Текст книги "Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную"

Подобные регулярные перестановки категорически не похожи на аккуратные эллипсы, которые рисовал Кеплер. Дело в том, что эллипсы – естественные орбиты в динамике системы двух тел. Когда на сцене появляется третье тело, орбиты меняют форму. В данном случае большую часть времени воздействие третьего тела достаточно невелико, чтобы его можно было игнорировать, так что каждая луна движется довольно точно по эллипсу, как если бы другой луны на той же орбите не было. Но когда луны сближаются, такая аппроксимация перестает отражать реальную картину. Спутники взаимодействуют и – в данном случае – меняются местами, так что каждый из них попадает на орбиту, где раньше находился второй. В определенном смысле истинная орбита каждого спутника может быть описана как два эллипса, сменяющие один другой, с короткой переходной траекторией между ними. Оба спутника обращаются по таким орбитам, основанным на одних и тех же двух эллипсах. А переход они совершают одновременно в противоположных направлениях.

* * *

Кольца Сатурна известны со времен Галилея, несмотря на то, что сам он не знал в точности, что они собой представляют. Кольца Урана попали в поле зрения астрономов в 1979 году. Мы сегодня знаем, что Юпитер и Нептун также обладают очень тусклыми системами колец. И даже спутник Сатурна Рея, возможно, имеет собственную очень разреженную систему колец.

Более того, в 2009 году Дуглас Хэмилтон и Майкл Скрутски обнаружили, что у Сатурна есть поистине гигантское, но очень тусклое кольцо намного больше тех, что видели Галилей и «Вояджеры». Предшественники не заметили это кольцо отчасти потому, что видимым оно является только в инфракрасном свете. Его внутренний край отстоит примерно на шесть миллионов километров от планеты, а внешний удален от нее на 18 миллионов километров. В пределах кольца обращается спутник Сатурна Феба, и очень может быть, что именно этому спутнику кольцо обязано своим существованием. Это очень разреженное кольцо состоит из льда и пыли; не исключено, что оно может помочь исследователям разобраться в давней загадке – темной стороне Япета. Известно, что одна половина спутника Япет заметно ярче другой – этот факт ставил астрономов в тупик примерно с 1700 года, когда Кассини первым обратил на него внимание. Теперь кажется вероятным, что Япет собирает на себя темное вещество гигантского кольца.

В 2015 году Мэтью Кенворти и Эрик Мамаек объявили, что у далекой экзопланеты, обращающейся вокруг звезды J1407, имеется система колец, по сравнению с которой система Сатурна кажется бледной и совершенно незначительной, даже принимая во внимание обнаруженное недавно внешнее кольцо. Эти кольца, подобно кольцам Урана, открыты в результате анализа флуктуаций на кривой блеска (кстати говоря, это основной метод обнаружения экзопланет, см. главу 13). Когда планета проходит по диску звезды (транзит), свет звезды несколько тускнеет. В данном случае ослабление блеска звезды повторялось на протяжении двух месяцев, но каждое событие (затемнение) было довольно коротким. Из этого был сделан вывод, что линию зрения от этой звезды к Земле, должно быть, пересекла какая-то экзопланета с многочисленными кольцами. В наилучшей модели получилась система из 37 колец, радиус которой составляет 0,6 а.е. (90 миллионов километров). Сама экзопланета пока не обнаружена, но считается, что она примерно в 10–40 раз массивнее Юпитера. Чистый промежуток в системе колец проще всего объяснить присутствием экзолуны, размер которой также можно оценить.

В 2014 году еще одна система колец была обнаружена в Солнечной системе в совершенно невероятном месте: вокруг астероида (10199) Харикло – малого тела, принадлежащего к типу так называемых кентавров[43]43
  Группа астероидов, находящихся между орбитами Юпитера и Нептуна, переходная по свойствам между астероидами Главного пояса и объектами пояса Койпера.


[Закрыть]. Это тело обращается между Сатурном и Ураном и является крупнейшим известным кентавром. Его кольца проявили себя двумя легкими снижениями яркости в серии наблюдений, в которых Харикло заслонял собой (на астрономическом жаргоне – покрывал) различные звезды. Относительное положение этих впадинок на графике близко все к тому же эллипсу с Харикло возле центра; предполагается присутствие двух близких колец на почти круговых орбитах, плоскость которых видна нам под углом. Одно из колец имеет радиус 391 километр и ширину около семи километров; затем идет девятикилометровый промежуток до второго кольца радиусом 405 километров.

