Текст книги "Футболоматика: как благодаря математике «Барселона» выигрывает, Роналду забивает, а букмекеры зарабатывают состояния"

«Барселона», возможно, построила лучшие треугольники в футболе, но треугольники решали проблемы и задолго до того, как появился футбол.

«Барселона», возможно, построила лучшие треугольники в футболе, но треугольники решали проблемы и задолго до того, как появился футбол. Рассмотрим следующую проблему. Вы – мэр города, в который входят несколько пригородов. Вы хотите построить железную дорогу, которая соединит их. Но вам не хватает денег, поэтому вы хотите использовать наименьшее количество рельсовых путей. Как вы соедините все пригороды с минимальной длиной железнодорожных путей?

Рисунок 2.2 показывает три правдоподобных решения для четырех пригородов. Посмотрите на них и подумайте, какой из них использует наименьшее количество ресурсов.

Если мы применим знания тригонометрии из средней школы, мы сможем выяснить, какой вариант наиболее короткий.

Решение слева состоит из трех блоков: каждая сторона по длине равна блоку и для соединения нам необходимы три стороны.

Рисунок 2.2. Три возможных решения для соединения четырех пригородов (круги) с наименьшей возможной длиной железной дороги (сплошные линии).

Решение посередине добавляет соединение в центр, разделяя область на четыре одинаковых треугольника. Длина каждой из двух пересекающихся линий может быть рассчитана с использованием теоремы Пифагора и равна √2. Общая длина равна √2 + √2 = 2,82 блока. Это решение похоже на расположение Хидегкути между полузащитой и форвардами или на то, как «Барселона» использует Месси. Добавление дополнительных точек дает треугольники, которые уменьшают общую длину соединительных линий.

Если одна дополнительная точка соединения – это хорошо, то использование двух еще лучше. На рисунке 2.2 длина правой структуры составляет 1 + √3 = 2,73 блока[13]13
  Длина каждой из четырех ветвей, соединенных с пригородами, равна  Применяя теорему Пифагора, средняя длина тогда . Общая сумма равна .


[Закрыть] – это наименьшее из всех решений. И снова задействованы треугольники. Три ответвления выходят из точек соединения под углом 120°. Как это часто бывает в математике, самая красивая и наиболее сбалансированная форма является лучшим решением.

Решение проблемы эффективного соединения четырех точек на квадрате было непростым (не могу сказать точно, сколько мэров справилось с этим). Но это задача для начинающих. Если хотите бросить себе настоящий вызов, попробуйте найти решение для пяти точек на углах пятиугольника. Ответом снова будут треугольники. Вопрос лишь в том, как их упорядочить. Если справитесь с пятью, попробуйте шесть точек в шестиугольнике. В последнем случае результатом станет совершенно новый тип решения, но он все еще включает в себя треугольники. Смотрите рисунок ниже.

Ответ. Решение для пяти и шести точек.

Давайте сделаем проблему соединения пригородов действительно сложной. Попробуем решить эту проблему, если мы не знаем расположения пригородов или даже сколько их необходимо подключить. С такой проблемой постоянно сталкивается слизевик под названием Physarum polycephalum. Слизевики не имеют мозга и состоят всего из одной клетки. Их «тело» представляет собой сеть взаимосвязанных трубок, которые качают питательные вещества назад и вперед. Слизевиков можно обнаружить на лесной подстилке или деревьях. Обычно они покрывают площадь меньше монеты, однако они могут сжиматься в неблагоприятных условиях и разрастаться, если еды вдоволь.

Когда слизевики ищут еду, они решают проблему соединения пригородов. Вдохновленный этой идеей, мой японский коллега Тоси Накагаки решил проверить, смогут ли слизевики создать сеть метрополитена и скоростного трамвая Токио. Он и его коллеги разложили питание слизевиков в виде масштабной модели Большого Токио. Они положили овсяные хлопья в чашки Петри: одна большая посередине как отображение центра города и поменьше в местах, соответствующих Сибуе, Иокогаме, аэропорту в Тибе и другим близлежащим районам. Чтобы добиться соединения чашек с овсом, слизевики должны решить ту же проблему, которую разрешили японские градостроители при проектировании транспортной системы Токио. Могут ли слизевики формировать эффективные связи между своими продовольственными ресурсами?

Эксперименты прошли отлично[14]14
  Tero, A. Rules for biologically inspired adaptive network design. – Science 327(5964), 2010. – p. 439–442.


