Текст книги "Я – странная петля"

Попытка Бертрана Рассела вставить палки в колеса парадоксальной конструкции Берри, установив формализм, исключающий все самореферентные лингвистические высказывания и самосодержащие множества, была не только опрометчивой, но и ошибочной. Как же так? Что ж, одна моя подруга недавно рассказала мне о запрете в стиле Рассела, установленном одной ее подругой, молодой и идеалистичной мамой. Эта женщина, исходя из лучших побуждений, строго-настрого запретила в доме игрушечные пистолеты. Какое-то время запрет работал, пока однажды она не сделала своему сыну сэндвич с арахисовым маслом. Парень быстро обгрыз его в форме пистолета, взял его и, направив на маму, закричал: «Пау-пау! Мам, ты умерла!» Этот иронический анекдот служит иллюстрацией к важному уроку: среда, которая остается после всех ваших жестких запретов, может оказаться достаточно гибкой для того, чтобы вылепить именно те вещи, которые вы запретили.

И правда, то, что Рассел отстранил Берри, возымело очень слабый эффект, поскольку в интеллектуальной сутолоке тех дней, на стыке столетий, изобреталось (или раскапывалось) все больше и больше парадоксов. В воздухе висело ощущение, что могут случиться поистине необыкновенные вещи, и современные потомки разных древних парадоксов всплывали в строго логичном мире чисел, в мире, в котором ничего подобного раньше не случалось, в первозданном раю, появление парадоксов в котором никому и не снилось.

Хотя эти новые виды парадоксов как будто нападали на прекрасный, священный мир доказательств и чисел (или, скорее, из-за этого тревожного ощущения), очень немногие математики смело отправились на поиски еще более глубоких и более волнующих парадоксов – то есть на поиски еще более серьезных угроз самим основам их собственной научной дисциплины! Это звучит как странная затея, но они верили, что в перспективе их поиски станут целительными для математики, поскольку выявят ее ключевые слабые места, покажут, какие из пошатнувшихся основ следует укрепить, чтобы они стали незыблемыми. Короче говоря, поглубже нырнуть в новую волну парадоксов было полезным, если не обязательным занятием для всех, кто работал с основами математики, поскольку новые парадоксы ставили важнейшие вопросы о природе доказательств – и, таким образом, об ускользающей природе мышления, – и, таким образом, о загадочной природе самого человеческого ума.

Как я упомянул в Главе 4, в возрасте четырнадцати лет я наткнулся на маленькое сокровище Эрнста Нагеля и Джеймса Р. Ньюмана – «Доказательство Гёделя», – и оно околдовало меня почти парадоксальными идеями, вокруг которых была сосредоточена работа Гёделя. Одна из страннейших петель того периода моей жизни заключалась в том, что как раз в то время я познакомился с семьей Нагелей. Они жили в Манхэттене, но 1959–1960 учебный год они проводили «на западе», в Стэнфорде, и поскольку Эрнест Нагель и мой отец были хорошими друзьями, вскоре я познакомился со всей их семьей. Почти сразу после окончания стэнфордского года Нагелей я имел затейливое удовольствие прочесть «Доказательство Гёделя» целиком и вслух моему другу Сэнди, их старшему сыну, в полном зелени дворе их загородного дома, среди мягких холмов близ Браттлборо, штат Вермонт. Сэнди был моим ровесником, и мы оба исследовали математику с исступленным, знакомым только подросткам упоением.

Отчасти меня так неистово привлекала странная петлеобразность, лежащая в основе работы Гёделя. Но за другой частью моего неистового любопытства стояло чувство, что настоящим предметом исследования Гёделя, как и многих людей, которых он вдохновил, была загадка человеческого сознания и механизмы человеческого мышления. Казалось, своей статьей 1931 года Гёдель внезапно и резко вытащил на свет так много вопросов – вопросов вроде…

Что происходит в головах математиков, когда они делают свою самую творческую работу? Всегда ли это лишь оговоренные правилами манипуляции с символами, выведение теорем из ограниченного набора аксиом? Какова природа человеческого мышления вообще? То, что происходит в наших головах, лишь детерминистский физический процесс? Если так, значит ли это, что все мы, даже сколь угодно выдающиеся и «не такие, как все», лишь рабы строгих законов, управляющих невидимыми частицами, из которых сделаны наши мозги? Может ли творчество возникнуть из набора строгих правил, управляющих мизерными объектами или числовыми паттернами? Может ли машина, работающая по правилам, быть такой же творческой, как человек? Может ли запрограммированная машина придумывать идеи, не запрограммированные в ней заранее? Может ли машина принимать собственные решения? Иметь собственные мнения? Быть сбитой с толку? Знать, что она сбита с толку? Сомневаться в том, что она сбита с толку? Верить в собственную свободу воли? Верить в то, что свободы воли у нее нет? Быть осознанной? Сомневаться в собственной осознанности? Иметь самость, душу, «Я»? Считать, что ее горячая вера в собственное «Я» лишь иллюзия, но иллюзия неизбежная?