Поскольку уже понятно, что системы колец в космосе встречаются, их существование не может быть простой случайностью. Но как же формируются кольца? Существует три основные теории. Они могли сформироваться из первоначального газового диска одновременно с планетой; они могут оказаться остатками луны, разбитой при столкновении; они могут быть остатками луны, подошедшей к планете ближе предела Роша, на котором приливные силы превышают прочность камня, и разрушенной ими.

Поймать систему колец в стадии формирования шансов мало, хотя открытие Кенворти и Мамаека показывает, что это в принципе возможно, но при этом мы получим в лучшем случае мгновенный снимок. Весь процесс занимает не одну тысячу лет, и наблюдать его целиком никаких жизней не хватит. Зато мы можем проанализировать гипотетические сценарии математически, сделать предсказания и сравнить их с результатами наблюдений. Этот процесс чем-то напоминает поиски окаменелостей в небесах. Каждая «окаменелость» рассказывает нам о том, что происходило в прошлом, но для интерпретации этих данных необходима гипотеза. А чтобы разобраться в следствиях из этой гипотезы, вам потребуются математическое моделирование, умозаключения или, что еще лучше, теоремы.

7. Звезды Козимо Медичи

Поскольку я, как первооткрыватель, должен назвать эти новые планеты, я желаю, в подражание великим мудрецам, поместившим среди звезд самых замечательных героев того времени, посвятить их светлейшему герцогу (Козимо II де Медичи, великому герцогу Тосканскому).

Галилео Галилей. «Sidereus Nuncius»

Взглянув в первый раз на Юпитер в свой новый телескоп, Галилей заметил на орбите вокруг планеты четыре крохотные искорки; получалось, что у Юпитера есть собственные луны. Это можно было считать прямым доказательством ошибочности геоцентрической теории. Галилей зарисовал взаимное расположение спутников Юпитера в своей тетради. Более детальные наблюдения можно связать в цепочку и построить график видимого движения светлых точек. Сделав это, мы получим красивые синусоидальные кривые. Известно, что естественный способ получения синусоидальной кривой состоит в том, чтобы наблюдать равномерное круговое движение с ребра. Поэтому Галилей сделал вывод, что звезды Козимо Медичи ходят кругами вокруг Юпитера в плоскости эклиптики.

Усовершенствованные телескопы помогли астрономам установить, что спутники есть у большинства планет Солнечной системы. Единственные исключения – Меркурий и Венера. У нас один спутник, у Марса – два, у Юпитера их по крайней мере 67, у Сатурна – по меньшей мере 62 плюс сотни мини-лун, у Урана – 27 и у Нептуна – 14. Да, у Плутона 5 спутников. Сами спутники варьируются от небольших камней неправильной формы до почти сферических эллипсоидов, достаточно больших, чтобы их можно было считать небольшими планетами. Поверхности спутников составляют в основном камень, лед, сера и замерзший метан.

Крохотные луны Марса Фобос и Деймос стремительно носятся по марсианскому небу, а Фобос обращается так близко к планете, что проходит над наблюдателем в направлении, противоположном движению Деймоса. Оба тела имеют неправильную форму и, вероятно, являются захваченными астероидами, или, возможно, они были одним захваченным астероидом в форме утенка, как ядро кометы 67P, представляющей собой два тела, которые мягко сошлись и слиплись между собой. Если это так, то захваченный Марсом астероид вновь распался на составные части под действием гравитации планеты: тогда Фобос – это одна половинка астероида, а Деймос – другая.