[Закрыть]. Создать сеть треугольников, соединяющих овсяные хлопья, не составило им труда. Тоси сравнил решение слизевиков с реальной транспортной сетью в Токио и обнаружил, что, хотя они и не были идентичными, у них была схожая структура. Решение слизевиков было так же эффективно, как и специалистов по городскому планированию; помимо этого, они использовали близкое к реальному число связей для объединения овсяных хлопьев. Сравнение решений слизевиков и людей показано на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3. Сравнение сети, построенной слизевиками для объединения овсяных хлопьев (круги), расположенных в соответствии с пригородами Токио (слева), и реальной железнодорожной сети (справа). Воспроизводится с разрешения Американской ассоциации содействия развитию науки.

Соединения треугольников – главная особенность трубчатых сетей слизевиков. Некоторые овсяные хлопья становятся узлами, которые соединяются с другими точками, так что общая длина трубок остается небольшой.

Обратите внимание: углы в этих узловых пунктах велики, как и в футбольных схемах, и сеть распространяется равномерно во всех направлениях. Слизевики не строят наименьшую возможную сеть для объединения овсяных хлопьев: они создали несколько петель, обеспечив различные способы перемещения между одними и теми же точками. Тоси и его коллеги объяснили, что эти петли очень полезны, если структура повреждена или разрушена. Если одно звено в сети разорвано, слизевик все равно остается связанным и может передавать ресурсы по альтернативному маршруту. Это похоже на ситуацию с аварией на одном отрезке ветки метро. Если система хорошо спроектирована, то не придется отключать всю сеть из-за поломки на одной ветке.

Сети слизевиков и железнодорожных служб по конструкции существенно отличаются от футбольных построений. Футбольные команды не размечают линии передач с помощью трубок или рельсов – они просто пасуют друг другу. Но есть и несколько повторяющихся сходств. Во-первых, идея покрыть треугольниками весь мир. Слизевики покрывают небольшую площадь лесной подстилки, «Барселона» заполняет поле потенциальными передачами, а хорошая железнодорожная служба связывает страну железнодорожными магистралями.

Еще одно важное сходство состоит в том, что между различными вариантами в связующих узлах лежат большие углы. Если мы поворачиваем на 360° вокруг центральных точек сети слизевиков или железных дорог, мы обнаруживаем, что во всех направлениях есть равномерно расположенные варианты – как мы видели в «Барселоне».

Рисунок 2.4. Сеть и зоны «Барселоны» в сезоне-2010/11. Сеть расположения (сплошные линии) вместе с зонами (пунктирные линии) для каждого игрока (слева); типичная позиция для каждого игрока в течение сезона (справа).

Существует математическая связь между сетями с широким треугольником и эффективным использованием пространства. Схемы разбивки на треугольники, которые я построил, могут быть использованы также для того, чтобы рассмотреть, как команда делит поле на зоны[15]15
  Зоны, которые я вычисляю здесь, как я объясню ниже в основном тексте, представляют собой наборы точек, наиболее близкие к каждому игроку. Таким образом, все точки в игровых зонах – это те, которые ближе к этому игроку, и никакому другому. Это разбиение известно как диаграмма Вороного, в честь украинского математика Георгия Вороного.


[Закрыть]. Полученные для «Барселоны» зоны показаны на рисунке 2.4. Слева – сеть игроков и созданные ею зоны (пунктирные линии). Справа я убрал сеть, оставив только зоны, и добавил игроков, которые были в каждой из зон в сезоне-2010/11.

Тот факт, что мозаика зон в схеме 4–3–3 «Барселоны» своей симметричной красотой похожа на сеть их передач, не случаен – это математическая необходимость.

Когда команда строит сеть с широкоугольными треугольниками, она также разделяет область на просторные зоны. Аналогично если каждый игрок занимает точно определенную позицию, то образовывается широкоугольная сеть треугольников[16]16
  Для вычисления триангуляции сначала используем диаграмму Вороного для расчета зон. Затем мы берем центральные точки всех зон диаграммы Вороного (то есть игроков) и рисуем связи между ними, если они имеют соседние зоны, чтобы создать триангуляцию Делоне. Для сети «Барселоны» первое и второе минимальное остовное дерево содержат большинство краев триангуляции Делоне. Триангуляции Делоне имеют тенденцию максимизировать углы в соединительных сетях, а диаграмма Вороного максимизирует размеры зон. Мы можем переключать взаимозаменяемость между двумя: каждая диаграмма Вороного имеет эквивалентную триангуляцию Делоне, и наоборот. Поэтому, когда мы максимизируем углы, мы максимизируем зоны, и наоборот.


