Текст книги "Я – странная петля"

Нескольких предыдущих строк обозначают веру в то, что этот паттерн не может быть просто совпадением. Обнаружив паттерн такого рода, математик инстинктивно спросит: «Почему? Какова причина этой закономерности?» Любой математик не только задастся вопросом, в чем причина, но, что более важно, каждый из них будет безоговорочно верить, что, найдись эта причина или нет, она должна быть. В мире математики ничто не происходит «случайно». Существование идеального паттерна, закономерности, которая продолжается вечно, свидетельствует о том, что что-то происходит за кадром – точно так же, как дым свидетельствует об огне. Математики считают своим священным долгом искать его, обнаруживать и предавать гласности.

Эта деятельность называется, как вы все знаете, «поиском доказательства», или, иначе говоря, превращением гипотезы в теорему. Покойный Пал Эрдёш, великий и эксцентричный венгерский математик, однажды бросил шутливое замечание, что «математик – это устройство, которое превращает кофе в теоремы», и хотя в его остроте определенно есть доля истины, было бы вернее сказать, что математики – это устройства, которые находят гипотезы и превращают их в теоремы.

В основе математического склада ума лежит непоколебимая вера в то, что если некоторое математическое утверждение X истинно, то у X есть доказательство, и наоборот. В самом деле, в сознании математика «иметь доказательство» – это не больше и не меньше, чем «быть истинным»! Симметрично, «быть ложным» означает «не иметь доказательства». Можно найти намеки на идеальный, бесконечный паттерн, произведя числовое исследование, как мы сделали выше, но как можно знать наверняка, что предполагаемая закономерность будет продолжаться вечно, не имея конца? Как, например, можно быть уверенным, что простых чисел бесконечно много? Откуда нам знать, что однажды не наступит последнее, Великое Простое Число P?

Если бы оно существовало, P было бы поистине важным и интересным числом, но если вы посмотрите на длинный список последовательно идущих простых чисел (список выше из простых чисел до 100 дает некоторое представление), вы увидите, что, хотя их ритм слегка «ухабистый», со странными пробелами тут и там, эти пробелы между простыми числами всегда довольно малы по сравнению с самими числами. Учитывая эту весьма явную тенденцию, если бы простые числа внезапно закончились, было бы ощущение, что мы безо всяких предупреждений свалились с края Земли. Это было бы огромным потрясением. И все же, откуда нам знать, что этого не случится? И можем ли мы это узнать? Здорово обнаруживать при помощи компьютера, что новые простые числа продолжают появляться вплоть до миллиардов и триллионов, но это не дает железной гарантии, что они просто не прекратятся вдруг где-то чуть дальше. Нам нужно полагаться на логические рассуждения, чтобы добраться туда: хотя конечный набор свидетельств может наводить на вполне определенные догадки, на него попросту нельзя положиться, поскольку бесконечность сильно отличается от любого конечного числа.

Вы, вероятно, где-нибудь видели Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел, но если нет, вы пропустили один из важнейших столпов человеческого знания за все времена. Подобный пробел в жизненном опыте можно сравнить с тем, как если бы вы никогда не пробовали шоколад или не слышали ни одной музыкальной пьесы. Я не могу потерпеть такого серьезного пробела в знаниях моих читателей, так что рискнем!

Предположим, что P, Великое Последнее Простое Число на Свете, существует, и посмотрим, к чему приведет это предположение. Если P существует, то это значит, что есть Конечный Закрытый Клуб Всех Простых, в котором P является знаменитым, венценосным, завершающим членом. Что ж, давайте просто возьмем и перемножим все простые числа Закрытого Клуба, чтобы получить восхитительно огромное число под названием Q. Это число Q, таким образом, делится на 2, а также на 3, 5, 7, 11 и так далее. Q по определению делится на каждое простое число из Клуба, а значит, на каждое простое число во Вселенной! А теперь, в качестве радостного последнего штриха, как в день рождения, добавим одну свечку на вырост, получив Q + 1. Итак, у нас есть громадное число, которое, мы уверены, не простое, поскольку P (которое, очевидно, осталось позади числа Q) наше Великое Последнее Простое, самое большое простое число из всех. Все числа после P являются, по нашему изначальному предположению, составными. Отсюда Q + 1, значительно превосходящее P и потому составное, обязано иметь какой-нибудь простой делитель. (Запомните это, пожалуйста.)

