Текст книги "Биотенсегрити. Как работают Анатомические поезда, остеопатия и кинезиология и что может сделать эти техники максимально эффективными"

Наиболее очевидной природной мотивацией к такому иерархическому подходу к плотной упаковке в геодезической синергогеометрии Фуллера является пример с пчелиными сотами.

Их формирование происходит в два этапа. Сначала пчелы делают отдельные шарики (сферные первоэлементы), пакуя их вплотную друг к другу. При этом между сферами остаются видимые зазоры.

Наблюдая эту ситуацию своим инженерным плоским взглядом, мы думаем, что пчелы неэффективно используют пространство, оставляя пустые места!

Но с точки зрения Фуллера, они оптимизируют ключевой параметр – самостабилизацию полученной системы в целом, сразу же создавая плотно упакованную структуру! Пчелы не умеют планировать во времени, поэтому создаваемая ими первичная структура не является всего лишь подготовкой и заготовкой ко второму этапу.

А вот на следующем этапе – формирования интегративной суперструктуры – эти сферы напряженно взаимодействуют друг с другом, что приводит к постепенному изменению формы исходных сфер, заполнению пустот и возникновению дополнительных внутренних натяжений. В результате этих последовательных процессов формируются привычные нам пчелиные соты – предельные гексагональные паттерны из (почти правильных) шестиугольников.

В этот момент наш внутренний инженер и геометр радуются: наконец-то пчелы сообразили, что у них было еще свободное место, и они его заполнили грань к грани! Нам нравится плотный контакт граней и сплошное заполнение среды. Мы привыкли считать, что именно он обеспечивает стабилизацию.

Однако фуллеровская трактовка принципиально отлична. Любая первичная природная структура сразу же самостабилизируется триангулированием центров сфер, без этого она просто не может возникнуть, поскольку в природе нет предварительных этапов. Каждый шаг должен быть оптимизирован сам по себе, иначе он невозможен. Суперструктуры же (интегративные синергоформы) являются развитием исходной самостабилизации через дополнительное запирание внутренних сил (подробнее см. главу 3). То, что видится нам как улучшение контакта граней и «сплошности», – это внешнее проявление этих внутренних процессов. Поэтому то, что мы привычно считаем геометрически важным, перенося стандартные инженерные соображения и расчеты, на самом деле вторично, имеет очень малый удельный вклад и является не более чем побочным артефактом.

Природные структуры начинаются с самостабилизации и оптимизируются только ей, а именно дальнейшим тенсегрити запиранием элементарных внутренних сил – компрессии и натяжения – по близкодействию. По мере их нагнетания – все более плотной внутренней упаковки при продолжающемся захвате доли пространства – происходит формирование суперструктур (интегративных синергоформ), которые в пределе выглядят как правильные многогранники и их комбинации. Выглядят как многогранники, но взаимодействуют как тенсегрити-структуры.

Примечание редактора

В этом месте подготовленный читатель обратит внимание на то, что возникновение триангулированных почти правильных шестиугольников таких, как пчелиные соты, комфортно выводится в физике через современную дифференциальную геометрию, а значит, такому читателю не вполне ясно, в чем же уникальность и даже необходимость фуллеровского подхода. Поэтому необходимо сделать два важных замечания:

А) Исходное понятие об элементарной сфере как единице захвата части пространства, основанное на ее оптимальности с точки зрения соотношения поверхности и объема, на первый взгляд самоочевидно. Однако, отталкиваясь от этой достаточно тривиальной предпосылки, Фуллер в дальнейшем создает инструментарий и интерпретации, которые приводят к нетривиальным и неочевидным выводам о структуре именно природных форм, в первую очередь организмов и объектов. В результате у него получаются совершенно новые карты этих природных территорий в сравнении с тем, какие карты природных процессов создает дифференциальная геометрия. Однако этот переход требует нескольких итераций. Поэтому читателю необходимо запастись определенным терпением.

Б) Фуллер основывается на минимуме исходных предпосылок/первопринципов – геодезические геометроэнергосвязи, самостабилизация на основе энергетических минимумов, плотная упаковка – идущих изнутри природных форм. Из них Фуллер выводит многообразие интегративных синергоформ путем последовательных простых итераций: сначала первичные юниты сфер захвата; потом локальные юниты плотной упаковки сфер – тетраэдры; потом различные региональные многогранники, объединяющие первичные и локальные юниты в более сложные геодезические комбинации плотной упаковки.