[Закрыть]. Этот момент имеет решающее значение: он говорит нам, что решение одной проблемы даст нам решение и для второй. Если команда хорошо занимает пространство, игроки найдут много удачных возможностей отдать пас. Если они открываются для получения паса, они поймут, что создали свободное пространство. Игрокам не нужно вычислять все углы к своим партнерам – они просто должны убедиться, что у них достаточно места, чтобы принять мяч и сделать передачу.

Симметрия – это ключ к стилю игры, который часто называют тики-такой. Суть такого футбола заключается в быстром передвижении мяча между игроками, чтобы создать дисбаланс в обороне соперника. Для математического представления тики-таки нам нужно понять немного больше о том, как определяются зоны. Мы говорим, что игрок противоположной команды находится в зоне Иньесты, если Иньеста является ближайшим к нему игроком «Барселоны». Каждая пунктирная линия на рисунке 2.4 обозначает границу между двумя пространствами. Если игрок противоположной команды стоит на одной из этих линий, он одинаково близок к двум игрокам «Барселоны».

Представьте себе, что я стою на границе между зонами Иньесты и Месси, так что одинаково близок к ним обоим. Это, вероятно, худшее место на футбольном поле, особенно если мяч находится у Месси. Если я передвинусь, чтобы закрыть аргентинца, мяч быстро окажется у Иньесты. Если же я отодвинусь к Иньесте, Месси сможет двигаться дальше. Линии на схеме показывают сопернику, где им не следует располагаться при игре в защите против «Барселоны». Избегайте линий любой ценой. Стоять на них – это как попасть на заброшенную землю.

В сетях железных дорог очень мало гибкости. Если вы решили построить ветку между Йорком и Лондоном или через всю Сибирь, то вы будете работать только с ней. Слизевики более приспособлены. Когда еда заканчивается или часть сети подвергается опасности, связи уменьшаются в размере и формируются в другом месте. Но такие изменения требуют несколько минут или часов.

Футбольные сети должны быть очень гибкими. Варианты пройти вперед блокируются; в мгновение ока открываются новые возможности. Игроки, которые ждут открытия партнеров для передачи, пробудут с мячом недолго, состав команды должен быстро реагировать на меняющиеся условия. Хотя команда может начать с определенной расстановки, она должна уметь приспосабливаться к условиям, и эта адаптация должна происходить в кратчайшие сроки. Если ваши оппоненты воспользуются возможностью до того, как это сделаете вы, то очень скоро вы будете просто бегать за мячом, а не пасовать его.

Все эти маневры и контрманевры на поле затрудняют поиск закономерностей. Как мне кажется, это объясняет появление теории моего отца: все слишком быстро меняется, чтобы успевать следить. Лучшие футболисты провели десятки тысяч часов на тренировках, оттачивая свою реакцию. Они почти интуитивно реагируют на игру, моментально перемещаясь в поисках лучшей позиции для атаки или обороны. Для многих наблюдателей трудно понять, куда они двигаются или что они делают, но для них это уже обыденность.

Чтобы понять структуру, моему отцу просто стоит посетить YouTube и посмотреть некоторые из лучших матчей «Барселоны» с 2008 по 2012 год. В этих видео обычно присутствует Лионель Месси, который пробегает мимо запутавшихся защитников; его действия, несомненно, бросаются в глаза. Но Месси – это не то, на чем необходимо концентрироваться. Вместо этого загрузите видео, воспроизведите его в замедленном режиме и посмотрите, как его партнеры двигаются вокруг него. Как правило, он делает передачу Иньесте или Хави, а сам бежит вперед. Через секунду мяч снова оказывается перед ним. В построении своих лучших голов «Барселона» делает четыре-пять подобных передач. Нажмите на паузу в момент, когда Месси совершает передачу, и посмотрите на расположение его партнеров.

В верхней части рисунка 2.5 показан пример из матча Лиги чемпионов между «Барселоной» и чемпионом Греции «Панатинаикосом» в 2010 году. Мяч у Месси, который движется в сторону ворот; двое игроков «Панатинаикоса» выдвигаются на него. Треугольники передач показывают варианты. Хави находится прямо перед Месси, Иньеста – слева от него. Мы уже видим, что они заняли хорошие позиции, потому что могут получить прямую передачу. Но, посмотрев на зоны игроков в нижней части рисунка 2.5, мы начинаем видеть, насколько хороши эти позиции.