В безрассудные дни моей юности, каждый раз, когда я заходил в университетский книжный магазин (а это случалось так часто, как только возможно), я немедленно устремлялся в математическую секцию и прочесывал все книги, имеющие отношение к символической логике и природе символов и смыслов. Так и получилось, что на эти темы я покупал книгу за книгой, вроде известной, но устрашающей книги Рудольфа Карнапа «Логический синтаксис языка» (The Logical Syntax of Language) и книги Ричарда Мартина «Истина и обозначение» (Truth and Denotation), не говоря уже о бесчисленных текстах по символической логике. Пока я очень внимательно читал некоторые из них, тома Карнапа и Мартина стояли на моей полке, насмехаясь надо мной и дразня, как будто совершенно недосягаемые. Они были трудными, почти что непроницаемыми, но я продолжал думать о том, что если однажды, в один великий день я все же смогу их прочесть и полностью постичь, я наконец-то смогу проникнуть в самую суть загадки мышления, смысла, творчества и сознания. С высоты нынешних дней это звучит до смешного наивно (во-первых, воображать, что это достижимая цель, а во-вторых, верить, что именно эти книги заключают в себе все секреты), но в то время я искренне в это верил!

В шестнадцать лет я получил необычный опыт преподавания символической логики в Стэнфордской младшей школе (моей собственной младшей альма-матер), опираясь на новейшие материалы философа и педагога Патрика Суппеса, который, как оказалось, жил на одной улице с моей семьей и чье классическое «Введение в логику» (Introduction to Logic) стало одним из моих самых надежных проводников. Суппес проводил эксперимент, чтобы понять, можно ли привить детям паттерны строгих логических заключений тем же путем, что и арифметику, и однажды директор школы, который хорошо меня знал с тех пор, как я сам был учеником, столкнувшись со мной в холле школы, спросил, не хочу ли я вести у шестиклассников (среди которых была и моя сестра Лора) символическую логику трижды в неделю на протяжении целого года. Я ухватился за эту возможность, и весь год я невероятно наслаждался ею, несмотря на то что некоторые из ребят порой доставляли мне хлопот (резинки в глаз и проч.). Я научил свой класс использовать многие правила логического вывода, включая благозвучное modus tollendo tollens – рассуждение от противного, и впечатляюще звучащий «гипотетический силлогизм»; и все это время я оттачивал свое мастерство не только как начинающий логик, но и как учитель.

Страстью, которая мной управляла, было жгучее желание сорвать покровы с тайны процесса человеческого мышления, прийти к пониманию того, как это возможно, что триллионы безмолвных, синхронных вспышек, ежесекундно происходящих внутри человеческого черепа, позволяют человеку думать, воспринимать, помнить, воображать, создавать и чувствовать. Примерно в то же время я читал книги о мозге, изучал несколько иностранных языков, исследовал экзотические системы письменности разных стран, изобретал способы заставить компьютер генерировать грамматически сложные и псевдоосмысленные предложения на английском и других языках и слушал удивительно мотивирующий курс психологии. Все эти различные пути сводились к плотной туманности вопросов об отношении между умом и механизмом, между ментальностью и механистичностью.

Тогда, в моем взрослеющем уме, наука о паттернах (математика) и наука о парадоксах (метаматематика) были хитро переплетены между собой. Каким-то образом я был убежден, что все загадочные тайны, поглотившие мое внимание, станут кристально понятными, как только я в совершенстве овладею этими двумя переплетенными дисциплинами. И, хотя на протяжении пары следующих десятилетий я потерял практически всю веру в то, что эти дисциплины содержат (пусть даже неявно) ответы на все эти вопросы, единственным, что я не терял никогда, было интуитивное чутье, что у самого сердца извечной загадки «Что такое Я?» крутился бесплотный вихрь тщательно выстроенной Гёделем петли.

