаха. – Что может быть прекрасней тебя?

И добавила, обращаясь к Ахиллу:

– Вы любите «Начала» Евклида?

– Безумно! Вряд ли можно сильнее восхищаться трактатом, который не выйдет в свет в течение еще нескольких столетий!

– Прекрасно! Мы воспользуемся рассуждением, содержащимся в первой аксиоме. Нам понадобятся лишь два шага и выведенные из них заключения. Для удобства последующих ссылок обозначим суждения А, В и Z. Итак, будьте любезны записать в свой блокнот следующее:

A) Равные одному и тому же равны и между собой.

B) Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.

Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.

Надеюсь, читатели и почитатели Евклида согласятся, что заключение Z логически следует из посылок А и В и всякий, кто сочтет истинными посылки А и В, должен будет признать истинным и заключение Z. Не так ли?

– Несомненно! С вашим утверждением согласится любой школьник младшего класса – разумеется, не раньше чем будут изобретены школы, а для этого придется подождать какие-нибудь две тысячи лет.

– А что если какой-нибудь читатель не признает посылки А и В истинными? Сможет ли он тем не менее считать истинным заключение Z?

– Ну что же, найтись такой читатель вполне может. Рассуждать он станет примерно так: «Я считаю истинным условное суждение «Если A и B истинны, то Z истинно», но не считаю истинными суждения А и В». Такой читатель поступит мудро, если оставит Евклида и займется футболом.

– А не может ли встретиться другой читатель, утверждающий, что он признает истинность суждений А и В, но не считает истинным условное суждение?

– Разумеется, может. Ему также лучше всего было бы заняться футболом.

– И ни один из этих читателей пока не должен считать заключение Z истинным в силу логической необходимости? – продолжала Черепаха.

– Пока еще не должен, – подтвердил Ахилл.

– Тогда я попрошу вас рассматривать меня как представителя второй категории читателей и с помощью логических доводов заставить меня признать истинность заключения Z.

– Черепаха, играющая в футбол… – начал было Ахилл, но Черепаха поспешно прервала его:

– …была бы, конечно, необычным зрелищем. Не будем уклоняться от главного. Сначала истинность заключения Z, потом футбол!

– Итак, если я правильно понял, мне вменяется в обязанность заставить вас признать истинность суждения Z, – задумчиво проговорил Ахилл. – Занимаемая вами позиция сводится к следующему. Вы признаете истинность суждений A и B, но не признаете истинность условного суждения…

– Нам будет удобнее разговаривать, если мы обозначим условное суждение С, – предложила Черепаха.

– Хорошо, – согласился Ахилл. – Итак, вы не признаете истинность суждения

С) Если А и В истинны, то Z должно быть истинным.

– Такова моя позиция в настоящее время, – подтвердила Черепаха.

– Тогда я вынужден попросить вас признать истинность С.

– Я так и сделаю, – сказала Черепаха, – как только вы запишете суждение С в свой блокнот. В нем уже есть какие-нибудь записи?

– Всего лишь несколько заметок, – ответил Ахилл, лихорадочно перелистывая страницы, – о различных памятных событиях… о битвах, в которых я отличился.

– Я вижу множество чистых страниц! – радостно воскликнула Черепаха. – Они нам все понадобятся! (Ахилл содрогнулся от ужаса.) Запишите, пожалуйста:

A) Равные одному и тому же равны между собой.

B) Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.

C) Если А и В истинны, то Z должно быть истинным.

Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.

– Последнее суждение вам следовало бы обозначить буквой D, а не Z, – сказал Ахилл. – Оно идет непосредственно за тремя первыми суждениями. Если вы считаете истинными суждения A, B и C, то вам не остается ничего другого, как признать истинность суждения Z.

– Почему вы считаете, что я непременно должна признать истинность суждения Z?

– Потому, что оно логически следует из А, В и С. Если A, B и С истинны, то Z должно быть истинным. Надеюсь, против этого вы не станете возражать?

