Текст книги "Я – странная петля"

Но не все наблюдатели Столкновениума наслаждаются роскошной возможностью перепрыгивать туда-сюда между этими двумя сильно расходящимися точками зрения. Не все думающие создания понимают Столкновениум хотя бы в первом приближении так ясно и полно, как я описал его в Главе 3. Божественная точка зрения попросту недоступна для наблюдателей; в самом деле, некоторые наблюдатели Столкновениума совершенно не подозревают даже о том, что такая точка зрения вообще может существовать. Я сейчас думаю конкретно об одном избранном, особо уполномоченном наблюдателе Столкновениума, и это сам Столкновениум.

Когда Столкновениум пытается постичь собственную природу, особенно когда он «растет» и только знакомится с самим собой – задолго до того, как он станет ученым, изучающим математику и физику (и, возможно, когда-нибудь также почетную науку Столкновениумологию), – ему известно только о симмболической активности, а о бурлении на уровне симмов – нет. В конце концов, как мы с вами знаем (но он не знает), Столкновениум воспринимает все фантастически грубо и упрощенно (небольшим набором симмболов, которые запускаются совместно от сильнейшей бури сталкивающихся сигналов) – и его самовосприятие не является исключением.

У юного и невинного Столкновениума нет ни малейшего подозрения, что за кулисами, глубоко внизу, на каком-то скрытом микроуровне, в нем разворачивается кипящая и бурлящая деятельность симмов. Он ни разу не заподозрил существование, даже в теории, какой-то альтернативной точки зрения на свою природу и поведение. Более того, этот молодой Столкновениум напоминает мне юного меня, как раз перед тем, как я прочел книги о человеческом мозге, одну за авторством Пфайффера, другую – Пенфилда и Робертса; книги, которые так меня обеспокоили и так разожгли мое воображение. Юный и идеалистический Столкновениум очень похож на наивного подростка Дуга, как раз перед тем, как он начал поглядывать мельком на необычайную жуть того, что происходит в кромешном мраке, днем и ночью, в каждом человеческом мозге.

Итак, в донаучное понимание Столкновениумом самого себя накрепко, как гранитный шар, встроено ощущение себя как создания, которое движимо исключительно мыслями и идеями; его видение себя бесконечно далеко от видения, в котором он является громадной механистической сущностью, чья судьба полностью предопределена миллиардами невидимых, носящихся туда-сюда и сталкивающихся друг с другом микрообъектов. Вместо этого наивный Столкновениум невозмутимо заявляет о себе: «Я движим исключительно сам собой, а вовсе не какими-то там физическими объектами».

Что за штука тогда это «Я», которое Столкновениум утверждает движущей силой своих выборов и действий, которую люди точно так же утверждают движущей силой своих? Никто не удивится, если я на этом моменте заявлю, что это особый тип абстрактной, запертой петли, размещенной внутри Столкновениума или черепа – собственно странной петли. И, стало быть, чтобы ясно изложить мое утверждение о том, что составляет «Я», нужно обстоятельно объяснить, что я имею в виду под «странной петлей». И, раз мы только что завершили Главу 7 книги «Я – странная петля», время пришло!

Глава 8. Отправляясь на сафари в странную петлю

Я уже описал в Главе 4, насколько меня в детстве завораживал дерзкий способ закрывать картонные коробки, складывая четыре их створки по кругу, одну под другую. Последнюю запретную створку я всегда закрывал с дрожью удовольствия (слегка вздрагиваю от этого и по сей день), чувствуя, что отчаянно флиртую с парадоксальностью. Впрочем, нужно ли говорить, что настоящий парадокс так и не был достигнут.

Близкий родственник этой «картонной петли» – «коленная петля», представленная на соседней странице. Вот он я, с широкой улыбкой (назову себя A), в самом центре Антерсельва-ди-Меццо сижу на коленях молодой девушки (B), которая тоже улыбается, и B сидит на коленях у C, C на коленях у D и так далее, пока круг не замкнул K, оказавшись на коленях у меня. Мы сидим по кругу друг у друга на коленях и не падаем. Если вы никогда не играли в эту игру, предлагаю вам попробовать. Можно почувствовать себя изрядно озадаченным, думая о том, откуда взялась эта петля.

