Текст книги "Физика фондового рынка. Краткая история предсказаний непредсказуемого"

В середине 1960-х годов Осборн продемонстрировал, что в любой момент времени шансы на то, что акция поднимется в цене, не обязательно равны шансам на то, что цена на акцию упадет. Помните, это допущение было существенной частью модели броуновского движения, в которой делается допущение о том, что вероятность шага в одном направлении настолько же велика, как и вероятность шага в другом направлении? Осборн продемонстрировал, что если акция немного поднялась, значительно более вероятно, что следующим движением будет движение обратно, вниз, а не еще раз вверх. Аналогично, если акция пошла вниз, вероятность того, что она поднимется в следующий раз, когда ее стоимость изменится, значительно выше. То есть в каждый новый момент времени рынок скорее пойдет в обратном направлении, чем сохранит наметившуюся ранее тенденцию. Но у этой монеты была и оборотная сторона. Если акция двигалась в одном направлении дважды, вероятность того, что она продолжит движение в этом направлении, значительно выше. Осборн утверждал, что ответственность за такого рода неслучайность лежала на инфраструктуре торговой площадки, и предложил модель изменения цен, учитывавшую именно такое их поведение.

Это было отличительным признаком исследования Осборна и одной из причин того, что он стал таким важным персонажем нашего рассказа о физике и финансах. Идея, что существует одинаковая вероятность, что цены будут расти или падать, была частью гипотезы об эффективности рынка Осборна, главным допущением его оригинальной модели. Когда же он осознал, что это допущение не имеет силы, он начал искать пути доработки модели, которая бы предусматривала более реалистичное допущение, основанное на реалиях рынка. Осборн с самого начала ясно дал понять, что его методология отвечает духу теоретических работ в астрономии и гидроаэродинамике. В этих областях науки большинство проблем очень трудно решить сразу, там начинают с того, что систематизируют полученную информацию, а затем уже делают упрощающие допущения, чтобы получить простые модели. Но это только первый шаг. Затем внимательно проверяют, в каком месте упрощающие допущения дают сбой, и пытаются понять, опять же, сосредоточившись на информации, какие проблемы создают выявленные сбои допущений для всей модели.

Когда Осборн описывал свою оригинальную модель броуновского движения, он особо указал, какие допущения делал. Что Осборн и другие физики понимали, так это то, что если лежащие в основе модели допущения дают сбой, это еще не означает, что сама модель содержит изъяны. Это означает только то, что необходимо проделать дополнительную работу. После того как вы предложили модель, следующий шаг – выяснить, на каком этапе дают сбой допущения и насколько они серьезны. Если же вы обнаружите, что допущения дают регулярные сбои, попробуйте понять, где именно они дают сбой и его причины. (Например, Осборн продемонстрировал, что изменения цены не являются независимыми. Это особенно справедливо в период дефолтов, когда ряд повторных разовых понижений биржевой цены говорит о большой вероятности того, что цены продолжат падение. Если присутствует такого рода эффект, даже детализированная модель броуновского движения Осборна будет ненадежным ориентиром.) Процесс построения моделей предполагает постоянное их совершенствование с учетом новых доказательств, по мере того как постепенно приходит более глубокое понимание предмета изучения – будь то клетка человека, ураганы или цены на акции.

Не каждый, работавший с математическими моделями в финансах, настолько тонко чувствует важность этой методологии, как Осборн. И в этом одна из основных причин, почему математические модели иногда ассоциируются с финансовым крахом. Если вы продолжаете биржевую деятельность на основе модели, допущения которой уже не выполняются рынком, и потеряете деньги, вряд ли дело будет заключаться в сбое модели. Это все равно что установить двигатель от легковой машины на самолет и потом расстраиваться, что он не летит.

Невзирая на структуру биржевых цен, которую удалось обнаружить Осборну, он был уверен, что в целом не существует надежного способа делать эффективные прогнозы о поведении рынка на будущее. Однако было одно исключение. Как это ни парадоксально, оно не имело никакого отношения к сложным моделям, разработанным им в 1960-е годы. На самом деле его оптимизм основывался на понимании намерений рынка за счет изучения поведения биржевиков.