– Если A, B и С истинны, то Z должно быть истинным, – задумчиво повторила Черепаха. – А ведь это – новое условное суждение! И если я не убеждена в его истинности, то могу считать истинными A, B и С, по-прежнему не признавая истинным Z. Правильно?

– Правильно, – подтвердил герой, – хотя я должен сказать, что эдакое упрямство выглядит очень странным. Однако, поскольку и такое возможно, я вынужден просить вас признать истинность еще одного условного суждения.

– С удовольствием! Я охотно признаю истинность этого суждения, как только вы запишете его в свой блокнот. Обозначим его D. Итак,

D) Если A, B и С истинны, то Z должно быть истинным.

Записали?

– Записал! – радостно воскликнул Ахилл, и карандаш его быстро забегал по бумаге. – Наконец мы подошли к финишу нашего логического состязания! Уж теперь-то, признав истинность суждения A, B, С и D, вы, конечно, признаете истинность заключения Z!

– Разве это так уж необходимо? – с невинным видом спросила Черепаха. – Попробуем разобраться. Я признаю истинность суждений А, В, С и D. Но что, если я по-прежнему не признаю истинность заключения Z?

– Тогда Логика возьмет вас за горло и вынудит сделать это! – торжествующе ответил Ахилл. – Логика скажет вам: «У вас не осталось другого выхода. После того, как вы признали истинность суждений А, В, С и D, вы должны признать истинность заключения Z!» Итак, как вы видите, иного выхода у вас нет.

– То, что сказала мне Логика, следовало бы записать, – заметила Черепаха. – Внесите, пожалуйста, в свой блокнот условное суждение, которое мы обозначим Е:

Е) Если А, В, С и D истинны, то Z должно быть истинным.

До тех пор пока я не соглашусь признать истинность суждения Е, мне нет необходимости признавать истинность суждения Z, поэтому суждение Е нам просто необходимо. Вы согласны?

– Согласен, – ответил Ахилл с оттенком печали в голосе.

В этот момент неотложные дела в банке вынудили рассказчика оставить счастливую пару. Лишь через несколько месяцев ему довелось снова проходить мимо того места, где беседовали Ахилл и Черепаха. Ахилл по-прежнему сидел на спине у многотерпеливой Черепахи и что-то писал в почти заполненном блокноте. Приблизившись, рассказчик услышал, как Черепаха сказала:

– Записали последнее условное суждение? Если я не сбилась со счета, оно должно быть тысяча первым. Осталось еще несколько миллионов. Я хочу попросить вас о личном одолжении. Вы не будете возражать, если я прочту вам короткие стишки собственного сочинения? В качестве смягчающего обстоятельства я прошу иметь в виду те споры, которые вызовет среди логиков XIX века наша беседа.

– Читайте что угодно! – с отчаянием воскликнул несчастный воин, закрывая лицо руками. И Черепаха продекламировала:

 
Ахиллесову пяту
Указуют все не ту.
Череп – ах! – трещит от дум:
У Ахилла хилый ум!
 

АЛЛЕН, БРАУН И КАРР

– Ты не занят? – спросил дядя Джим у дяди Джо. – Тогда пойдем со мной в парикмахерскую к Аллену. Пока я буду бриться, ты прогуляешься.

– С удовольствием, – согласился дядя Джо. – И малыша, кстати, прихватим с собой.

Малышом, как вы уже, наверное, и сами догадались, дядюшки называют меня. Мне уже исполнилось пятнадцать лет (и три месяца!), но напоминать об этом дяде Джо бесполезно. От него только и слышишь: «Иди, малыш, поиграй в кубики! Не хочешь? Ну, тогда реши кубическое уравнение!» – или еще что-нибудь в этом же роде. Вчера он попросил меня привести пример общеутвердительного суждения. Я сказал: «Все дядюшки любят отпускать дурацкие шуточки». Ох как ему не понравилось! Но это все так, между прочим, а когда я услышал, что дядюшки возьмут меня с собой на прогулку, то здорово обрадовался. Мне очень нравится слушать, как дядюшки препираются между собой, «разделывая (по их же собственному выражению) логику под орех». Уж в чем в чем, а в этом, смею вас заверить, они здорово поднаторели.