Рисунок 2.5. Позиции «Барселоны» за пределами штрафной площади «Панатинаикоса» за пять секунд до гола Месси. «Барселона» атакует снизу вверх. Их позиции отмечены серыми кругами, позиции игроков «Панатинаикоса» – незаштрихованные круги. Стрелки показывают, что два защитника бегут к Месси. Треугольники передач обозначены прямыми линиями между игроками (верхняя часть); зоны игроков обозначены пунктирными линиями (нижняя часть).

Оба защитника между Хави и Месси стоят на «ничейной» линии. Они устремляются к Месси, но уже слишком поздно – он легко отдает передачу между ними. Хави делает передачу в ответ, и вот спустя две секунды мяч снова у Месси. Сама по себе такая «стеночка» – элемент из школьного футбола. Но такая перепасовка стала возможной благодаря тому, что Хави, Иньеста и Месси врываются в зоны. Оппоненты остались стоять у границ этих зон. Они не могут решить, стоит ли им идти в отбор и пытаться накрыть принимающего.

Рисунок 2.6. Позиции игроков «Барселоны» за пределами штрафной площади «Панатинаикоса» за три секунды до гола Месси. Для объяснения символов см. рисунок 2.5.

Все происходит менее чем за две секунды. Когда мяч снова оказывается у Месси, расположение игроков уже выглядит так, как показано на рисунке 2.6. Два защитника бросаются на Месси, но уже слишком поздно. Педро, которого в момент паса Месси на Хави опекал защитник на углу штрафной, поднимается выше, создавая новую зону. Между игроками всего несколько метров, но Педро ушел от своего опекуна и теперь отлично располагается на срединной оси защиты соперника[17]17
  Испанец равноудален от всех защитников, которые находятся поблизости (прим. пер.).


[Закрыть]. Один из защитников находится на линии между Месси и Педро, второй на полпути между Педро и Хави, а третий застрял на углу между всеми тремя. Педро создал максимально возможную зону в минимально возможном пространстве. Месси пасует мяч на Педро, который сбрасывает его назад, – и Месси выходит один на один с вратарем. Вся эта цепочка передач занимает всего четыре секунды; еще через секунду мяч оказывается в сетке ворот. «Барселона» – три, «Панатинаикос» – один. «Барселона» на пути к пяти забитым голам.

Гари Линекер, возможно, назвал бы это блестящим движением, в то время как Алан Хансен отметил бы небрежную защиту «Панатинаикоса». Но на самом деле все, что произошло, – это основы геометрии. Греки изобрели математическое исследование формы и положения; футболисты «Барселоны» применили его на практике. Они освоили искусство создания пространства на краю штрафной площади. Большинство голов возникают не в результате гениальных действий или невнимательности обороны. Они являются результатом тщательного планирования того, как команда должна играть. Что бы мой отец ни думал, если в футбол играют правильно, голы становятся результатом конструкций, которые игроки создают вместе. Когда мы замедляем игру и смотрим на закономерности, мы можем понять, почему некоторые команды делают это настолько хорошо.

«Барселона» безусловно преподала грекам урок геометрии в 2010 году, но неужели игроки производят расчеты? Неужели Пеп Гвардиола сидел перед матчем с командой и проходил алгоритмы триангуляции и тесселяции? Насколько бы гениален ни был Гвардиола, я сомневаюсь, что он говорил Хави, Иньесте, Педро и Месси создавать триангуляцию Делоне, чтобы соперник лежал на краях двойной диаграммы Вороного. Все четверо окончили футбольную академию «Барселоны», которая называется «Ла Масия». Академия всемирно известна своим футбольным образованием, но не включает в себя бакалавриат в области вычислительной геометрии. Тем не менее именно такие формы и структуры создает команда. «Барселона» использует продвинутую геометрию.

Чтобы использовать геометрию, не обязательно ее понимать. Стаи рыб также «используют» широкий диапазон геометрических форм. При путешествиях на большие расстояния косяк кефали принимает продолговатую форму, располагаясь более плотно спереди. Сардины, когда на них нападают, образуют вращающиеся шары, которые вытягиваются прочь от пасти голодных парусников и других хищников. Но создание эффективных и красивых коллективных узоров не означает, что рыба поняла математическое устройство этих фигур. Маловероятно, что они хотя бы поняли, какую форму они создают в любой конкретный момент времени. Рыба в середине вращающегося косяка просто видит уйму рыбы, которая плывет вперед. Она не может сказать, насколько велик косяк, в котором она находится; она даже не узнает, что они двигаются по кругу.

