Текст книги "Как ломаются спагетти и другие задачи по физике"

3. Бесконечно длинный маятник

Один из самых простых школьных примеров колебаний – колебания математического маятника (см. рис. 1). Математический маятник – это просто точечная масса, подвешенная в поле тяжести на нерастяжимой нити длины L. Если его отклонить от вертикали на небольшой угол и отпустить, то он начнет колебаться туда-сюда с периодом

Как заметил еще Галилей, период колебаний не зависит от их амплитуды, по крайней мере до тех пор, пока эта амплитуда мала.

Из выписанной формулы следует, что чем длиннее маятник, тем больше период, то есть тем медленнее происходит колебание. Но может ли оно стать сколь угодно медленным?

Задача

Давайте рассмотрим совершенно гипотетическую, даже фантастическую постановку задачи: имеется математический маятник, длина его подвеса безумно велика и во много раз превышает радиус Земли. Сам точечный грузик при этом находится в лаборатории на уровне земли, но только точка подвеса унесена далеко – даже так: сколько угодно далеко – в космос! Для простоты будем считать, что Земля и точка подвеса – неподвижны. Это, конечно, слегка безумная и совершенно нереализуемая на практике ситуация, но мы имеем право рассмотреть такой мысленный эксперимент.

Рис. 1. Математический маятник в поле тяжести Земли. Пунктиром показано положение равновесия, сплошной линией – отклонение от него. Сила натяжения нити F_Н и сила тяжести mg, складываясь, порождают возвращающую силу, которая и заставляет маятник колебаться

Вычислите период малых колебаний такого математического маятника бесконечной длины. Какой еще известный вам процесс имеет тот же период? Объясните, почему эти два совершенно разных типа движения имеют одинаковый период.

Подсказка 1

Ясно, что бесконечность подставлять в формулу нельзя, поскольку при выводе этой школьной формулы не предусматривалась такая экстремальная ситуация, которую мы предложили в задаче. Значит, надо формулу вывести еще раз – но только с учетом того, что радиус Земли много меньше длины маятника, а не наоборот.

Подсказка 2

Тут есть два подхода: стандартный метод расчета и маленькая хитрость.

Стандартный метод вычисления периода колебаний таков. Рисуем положение равновесия и положение с небольшим горизонтальным отклонением x от него. Выясняем, откуда берется возвращающая сила. Убеждаемся, что возвращающая сила линейно зависит от отклонения, и возникший коэффициент пропорциональности называем жесткостью: F = − kx. Жесткость, деленная на массу грузика, дает частоту ω в квадрате. Период – это 2π/ω.

Маленькая же хитрость заключается в том, что когда вы начнете следовать этой процедуре, то догадаетесь, что задача в некотором смысле эквивалентна исходной. И тогда вы сразу сможете написать ответ без вычислений.

Так или иначе, начните с рисунка исходного положения бесконечно длинного маятника, положения при отклонении от равновесия, нарисуйте силы и найдите возвращающую силу.

Решение

На рис. 2 изображен наш бесконечно длинный маятник. Пунктирной линией показано положение равновесия, сплошной – отклонение от него. Обратите внимание, что смещение вбок – строго горизонтальное, а не по дуге, как на рис. 1, поскольку расстояние до точки подвеса считается неограниченно большим.

Рис. 2. Бесконечно длинный маятник в поле тяжести Земли

Если бы поле тяжести было строго однородным, то есть всегда направленным вниз, как на рис. 1, то никакой возвращающей силы при строго горизонтальном смещении не возникло бы. Сила вбок возникает на рис. 2 потому, что реальное поле тяжести – неоднородное; сила тяжести направлена в каждой точке не строго вниз, а к центру Земли. При смещении грузика направление на центр отклоняется от вертикали, и именно отклонение от вертикали порождает возвращающую силу.