Осборн заметил, что благодаря огромному численному перевесу обычных инвесторов их заказы оказываются в диапазоне цен, составляющих круглые числа – например, 10 или 11 долларов. Но акции оценивались в суммах, в которых присутствовала еще и ¹/₈ доллара. Это означало, что биржевик мог посмотреть в свою книгу и увидеть, что большое количество людей желает приобрести акцию по цене, скажем, в 10 долларов. Тогда он мог бы купить ее за 10 ¹/₈ доллара, зная, что в конце дня акция не упадет ниже 10 долларов, потому что большое количество людей желает приобрести ее по этой пороговой цене. В худшем случае биржевик потеряет ¹/₈ доллара; в лучшем – акция поднимется в цене и он сможет получить прибыль. И наоборот, если он видел, что многие хотят продать по цене, скажем, 11 долларов, а ему удалось продать по 10 ⁷/₈ доллара, он был уверен, что максимум, что он может потерять, – это ¹/₈ доллара, если акция пойдет вверх, вместо того чтобы пойти вниз. Это означало, что если вы пройдете торги этого дня и будете искать сделки по цене на ¹/₈ доллара выше или ниже круглой суммы, вы сможете собрать информацию о том, какие акции, по мнению экспертов, «горячие» и интересуют многих людей.

Получалось, что то, что экспертам казалось «горячим», было отличным индикатором, как поведут себя акции, индикатором значительно лучшим, чем все остальное, что изучал Осборн. Исходя из этих наблюдений, Осборн предложил первую трейдинговую программу[70]70
  Другими словами, первая систематическая, полностью детерминированная торговая стратегия, которую можно запрограммировать на компьютере, сегодня называлась бы алгоритмической торговой системой. Это предложение формулируется в работах Нидерхоффера и Осборна (1966 г.).


[Закрыть], которую можно было подключить к компьютеру и самостоятельно с ней работать. Но в 1966 году, когда он предложил эту идею, никто не использовал компьютеры для принятия биржевых решений. Пройдут десятилетия, пока идея Осборна и подобные ей будут протестированы в реальных условиях.

Глава 3
От береговых линий до цен на хлопок

Золем Мандельброт – настоящий пример современного математика[71]71
  Информация о Мандельброте взята у О’Коннора и Робертсона (2005 г.), а также из биографических материалов, связанных с Мандельбротом и указанных ниже.


[Закрыть]. Будучи специалистом в области анализа (раздела чистой математики, который содержит, помимо прочего стандартный анализ из школьной программы), он учился в Париже с лучшими из лучших, включая Эмиля Пикара и Анри Лебега. Он был основателем группы французских математиков, которые под псевдонимом Николя Бурбаки отважились привнести в этот раздел математики жесткость, абстракцию; сборник работ группы задавал тон двум поколениям математиков. Когда его наставник Жак Адамар, один из известнейших математиков конца XIX века, ушел в отставку с должности в престижном «Коллеж де Франс», колледж предложил Мандельброту заменить его. Он был серьезным человеком, выполнявшим серьезную работу.

Или, по крайней мере, он выполнял бы серьезную работу, если бы ему постоянно не наступал на пятки его племянник. В 1950 году Бенуа Мандельброт учился в аспирантуре Сорбонны, альма-матер Золема, чтобы (как полагал Золем) пойти по стопам своего выдающегося дяди[72]72
  К сожалению, Мандельброт умер в 2010 году, и я не успел взять у него интервью в связи с этой книгой. Биографический материал, представленный в этой главе, взят у Мандельброта и Хадсона (2004 г.), Мандельброта (1987 г., 2004a), Гляйка (1987 г.), Барчеллоса (1985 г.) и Дэйвиса (1984 г.), а также из ряда заснятых на пленку интервью Мандельброта, выпущенных вскоре после его смерти, особенно 1998 и 2010 г.


[Закрыть]. Когда Золем узнал, что Бенуа хочет заняться математикой, он очень заинтересовался. Но постепенно стал сомневаться в серьезности намерений Бенуа. Несмотря на советы своего дяди, Бенуа не проявлял интереса к актуальным темам математики того времени. Ему не хватало жесткости, которая принесла Золему успех. И что хуже всего, Бенуа, похоже, сосредоточился на геометрических методах, от которых, как было известно каждому уважающему себя математику, отказались еще сто лет назад. Строя чертежи, невозможно стать стоящим математиком.