Неспроста в этой книге, хотя я движим в основном вопросами о сознании и самости, мне пришлось посвятить несколько страниц фону, необходимому для (очень грубого) понимания идей Гёделя – а именно теории чисел и логике. Конечно, в обоих случаях доза не будет слишком серьезной, но я должен выполнить хотя бы набросок того, о чем идет речь в этих сферах; в противном случае мы не сможем продолжить. Так что, пожалуйста, пристегните ремни, дорогой читатель. На протяжении следующих двух глав погода может нас слегка потрепать.

Удовлетворенно закончив эту главу, я вспомнил, что у меня есть две книги об «интересных числах» – «Пингвиний словарь любопытных и интересных чисел» (The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers) Дэвида Уэллса, автора и математика, которым я глубоко восхищаюсь, и «Замечательные числа» (Les Nombres remarquables) Франсуа Ле Лионне, одного из двух основателей знаменитого французского литературного движения Oulipo. Я смутно припоминаю, что в обеих этих книгах был представлен список «интересных чисел» в порядке возрастания, так что я решил проверить, какое первое натуральное число было пропущено в каждой из них.

Как я и подозревал, оба автора героически постарались включить все существующие натуральные числа, но неизбежно, по причине конечности человеческих знаний и человеческой смертности, в каждой из книг рано или поздно начинались пробелы. Первый пробел у Уэллса случился на числе 43, тогда как Ле Лионне продержался чуть дольше, до 49. Я лично был не слишком удивлен числом 43, но 49 показалось мне удивительным: в конце концов, это квадрат, что подразумевает хотя бы крупицу интереса. С другой стороны, я признаю, что квадраты после нескольких встреч с ними начинают слегка утомлять, так что отчасти я могу понять, почему одно лишь это свойство оказалось недостаточным для того, чтобы Ле Лионне включил 49 в итоговый список. Уэллс указал несколько интригующих свойств числа 49 (не упомянув о том, что это квадрат), и, напротив, Ле Лионне обратил внимание на несколько очень удивительных свойств числа 43.

Так что я решил найти наименьшее натуральное число, которое бы обе книги сочли полностью лишенным интереса, и этим числом оказалось 62. К слову, таков будет мой возраст, когда книга выйдет из печати. Может ли быть, что 62 в итоге все-таки интересно?

Глава 9. Паттерны и доказуемость

В начале XX века Бертран Рассел, вдохновленный максимой «Найди и изучи парадоксы; придумай и построй хорошо укрепленные стены, чтобы они не прошли!» (мои, не его слова), решил, что в «Принципах математики», в его новой, обнесенной валом крепости математических доказательств, ни одно множество не сможет включать самое себя и ни одно высказывание не сможет, обернувшись, говорить о самом себе. Эти похожие друг на друга запреты предназначались для того, чтобы уберечь «Принципы математики» от ловушки, в которую попадали другие, более наивные теории. Однако, когда Курт Гёдель поближе присмотрелся к тому, что я буду называть ПМ, – к формальной системе, применяемой в «Принципах математики» для рассуждения о множествах (и о числах, но они, определенные в терминах множеств, появились позже), – обнаружилось кое-что странное.

С вашего позволения, я слегка поясню разницу между «Принципами математики» и ПМ. Первая состоит из трех увесистых томов, тогда как ПМ состоит из набора четких правил по преобразованию символов; эти правила изложены и исследуются в глубинах книжных томов с использованием довольно мудреной системы обозначений (см. в конце этой главы). Аналогичная разница между массивным томом Исаака Ньютона под названием «Принципы»[16]16
  Principia, то есть «Начала». Автор имеет в виду «Математические начала натуральной философии». – Прим. науч. ред.


[Закрыть] и изложенными в нем законами механики.

Хотя понадобилось множество глав с выкладками и теоремами, прежде чем строго, с использованием точных правил по перестановке символов был продемонстрирован довольно непримечательный факт, что один плюс один равняется двум (что в системе обозначений ПМ записывается как «s0 + s0 = ss0», где буква s обозначает «следующий за»), Гёдель все же понял, что ПМ, будучи ужасно громоздкой, обладала невероятной мощью, когда речь заходила о целых числах – скорее даже, когда речь заходила о сколь угодно неявных свойствах целых чисел. (Кстати, словосочетание «сколь угодно неявные свойства» уже выдает весь секрет, хотя подсказка настолько завуалированная, что почти невозможно догадаться, на что намекают эти слова. Понадобился Гёдель, чтобы полностью разобраться.)

Например, как только в «Принципах математики» был введен теоретический аппарат по работе с множествами, достаточный, чтобы появились базовые арифметические понятия вроде сложения и умножения, в формальных терминах ПМ стало легко определять более интересные понятия, среди которых были «квадрат» (например, квадрат целого числа), «не квадрат», «простое число» и «составное число».