Его предпосылки о «знании, встроенном в природу», очень просты, что делает их намного более реалистичными в сравнении с уравнениями дифференциальной геометрии. Иначе говоря, поверить в то, что наблюдаемая в природе самоорганизация следует нескольким простым встроенным принципам, – реалистично, а вот поверить в то, что природа способна на ходу и изнутри решать сложные системы дифференциальных уравнений, нереалистично!

По мере продвижения по тексту данной книги мы все чаще используем геометрические названия, связанные с многоугольниками и многогранниками (треугольник/ тетраэдр, куб, шестиугольник, восьмиугольник/ октаэдр и т. д.). Их интерпретация Фуллером принципиально отличается от стандартной геометрии. Не обратив внимания на этот ключевой момент, очень легко запутаться и потерять нить рассуждений.

Еще раз напомним, названия многогранников в стандартной геометрии соответствуют геометрическим фигурам, ни в коей мере не считающимся фундаментальными, природными, физическими, реальными. Все геометрические фигуры – это не более чем виртуальные конструкты, исторически созданные учеными для удобства описания природы (существующей независимо). Иногда они подходят для этого, иногда нет. Когда мы наблюдаем правильные (внутренне симметричные и равносторонние) многогранники и другие фигуры (например, спирали) в природе, для современной науки это не более чем интересные и красивые артефакты, которые иногда случаются, нам эстетически приятно их видеть, но не более того.

Еще реже случается так, что ученым совсем уж удивительно везет, когда они, играя в абстракции, например в сочетания разных простых симметрий геометрических фигур, обнаруживают, что целый класс природных объектов совершенно неожиданно совпадает с этими играми ума, например в кристаллографии. Но это как выигрыш в лотерею. В то время как предполагается, что правильная, нормальная, ответственная наука продирается через джунгли бесконечного разнообразия природных форм и явлений, и для того, чтобы в этом разнообразии уловить какие-то закономерности, ей приходится пользоваться все более сложными сочетаниями уравнений и увеличивать уровень абстракций. То есть уровень правильных многогранников – это игра в научной песочнице, своего рода азбука математики, которая очень красива и с которой все начинают, но не более того. Настоящий ученый – это тот, кто поднимается выше по лестнице абстракций. И наоборот, тот, кто пытается всерьез утверждать насчет реальности и природности правильных многогранников, – это человек, застрявший в научной песочнице; фрик, к которому не может быть никакого серьезного отношения.

Этот контекст всегда необходимо иметь в виду, говоря о синергетике Фуллера. Фуллер – это Пикассо в физико-математической науке: кажущийся примитивизм исходных посылов и инструментария, за которым скрыты огромная глубина и способность ухватить простую суть явлений, на поверхности выглядящих исключительно сложными. Но обнаружение этой глубины требует преодоления барьера предубеждений и необходимости разобраться в многослойной фуллеровской терминологии. Ситуация осложняется тем, что, будучи изобретателем и архитектором, Фуллер полагался в первую очередь на доказательство воплощением, а не на теоретические диспуты. Поэтому к настоящему времени работы и терминология Фуллера требуют комментариев и перевода на современный язык.

Рис. 2.1. Плотная упаковка кругов образует узор из триангулированных шестиугольников. (© Рори Джеймс)

Необходимо помнить, что в синергетике Фуллера привычные названия правильных многогранников имеют совершенно другой смысл – они обозначают именно интегративные тетраэдрические геометроэнергоформы более высокого порядка по сравнению с первоэлементностью единичной сферы. Для краткости мы называем их синергоформами. Эти синергоформы отображают неотъемлемую исходную внутреннюю неоднородность природного реального пространства. Именно этим Фуллер объясняет двойственность наших наблюдений за природой.

С одной стороны, внутреннее процессное содержание знания, встроенного в природу, достаточно часто всплывает на поверхность в виде геометрически правильных природных узоров, паттернов, симметрий и пр. Но так происходит далеко не всегда. Фуллер не видит в этом проблемы. Он исходит из того, что синергоформы пространства работают абсолютно всегда и везде, даже когда мы не наблюдаем внешней геометрической правильности в природе, а видим что-то непонятное, геометрически неправильное и несимметричное, нам нужно учиться лучше распаковывать наблюдаемое сложное на стоящие за ним простые процессы итераций основных геометроэнергоформ.