Обратите внимание, как поменялись ролями две силы! В обычной задаче (рис. 1) сила тяжести всегда направлена вниз, а сила натяжения нити в колеблющемся маятнике отклоняется от вертикали. Здесь все наоборот: направление нити, а значит, и сила ее натяжения все время остаются вертикальными, а отклоняется от вертикали уже сила тяжести. При этом, чтобы сила тяжести не изменялась по абсолютной величине, надо, чтобы угол отклонения был мал, то есть чтобы амплитуда колебания была много меньше радиуса Земли.

Эта неожиданная параллель между двумя ситуациями открывает нам короткий путь к ответу. Возвращающая сила возникает из-за горизонтального дисбаланса двух сил, то есть из-за ненулевого угла отклонения одной силы относительно другой. Этот угол точно такой же, как был бы в исходной школьной задаче с маятником в строго однородном поле тяжести и с длиной, равной радиусу Земли. Мы просто поменяли местами две силы, и задача теперь выглядит стандартной, но только с L = R. А это значит, что мы сразу пишем ответ: что после подстановки чисел дает примерно 85 минут.

Это выражение точь-в-точь совпадает с периодом движения спутников по круговой орбите вокруг Земли. И это, конечно, не случайность, как мы сейчас увидим.

Послесловие

В принципе, интуитивно понятно, что эти два вида движения – малые колебания туда-сюда бесконечно длинного маятника над поверхностью Земли и свободное движение спутника вокруг Земли – должны быть как-то связаны. В обоих случаях все определяется притяжением к Земле, да и размер в нашем распоряжении только один – ее радиус. Но все же для пущей убедительности хочется увидеть, как именно эти два движения связаны друг с другом, почему у них одинаковый период.

Эта связь проиллюстрирована на рис. 3. Суть в том, что при исследовании маятника нам надо выйти из «зоны комфорта», то есть из плоскости рисунка, и рассмотреть трехмерное движение. У математического маятника в трехмерном мире есть два направления колебаний с одинаковыми периодами. Поэтому можно запустить маятник так, чтобы он не колебался вперед-назад, а двигался по кругу. При таком круговом движении возвращающая сила играет роль центростремительной силы, которая и обеспечивает круговую траекторию. И период его, повторимся, точь-в-точь совпадает с периодом колебания туда-сюда, поскольку движение по кругу – это, по сути, два наложившихся друг на друга линейных колебания.

Рис. 3. Переход от колебания бесконечно длинного маятника к вращению вокруг Земли

Представьте, что мы такое круговое движение небольшой амплитуды запустили сначала по маленькому кругу над полюсом. Потом расширяем круг и одновременно смещаем грузик так, чтобы плоскость его движения рассекала Землю, а сам грузик по-прежнему двигался прямо над ее поверхностью (рис. 3). При таком смещении радиус круговой орбиты растет, но пропорционально ему растет и возвращающая сила. А если возвращающая сила линейно растет с отклонением, то и период колебаний не будет зависеть от амплитуды отклонения (снова вспоминаем Галилея). Значит, и в нашем случае такого кругового колебания маятника, опоясывающего Землю, период остается тем же. С другой стороны, с ростом охвата сила натяжения нити ослабевает, поскольку вертикальная (вдоль нити) компонента силы тяжести уменьшается. Наконец, когда мы сместимся к экватору, сила натяжения нити исчезнет, и мы как раз получим свободное движение по орбите вокруг Земли. А период движения останется ровно тем же, с которого мы и начинали.

В этой задаче можно увидеть связь еще с одним механическим явлением. Зададимся вопросом: какие, собственно, силы играют роль возвращающих в нашей задаче? Ответ прозвучит несколько неожиданно – это приливные силы со стороны Земли. Приливные силы как раз и возникают из-за неоднородности притяжения со стороны массивного объекта. Стандартное рассмотрение показывает, что эти силы действуют на тело (протяженное, не точечное!) так: они его растягивают вдоль направления на Землю и сплющивают – поперек. В нашем случае направление на Землю не важно, там все ограничено нитью. А вот сплющивание в горизонтальной плоскости как раз и порождает возвращающие силы. Обратите внимание, что приливные силы ощущаются не в фиксированной точке, а в ее окрестности. Именно поэтому приливные силы влияют на колеблющийся маятник, который в своем движении как бы прощупывает протяженную область пространства вблизи положения равновесия.