Каким может быть этот простой делитель? Это точно не 2, поскольку на 2 делится Q, которое лишь на ступеньку ниже Q + 1, а два четных числа никогда не находятся на единичном расстоянии друг от друга. Им также не может быть 3, поскольку на 3 число Q делится тоже, а числа, кратные 3, не бывают соседями! В общем, какое бы простое число p из Клуба мы ни выбрали, мы обнаружим, что p не является делителем Q + 1, поскольку на p делится его сосед снизу, число Q (а кратные p числа никогда не соседствуют друг с другом – они встречаются только через каждые p чисел). Таким образом, рассуждения показали, что ни один из членов Конечного Закрытого Клуба Всех Простых не является делителем Q + 1.

Но чуть выше я заметил (и попросил вас запомнить), что Q + 1, будучи составным, обязано иметь простой делитель. Провал! Мы оказались в ловушке, сами себя загнали в угол. Мы состряпали безумное число – число, которое, с одной стороны, должно быть составным (т. е. иметь младший простой делитель) и все же, с другой стороны, не имеет младшего простого делителя. Противоречие возникло из нашего предположения, что существует Конечный Закрытый Клуб Простых, увенчанный славным числом P, так что у нас нет выбора, кроме как вернуться и разрушить эту любопытную, но сомнительную мечту.

Не может существовать «Великое Последнее Простое на Свете»; не может существовать «Конечный Закрытый Клуб Всех Простых». Это выдумка. Истина, как мы только что показали, в том, что список простых продолжается бесконечно. Мы никогда-никогда не «свалимся с края Земли», как бы далеко ни продвинулись. В этом мы сейчас убедились благодаря безупречным рассуждениям, и никакое конечное количество вычислительных плаваний по числовым морям не могло бы убедить нас подобным образом.

Если понимание, почему не существует последнего простого числа (в противовес простому знанию, что это так), для вас оказалось новым опытом, надеюсь, вам удалось насладиться им так же, как кусочком шоколада или музыкальной пьесой. И, как и в случае с ними, вы можете возвращаться и погружаться в этот опыт много раз, каждый раз находя его освежающим. Более того, это доказательство служит богатым источником для других доказательств – Вариаций на Тему Евклида (хоть мы и не будем здесь их изучать).

Мы только что вблизи рассмотрели очаровательный пример того, что я называю «Кредо Математика», под которым я подразумеваю следующее:

X истинно, поскольку существует доказательство X;

X истинно, и потому существует доказательство X.

Обратите внимание, это работает в обе стороны. Первая половина Кредо заявляет, что доказательства являются гарантами истинности, а вторая половина заявляет, что где есть закономерность, там есть причина. Конечно, мы сами можем и не разоблачить эти скрытые причины, но мы твердо и несомненно убеждены, что они существуют и в теории могут однажды быть кем-то обнаружены.

Усомниться в любой из половин Кредо для математика немыслимо. Усомниться в первой половине означало бы вообразить, что доказанное утверждение все же может быть ложным, что высмеивало бы саму идею «доказательства», а усомниться во второй строке означало бы вообразить, что внутри математики могут существовать идеальные, не допускающие исключений паттерны, которые продолжаются вечно, не следуя при этом никакому ритму, не имея на это никаких причин. Для математиков идея безупречной, но беспричинной структуры не имеет никакого смысла. В этом отношении все математики – родня Альберта Эйнштейна, который, как известно, заявил, что «Бог не играет в кости». Эйнштейн имел в виду, что в природе ничто не происходит без причины, а для математиков это значит, что всегда существует единая, основная причина – непоколебимый символ их веры.

Вернемся теперь к простым числам Класса A против Класса B, поскольку мы еще не совершили наше открытие, еще не испытали мистическую дрожь, о которой я говорил. Освежу вашу память: мы заметили, что каждая строка характеризуется разностями вида 4n – то есть 4, 8, 12 и так далее. Мы не доказали этот факт, но мы наблюдали его достаточно часто, чтобы построить гипотезу.