Геодезическая геометрия Фуллера предполагает, что центры любых трех сфер-объектов, входящих в плотно упакованную структуру, образуют равносторонний треугольник.

Фуллер рассматривал эти линии, соединяющие центры сфер, как векторы силы, которые, с одной стороны, притягивают центры кругов друг к другу, а с другой – удерживают их на расстоянии друг от друга.

Треугольники стабилизируют геометрическую организацию, а шестиугольники представляют собой наиболее энергоэффективный компромисс между захватом пространства внутрь круга кругов (сфер) – первоструктурой и полным (без зазоров) заполнением плоскости между соприкасающимися кругами – интегративной суперструктурой.

Наводя мосты между геометрией и физикой, нельзя не отметить, даже атомы взаимодействуют друг с другом подобным конкурентно-компромиссным образом в тесном взаимодействии.

В результате при развертке в слои динамическая синергетическая система самоорганизованно стремится к переходу от округлых периметров исходных кругов к гексагональности (шестиугольникам).

Шестиугольники плотно упакованы в самогенерирующийся массив, воспроизводящий одну и ту же форму в нескольких размерных масштабах (рис. 2.2), и поддерживают друг друга там, где их стороны встречаются в трехсторонних соединениях. Даже неоднородные формы, будучи упакованными вместе, будут приближаться к шестиугольникам, однако полную устойчивость они приобретут лишь при триангуляции (Fuller, 1975, 410.00).

Приведем в пример природные артефакты. Так, например, пузырьки самопроизвольно образуют шестиугольные массивы, по мере того как уменьшается натяжение их поверхности и минимизируется площадь поверхности (рис. 2.3А). Расположение атомов в снежинках, графите и алмазах представляет собой шестиугольники, к которым также относится и форма базальтовых блоков, создаваемых самым равномерным распределением механических напряжений при охлаждении и расщеплении лавы (Ball, 2016) (рис. 2.3B).

Согласно Фуллеру эти естественные структуры и формы возникают в природе благодаря тому, что векторы силы внутри них сбалансированы в наиболее энергетически эффективных конфигурациях. В живых тканях группы клеток могут приближаться к шестиугольникам как к балансу между силами натяжения, создаваемыми внутри каждой клетки, и силами, действующими на нее со стороны окружения (Gibson et al., 2006; McMillen & Holley, 2015). Подобная организация также обнаружена в упаковке волокон актина и миозина в мышцах (Standring, 2005, с. 118) на поверхности уротелия, в микроструктуре птичьего легкого, в глазах насекомых, в сотах пчелы (рис. 2.4) и в бронированной чешуе рыбы-кузовка (Yang et al., 2015). Интересно, что даже полярная погодная система Сатурна у его полюсов формирует такого рода предельные шестиугольники (Barbosa-Aguiar et al., 2010).

Как мы увидели из приведенных выше примеров, триангулированные предельные шестиугольники естественным образом возникают в природе настолько часто, что служат наиболее очевидной иллюстрацией, мотивирующей дальнейшее изучение и детализацию геодезической синергогеометрии.

Нашим следующим шагом будет рассмотрение того, как взаимосвязь принципов геодезической геометрии, плотной упаковки и минимальной энергии приводит к возникновению новых уровней пространственной организации в виде интегративных геометрических форм, которые Платон описал в IV веке до н. э. как архетипические платоновы тела и которым Фуллер придал совершенно новый энергогеометрический смысл (рис. 2.5).

В поиске понимания следующего, более интегративного уровня принципов формообразования в природном пространстве Фуллер обратился к пласту древнегреческого наследия – так называемым платоновым телам и правильным многогранникам.

Рис. 2.2. Шестиугольники упаковывают и создают ту же самую форму в больших масштабах (по Левину, 1986)

Рис. 2.3. Шестиугольные массивы.