Отец Бенуа, старший брат Золема, в свое время помогал растить и самого Золема, оказывал поддержку, пока тот учился в аспирантуре. Бенуа для Золема был скорее как брат, а не племянник, и Золем чувствовал, что обязан быть терпимым с Бенуа, помогать ему. Но со временем Золем дошел до точки. Бенуа же не понимал этого. Он обладал математическими способностями, но когда дело доходило до выбора тем будущих проектов, он был безнадежен.

В один прекрасный день, когда Бенуа сидел в кабинете дяди и делился с ним своими сумасшедшими идеями для диссертации, терпение Золема лопнуло. Он полез в мусорную корзину и выудил оттуда какие-то исписанные листы бумаги. Если Бенуа хочет работать над ерундой, то Золем с легкостью может предложить ему целую кучу такой ерунды – полную корзину. «Это тебе, – сказал он презрительно. – Оно тебе, судя по всему, понравится»[73]73
  Эта история, включая цитату, рассказана в работе Мандельброта и Хадсона (2004 г.).


[Закрыть].

Золем, должно быть, надеялся, что таким драматическим жестом образумит своего молодого племянника. Но его план расстроился. Бенуа взял бумаги – это оказался обзор последней книги лингвиста из Гарварда по имени Джордж Кингсли Ципф – и внимательно изучил их по пути домой[74]74
  Подробнее о Ципфе см. в биографических заметках Мандельброта в конце его труда 1982 г. Самую последнюю информацию о математике закона Ципфа см. у Сайчева и др. (2010 г.) – в книге, написанной в соавторстве с Дидье Сорнеттом, который является предметом главы 7 настоящей книги.


[Закрыть]. Ципф был известен своей эксцентричностью, мало кто воспринимал его всерьез. Он посвятил карьеру отстаиванию универсального закона физических, социальных и лингвистических явлений. Закон Ципфа гласил, что если составить перечень всех объектов какой-либо естественной категории, скажем, всех городов Франции или всех библиотек мира, и классифицировать их по размеру (города – по численности населения, библиотеки – по размеру фондов), то всегда обнаружится, что размер каждого объекта в перечне соотносится с его порядковым местом в перечне. В частности, размер второго объекта в каждом перечне будет всегда составлять приблизительно половину от первого, размер третьего объекта в перечне – одну треть от первого, и так далее. В обзоре Бенуа внимание было сосредоточено на конкретном примере действия этого закона: Ципф просчитал частоту встречаемости разных слов в разных текстах и продемонстрировал, что если расположить слова в списке по частоте их встречаемости, обычно обнаруживалось, что наиболее часто употребляемое слово встречалось приблизительно вдвое чаще, чем второе по частоте употребления, в три раза чаще, чем третье, и так далее.

Золем был прав, сказав, что работа Ципфа – как раз то, что заинтересует его племянника. Но он был неправ, что это – ерунда или, по крайней мере, полная ерунда. Закон Ципфа представляет собой особую комбинацию расчета численных данных. Ципф, безусловно, был человеком с причудами. Но в этой книге таился бриллиант: Ципф вывел формулу, которую можно было использовать, чтобы рассчитать, как часто конкретное слово встретится в книге, исходя из того, какое место оно занимает в перечне, и общего количества разных слов, встречающихся в тексте. Мандельброт быстро понял, что эту формулу можно усовершенствовать, более того, она обладает некоторыми неожиданными и интересными математическими свойствами. Несмотря на сопротивление самых ярких звезд математического истэблишмента, включая собственного дядю, Мандельброт написал диссертацию, посвященную закону Ципфа и сферам его применения. Он написал ее без научного руководителя, самостоятельно протолкнул свою работу сквозь университетские бюрократические препоны и получил ученую степень. Диссертация Мандельброта была в высшей степени нестандартна.

В общем, Мандельброт сделал карьеру чрезвычайно нестандартным способом как с точки зрения бурного неприятия им математического сообщества, так и с точки зрения тематики его исследований. В то время внимание подавляющего большинства математиков было сосредоточено на «обтекаемых» формах, а наиболее известное открытие Мандельброта, которое он назвал «фрактальной геометрией» (или геометрией частей)[75]75
  Подробнее о фрактальной геометрии см., например, у Фалконе (2003 г.).