Нижняя строка нашего представления начинается с 3, так что наша гипотеза будет предполагать, что все остальные числа в строке получаются путем сложения 3 с числами, кратными 4, и, следовательно, каждое число в этой строке можно представить в виде 4n + 3. Аналогично (если мы игнорируем неподходящую 2 вначале), первое число в верхней строке – это 5, то есть если наша гипотеза верна, каждое последующее число в этой строке можно представить как 4n + 1.

Ладно, ладно – наша гипотеза предполагает достаточно незатейливую модель: простые числа вида 4n + 1 могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, тогда как простые числа вида 4n + 3 не могут. Если эта догадка верна, она устанавливает прекрасную, эффектную связь между простыми числами и квадратами, застающую нас врасплох (ведь эти два класса чисел на первый взгляд выглядят абсолютно не связанными друг с другом). Это искра чистой магии – той магии, ради которой и живут математики.

И все же для математика эта вспышка радости является лишь началом истории. Это как расследование убийства: мы нашли тело, но кто виноват? Всегда должно быть объяснение. Понять или найти его может быть непросто, но оно должно быть.

Теперь мы знаем (или, по крайней мере, всерьез подозреваем) наличие прекрасного бесконечного паттерна, но в чем причина? Краеугольное предположение о наличии причины заключается в том, что наш паттерн далек от «бесконечного совпадения», что он происходит по единственной веской, основополагающей причине; что за всеми этими «независимыми» фактами лежит один-единственный феномен.

Оказывается, что в промелькнувшем перед нами паттерне скрыто куда больше. Не только все простые числа вида 4n + 3 никогда не раскладываются в сумму двух квадратов (доказать это легко), но также оказывается, что любое простое число вида 4n + 1 можно представить в виде одной и только одной суммы квадратов. Возьмем, к примеру, 101. Число 101 не только равняется 100 + 1, но нет никакой другой суммы квадратов, которая давала бы в результате 101. Наконец, оказывается, что в пределе чем дальше мы продвигаемся, тем ближе к 1 становится отношение количества чисел в Классе A к количеству чисел в Классе B. Это означает, что изящный баланс, который мы наблюдали у простых чисел до 100 и предположительно продлили до бесконечности, строго доказуем.

Хоть я и не буду продолжать углубляться в изучение конкретно этого примера, я скажу, что эта теорема доказывается во многих учебниках по теории чисел (она далеко не тривиальна), то есть паттерн подтверждается доказательством. Как я сказал ранее, X истинно, поскольку X доказуемо, и наоборот, X истинно и потому доказуемо.

Выше я упомянул, что вопрос «Какие числа являются суммой двух простых?», поставленный почти 300 лет назад, так и не был полностью решен. Впрочем, математики – упорные ищейки, и их поиски доказательства могут продолжаться веками, даже тысячелетиями. Нескончаемые поражения не подрывают их боевой дух на пути к доказательству математического паттерна, который, исходя из числовых тенденций, скорее всего, продолжается вечно. В самом деле, обширные эмпирические подтверждения математических гипотез, которые удовлетворили бы большинство людей, лишь раззадоривают и расстраивают математиков. Им нужно доказательство не хуже Евклидова, а не куча точечных проверок! Ими движет вера в то, что доказательство должно существовать – иными словами, если доказательства не существует, предполагаемый паттерн должен быть ложным.

Так образуется обратная сторона Кредо Математика:

X ложно, поскольку не существует доказательства X;

X ложно, и потому не существует доказательства X.

Одним словом, доказуемость и истинность для математика одно и то же, равно как недоказуемость и ложность. Это синонимы.

В течение нескольких веков после эпохи Возрождения математика разветвилась на множество отраслей науки, и в разных ее ветвях были найдены разнообразные доказательства. Время от времени, правда, результаты строгих доказательств получались совершенно абсурдными, но никто не мог точно определить, где все пошло наперекосяк. Появлялись все более странные результаты, и сомнения насчет самой природы доказательств тревожили математиков все сильнее, пока наконец, в середине девятнадцатого века, не возникло мощное движение, целью которого было определить, что же такое рассуждение, и навечно связать его с математикой, объединив две сущности в одну.