Как и картонная петля, эта петля слегка касается парадоксальности, поскольку каждый из ее одиннадцати коленных каскадов накладывается поверх предыдущего, но раз коленная петля может быть воплощена в физическом мире, очевидно, что она не может являть собой истинный парадокс. И все же, когда я играл роль «A» в этой коленной петле, мне казалось, что я пусть косвенно, но сижу на своих собственных коленях! Это ощущение было чрезвычайно странным.

И все же, когда я говорю «странная петля», у меня на уме что-то другое – менее конкретное, более иллюзорное. Под «странной петлей» я подразумеваю – по крайней мере, в первом приближении – не физический круговой оборот, а абстрактную петлю, в круговой последовательности этапов которой есть сдвиг с одного уровня абстракции (или структуры) на другой, который ощущается как шаг вверх по иерархии, и все же каким-то образом последовательные шаги «вверх» создают замкнутый круг. То есть несмотря на ощущение, что мы удаляемся все дальше от начала, к нашему собственному смятению, мы обнаруживаем, что оказались в точности там же, откуда мы начинали. Короче говоря, странная петля – это парадоксальная, перескакивающая с уровня на уровень петля обратной связи.

Одним из самых каноничных (и, как ни печально это признавать, изрядно затасканных) примеров является литография М. К. Эшера «Рисующие руки» (Drawing hands[13]13
  Это словосочетание содержит двусмысленность, поскольку может быть переведено не только как «рисующие руки», но и как «рисуя руки», то есть руки одновременно играют роль и художника, и рисунка. – Прим. перев.


[Закрыть]), на которой (смотря откуда вы начали) можно увидеть, как правая рука рисует изображение левой (пока ничего парадоксального), а левая рука, в свою очередь, рисует правую (и тут внезапно это становится глубоким парадоксом).

Здесь абстрактным сдвигом в уровнях становится скачок вверх от рисуемого к рисунку (или, что то же самое, от картины к художнику), так как последний во многих интуитивных смыслах «выше» первого. Для начала, рисующий всегда разумное, подвижное существо, тогда как рисунок – это застывшее, неподвижное изображение (возможно, неодушевленного объекта, возможно, живого существа, но в любом случае статичное). Во-вторых, рисующий трехмерен, тогда как рисунок двумерен. И в-третьих, художник выбирает, что ему нарисовать, тогда как рисунок не имеет права голоса. По крайней мере, в этих трех смыслах скачок от рисунка к рисующему ощущается как скачок «вверх».

Как мы только что установили, скачок от нарисованной картины к рисующему по определению резкий, заметный и направлен вверх – и все же в «Рисующих руках» это правило направленности вверх резко и явно нарушается, так как каждая из рук иерархически «выше» другой! Как это возможно? Что ж, ответ очевиден: все это лишь рисунок, всего лишь фантазия. Но поскольку он выглядит так реалистично, поскольку он так успешно затягивает нас в свой парадоксальный мир, он дурачит нас, хотя бы ненадолго заставляя поверить в собственную реальность. И более того, мы с удовольствием поддаемся этому обману, несмотря на популярность картины.

Абстрактная структура «Рисующих рук» являла бы собой прекрасный пример истинной странной петли, если бы не один маленький дефект – то, что, как нам кажется, мы видим, не истинно; это подделка! Конечно, она нарисована так безукоризненно, что нам кажется, что мы видим форменный, чистой воды, самый что ни на есть парадокс, – но эта убежденность возникает внутри нас только благодаря тому, что мы придержали свое недоверие и мысленно соскользнули в соблазнительный мир Эшера. Мы все, хотя бы на мгновение, попались на удочку иллюзии.

Так существует ли истинная странная петля – парадоксальная структура, которая тем не менее, несомненно, находится в мире, в котором мы живем, – или так называемые странные петли лишь иллюзии, которые едва соприкасаются с парадоксом, всегда лишь фантазии, которые только заигрывают с ним, всегда лишь очаровательные пузыри, которые неизбежно лопаются, стоит подойти к ним слишком близко?

Что ж, как насчет обратной видеосвязи, нашей давней знакомой, в качестве кандидата в странные петли? Увы, хоть этот современный феномен очень петлеобразен и заигрывает с бесконечностью, в нем нет ни капли парадоксальности – как и в его более простой старшей сестре, обратной аудиосвязи. Конечно, если вы направите видеокамеру прямо на экран (или поднесете микрофон прямо к динамику), у вас возникнет странное чувство, будто вы играете с огнем, не только потому, что вы нарушили как будто бы естественную иерархию, но и потому, что вы как будто бы создали настоящий бесконечный регресс, – но стоит задуматься об этом, и вы поймете, что, во-первых, никакой железной иерархии там не было вовсе, да и будто-бы-бесконечность не была достигнута; тут-то пузырь и лопается. Так что хотя петли обратной связи подобного рода – это, бесспорно, петли, но, несмотря на то, что они и выглядят немного странными, они не являются членами категории «странная петля».