Некоторые луны представляются совершенно мертвыми; другие активны. Спутник Сатурна Энцелад выпускает из себя мощные струи ледяных гейзеров высотой 500 километров. Спутник Юпитера Ио может похвалиться покрытой серой поверхностью и по крайней мере двумя активными вулканами – Локи и Пеле, выплевывающими сернистые соединения. Должно быть, там имеются громадные подповерхностные резервуары жидкой серы, а энергия для ее разогрева, вероятно, выделяется при гравитационном сжатии спутника Юпитером. Спутник Сатурна Титан имеет метановую атмосферу, гораздо более плотную, чем, по идее, должен иметь. Спутник Нептуна Тритон обращается вокруг планеты не в ту сторону, и это указывает на то, что он был захвачен. Он очень медленно приближается по спирали к планете, и через 3,6 миллиарда лет развалится, достигнув предела Роша – расстояния, внутри которого луны разваливаются на куски под действием гравитационных напряжений.

Спутники больших планет часто состоят в резонансе. Так, период обращения Европы вдвое превосходит период Ио, а период Ганимеда вдвое превосходит период Европы и, следовательно, вчетверо превосходит период Ио. Резонансы порождаются динамикой тел, подчиняющихся закону всемирного тяготения Ньютона. Планеты с системами колец медленно собирают луны на границе колец, а затем выплевывают их одну за другой, как капли воды падают из крана. В этом процессе имеются математические закономерности.

Многие свидетельства, в том числе и математические, указывают на то, что на некоторых ледяных лунах есть подземные океаны, согреваемые приливными силами. По крайней мере в одном таком океане больше воды, чем во всех земных океанах, вместе взятых. Наличие жидкой воды делает эти луны потенциальными вместилищами простых землеподобных форм жизни (см. главу 13). А необычный химический состав Титана делает его потенциальным вместилищем форм жизни, совершенно не похожих на земные.

По крайней мере один астероид имеет собственную крошечную луну – это Ида, вокруг которой обращается миниатюрный Дактиль. Мир лун завораживает; это идеальная площадка для гравитационного моделирования и всевозможных научных рассуждений. И все это восходит к Галилею и звездам Козимо Медичи.

* * *

В 1612 году Галилей, определив орбитальные периоды звезд Медичи, предположил, что достаточно точные таблицы их движения обеспечат моряков небесными часами и помогут разрешить навигационную проблему определения долготы. В то время мореходы умели определять широту места, наблюдая Солнце (хотя до точных инструментов вроде секстана было еще далеко), но долготу могли оценивать только по счислению пути, то есть методом очень приблизительного подсчета. Основной практической проблемой было проведение наблюдений с палубы качающегося на волнах судна, и Галилей работал над двумя устройствами для стабилизации телескопа. Метод Галилея использовался на суше, но не на море. А проблему долготы, как известно, решил Джон Харрисон при помощи серии точнейших хронометров, за что и получил в 1773 году призовые деньги.

Спутники Юпитера стали для астрономов настоящей небесной лабораторией, впервые позволив наблюдать со стороны систему из нескольких тел. Ученые составляли таблицы движения этих тел, пытались это движение объяснять и предсказывать теоретически. Один из способов получить точные измерения – пронаблюдать транзит луны по диску планеты, потому что начало и конец транзита – четко определенные события. Затмения, когда луна, наоборот, заходит за планету, определяются не хуже. Джованни Годиерна отметил это в 1656 году, а примерно десятилетием позже Кассини начал длинную серию систематических наблюдений, в ходе которых отмечал также и другие совпадения, к примеру, соединения, при которых две луны выстраиваются в одну линию. К собственному удивлению, он обнаружил, что времена транзитов не согласуются с движением лун по правильным повторяющимся орбитам.

Датский астроном Оле Рёмер подхватил идею Галилея об определении долготы, и в 1671 году вместе с Жаном Пикаром провел наблюдения 140 затмений Ио в Ураниборге под Копенгагеном; в это же время Кассини наблюдал их в Париже. Сравнив временны́е отметки, астрономы вычислили разницу долгот двух обсерваторий. Кассини тогда уже обратил внимание на некоторые странности в наблюдениях и размышлял, не возникают ли они из-за того, что скорость света конечна. Рёмер свел воедино все наблюдения и выяснил, что очередные затмения наступали немного раньше, когда Земля находилась ближе к Юпитеру, и позднее, когда она находилась от него дальше. В 1676 году он сделал в Академии наук сообщение о причине этого явления: «Судя по всему, свету требуется около 10–11 минут, [чтобы пройти] расстояние, равное радиусу земной орбиты». Озвученное число основывалось на тщательных геометрических построениях, но наблюдения были не слишком точными; современное значение для этого интервала – 8 минут 19 секунд. Рёмер не опубликовал свои результаты в виде формальной научной работы, но его лекцию изложил – причем плохо – какой-то неизвестный репортер. Ученое сообщество приняло идею, согласно которой свет имеет конечную скорость, только в 1727 году.