Многие философы и математики сделали свой вклад в это благородное движение, и на пороге двадцатого века цель, похоже, забрезжила на горизонте. Математические рассуждения как будто бы удалось точно охарактеризовать многократным использованием определенных базовых законов логики, которые окрестили правилами вывода, или modus ponens: если вы доказали результат X, а также доказали X⇒Y (стрелочка здесь представляет собой операцию импликации, а запись означает «если X истинно, то Y тоже истинно»), то вы можете отправлять Y в корзину доказанных результатов. Существует и несколько других фундаментальных правил вывода, но было решено, что их требуется не так уж и много. В первом десятилетии двадцатого века Бертран Рассел с Альфредом Нортом Уайтхедом закодировали эти правила в довольно тернистой форме (см. ниже), таким образом позволив, как всем казалось, добавить логику ко всем отраслям математики и создать их безукоризненный, идеальный союз.

Благодаря великому труду Рассела и Уайтхеда «Принцип математики» людям больше не нужно было бояться упасть в скрытые расщелины ложных рассуждений. Теоремы теперь понимались как итоговый результат последовательных манипуляций с символами, предпосылками которых служили либо аксиомы, либо более ранние теоремы. Математическая истина складывалась теперь так элегантно. И пока вырисовывались очертания этого Священного Грааля, в городе Брюнн, в Австро-Венгрии, рос маленький мальчик.

Глава 10. Важнейшая странная петля Гёделя

В свои двадцать с небольшим юноша из Брюнна был уже превосходным математиком и, как и все математики, знал, что разнообразие целых чисел не имеет предела. Он знал множество других разновидностей чисел кроме квадратов, кубов, простых чисел, степеней десятки, суммы двух квадратов и прочих обычных подозреваемых. Критически важным для его будущего был тот факт, что благодаря Леонардо Пизанскому (более известному как Фибоначчи) юный Курт знал: классы чисел можно определять рекурсивно.

В 1300-х годах[17]17
  Фибоначчи умер около 1250 г. – Прим. науч. ред.


[Закрыть] Фибоначчи сочинил и исследовал то, что мы сегодня знаем как «числа Фибоначчи»:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

В этой стремительно возрастающей бесконечной последовательности, члены которой я теперь буду называть числами F, каждый новый элемент создается из суммы двух предыдущих (кроме первой пары, 1 и 2, которые мы просто напрямую объявляем числами F).

Этот почти-но-не-совсем-циклический способ задания числовой последовательности через самое себя называется рекурсивным определением. Это означает, что есть некое строгое вычислительное правило для создания новых элементов из предыдущих. Это правило может включать сложение, умножение, деление, что угодно – лишь бы оно было задано как следует. Первый шаг рекурсивной последовательности (в этом случае числа 1 и 2) можно представить как мешочек семян, из которых заранее определенным образом, основанным на заданном правиле, вырастает гигантское растение – со всеми его бесчисленными ветвями и листьями.

Последовательность Леонардо Пизанского до краев наполнена удивительными закономерностями, но, к сожалению, углубившись в это, мы сильно собьемся с курса. И все же я не могу сдержаться и не упомянуть, что из этого списка нескольких первых чисел F в глаза бросается 144, как ярко выраженный полный квадрат. Не считая числа 8, которое является кубом, и числа 1, которое довольно вырожденный случай, никакой другой полный квадрат или куб, никакая другая степень не появляются среди первых нескольких сотен членов последовательности F.

Несколько десятков лет назад люди стали задаваться вопросом, появились ли 8 и 144 в последовательности F согласно какой-то причине или это было «просто случайностью». Со временем вычислительные средства становились все более мощными, и поиски возложили на них. Весьма любопытно, что даже с возникновением суперкомпьютеров, которые позволяли выдавать миллионы и миллиарды чисел F, никто и никогда не обнаружил других полных степеней в последовательности Фибоначчи. Шанс, что вскоре в последовательности F появится какая-то степень, был призрачным, но почему бы числам F и степеням совершенно избегать друг друга? Какое отношение n-ные степени с произвольным n имели к сложению пар чисел по особому рекурсивному правилу Фибоначчи? Разве не могут 8 и 144 быть просто случайным сбоем? Почему других сбоев было не видно?