– Высказанное тобой суждение логически не следует из сделанного мной предложения, – заявил дядя Джим.

– А я и не утверждаю, что оно следует, – возразил дядя Джо. – Я просто воспользовался логической операцией Reductio ad Absurdum[17]17
  Приведение к нелепости (лат.) (как способ доказательства).


[Закрыть].

– И при этом совершил логическую ошибку Illiciti Processi, непозволительно расширив объем меньшего термина! – засмеялся дядя Джим.

Они всегда так прохаживаются по моему адресу, стоит мне только пойти с ними. Как будто нельзя придумать ничего остроумнее, чем называть меня меньшим термином!

Немного спустя, когда мы уже подходили к парикмахерской, дядя Джим сказал:

– Надеюсь, Карр сейчас работает. Браун очень уж нерасторопен, а у Аллена с тех пор, как он переболел лихорадкой, трясутся руки.

– Можешь не сомневаться, Карр находится сейчас в парикмахерской. В этом нет ни малейших сомнений, – заметил дядя Джо.

– Держу пари на шесть пенсов, что Карра сейчас там нет, – не утерпев, вмешался в разговор я.

– Держи лучше язык за зубами, – посоветовал дядя Джо, но, увидев по моей скептической ухмылке, что его слова меня не убедили, поспешно добавил:

– То, что Карр находится сейчас в парикмахерской, я могу доказать логически. Это факт, а не игра случая.

– Доказать логически! – насмешливо фыркнул дядя Джим. – Что ж! Давай, выкладывай свои доказательства. Я в них не очень-то верю!

– Предположим для ясности, что Карра в парикмахерской нет, и посмотрим, к чему приводит подобное предположение, – начал дядя Джо. – Свое доказательство я буду проводить с помощью Reductio ad Absurdum.

– Ничего другого я от тебя и не ждал! – проворчал дядя Джим. – Ни разу не слышал ни одного твоего рассуждения, которое не приводило бы к какой-нибудь нелепости!

– Я оставляю без ответа твои недостойные выпады и приступаю к доказательству, – невозмутимо произнес дядя Джо. – Итак, предположим, что Карра в парикмахерской нет. Согласен ли ты с тем, что если Аллен также отсутствует, то работать должен Браун?

– Если это можно назвать работой, – ехидно заметил дядя Джим. – Я не стану бриться у Брауна! Уж очень он долго копается.

– Терпение – одно из тех поистине неоценимых достоинств… – начал было длинную тираду дядя Джо, но дядя Джим прервал его:

– Доказывай, – сказал он, – а не читай мораль.

– Будь по-твоему. Так как, ты согласен с моим доводом? – повторил свой вопрос дядя Джо. – Напоминаю. Я предположил, что Карра в парикмахерской нет. Отсюда следует, что если нет Аллена, то в парикмахерской должен быть Браун.

– Конечно, должен, – кивнул головой дядя Джим, – иначе в парикмахерской не останется ни одного мастера.

– Итак, мы видим, что отсутствие в парикмахерской Карра приводит к появлению некоторого условного суждения с основанием «Аллена нет в парикмахерской» и следствием «Браун находится в парикмахерской». Мы видим также, что, пока Карр отсутствует, это условное суждение остается в силе.

– Ну, и остается. Что дальше? – нетерпеливо спросил дядя Джим.

– Надеюсь, ты не станешь возражать, если я скажу, что истинность условного суждения (под которой я понимаю правильность логической связи между основанием условного суждения и его следствием) ни в малейшей степени не зависит от того, истинно ли в действительности его основание, и даже от того, может ли оно быть истинным. Так, условное суждение «Все были бы очень удивлены, если бы ты смог добежать отсюда до Лондона за пять минут» истинно независимо от того, можешь ли ты добежать отсюда до Лондона за пять минут или нет.