(A) Пузыри одинакового размера. (B) Блоки лавы на Мощеной дорожке гигантов в Северной Ирландии. (Воспроизведено из © Chmee2, Википедия)

Рис. 2.4. Шестиугольная плотная упаковка. (A) Бляшки уроплакина, покрывающие поверхность уротелия. (Воспроизведено из Sanner et al., 2005; © Humana Press). (В) Парабронхи в птичьем легком. (Воспроизводится с Майны, 2007; © Elsevier). (C) Многофасетный глаз жука Dytiscus. (D) Пчелиные соты

Исторически платоновыми телами называются правильные многогранники, состоящие из идентичных граней, которые встречаются с вершинами под одинаковым углом и имеют три, четыре или пять ребер при вершине. Эти названия: тетраэдр (4), гексаэдр-куб (6), октаэдр (8), икосаэдр (12), додекаэдр (20) будут очень часто упоминаться в дальнейших главах книги (Edmondson, 2007, с. 45).

В отличие от современной дифференциальной геометрии, которая рассматривает платоновы тела как исторические артефакты и как частные любопытные случаи в бесконечном многообразии возможных геометрических фигур, Фуллер присваивал им намного более высокий статус особых, избранных, базовых, предельных, дискретных, фундаментальных природных интегративных геометроэнергоформ, объективно встроенных в природу физического пространства.

Рис. 2.5. Пять платоновых многогранников.

По сути, Фуллер рассматривал их как строительные блоки природы.

Фуллер делал такой вывод, рассматривая формы платоновых тел как первую группу динамических геодезических комбинаций (интегралов), возникающих в процессе плотной упаковки исходных геометроэнергосфер как первоэлементов пространства. Иначе говоря, в синергогеометрии Фуллера синергоформы, соответствующие архетипам платоновых тел, непосредственно выводятся как геодезические комбинации из первичной геометроэнергосферы, представляющей собой первоэлемент его подхода (Fuller, 1975, 224.00).

В его синергогеометрии все многообразие наблюдаемых материальных природных структур и систем формируется из геодезических комбинаций (а не просто «линейных») итеративного близкодействия этих форм в разных сочетаниях и масштабах – плотной упаковки в пространстве. Можно сказать, что для Фуллера синергоформы платоновых тел (многогранников) представляли собой основной созидательный инструментарий природы, своего рода процесс и правила природного интегрирования. Тем самым он операционализирует архетипы Платона, акцентируя первичность групповой связности и ее основные классы.

Платоновы архетипические многогранники в интерпретации Фуллера

Создавая свою синергогеометрию, Фуллер возвращается к истокам, когда геометрия и физика еще не были разделены, будучи единой натурфилософией.

В этом смысле он напрямую наследует древнегреческой традиции оснований геометрии, в которой древние греки считали, что эти пять платоновых форм имели особый архетипический статус, придававший им вес естественного закона для всего разнообразия природных проявлений, поскольку «благодаря своей простоте и совершенству» они описывают все, что есть во Вселенной. Мы уже упоминали о том, что для античности именно неделимые архетипы Платона были фундаментальны, а геометрия Евклида имела более прикладной и низкий статус. Однако при зарождении современной науки в XVI–XVII вв. роли поменялись. Геометрия Евклида стала основанием естественных наук, а архетипы платоновых тел превратились в исторический артефакт.

Для Фуллера же платоновы тела, помимо их неделимой архетипичности, оказались особенно интересны тем, что каждая их вершина равноудалена от центра так же, как и поверхность сферы в любом ее месте. При этом линии между вершинами делят форму на равные части, которые можно спроецировать на поверхность в виде кривой. Тем самым Фуллер видел в них естественное развитие принципов захвата пространства и плотной упаковки (Fuller, 1975, 610.20; Edmondson, 2007, с. 233) (рис. 2.6).

Примечания редактора

Для описания следующих, более высоких и интегративных уровней своей синергогеометрии Фуллер использует привычную терминологию платоновых тел – правильных многогранников, не переименовывая их. Нетрудно догадаться, что, полностью переосмыслив основания геометрии, Фуллер дал классическим пониманиям Платона совершенно новую синергогеометрическую трактовку.

Однако Фуллер по причине огромного уважения к фигуре и наследию Платона в своих работах сохранил название «платоновы тела», подчеркивая их особый архетипический статус неизменным, хотя и полностью изменил внутреннее математическое содержание этих понятий.