[Закрыть], уходит корнями в исследование неровных форм, форм с трещинами и разломами, таких как поверхность горы или осколок разбитого стекла. Это исследование заставило Мандельброта осознать, что в природе существует огромное разнообразие случайностей, которые куда более экстремальны, чем тот тип случайности, который мы получаем, вновь и вновь подбрасывая монетку. И последствия этих случайностей имеют значение практически для всех областей математической науки. И для финансов тоже.

Деятельность Мандельброта была революционной. Даже сегодня, по прошествии десятилетий после выхода в свет наиболее важных трудов Мандельброта, его идеи остаются настолько радикальными, что ученые-конформисты во многих областях знания продолжают их оспаривать. Особенно поразительна ситуация в экономике, где основные идеи Мандельброта воспринимаются как горькая пилюля. Если он прав, то все, что большинство экономистов-традиционалистов думает о рынках, в корне неверно. Бескомпромиссность Мандельброту не помогла, хотя и как человек, и как ученый он никогда не сгибался под давлением общественного мнения. Он часто оказывался на грани: был почитаем, но не настолько, как того заслуживал; его критиковали, отстраняли от должностей в равной степени и за стиль общения, и за нетрадиционность научных взглядов. Тем не менее, когда Уолл-стрит и научное сообщество столкнулись с новыми, казалось бы, непреодолимыми вызовами, рассуждения Мандельброта на тему о случайности стали выглядеть более прозорливыми, чем когда-либо, и более ценными для понимания.

Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в литовской семье в Варшаве. Его отец занимался бизнесом, два дяди (включая Золема) были учеными. Многие родственники отца были, по словам Мандельброта, «умными людьми», не имевшими, правда, постоянного места работы. Тем не менее у них была своя группа последователей из числа местного населения, которым они за деньги или в обмен на товары давали советы или делились знаниями. Мать Бенуа была врачом по образованию. Еще будучи ребенком, Мандельброт часто ощущал, что семья ожидает, что он станет настоящим ученым в той или иной области, хотя отец настоятельно призывал сына выбрать что-нибудь попрактичнее – например, заняться техникой или прикладными науками.

Молодой Мандельброт получил необычное образование. Первый ребенок родителей, дочь, умерла в раннем возрасте во время эпидемии. У матери Бенуа развилась фобия в отношении детских болезней, она старалась всеми силами уберечь оставшихся двоих маленьких сыновей от участи, постигшей ее дочь. Поэтому вместо того, чтобы отправить Бенуа в школу, она наняла ему одного из его дядей в качестве домашнего учителя. Этот дядя был как будто вылеплен из того же теста, что и семья Бенуа: хорошо образованный, неработающий, увлекающийся эзотерикой. Он презирал «зубрежку», поэтому даже не думал преподавать Бенуа такие приземленные предметы, как арифметика или азбука (в речи, которую Бенуа произнес после получения Премии Вольфа по физике, он признался, что до сих пор плохо справляется с задачами на умножение, потому что никогда не учил таблицу умножения[76]76
  Мандельброт, 2004a.


[Закрыть]). Вместо этого дядя поощрял творческую мысль и тягу к чтению. Бо́льшую часть свободного времени Мандельброт проводил за игрой в шахматы и изучением карт.

Великая депрессия нанесла тяжелый удар по Варшаве – сильнее, чем по Западной Европе и Соединенным Штатам, – и в 1931 году бизнес отца Мандельброта оказался фактически уничтоженным. Отец переехал во Францию в надежде, что это позволит ему, находясь вдалеке, содержать жену и сыновей. В Варшаве у Мандельбротов было много родственников, они были очень привязаны к этому городу и надеялись, что отец Бенуа вернется в Польшу и продолжит там свой бизнес. Но по мере того как Великая депрессия усугублялась, в Польше становилось все более неспокойно. В стране росло этническое и политическое напряжение. Евреи Мандельброты начали осознавать, что Варшава становится опасной для них. Мать Бенуа упаковала все, что смогла, и последовала за мужем в Париж. Хотя это было и непростым решением, переезд в Париж почти наверняка спас Мандельбротам жизнь: из более чем трех миллионов евреев, живших в Польше до начала Второй мировой войны, Холокост пережили всего лишь несколько сотен тысяч[77]77
  Материалы по истории Второй мировой войны и Холокосту, в частности, взяты у Дворк и ван Пельта (2002 г.), Фишела (1998 г.), Россела (1992 г.) и Яхила (1987 г.).