Теоретически мог бы существовать целый том «Принципов математики», полностью посвященный исследованию вопроса о том, какие натуральные числа являются суммой двух квадратов, а какие нет. Например, 41 является суммой 16 и 25, и существует бесконечно много прочих натуральных чисел, которые можно получить, сложив два квадрата. Назовем их членами Класса А. С другой стороны, 43 не является суммой никакой пары квадратов, и, соответственно, существует бесконечно много прочих натуральных чисел, которые нельзя получить, сложив два квадрата. Назовем их членами Класса B. (К какому классу относится 109? Что насчет 133?) Несмотря на деликатность задачи, полностью постичь эту элегантную дихотомию на множестве всех натуральных чисел исследователям теории чисел удалось задолго до рождения Гёделя.

Аналогично, можно вообразить еще один том «Принципов математики», полностью посвященный изучению вопроса, какие числа являются, а какие не являются суммой двух простых чисел. Например, 24 является суммой 5 и 19, тогда как 23 не является суммой какой-либо пары простых чисел. И, опять же, мы можем назвать эти два класса натуральных чисел Классом C и Классом D соответственно. В каждом классе бесконечное количество членов. Задача полностью постичь эту элегантную дихотомию на множестве всех натуральных чисел для специалистов по теории чисел представляется крайне сложной; и она по сей день не решена, хотя за два с лишним столетия с момента, как проблема была сформулирована впервые, ученые сильно продвинулись вперед.

Прежде чем мы возьмемся за неожиданное и поворотное осознание Гёделем ПМ, необходимо сперва сказать пару слов о глубокой радости от изучения паттернов, а затем о глубокой радости от понимания, что за ними стоит. Именно упорный поиск математиками ответа на вопрос «почему» и составляет в итоге природу их науки. Один из моих любимых фактов из теории чисел, надеюсь, послужит хорошим примером и немного вас развлечет.

Давайте зададимся достаточно простым вопросом о простых числах. Какие простые числа являются суммой двух квадратов (как, например, 41), а какие нет (как, например, 43)? Иными словами, давайте вернемся к Классам A и B, каждый из которых бесконечен, и спросим, какие простые числа к какому классу относятся. Возможно ли, что почти все простые числа относятся к одному из этих классов и лишь немногие к другому? Или пятьдесят на пятьдесят? В каждом ли из классов бесконечно много простых чисел? Если взять случайное простое число p, есть ли легкий и быстрый способ определить, к какому из классов p относится (не перебирая все возможные суммы квадратов, меньших, чем p)? Есть ли некая предсказуемая модель, в соответствии с которой числа распределяются по этим двум классам, или там царит беспорядочный хаос?

Некоторым читателям, возможно, кажется, что эти вопросы специфичны, более того, что браться за них неестественно, но математики по сути своей очень любопытные люди, и частенько их ужасно привлекает мысль о том, чтобы исследовать связи между понятиями, которые априори не кажутся взаимосвязанными вовсе (как, например, простые числа и квадраты). Часто случается, что находится неожиданная и тесная связь – некая безумная скрытая закономерность, с виду просто магическая, из-за открытия или разоблачения которой вдоль позвоночника иногда пробегает мистическая нервная дрожь. Я лично безо всякого стыда признаю свою невероятную восприимчивость к этим коктейлям из трепета, красоты, загадочности и неожиданности, изрядно щекочущим нервы.

Чтобы притереться к такого рода вещам, давайте возьмем список всех простых чисел до 100 – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 – между прочим, довольно беспорядочный и хаотичный список, – и перепишем его, выделяя те простые числа, которые являются суммой двух квадратов (то есть простые числа из Класса A), и оставляя нетронутыми те, которые не являются (простые числа из Класса B). Вот что мы получим:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…

Видите ли вы здесь что-нибудь интересное? Ну, по крайней мере, уже не выглядит неожиданным тот факт, что соревнование довольно равное? Почему так? Почему либо Класс A, либо Класс B не может доминировать? Возьмут ли простые числа Класса A или Класса B со временем верх или их приблизительный баланс будет продолжаться вечно? Чем дальше в бесконечность мы будем продвигаться, тем ближе будет баланс к точному соотношению пятьдесят на пятьдесят? Если так, почему сохраняется такой удивительный и деликатный баланс? Для меня в этом есть что-то невероятно манящее, так что я предлагаю вам посмотреть немного на этот пример – скажем, пару минут – и попытаться найти в нем какую-нибудь закономерность, прежде чем продолжать.