Представим это в аллегорическом свете. Вообразите, что однажды кому-то удалось вытащить со дна великого зеленого Каспийского моря в Центральной Азии огромный бриллиант, великолепный рубин и крошечную жемчужину, и прочие охотники за удачей, воодушевленные этими поразительными находками, стали неистово вычерпывать дно самого большого в мире озера в поисках бриллиантов, рубинов, жемчуга, изумрудов, топазов и т. д., но, сколько бы ни черпали, так ничего и не нашли. Естественно было бы гадать, нет ли там, внизу, других самоцветов, но как узнать наверняка? (Оговорка: в моей аллегории есть небольшой изъян, поскольку мы можем вообразить, хотя бы в теории, что хорошо профинансированная научная группа однажды полностью вычерпает дно озера, поскольку оно конечно, хоть и огромно. Чтобы аналогия стала «идеальной», нам нужно представить, что Каспийское море бесконечно. Раздвинь границы своего воображения, читатель!)

Теперь поворот. Предположим, один геолог с математическим складом ума вознамерился доказать, что два изысканных каспийских камня плюс крошечная круглая жемчужина были уникальны – иначе говоря, что по определенной причине ни одного самоцвета и ни одной жемчужины любого размера и вида нельзя, невозможно больше достать из Каспийского моря. Есть ли смысл в том, чтобы искать такое доказательство? Откуда может взяться неопровержимая научная причина, полностью исключающая возможность найти самоцветы – не считая одной жемчужины, одного рубина и одного бриллианта – на дне Каспийского моря? Звучит абсурдно.

В нашем типичном представлении физический мир наполнен непредвиденными событиями, обстоятельствами, которые могли сложиться иначе, ситуациями, у которых нет фундаментальных причин на то, чтобы быть именно таковыми. Но позвольте напомнить, что математики видят свой первозданный, абстрактный мир полной противоположностью случайного, наполненного неопределенностями физического мира, в котором мы все обитаем. Вещи, которые случаются в математическом мире, кажутся математикам происходящими по причинам, которые можно выявить и понять, без исключений.

Этот образ мышления – Кредо Математика – вам необходимо принять и освоить, если вы хотите понять, как думают математики. В нашем конкретном случае загадка о нехватке степеней у Фибоначчи, пусть и незначительная в глазах большинства математиков, особенно сбивала с толку, поскольку к ней, казалось, было неоткуда подступиться. Два вовлеченных в нее явления – целые степени с произвольными показателями с одной стороны, числа Фибоначчи с другой – выглядели попросту (как и драгоценности в Каспийском море) слишком далекими друг от друга, чтобы иметь какую-то глубокую, систематическую, неизбежную взаимосвязь.

А затем прибыла большая команда математиков, которые коллективно нацелились на «большую игру» Последней Теоремы Ферма (знаменитое заявление, сделанное Пьером Ферма в середине семнадцатого века, которое гласит, что не существует таких натуральных чисел a, b, c, что aⁿ + bⁿ равняется cⁿ, где показатель n – это целое число, большее 2). Этой великой международной эстафетной команде, финальный победный рывок которой великолепно выполнил Эндрю Уайлс (этот рывок занял у него восемь лет), в конце концов удалось доказать заявление Ферма многовековой давности с использованием удивительных техник, которые сочетали в себе идеи со всех уголков обширной карты современной математики.

Вследствие революционной работы этой команды открылись новые пути, от которых, похоже, пошли трещины по многим старым добрым дверям, включая накрепко закрытую дверь маленькой, но манящей загадки степеней Фибоначчи. И в самом деле, где-то через десять лет после доказательства Последней Теоремы Ферма трое математиков, используя техники Уайлса и других, смогли выделить точную причину, по которой куб 8 и квадрат 144 никогда не найдут себе приятеля, полную степень, среди членов рекурсивной последовательности Леонардо Пизанского (кроме 1). Пусть и крайне невразумительная, но причина бесконечного танца взаимного избегания была найдена. Это стало еще одним триумфом Кредо Математика – еще одна причина купить ворох акций у концепции, гласящей, что в математике где есть паттерн, там есть причина.