Рис. 2.6. Линии, соединяющие вершины платоновых форм (например, как в тетраэдре), образуют кривые при проецировании на поверхность окружающей сферы и делят ее на равные части

К сожалению, такая склейка новых и старых названий и понятий послужила источником больших разногласий при анализе творческого и научного наследия Фуллера и во многом стала причиной того, что геометрия Фуллера не получила должного развития в работах профессиональных математиков.

Задача данной книги – максимально точное отображение сути и духа фуллеровского подхода, а не прямое следование его исходной терминологии. Нам не хотелось бы повторить по отношению к Фуллеру ту ошибку, которую он допустил по отношению к наследию Платона. Поэтому в дальнейшем, говоря о том, что в литературе по Фуллеру, синергетике и тенсегрити по-прежнему называется платоновыми телами и платоновыми правильными многогранниками, мы будем называть их интегративными фуллеровскими синергоформами или фуллеровыми телами.

Фуллер всегда искал мотивацию к своим рассуждениям в непосредственных наблюдениях за природой, которые явно указывают нам на повсеместную распространенность сферы как формы на самых разных масштабах. Удивительно, но несмотря на колоссальную разность размеров и весов, отдельные атомы, пузырьки, апельсины и планеты по форме приближаются к сферам.

Точно так же как круг – наиболее эффективная форма для окружения захвата пространства в плоскости (два измерения), так и сфера является его эквивалентом в трехмерном пространстве. Она охватывает наибольший объем в пределах любой заданной площади поверхности.

Не стоит забывать, что геометрия Фуллера основана на прямой интерпретации всенаправленного объема 3D, поэтому двумерный плоский круг в своих объяснениях плотной упаковки он использовал исключительно для простоты иллюстрации.

Когда множество сфер находятся рядом в первичной плотной упаковке и непосредственно соприкасаются друг с другом во внешнем пространстве, между ними как бы остаются нерационально используемые зазоры пространства, как это было в примере с кругами (рис. 2.1).

Это надуманная проблема, поскольку энергоэффективная плотная упаковка в природе не тождественна ожидаемой нами максимальной плотности. Иначе говоря, зазоры существуют, потому что их насильное заполнение не является энергоэффективным и максимально стабильным.

Однако, как мы уже знаем, для этой проблемы существует энергоэффективное решение. Повторимся, Фуллер рассматривал соединения между центрами сфер как векторы силы, представляющие собой энергию и направление внутри того, что могло бы стать динамической системой (Fuller, 1975, 223.80).

Чтобы проиллюстрировать это понимание более наглядно, для этой книги мы изготовили модели, в которых металлические шарики соответствуют вершинам многогранников, в то время как цветные магнитные связи показывают вектора сил, которые связывают эти сферы вместе и одновременно удерживают на расстоянии друг от друга. Самый простой пример этого такого взаимодействия – тетраэдр (рис. 2.7).

Первая геометроэнергоформа: тетраэдр как платонова/фуллерова синергоформа

В классическом понимании тетраэдр – это правильный четырехгранник, все четыре грани которого правильные, то есть равносторонние треугольники.

Обратим внимание на то, что в природе форма тетраэдра естественным самоорганизующимся образом появляется в самых разнообразных ситуациях – в сложенных горкой апельсинах, в молекулах воды и метана (Pauling, 1964), в радиолярии (Haeckel, 1887, с. 63) и в минеральных кристаллах тетраэдрита.

В основаниях своей геометрии Фуллер сделал особый акцент на тетраэдре, поскольку, как и сфера, это тоже предельная объемная форма.

В сравнении со сферой тетраэдр – это другой полюс предельности в соотношениях поверхность-объем. Предельность сферы – это максимум объема внутри данной поверхности. Тетраэдр же имеет наименьший (трехмерный) объем в пределах данной площади поверхности для любой упорядоченной (regular) структуры.

Поэтому для Фуллера сфера первична и элементарна, поскольку это максимально возможный захват пространства и максимальная энергия, переводимая из внешнего пространства во внутреннее, пусть и с более разреженной внутренней упаковкой.

Тетраэдр же – это объемная форма с минимальной энергией, которая создает условия для максимальной плотности внутренней упаковки.

Таким образом, возникает дуальность – первичная сферность как наиболее эффективная для захвата и присвоения пространства в сочетании со следующим шагом формообразования, основанном на тетраэдре. В этом смысле тетраэдр – это геометроэнергоформа, которая может быть как подсистемной – уплотнение упаковки внутри данной сферы, так и надсистемной – уплотнение упаковки между сферами во внешнем относительно них пространстве (геодезические комбинации).