К счастью, неиллюзорные странные петли существуют. Я говорю «к счастью», потому что тезис книги в том, что мы сами – не наши тела, но наши личности – являемся странными петлями, и если бы все странные петли были бы иллюзиями, то и мы были бы иллюзиями, а это было бы очень печально. Так что, к счастью, некоторые странные петли существуют в реальном мире.

С другой стороны, нельзя так запросто выставить одну из них на всеобщее обозрение. Странные петли стеснительные создания, они стремятся избегать дневного света. Типичный пример этого феномена был, в общем-то, впервые открыт Куртом Гёделем в 1930 году, он нашел его притаившимся в мрачной, суровой, как будто бы защищенной от парадоксов крепости теории типов Бертрана Рассела.

Что делал 24-летний австрийский логик, рыская по этой строгой и неприступной британской цитадели? Его завораживали парадоксы, и хотя он знал, что Рассел и Уайтхед наверняка вытурили их, он все же интуитивно чувствовал, что в невероятно богатой и гибкой природе чисел скрывалось некое стремление позволить парадоксам расцвести даже в самой засушливой пустыне, даже в самом стерильном гранитном дворце. Подозрения Гёделя возникли из-за избытка парадоксов, которые недавно совсем по-новому заставили взглянуть на числа, и он был убежден, что за этими затейливыми играми стояло что-то значимое, пусть некоторые люди и утверждали, что знают способы сгладить остроту положения.

Один из этих причудливых парадоксов сочинил оксфордский библиотекарь по имени Дж. Дж. Берри в 1904 году, за два года до рождения Гёделя. Берри заинтересовался скрытыми возможностями словесного описания чисел. Он заметил, что, если достаточно тщательно поискать, можно найти довольно краткое описание любого целого числа. Например, число 7 можно назвать одним слогом, число 343 тремя слогами («семь в третьей»), число 1 000 010 можно назвать пятью слогами («миллион десять») и так далее. Каким минимальным количеством слогов вы сможете описать число 1737?

В целом можно подумать, что чем больше число, тем длиннее должно быть его описание, но все зависит от того, насколько просто описать число при помощи «примечательных» целых чисел – этих редких чисел, которые обладают исключительно короткими именами или описаниями вроде крайне экономного шестисложного описания «десять в триллионной». Конечно, в основном большие числа не являются ни примечательными, ни их соседями. В самом деле, по большей части числа «сумрачные» и допускают только очень длинные и сложные описания, так как они попросту «трудно описуемые», как дальний аванпост, расположенный в самой глубинке, куда можно добраться только по множеству узких проселочных дорог, которые становятся тем уже и ухабистее, чем ближе вы подходите к цели.

Рассмотрим 777 777, стандартное название которого «семьсот семьдесят семь тысяч семьсот семьдесят семь» достаточно длинное – 14 слогов. Но у этого числа есть и более короткое описание: «777 на 1001» («семьсот семьдесят семь на тысячу один»), а это 12 слогов. Экономия!

Постаравшись, мы можем придумать кучу разных выражений, которые обозначают число 777 777, и некоторые из них могут содержать очень мало слогов. Как насчет «трижды тридцать семь на тысячу один»? Получим 11 слогов! А как насчет «7007 на 111» («семь тысяч семь на сто одиннадцать»)? 10 слогов! А что насчет «число из шести семерок в ряд»? Всего 9! Насколько сильно мы можем сжать описание этого числа? Ответ вовсе не прозрачен, поскольку 777 777, вероятно, имеет некоторое неочевидное арифметическое свойство, которое позволяет его выразить очень емко. Это описание может даже ссылаться на примечательные числа, куда большие, чем 777 777!

Библиотекарь Берри, размышляя о неочевидной задаче поиска все более коротких описаний, придумал дьявольское определение одного очень особенного числа, которое в его честь я окрестил b: число b является наименьшим натуральным числом, описание которого на английском языке требует хотя бы тридцать слогов. Иными словами, b невозможно в точности описать менее чем тридцатью слогами. И раз уж для его описания требуется такое огромное количество слогов, мы знаем, что b должно быть огромным числом. Насколько большим приблизительно может быть b?