Несмотря на все нерегулярности, Кассини ни разу не удалось наблюдать соединение сразу трех внутренних спутников (Ио, Европы и Ганимеда), когда все они одновременно выстраиваются в линию, совпадающую с лучом зрения; следовательно, что-то, вероятно, не позволяет им это сделать. Орбитальные периоды этих спутников соотносятся друг с другом приблизительно как 1:2:4, и в 1743 году Пер Варгентин, директор Стокгольмской обсерватории, показал, что это соотношение становится поразительно точным, если интерпретировать его заново, на этот раз корректно. Измеряя положение спутников как угол относительно некоторого фиксированного радиуса, он открыл следующую замечательную связь:

угол для Ио – 3 × угол для Европы + 2 × угол для Ганимеда = 180º.

Согласно его наблюдениям, это уравнение выполняется почти точно на длительных периодах времени, несмотря на нерегулярности орбит трех этих лун. Для соединения всех трех спутников нужно, чтобы все три угла были равны, но если это так, то в левой части приведенного уравнения мы получим 0º, а не 180º. Получается, что тройное соединение невозможно до тех пор, пока выполняется данное соотношение. Варгентин утверждал, что этого не произойдет еще по крайней мере 1,3 млн лет.

Из этого уравнения следует также, что соединения трех лун происходят в определенной повторяющейся последовательности:

Европа и Ганимед,

Ио и Ганимед,

Ио и Европа,

Ио и Ганимед,

Ио и Европа,

Ио и Ганимед.

Лаплас решил, что формула Варгентина не может быть простым совпадением и для такого соотношения должна быть конкретная динамическая причина. В 1784 году он вывел эту формулу из закона всемирного тяготения Ньютона. Из его вычислений следует, что на длительных интервалах времени комбинация соответствующих углов не остается равной в точности 180°; вместо этого наблюдается либрация – медленные колебания вокруг этой величины в обе стороны меньше чем на 1°. Это, конечно, достаточно мало, чтобы не допустить тройного соединения. Лаплас предсказал, что период этих колебаний должен составлять 2270 суток. Наблюдаемое значение на сегодняшний день – 2071 сутки – совсем неплохо. В его честь данное соотношение между тремя углами назвали резонансом Лапласа. Успех Лапласа стал весомым подтверждением закона Ньютона.

Мы сегодня знаем, почему во временах транзита наблюдается нерегулярность. Тяготение Юпитера вызывает прецессию приближенно эллиптических орбит его спутников (аналогично прецессии орбиты Меркурия вокруг Солнца), так что положение периовия – ближайшей к Юпитеру точки орбиты – изменяется довольно быстро. В формуле резонанса Лапласа прецессии компенсируют друг друга, но на индивидуальные транзиты влияют сильно.

Резонансом Лапласа называется любое подобное соотношение углов. Так, звезда Gliese 876 имеет систему экзопланет, первая из которых была обнаружена в 1998 году. В настоящее время известны четыре планеты, и три из них – Глизе 876c, Глизе 876b и Глизе 876e – имеют орбитальные периоды, равные 30,008; 61,116 и 124,26 суток, что подозрительно близко к соотношению 1:2:4. В 2010 году Эухенио Ривера с коллегами показали, что в данном случае наблюдается соотношение:

угол для 876c – 3 × угол для 876b + 2 × угол для 876e = 0°,

но сумма при колебаниях вокруг 0° отклоняется на целых 40°, то есть либрация здесь гораздо сильнее. В данном случае тройное соединение возможно, а почти соединение, близкое к тройному, происходит на каждом обороте внешней планеты. Моделирование показывает, что колебания вокруг 0° должны быть хаотичны, а период их составляет приблизительно 10 лет.