Наиболее очевидный биологический пример такой дуальности/полярности как принципа – комплиментарность яйцеклетки и сперматозоида. Яйцеклетка – воплощение сферичности – самая крупная из клеток человека, максимально наполненная цитоплазмой, но при этом мягкая внутри. Сперматозоид, наоборот, – это сверхмалая клетка, в которой почти нет цитоплазмы и достигнута максимальная плотность клеточного вещества, совместимого с жизнью. Их соединение в зиготу запускает каскад формообразований, в котором реализуется огромный спектр допустимых смешений пропорций сферичности и «тетраэдричности».

Акцент на комплиментарной предельности сфер и тетраэдров определил то, что в геометрии Фуллера формообразование тетраэдра принципиально отличается от стандартной геометрии.

Мы уже говорили о том, что в классическом понимании тетраэдр – это правильный четырехгранник, формообразованный из граней треугольников.

Фуллер расставлял акценты совершенно по-другому. Его тетраэдр – это в первую очередь самозамыкание векторных отношений между элементарными сферами, поэтому его построение ведется опосредованно через сферы, а не напрямую через ребра и грани.

Для данной книги мы подготовили несколько моделей, позволяющих наглядно понять формообразование тетраэдров в энергогеометрии Фуллера.

Самый простой алгоритм иллюстрируется шариками для пинг-понга (рис. 2.7 С).

Начнем с трех сфер, плотно упакованных друг с другом таким образом, что в линию, проведенную между центрами их масс, вписывается векторный треугольник (рис. 2.1). После этого, разместив поверх них еще одной одну сферу, мы создаем создаем четвертую вершину, образуя тетраэдр.

Однако даже этот, казалось бы, очевидный шаг ставит нетривиальные вопросы. На рис. 2.7С голубые линии иллюстрируют тетраэдр, описанный вокруг сфер, – это линии, проведенные по касательным к поверхностям (оболочкам) сфер. А рис. 2.7А показывает тетраэдр, вписанный в сферы, – это векториальные треугольники, образованные линиями, проведенными между их центрами.

Какой из них первичен в геометрии Фуллера? Вписанный тетраэдр.

На рис. 2.7А собственно сферы, как оболочки не видны, но представлены силовыми векторами, соединяющими центры масс.

Для Фуллера тетраэдр – это простейшая интегративная геометроэнергоформа (основа геодезических комбинаций), определяющая систему векториальных отношений, которая имеет внутреннюю и внешнюю части, то есть имеет объем (Fuller, 1975, 638.10; Edmondson, 2007, с. 32).

Рис. 2.7. (А) Тетраэдр 1-й частоты формируется из плотной упаковки четырех сфер. (В) Добавление большего количества сфер для формирования тетраэдра 2-й частоты (см. сноску). (C) Тетраэдр занимает наименьший объем пространства в пределах наибольшей заданной площади поверхности. (© Рори Джеймс)

В этом определении важны все три аспекта.

«Простейшая» геометроэнергоформа – у Фуллера элементарной геометроэнергоформой является сфера, но она единична. В случае тетраэдра разговор идет о нескольких элементах, а не об одном. Поэтому тетраэдр – это простейшее, минимальное объединение элементов в пространстве, то есть простейшая интегративная геометроэнергоформа (геодезическая комбинация – первый из строительных интегралов).

Система векториальных отношений указывает на скрытую силовую энергоструктуру пространства, которая не наблюдается непосредственно, но определяет поведение находящихся в нем материальных элементов; имеет внутреннюю и внешнюю части, то есть имеет объем. Таким образом, Фуллер подчеркивает, что объем связан не с формальным трехмерным измерением, и не с формой контуров, а с фазовым состоянием – разграничением между внутренним и внешним пространствами (границей/оболочкой и глубиной/содержанием).

Тетраэдр занимает наименьший объем в пределах данной площади поверхности любой симметричной структуры, что делает его формой с минимальной энергией.

На первой итерации мы плотно упаковали четыре элементарные сферы и получили тетраэдр как простейшую интегративную геометроэнергоформу/структуру. Такой простейший тетраэдр Фуллер называл тетраэдром первой частоты и обозначал 1F (F от английского frequency).