[Закрыть].

Золем был уже в Париже, когда туда приехал отец Бенуа. Сам Золем переехал во Францию в 1919 году тоже беженцем, но несколько иного рода. После Первой мировой войны лидирующие позиции в математике в Польше занимал гениальный молодой математик Вацлав Серпинский. Серпинский работал над теорией множеств. Он был ее воинствующим сторонником и достаточно влиятельным ученым, чтобы диктовать условия успеха любому аспиранту в Варшаве. На склоне лет и сам Золем мог показаться невыносимо жестким по отношению к Мандельброту с его «геометрическим» складом ума, но Серпинский был слишком прямолинейным даже для Золема. Отказавшись работать над темами, которые предлагал Серпинский, Золем попросту сбежал в Париж, где преобладавшая тогда идеология в области математики больше соответствовала его собственной. По иронии судьбы, Серпинский был первооткрывателем необычного геометрического объекта, известного как «треугольник Серпинского» – раннего примера фрактала.

Только после переезда в Париж у Бенуа Мандельброта появилась возможность общения со своим известным дядей-математиком. Мандельброту тогда было одиннадцать лет. Несмотря на то что позднее между ними возникнут разногласия, на раннем этапе их взаимоотношения были глубоко созидательными. Поскольку Бенуа плохо говорил по-французски, в школе его определили на два класса ниже его возрастного уровня. Чтобы он не потерял интерес к учебе и чтобы поощрить его таланты, Золем понемногу занимался с ним математикой. Так что к ней Бенуа в большой степени подтолкнул дядя Золем, под чьим влиянием он в этот период находился. Под попечительством Золема Бенуа начал преуспевать в новой школе.

К сожалению, это длилось недолго. В 1940 году Германия вторглась во Францию. И Мандельброты вновь были вынуждены бежать.

Какова длина береговой линии Британии?[78]78
  Этот вопрос взят из работы Мандельброта (1967 г.).


[Закрыть] Этот вопрос может показаться простым для компетентных топографов. Однако, как оказывается, он сложнее, чем кажется. В его глубине таится загадка, которую порой называют «парадоксом береговой линии». Чтобы определить длину береговой линии, необходимо сделать определенные измерения, предположительно с помощью линейки. Загвоздка заключается в том, какой длины должна быть эта линейка. Представьте себе, что вы начали с огромной линейки, простирающейся от мыса Рат, самой северной точки Шотландии, и до Пензанса, самой южной точки Корнуолла. Вы получите одну длину береговой линии.

Но не очень точную. Вряд ли береговая линия является прямой. Берег Британии ныряет вглубь острова в области Бристольского канала и Ирландского моря, затем снова выступает около Уэльса. Поэтому, если мы возьмем одну длинную линейку, она не позволит нам снять точное измерение. Чтобы получить более точное измерение, потребуется что-то вроде меньшей линейки – такой, которая, сможет легко измерить дополнительную длину, которая, создается за счет различных полуостровов и заливов и которая, прибавляется к базовой длине побережья. Можно попробовать сложить расстояния, например, от Пензанса до Бристоля, а затем от Бристоля до Сент-Дэвидса в Уэльсе, а затем от Сент-Дэвидса до Кармел-Хеда на северо-западе Уэльса и так далее вверх по побережью. Это общее расстояние будет намного длиннее, чем первоначально измеренная длина, но оно будет точнее.

Начинает вырисовываться алгоритм. Оказывается, линейка меньшего размера недооценивает длину точно так же, как и первоначально использованная большая линейка. Пользуясь линейкой меньшего размера, вы полностью пропускаете залив Кардиган, не говоря уже о множестве более мелких гаваней, бухт вдоль корнуэльских и уэльских берегов. Чтобы учесть эти особенности, которые, как оказалось, добавляют довольно значительную длину, вам понадобится еще меньшая линейка. Но опять возникает та же проблема. На самом деле независимо от выбранной линейки результат, который получите, измерив ей береговую линию, всегда будет слишком маленьким. Другими словами, всегда можно получить больший ответ на этот вопрос, выбрав меньшую линейку.