Итак, читатель, мы с вами снова встретились – надеюсь, после некоторых паттерновых поисков с вашей стороны. Скорее всего, вы заметили, что непреднамеренно и случайно (случайно ли?) после выделения наш список распался на одиночек и парочки. Уже обнаружилась скрытая связь?

Посмотрим на это еще немного. Жирным шрифтом выделены парочки 13–17, 37–41 и 89–97, тогда как не выделены 7-11, 19–23, 43–47, 67–71 и 79–83. Теперь предлагаю заменить все парочки буквой П, а все одиночки буквой О, сохраняя выделение, которое отличает Класс A от Класса B. Так мы получим следующую последовательность букв:

О, О, О, П, П, П, О, О, П, П, О, О, О, П, О, П, П…

Есть ли здесь некая закономерность или ее нет? Как вы думаете? Если мы оставим только буквы Класса A, получится так: ООПОПОООП; если же мы оставим только буквы Класса B, получится так: ОППОПОПП. Если тут и есть периодичность или какая-то менее очевидная ритмичность, ее трудно уловить. Ни в обычной строке, ни в жирной не бросается в глаза никакой предсказуемый паттерн, и в смеси из них тоже не видно ничего примечательного. Мы заподозрили баланс в распределении чисел по двум классам, но пока что совершенно неясно, откуда он мог бы взяться. Вызывающе, но досадно.

В этот момент я чувствую необходимость указать на различие между двумя классами людей, а не чисел. Есть те, кого мысль о поиске паттернов привлекает мгновенно, и те, кто сочтет его неинтересным, возможно, даже противным. Первые – это, по сути, те, у кого есть математические наклонности, а вторые – у кого их нет. Математики – это люди, которых в глубине души манит – а если честно, то с легкостью соблазняет, – необходимость найти паттерны там, где изначально кажется, что их нет. Именно страстные поиски порядка в кажущемся беспорядке подпитывают их пламя и разжигают в их душах огонь. Я надеюсь, что вы относитесь к этому классу людей, дорогой читатель, но даже если нет, прошу, потерпите еще немного.

Может казаться, что мы уже раскусили паттерн типов – а именно, что мы вечно будем натыкаться на одиночек и парочки. Даже если пока что мы не можем сказать, как будут разбросаны О-шки и П-шки, по крайней мере, похоже, что применение дихотомии «сумма-двух-квадратов vs не-сумма-двух-квадратов» к последовательности простых чисел разбивает ее на одиночек и парочки, а это уже невероятное открытие! Кто бы мог подумать?

К сожалению, я должен признать, что вожу вас за нос. Если мы просто добавим следующее простое число, а именно 101, в наш список, оно подорвет порядок, который мы как будто нашли. В конце концов, простое число 101, будучи суммой двух квадратов, 1 и 100, и потому принадлежащее к Классу A, должно быть напечатано жирным шрифтом, так что наша мнимая пара 89–97 оказывается жирной тройкой. Таким образом, наша обнадеживающая идея о последовательности из О-шек и П-шек пошла прахом.

Что в этот момент делает охотник за паттернами? Сдается? Конечно, нет! Потерпев неудачу, изворотливый охотник за паттернами всего лишь перегруппировывается. В самом деле, давайте воспользуемся подсказкой этого слова и попробуем перегруппировать последовательность простых чисел другим способом. Допустим, мы разделим эти два класса, расположив их на двух разных строках, и получим следующее:

Да – квадрат + квадрат: 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, …

Нет – квадрат + квадрат: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, …

Видите что-нибудь? Если нет, позвольте вам намекнуть. Что, если вы просто вычислите разность между соседними числами в каждой строке? Попробуйте сами – или, если вам очень лень, просто читайте дальше.

В верхней строке вы получите 3, 8, 4, 12, 8, 4, 12, 8, 12, 16, 8, 4, тогда как в нижней строке вы получите 4, 4, 8, 4, 8, 12, 4, 12, 8, 4, 8, 4. На этом этапе кое-что уже должно бросаться в глаза даже самому безразличному читателю: здесь не только явно преобладает несколько чисел (4, 8 и 12), но, кроме того, все эти натуральные числа делятся на 4. Похоже, что это уже больше, чем просто совпадение.

И самое большое число в обоих списках – 16 – также делится на 4. Будет ли этот новый паттерн – исключительно числа, кратные 4, – продолжаться вечно? (Конечно, в самом начале праздник нам портит «3», но мы можем списать это на то, что число 2 – единственное четное простое число. Ничего страшного.)