Любое огромное число, которое вы встретите в газете, журнале, астрономическом или физическом тексте, почти наверняка может быть описано дюжиной слогов, самое большее двадцатью. Например, число Авогадро (6 × 10²³) может быть описано очень лаконично («шесть на десять в двадцать третьей» – всего восемь слогов). Не так-то просто будет найти настолько громадное число, для описания которого, как бы вы ни старались, потребуется как минимум тридцать слогов.

В любом случае число Берри b по определению первое такое натуральное число, которое невозможно уварить до менее чем тридцати слогов нашего языка. Это – я повторю, выделив фразу курсивом, – наименьшее целое число, описание которого требует хотя бы тридцать слогов. Но погодите-ка! Сколько слогов содержит моя курсивная фраза? Подсчитаем их – 29. Нам как-то удалось описать b меньшим количеством слогов, чем допускает его определение. Более того, курсивная фраза не просто «как-то» описывает b; это и есть его определение! Так что идея о существовании b гадким образом подрывает сама себя. Что-то очень странное тут происходит.

Так получилось, что некоторые распространенные слова в языке обладают общим саморазрушительным свойством. Возьмем, к примеру, прилагательное «неописуемый». Если я скажу: «Их дом был неописуемым», после этой фразы у вас точно возникнет некий визуальный образ – хотя (или, скорее, именно поскольку) это прилагательное предполагает, что никакое описание для него не подходит. Еще более странно будет сказать: «Шины грузовика были неописуемо огромными», или: «Не могу передать, как я благодарен вам за вашу доброту». Это саморазрушительное качество странным образом имеет ключевое значение для коммуникации.

Существует также «младшая версия» парадокса Берри, изобретенная несколько десятилетий спустя, которая работает следующим образом. Некоторые натуральные числа интересны. Число 0 интересно, поскольку умножение любого числа на 0 дает 0. Число 1 интересно, поскольку умножение 1 на любое число оставляет его неизменным. Число 2 интересно, поскольку это наименьшее четное число, а число 3 интересно, поскольку это число сторон простейшего двумерного многоугольника (треугольника). Число 4 интересно, поскольку это первое составное число. Число 5 интересно, поскольку (помимо прочего) это количество правильных трехмерных многогранников. Число 6 интересно, поскольку это факториал трех (3 × 2 × 1), а также третье треугольное число (3 + 2 + 1). Я могу продолжить перечисление, но суть вы уловили. Вопрос в том, когда нам попадется первое неинтересное число. Может, это 62? Или 1729? Что ж, каким бы оно ни было, это определенно интересное свойство числа! Так что 62 (или любой другой ваш числовой кандидат) все же оказывается интересным – интересным из-за своей неинтересности. Таким образом, идея «наименьшего неинтересного числа» ударяет по себе самой, и это определенно напоминает работающее против себя самого определение b, числа Берри.

От языковых вывертов подобного рода, как мы уже знаем, скрутило чувствительный желудок Бертрана Рассела, и все же, к его чести, никто иной, как Б. Рассел впервые опубликовал парадоксальное число b Дж. Дж. Берри. В его заметке об этом числе, опубликованной в 1906 году, в год рождения Гёделя (восемь слогов!), Рассел постарался отклонить острие этого парадокса, заявив, что он является иллюзией, возникшей из наивного злоупотребления словом «описываемый» в контексте математики. Употребление этого слова, заявлял Рассел, необходимо разложить в бесконечную иерархию разных типов описуемости – описаний на уровне 0, которые могут ссылаться только на понятия чистой арифметики; описаний на уровне 1, которые могут использовать арифметику, а также ссылаться на описания уровня 0; описаний на уровне 2, которые могут ссылаться на арифметику, а также на описания уровней 0 и 1; и так далее, и тому подобное. Таким образом, идея «описуемости», не сведенная к определенному иерархическому уровню, являлась химерой, объявил Рассел, убежденный, что открыл глубокую новую истину. И с помощью этого новейшего типа теории (новейшей теории типов), заявил он, удалось привить иммунитет бесценному, нежному миру строгой доказуемости от уродливой, тошнотворной чумы Берри-Берри.