Именно здесь и возникает парадокс. Часто при выборе более точных приборов вы получаете более точное измерение. Вы можете получить представление о том, насколько горячая вода в чайнике, опустив в него палец. Спиртовой термометр выполнит эту задачу лучше, а высокотехнологичный цифровой термометр выдаст показания с точностью до долей градуса. В некотором смысле неточные инструменты добавляют погрешность измерений, и по мере того, как вы изобретаете все лучшие и лучшие приборы, сосредоточиваете внимание на фактической температуре. Но в случае с береговой линией независимо от того, насколько точен ваш измерительный прибор, то есть несмотря на то, насколько мала ваша линейка, результат измерения всегда будет слишком маленьким. В некотором смысле у береговой линии нет длины, по крайней мере, в том смысле, в каком имеют длину такие простые формы, как отрезок или круг[79]79
  Более точная версия этого утверждения заключается в том, что следует понимать: береговая линия имеет нецелочисленную хаусдорфову размерность, а это означает, что правильная «величина» береговой линии не ведет себя как длина.


[Закрыть].

Мандельброт обратился к парадоксу береговой линии в 1967 году в своей работе, открывшей новые горизонты. Это была одна из его первых попыток описать фрактальную форму, каковой на самом деле является береговая линия, хотя Мандельброт и не вводил этот термин в оборот вплоть до 1975 года[80]80
  Мандельброт ввел термин «фрактал» в своей работе 1975 г., которая была переведена на английский язык в 1977 г. Но работа Мандельброта 1967 г. – одно из первых мест, где он описывает геометрические объекты с нецелочисленной хаусдорфовой размерностью, демонстрирующие самоподобие.


[Закрыть]. Береговые линии (и другие фракталы) замечательны с математической точки зрения, поскольку обладают свойством, которое называется «самоподобие». Сказать, что что-либо самоподобно – значит, сказать, что это «что-либо» состоит из частей, которые выглядят как целое; эти части, в свою очередь, состоят из еще меньших частей, которые тоже выглядят как целое, и так далее до бесконечности. Если вы начнете с целого – западного побережья Британии – и поделите его на несколько частей, то заметите, что каждая часть тоже будет выглядеть как целая береговая линия: более мелкие участки берега тоже имеют собственные небольшие бухты и полуострова. А если вы разобьете одну из этих меньших частей береговой линии на части, они продолжат демонстрировать те же черты, что и более крупные.

Если только вы начнете искать самоподобие, вскоре поймете, что это – встречающаяся повсюду особенность природы. Вершина горы очень похожа на целую гору в миниатюре; ветка дерева выглядит как маленькое дерево, у которого есть собственные ветки; бассейны рек состоят из маленьких речек. Этот принцип, похоже, применим даже к социальному миру. Как впоследствии указал Мандельброт, крупное сражение – это отдельные мелкие столкновения, война состоит из сражений, каждое из которых является миниатюрным подобием войны в целом.

Когда разразилась Вторая мировая война, Мандельброты бежали из Парижа, где, как они боялись, могли вспыхнуть напряженные бои, и поселились в городке под названием Тюль в департаменте Коррез. Мандельброты опять проявили колоссальный дар предвидения не говоря уже о везении: они выехали из Парижа в конце 1939 года, буквально за несколько месяцев до вторжения нацистов во Францию. Да и Тюль оказался необычайно удачным выбором. Расположенный далеко на юге страны, он оказался в неоккупированной части Франции[81]81
  Хотя сравнение и справедливо, не следует думать, что в районе Виши во Франции антисемитизм не был распространен. Подробнее о районе Виши во Франции в годы Второй мировой войны, включая французский антисемитизм во время войны, см. у Пакстона (1972 г.), Марруса и Пакстона (1995 г.) и Познански (2001 г.).


[Закрыть].

Правительство Виши сотрудничало с немцами, но антисемитизм на юге был менее жестким. Мандельброт мог спокойно продолжать учиться в школе в Тюле. Он уже свободно говорил по-французски, быстро осваивал школьную программу старших классов и к 1942 году догнал своих ровесников. И все же Мандельбротов преследовал страх возможной депортации. В 1940 году правительство Виши начало пересматривать статус иммигрантов, натурализованных после 1927 года, и лишило гражданства около пятнадцати тысяч человек (преимущественно евреев) – акция, предшествовавшая отправке их в немецкие концентрационные лагеря. Хотя Мандельбротам удавалось оставаться незамеченными в маленьком Тюле, над ними постоянно довлела угроза депортации.