Рыба просто следит за несколькими соседями и действует естественным образом. Вместо того чтобы говорить «Пойдем по кругу» или «Давайте образуем продолговатую форму», рыба следует простым правилам плавания. Они, как правило, реагируют на движения небольшого количества других ближайших к ним рыб прежде всего в поле их зрения. Они корректируют свою скорость, чтобы держаться в группе: замедляются, чтобы избежать столкновений, и ускоряются, чтобы не отставать. Когда одна рыба внезапно меняет направление, соседи следуют за ней. При исследовании изучают эти взаимодействия, и часто обнаруживается, что они проще, чем кажутся на первый взгляд[18]18
  Для обзора см. Sumpter, D. J. The modelling cycle for collective animal behaviour. – Interface Focus 2(6), 2012. – p. 764–773.


[Закрыть]. Простые изменения скорости и реагирование на расположение работают эффективнее, чем сложные решения, включающие в себя расчет позиций всех соседей.

Простые правила, принятые рыбами, дают нам отправную точку для размышлений об организации в футболе. Человеческий мозг не обязательно работает лучше мозга рыбы, когда речь заходит о наблюдении за тем, как другие объекты движутся вокруг нас. Мы можем пристально следить лишь за несколькими фигурами, и чем быстрее перемещаются предметы, тем меньше мы можем держать их в фокусе[19]19
  Alvarez, G. A. & Franconeri, S. L. How many objects can you track? Evidence for a resource-limited attentive tracking mechanism. – Journal of Vision 7(13) – п. 14.1–14.10.


[Закрыть]. Таким образом, в то время как футболисты могут быстро реагировать на изменения на поле, они не способны рассчитать точное расположение команды. Когда защитники создают положение «вне игры», они должны следить за своими партнерами и нападающими соперника. Но невозможно при этом знать расположение всех двадцати двух футболистов и мяча.

Вместо этого игроки должны принять простые правила для взаимодействия со своими товарищами по команде. Они должны знать, когда ускоряться и замедляться, а также как использовать пространство и реагировать на движение партнеров по команде. Точно так же, как естественный отбор отточил взаимодействие рыб, тысячи часов были потрачены футболистами на тренировочном поле, чтобы отточить движение на поле. Бывший тренер «Аякса» и «Барселоны» Ринус Михелс подчеркивал, что тренировка только отыгрыша в «стеночку» и ударов не развивает того мастерства, которое показал Месси в момент передач на Хави и Педро. Вместо этого тренеры должны отрабатывать упражнения, которые учат игроков «мгновенно распознавать, когда ситуация требует такого отыгрыша с партнером»[20]20
  Michels, R. 2001. Teambuilding: The Road to Success – Reedswain Publishing, Spring City, PA, 2001. – p. 88


[Закрыть]. Эти упражнения развивают чувство игры, чтобы следующий шаг давался легко.

Когда Месси побежал к воротам «Панатинаикоса», Хави, Иньеста и Педро не начали вычислять тесселяции и триангуляции защиты. Вероятно, они вообще не задумывались о том, что делают. Футболисты применили простое правило: они должны открываться в свободные зоны и делать передачу точно в ноги. Теперь, в послематчевом анализе, я могу восхищаться математическими закономерностями сети передач, которую они создали, но это стало результатом принятого ими стиля игры. Так же как внезапное уклонение косяка рыбы от хищника происходит в результате движений отдельной рыбы, так и забитый мяч становится следствием простого набора движений, выполняемых игроками.

Гол Месси и многие другие, подобные ему, выходят из свода правил, изложенных намного раньше. Когда «Барселона» скопировала академию «Аякса» и основала «Ла Масию», она внедрила систему, испытанную не только в Амстердаме, но и миллионами лет эволюции. Слизевики освоили треугольники, а рыба овладела мастерством изменения скорости и использования пространства. «Барселона» хотела обучить игроков, которые могли овладеть всеми этими навыками. «Ла Масия» не должна была обучать их продвинутой геометрии – просто нужно было убедиться, что у детей верные правила движения. Эти нормы были установлены на тренировочном поле: их обучали делать передачу и двигаться, крутить и разворачивать. Когда Месси оказался вблизи штрафной с девятью игроками «Панатинаикоса» между ним и воротами, ему не нужно было думать. Он просто исполнил то, что для него было самым простым и естественным движением в мире.