Перейдем к следующему шагу интеграции и посмотрим, что происходит при добавлении большего количества сфер. Удивительным образом ситуация начинает ветвиться и получаются два различных алгоритма формообразования, развивающихся от простейшего тетраэдра первой частоты!

Во-первых, оказывается, что их сферы также можно соединить подобным образом (под углами 60°), чтобы создать больший тетраэдр второй частоты (2F). Это и есть наглядные примеры геодезических комбинаций Фуллера.

Напомним, что у Фуллера понятие частоты заменяет понятие величины (размера). Его интересует только внутренняя архитектура, а не размер в единицах измерения длины. (Fuller, 1975, 413.00; Edmondson, 2007, с. 125)! Это иллюстрирует рис. 2.7B.

Обратите внимание, как только мы научились представлению сфер через их внутренние векторы сил (рис. 2.7А), то, рассматривая добавление последующих элементов, перестали ставить друг на друга непосредственно объемные сферы (как шарики в рис. 2.7С), а перешли исключительно к их векторному представлению.

Но это не единственный вариант интегрирования добавочных сфер.

Тетраспираль

Во-вторых, кроме «большего» тетраэдра второй частоты может начать формироваться другая структура, а именно цепочка тетраэдров первой частоты, которая скручивается в так называемую тетраспираль (Fuller, 1975, 930.00) (рис. 2.8).

Поскольку каждый состоящий из сфер тетраэдр первой частоты является предельным минимумом, занимающим наименьшую долю пространства (Lord et al., 2006), то и тетраспиральная цепь, образующаяся при дальнейшем добавлении большего количества сферных элементов, расположенных подобным образом, образует цепь, которая тоже стремится к этому минимуму занимаемого пространственного объема (плотной упаковке).

Это свойство тетраэдров и образованных их объединением интегративных геометроэнергоформ мы в дальнейшем будем называть структурной эффективностью, стоящей за геодезическими комбинациями.

Плотная упаковка тетраэдров намного ближе к нашему интуитивному восприятию «сплошности» в заполнении пространства, чем плотная упаковка сфер, но мы должны помнить, что это уже суперплотность упаковки, поскольку тетраэдры – это уже интегративные, а не базовые геометроэнергоформы в отличие от сфер.

На этом интересные свойства тетраспиралей не заканчиваются.

Помимо структурной эффективности, их следующей ключевой характеристикой является так называемая хиральность, а именно закрученность, спиральная ориентированность (рис. 2.9). В зависимости от того, к какой грани исходного тетраэдра первой частоты подсоединяются добавляющиеся сферы, – спираль может быть либо левозакрученной (Left, левосторонней) либо правозакрученной (Right, правосторонней). В таком случае их называют L-спираль и R-спираль. (Некоторые авторы описывают хиральность через часовую стрелку – закрученность по часовой стрелке и против часовой стрелки), а также понятие «ход»: левый ход и правый ход.

Как всегда, мы считаем необходимым подкрепить введение новых математических конструкций, таких как тетраспираль, отсылками к природным примерам самоорганизации, которые их явно иллюстрируют.

Благодаря своей структурной эффективности, а также наличию и внедрению лево– и правосторонних вариаций хиральности, тетраспираль – особенно подходящая модель для молекулярной упаковки. (Chouaieb et al., 2006) (рис. 2.9). А также, как мы увидим позже, образует геометрическую основу для значительного числа белковых структур (Sadoc & Rivier, 2000; Lord, 2002), трубчатых стенок кровеносных сосудов (Holzapfel, 2006) и мышц (Scarr, 2016a); даже кости при движении следуют по сложным лево– и правосторонним спиральным траекториям!

Рис. 2.8. Цепочка тетраэдров, образующая тетраспираль с правосторонним скручиванием

Рис. 2.9. Лево– и правосторонние тетраспирали, происходящие из тетраэдра. (© Рори Джеймс)

Тетраспираль – это неканоническая геометроэнергоформа, поскольку не входит в канонический список из пяти платоновых тел (рис. 2.5), но при этом она рассматривается Фуллером как исключительно важный шаг в его геодезической синергогеометрии и, по сути, тоже может считаться фундаментальным архетипом геодезических комбинаций. В этом смысле тетраспираль – это фуллерово тело (синергоформа), не имеющее платонова аналога.