– Не могу, – признался дядя Джим.

– А теперь рассмотрим другое условное суждение. Что ты мне вчера сказал об Аллене?

– Я сказал, что с тех пор как Аллен перенес лихорадку, он стал бояться выходить из дому один и всегда берет с собой Брауна, – напомнил дядя Джим.

– Вот именно, – обрадовался дядя Джо, – а это означает, что условное суждение «Если в парикмахерской нет Аллена, то нет и Брауна» всегда истинно. Согласен?

– Предположим, что ты прав, – ответил дядя Джим, явно начиная нервничать.

– Следовательно, – продолжал рассуждать дядя Джо, – если Карра в парикмахерской нет, то у нас имеются два условных суждения: во-первых, «Если в парикмахерской нет Аллена, то есть Браун» и, во-вторых, «Если в парикмахерской нет Аллена, то нет и Брауна», причем оба суждения истинны! В то же время, как нетрудно видеть, эти условные суждения несовместимы и не исключено, что они не могут быть истинными одновременно.

– Не могут? – переспросил дядя Джим.

– А откуда им мочь? – ответил дядя Джо. – Каким образом одно и то же основание может доказывать два противоречащих следствия? Надеюсь, ты согласишься с тем, что суждения «Браун находится в парикмахерской» и «Брауна в парикмахерской нет» противоречат одно другому?

– С этим я согласен, – вынужден был признать дядя Джим.

– Тогда я могу подвести итог своих рассуждений, – торжествующе заявил дядя Джо. – Если Карра в парикмахерской нет, то оба сформулированных мной условных суждения истинны. Вместе с тем мы знаем, что они не могут быть истинными в одно и то же время. Следовательно, мы пришли к противоречию! А это и означает, что Карр непременно должен быть в парикмахерской. Не правда ли, великолепный пример Reductio ad Absurdum?

Дядя Джим имел озадаченный вид. Немного погодя он собрал все свое мужество и решился спросить:

– Мне не очень ясно, что ты там говорил о несовместимости условных суждений. Почему они не могут быть истинными одновременно? Если бы оба условных суждения были истинными, то, на мой взгляд, это лишь означало бы, что «Аллен находится в парикмахерской». Я, разумеется, не отрицаю, что следствия этих двух условных суждений – «Браун находится в парикмахерской» и «Брауна в парикмахерской нет» – несовместимы. Но почему бы нам не сформулировать другие условные суждения? «Если в парикмахерской нет Аллена, то нет и Брауна», «Если и Карр, и Аллен отсутствуют, то в парикмахерской остается Браун». При этом мы приходим к противоречию, которое означает, что Карр и Аллен не могут уходить из парикмахерской одновременно. Но коль скоро в парикмахерской находится Аллен, я не вижу, что мешает Карру покинуть свой пост.

– Мой дорогой, но не имеющий ни малейшего представления о логике брат! – возразил дядя Джо. (Когда дядя Джо, обращаясь к вам, начинает со слов «мой дорогой», можете не сомневаться, что за этим последует какая-нибудь гадость!) – Разве тебе не ясно, что, формулируя второе условное суждение, ты неправильно расчленил его на основание и следствие? Его основанием служит просто суждение «Карр отсутствует», а следствием – вспомогательное условное суждение «Если Аллен отсутствует, то в парикмахерской остается Браун». И должен сказать, что это необычайно абсурдное следствие, совершенно несовместимое с первым условным суждением, которое, как мы знаем, всегда истинно и гласит: «Если в парикмахерской нет Аллена, то нет и Брауна». Поскольку причиной возникшего противоречия служит гипотеза «Карра в парикмахерской нет», отсюда следует единственно возможное заключение: «Карр сейчас находится в парикмахерской».

Я затрудняюсь сказать, сколько еще времени мог бы продолжаться спор между моими дядюшками. Думаю, что каждый из них мог бы проспорить без передышки часов по шесть кряду. Но именно тут мы подошли к двери парикмахерской и, войдя в нее, увидели…