В 1942 году обстановка ухудшилась. 8 ноября британская и американская армии вторглись во французскую Северную Африку. Опасаясь вторжения союзников в континентальную Европу, немцы оккупировали южную Францию. Вместе с немецкой армией пришло гестапо, а когда южная Франция превратилась в театр военных действий, Тюль тоже стал зоной боевых операций. Хотя там проживало всего несколько тысяч человек, Тюль традиционно считался центром своего региона. По мере того как немецкое присутствие в южной Франции увеличивалось, Тюль превращался в стратегический пункт как для остатков правительства Виши, так и для лидеров движения Сопротивления. Мандельброты больше не могли рассчитывать здесь на безопасность.

В своих автобиографических трудах и интервью Мандельброт часто говорил о том, какое влияние на его образование оказала война. После окончания средней школы в 1942 году он обнаружил, что не может поступить в Эколь Нормаль, поскольку был очень ограничен в передвижении (здесь его история напоминает историю Башелье, который не мог посещать Гран-Эколь). Но Мандельброт никогда не рассказывал о подробностях своей жизни в этот период. Он только говорил, что полтора года после окончания школы были «очень, очень трудными» и он «несколько раз был на грани катастрофы»[82]82
  Эти цитаты взяты из интервью, которое Мандельброт дал для «Web of Stories» (Мандельброт, 1998 г.).


[Закрыть].

Поскольку о дальнейшем образовании не было и речи, и поскольку ему было необходимо оставаться незаметным, Бенуа избегал городов и часто переезжал из одного места на другое. Он жил вместе с членами движения Сопротивления, которые приняли его и пытались спрятать. Он выполнял случайные разовые работы, выдавая себя за француза-провинциала. Несколько месяцев Бенуа проработал конюхом, потом – учеником инструментальщика на железной дороге. Скучая по науке, Мандельброт читал одновременно несколько книжек, которые ему удалось отыскать в этот период. Он носил их с собой, читал урывками, когда подворачивалась возможность, – не самое типичное занятие для деревенского конюха.

Однажды Мандельброту едва удалось избежать депортации, а возможно, и расстрела. Но в основном он обходил немецкие посты стороной. А его отец и вовсе был на волосок от смерти. Как позднее рассказывал Мандельброт, отца арестовали и отправили в близлежащий лагерь для интернированных лиц. Вскоре на лагерь напали партизаны. Охранников перебили, пленников освободили, и те разбежались.

Не имея ни плана действий, ни четкого маршрута, пленники направились в Лимож, ближайший крупный городок. Однако вскоре после побега Мандельброт-старший осознал, что идти в Лимож – это самоубийство: они открыто передвигались по главной дороге, их будет нетрудно обнаружить. Остальных беглецов переубедить не удалось, и отец Мандельброта в одиночку направился в ближайший лес, планируя медленно вернуться в то место, где скрывалась семья до его ареста. Двигаясь по лесу, он услышал жуткий шум: немецкий пикирующий бомбардировщик нашел остальных беглецов.

Жизнь во время войны была непредсказуемой. В романе Томаса Пинчона «Радуга тяготения» один из персонажей, Роджер Мексико, которому в последние дни Третьего рейха поручили вычислить, куда в Лондоне будут попадать ракеты V-2[83]83
  Издана на русском языке: Пинчон Т. Радуга тяготения. – М.: Эксмо, 2012. Прим. ред.


[Закрыть], обнаруживает, что ракеты падают по конкретной модели распределения вероятностей, которую можно было бы ожидать, если бы все ракеты имели одинаковую вероятность падения в любой части города. Мексико окружен людьми, отчаянно пытающимися найти спасение от причудливых траекторий полета ракет. Схемы и графики Мексико подсказывают им некий базовый алгоритм, что-то, чем они могли бы воспользоваться, чтобы предсказать, куда попадет следующая ракета.

Похоже, что в некоторых районах города ракеты падают довольно часто. В других – редко. Но предположить, что алгоритмы подскажут, куда упадет следующая ракета, – значит, допустить такую же ошибку, какую совершает игрок в рулетку, убежденный в том, что именно сейчас выпадет некое определенное число. Мексико это известно. Тем не менее он тоже находит полученные им данные соблазнительными, как будто в самой случайности алгоритма таится ключ к его потенциалу. И это – правда, по крайней мере, если вы окажетесь на улице, на которую упадет следующая ракета.