Три луны Плутона – Никта, Стикс и Гидра – тоже демонстрируют лапласоподобный резонанс, но здесь среднее соотношение периодов составляет 18:22:33, а среднее отношение орбит – 11:9:6. Уравнение здесь выглядит так:

3 × угол для Стикса – 5 × угол для Никты + 2 × угол для Гидры = 180°.

Тройное соединение здесь невозможно по тем же соображениям, по каким оно невозможно для юпитерианских лун. На каждые два соединения Стикс/Никта приходится пять соединений Стикс/Гидра и три соединения Никта/Гидра.

* * *

И Европа, и Ганимед, и Каллисто имеют ледяную поверхность. Есть несколько независимых доказательств того, что на всех трех спутниках подо льдом имеется жидкий водяной океан. Первой луной, на которой ученые заподозрили существование такого океана, стала Европа. Конечно, для того чтобы расплавить лед, нужен какой-то источник тепла. Приливные силы Юпитера то и дело стискивают Европу, а резонансные отношения с Ио и Ганимедом не дают ей ускользнуть от этого давления, сменив орбиту. Сжатие разогревает ядро спутника, и расчеты показывают, что выделяющегося при этом тепла достаточно, чтобы растопить большое количество льда. Поскольку поверхность спутника состоит из твердого льда, жидкая вода должна находиться глубже; вероятно, она образует толстую сферическую прослойку.

Дополнительным подтверждением этой гипотезы можно считать тот факт, что поверхность спутника испещрена трещинами, а вот кратеров на ней очень мало. Наиболее вероятное объяснение – лед образует толстый слой, плавающий поверх океана. Сильное магнитное поле Юпитера индуцирует магнитное поле и на Европе, но более слабое, и математический анализ характеристик магнитного поля Европы, измеренных орбитальным аппаратом Galileo, позволяет предположить, что подо льдом Европы должна располагаться значительная масса проводящего вещества. Самый правдоподобный вариант в данном случае, с учетом всех данных, – соленая вода.

На поверхности Европы наблюдается несколько областей «хаотического рельефа», где лед имеет очень беспорядочную и нерегулярную структуру. Одна из таких областей – Хаос Конамара (Коннемара), состоящий, кажется, из одних только бесконечных ледяных торосов, которые неоднократно ломались и двигались. Еще есть хаосы Арран, Муриас, Нарбет и Ратмор. Аналогичные формации возникают на Земле в многолетних плавучих льдах, когда устанавливается оттепель. В 2011 году группа под руководством Бритни Шмидт объяснила, что хаотичный ландшафт образуется, когда слой льда, лежащий над линзой жидкой воды, обрушивается вниз. Эти подледные озера, очевидно, находятся ближе к поверхности, чем сам океан, возможно, на глубине всего трех километров. Подобная впадина на Европе, получившая название Пятно Тера, имеет под собой озеро, воды в котором не меньше, чем в Великих Североамериканских озерах.

Линзовидные озера Европы располагаются ближе к поверхности, чем основной океан. По лучшим современным оценкам, внешний слой льда на Европе, если оставить в стороне такие озера, составляет в толщину около 10–30 километров, а глубина океана равна примерно 100 километров. Если это так, то по объему океан Европы вдвое превосходит все земные океаны, вместе взятые.

На основании аналогичных данных можно предположить, что на Ганимеде и Каллисто тоже есть подповерхностные океаны. На Ганимеде внешний слой льда толще, около 150 километров, а глубина океана под ним такая же – около 100 километров. На Каллисто океан, вероятно, лежит на той же глубине подо льдом, а глубина океана составляет 50–200 километров. Все эти оценки предположительны, и различия в химическом составе – к примеру, присутствие аммиака – изменили бы их весьма значительно.