Хотя я согласен с Расселом, что в парадоксе Берри происходит что-то сомнительное, я расхожусь с ним во мнении, что именно. Слабое место, на котором сосредоточен я, заключается в том, что английский язык – безнадежно неточное средство для формулирования математических утверждений; его слова и фразы слишком размыты. То, что сперва кажется точным, оказывается исполненным двусмысленностей. Например, выражение «девять в кубе плюс сорок восемь, на десять в кубе плюс один», которое тоже является одним из описаний вышеупомянутого числа 777 777, на деле двусмысленно – его, например, можно истолковать как произведение 777 и 1000 с единицей на конце, что равняется 777 001.

Но некоторая двусмысленность здесь – лишь верхушка айсберга. Суть дела в том, что крайне неясно, какого рода английские выражения считаются описанием чисел. Взгляните на следующие фразы, которые подразумеваются как описание некоторых конкретных натуральных чисел:

• количество различных языков, на которых когда-либо говорили на земле;

• количество твердых тел в Солнечной системе;

• количество различных магических квадратов размером 4 на 4;

• количество интересных натуральных чисел меньше 100.

Что с ними не так? Что ж, в каждой из них фигурирует недостаточно определенное понятие.

Что, например, подразумевается под «языком»? Является ли языком язык жестов? На нем «говорят»? Есть ли четкая граница между языками и диалектами? Сколькими «различными языками» выстлан путь от латыни до итальянского? На скольких «различных языках» говорили со времен неандертальцев до латыни? Является ли языком церковная латынь? А поросячья латынь? Даже если бы у нас были видеозаписи каждого человеческого высказывания за миллионы лет существования земли, идея объективно соотнести каждое с определенным «официальным» языком, затем отделить друг от друга все «по-настоящему различные» языки и, наконец, подсчитать их была бы по-прежнему абсурдной несбыточной мечтой. Идея посчитать все «предметы» в мусорном баке уже достаточно бессмысленна, что уж говорить о подсчете всех языков за все времена!

Продолжая мысль, что считается «твердым телом»? Считаются ли искусственные спутники? А случайные и неприкаянные обломки, оставленные астронавтами? Считается ли каждый астероид? Все до единого камушки, болтающиеся в кольцах Сатурна? Как насчет крупинок пыли? Как насчет отдельных атомов, болтающихся в открытом космосе? Где заканчивается Солнечная система? И так далее, до бесконечности.

Вы можете возразить: «Но это не математические понятия! Идея Берри была в том, чтобы использовать математические определения натуральных чисел». Хорошо, но покажите мне четкую границу между математикой и остальным миром. Определение Берри опирается, например, на размытое понятие «подсчета слогов». Сколько слогов в словах «декабрь», «кентавр», «смысл», «монокль», «аутодафе»? Впрочем, не важно; допустим, мы установили строгий и объективный способ подсчета слогов. И все же, что считается «математическим понятием»? Действительно ли математическая дисциплина определена так четко? Например, каково точное определение понятия «магический квадрат»? Разные авторы определяют его по-разному. Необходимо ли провести опрос математического сообщества? И если да, кто же считается членом этого туманного сообщества?

Что насчет туманного понятия «интересных чисел»? Можем ли мы дать ему какое-то математическое уточнение? Как вы видели выше, причины для того, чтобы назвать число «интересным», могут касаться геометрии и прочих разделов математики – но, опять же, где лежат границы математики? Является ли разделом математики теория игр? Что насчет медицинской статистики? Что насчет теории о закручивании усиков растений? И так далее, и так далее.

Итак, идея об «англоязычном определении натурального числа» обернулась непроходимым болотом, и изворотливое определение Берри числа b, в той же степени, что и изворотливая идея Эшера о двух руках, рисующих друг друга, оказалось плодом гениального воображения, а не настоящей странной петлей. Очередной многообещающий кандидат в странные петли улетел в трубу!

Хотя в этом коротком отступлении я выставил идею Берри 1904 года в наивном свете, я должен обратить внимание, что шестьдесят лет спустя молодой математик Грег Чайтин, вдохновленный идеей Берри, использовав компьютерные программы вместо определений на английском языке, придумал ее более точно определенную сестру, и этот умный ход повлек за собой радикально новое доказательство и радикально новый взгляд на теорему Гёделя 1931 года. Продолжив с новой позиции, Чайтин и другие стали развивать важную новую ветвь математики, известную как «алгоритмическая теория информации». Мы уйдем сильно в сторону, если погрузимся в нее, но, надеюсь, я сумел передать, насколько плодотворным было наблюдение Берри, послужившее почвой для революционных идей Гёделя.