Тем не менее с математической точки зрения такого рода случайность выражена довольно слабо. Ракеты V-2 запускали по Лондону систематически, по нескольку в день. Вычислить вероятность того, сколько из них попадет в собор Святого Павла или в Хаммерсмит, было все равно что рассчитать, сколько раз шарик рулетки окажется на цифре 25. В жизни многие ситуации, которые нам представляются случайными, являются именно таковыми. Их, в сущности, так много, что легко стать жертвой идеи о том, что все случайные события похожи на орлянку или игры в казино.

Это допущение лежит в основе большой части современной теории финансов. Вспомните, когда Башелье представлял себе, как менялись бы со временем цены на акции, если бы они претерпевали случайные блуждания. Через каждые несколько мгновений цена будет меняться на какую-то маленькую сумму в сторону повышения или понижения, как будто Господь Бог подбрасывает монетку. Башелье обнаружил, что если аппроксимация того, что происходит, хорошая, распределение цен будет иметь форму гауссовой кривой. Осборн, конечно, указывал на то, что это не совсем правильно; на деле вы ожидаете, что каждый раз, когда Господь Бог подбросит монетку, цены будут меняться на какой-то фиксированный процент, а не на какую-то фиксированную сумму. Это привело к утверждению, что норма доходности должна распределяться нормально, а цены – log-нормально.

Нормальное распределение встречается повсюду в природе[84]84
  На самом деле важный результат математической статистики. Центральная предельная теорема указывает, что вы можете смоделировать случайную переменную как сумму достаточно большого числа независимых и идентично распределенных случайных переменных, где распределение случайных переменных в сумме имеет конечное среднее и конечную дисперсию (волатильность), тогда случайная переменная должна иметь нормальное распределение, даже если переменные в сумме не имеют нормального распределения. Это означает, что нормальные распределения появляются везде. Однако, как мы увидим, Мандельброт утверждал, что для финансовых рынков одно из предположений центральной предельной теоремы не работает: он утверждает, что распределения рыночной доходности не имеют конечной дисперсии. Подробнее о центральной предельной теореме см. у Биллингсли (1995 г.), Каселла и Бергера (2002 г.), Форбс и др. (2011 г.). Подробнее об утверждениях Мандельброта см. в работах Мандельброта (1997 г.) и Мандельброта и Хадсона (2004 г.).


[Закрыть]. Если взять рост всех людей в определенной части земного шара и начертить кривую, отражающую, сколько из них имеют рост 167 сантиметров, сколько – 169 сантиметрови так далее, вы получите нормальное распределение. Если взять тысячу термометров и попытаться измерить температуру каждым из них, результаты будут тоже выглядеть как нормальное распределение. Если сыграть в орлянку, когда вы получаете доллар каждый раз, когда монетка падает на орел, и проигрываете доллар каждый раз, когда монетка падает на решку, вероятность получения прибыли после множества попыток будет выглядеть как нормальное распределение. Это удобно: нормальное распределение легко понять и с ним легко работать. Например, если что-то нормально распределено, а ваша выборка достаточно велика, средняя величина выборки стремится сойтись в точке, соответствующей определенному числу; рост белых людей в среднем составляет 175 сантиметров, и, если вы здоровы, показания тысячи термометров будут 36° C. И средняя прибыль при игре в орлянку будет стремиться к нулю.

Это правило можно воспринимать как закон больших чисел для распределения вероятностей – обобщение принципа, обнаруженного Бернулли, который увязывает вероятность с долговременной частотой, с которой повторяются события[85]85
  Это на самом деле более общая версия закона больших чисел, чем другая, которая устанавливает, как вероятность для простых игр, таких как подбрасывание монеты, связана с частотой. Закон больших чисел для гауссовых распределений может быть использован, чтобы доказать вторую версию, как видно из примера с подбрасыванием монеты.


[Закрыть]. Оно гласит, что если что-то зависит от определенного распределения вероятностей, как рост людей определяется нормальным распределением, а у вас есть достаточно большая выборка, новые случаи не окажут на нее существенного влияния. Если, измерив рост большого количества людей в конкретном регионе мира, вы измерите рост еще одного человека, это существенно не изменит средний показатель роста.