Спутник Сатурна Энцелад – очень холодный мир, средняя температура на его поверхности составляет 75 K (примерно минус 200 °C). Казалось бы, не стоит ожидать от такого спутника особой активности; астрономы и не ожидали, пока Кассини не открыл, что Энцелад испускает громадные гейзеры ледяных частиц, водяного пара и хлорида натрия (поваренной соли) высотой сотни километров. Часть вещества при этом просто улетает в пространство; считается, что это и есть основной источник вещества кольца E вокруг Сатурна, содержащего 6 % хлорида натрия. Остальное падает обратно на поверхность Энцелада. Самое правдоподобное объяснение этого явления – соленый подземный океан – было подтверждено в 2015 году путем математического анализа собранных за семь лет данных о крохотных колебаниях в ориентации этой луны (специальный термин: либрация), измеренных при отслеживании точного положения ее кратеров. Энцелад покачивается из стороны в сторону на угол 0,12°. Это слишком много, чтобы соответствовать модели с жесткой связью между ядром Энцелада и его ледяной поверхностью, и указывает на существование скорее глобального океана, чем локального полярного моря. Лед над ним, вероятно, имеет толщину 30–40 километров, а сам океан – глубину 10 километров, то есть больше, чем в среднем у океанов Земли.

* * *

Среди всех спутников Сатурна семь лун обращаются вокруг своей планеты сразу же за краем внешнего из ее основных колец, кольца A. Это очень маленькие спутники, и плотность у них тоже чрезвычайно низкая, что позволяет предположить наличие внутренних полостей. Некоторые из них по форме напоминают летающие тарелки, а некоторые отличаются гладкой лоскутной поверхностью. Это Пан, Дафнис, Атлас, Прометей, Пандора, Янус и Эпиметий.

В 2010 году Себастьян Шарно, Жюльен Сальмон и Орельен Крида проанализировали, как могло развиваться кольцо с учетом гипотетических «пробных тел» на его границе, и сделали вывод, что эти луны были сформированы из материала, находящегося за пределом Роша, и «выплюнуты» кольцом. Предел Роша обычно определяют как расстояние, внутри которого луны разваливаются на части под действием гравитационных напряжений, но можно подойти и с другой стороны: это расстояние, за пределами которого кольца становятся нестабильными, если их стабильность не обеспечивается другими механизмами, такими, к примеру, как спутники-пастухи. У Сатурна предел Роша (140 000 ± 2000 километров) располагается сразу за краем кольца A (136 775 километров). Пан и Дафнис находятся чуть ближе предела Роша, остальные пять – чуть дальше.

Астрономы давно подозревали, что между кольцами и этими лунами должна существовать какая-то связь – слишком уж близки их радиусы. Кольцо A имеет очень резкую границу, обусловленную резонансом 7:6 с Янусом, который не дает большей части вещества кольца еще отдалиться от планеты. Этот резонанс можно охарактеризовать как временный; кольца «выталкивают» Янус наружу, а сами для начала сдвигаются чуть внутрь, чтобы момент импульса системы не изменился. По мере того как Янус уходит все дальше, кольца получают возможность вновь распространиться наружу, выйдя за предел Роша.

Анализ подтверждает эту точку зрения и показывает, что некоторая часть вещества кольца может временно выталкиваться за предел Роша в результате вязкого растекания – примерно как растекается и становится тоньше капля сиропа на кухонном столе. Метод исследования совмещает аналитическую модель пробных тел с численным гидродинамическим моделированием колец. В результате продолжительного вязкого растекания кольца выплевывают наружу ряд крохотных мини-спутников, орбиты которых очень близки друг другу и почти совпадают. Расчеты показывают, что эти спутнички собраны из ледяных частиц кольца, слегка удерживаемых вместе собственной гравитацией; это объясняет и низкую плотность таких мини-спутников, и их причудливую форму.

Кроме того, эти результаты пролили свет на давний вопрос о возрасте колец. По одной из теорий кольца сформировались из коллапсирующей Солнечной туманности приблизительно в то же время, что и сам Сатурн. Однако, к примеру, такой мини-луне, как Янус, потребовалось бы не более сотни миллионов лет, чтобы переместиться от кольца A на нынешнюю орбиту (и это подталкивает нас к альтернативной теории: как кольца, так и мини-луны появились одновременно, после того как какой-то более крупный спутник прошел предел Роша и распался, и произошло это где-то около 10 миллионов лет назад). Моделирование ограничивает возможное время этого события интервалом от 1 до 10 миллионов лет назад. Авторы утверждают: «Кольца Сатурна, подобные протопланетному диску в миниатюре, являются, возможно, последним местом в Солнечной системе, где не так давно (около 10⁶−10⁷ лет назад) происходила аккреция».