И напоследок – резкий прыжок на передний край физики, к недавно открытым гравитационным волнам. Когда гравитационная волна проходит сквозь тело, то она вызывает ровно такие же деформации, как и приливные силы. Условно говоря, гравитационные волны – это волны приливных деформаций, оторвавшиеся от источника и улетевшие прочь. Эта аналогия основывается на том, что поле деформаций метрики в гравитационной волне описывается ровно теми же компонентами тензора Римана, что и приливные силы от статического гравитационного поля. И тогда еще более наглядным становится тот факт, что гравитационные волны невозможно зарегистрировать в точке; для их регистрации нужен именно протяженный объект.

4. Как ломаются спагетти?

Даже в повседневных явлениях может скрываться нетривиальная физика. Один из примеров, ставший широко известным благодаря Ричарду Фейнману, – загадка ломающихся спагетти. Если взять тонкую спагеттину и аккуратно согнуть ее в дугу, не зажимая слишком сильно концы, а просто медленно сводя их друг с другом, то в какой-то момент спагеттина сломается. Странность заключается в том, что практически всегда она ломается не на две, а на три части (рис. 1), а иногда и больше. Концы обычно остаются в руках, а центральный кусочек, вращаясь, улетает прочь. Более того, если заснять этот процесс на скоростную камеру, выдающую тысячу кадров в секунду, мы увидим, что спагеттина ломается в двух или более местах практически одновременно. На одном кадре спагеттина еще целая, а на следующем мы уже видим все разломы.

Рис. 1. Изогнутая спагеттина ломается не в одном месте, а сразу в нескольких местах, причем эти разломы происходят практически одновременно. По фотографиям из популярной статьи[3]3
  Vollmer M. and Möllmann K.-P. Feynmans Rätsel der brechenden Spaghetti // Physik in unserer Zeit, 2012, vol. 43, pp. 46-47. DOI: 10.1002/piuz.201290006.


[Закрыть]

Как так получается? Предположение, что это просто случайное совпадение двух разломов по времени, конечно, отметается. Вероятность такого точного совпадения для независимых событий очень мала. Да и к тому же если совпадение неизменно повторяется от раза к разу – то это уже закономерность, которая отражает некоторый физический процесс в ломающейся спагеттине и потому требует объяснения.

Кроме того, если взглянуть на правую схему на рис. 1, можно заметить, что средний обломок расположен относительно двух крайних кусочков спагеттины несимметрично: с одной стороны зазор намного шире, чем с другой. Это тоже не случайность; такая картина регулярно повторяется от раза к разу, а значит, тоже должна иметь объяснение.

Задача

Объясните, как получается, что изогнутая спагеттина ломается почти одновременно в двух или более местах. Глядя на рис. 1, выясните, какой из двух разломов произошел раньше, а также в какую сторону вращается центральный обломок.

Предостережение. Эта задача довольно известная, и в интернете можно найти немало страниц и видеороликов с объяснениями. Но поскольку она рассчитана на физическое чутье, а не на ваши поисковые способности, мы предлагаем подумать над ней самостоятельно. Даже если вы уже когда-то читали про нее, постарайтесь, никуда не заглядывая, построить достаточно убедительное для себя объяснение и с его помощью ответить на второй вопрос.

Подсказка 1

В описании задачи и в схемах на рис. 1 уже можно углядеть два намека.

Если два разлома не могут произойти независимо, значит, они как-то связаны друг с другом. Могут ли удаленные друг от друга части неподвижной спагеттины перед разломом заранее «договориться» в духе «Ломаемся тут и тут на счет раз-два-три!»? Нет, не могут, поскольку нагрузка статична. Поэтому то, что мы видим, – это результат динамического, быстро развивающегося во времени процесса. Разлом первоначально происходит в каком-то одном месте, там, где спагеттина оказывается наиболее хрупкой на изгиб. А вот сразу после этого запускается некий механический процесс, который каким-то образом порождает второй разлом. Вот этот процесс вам и надо описать.

Второй намек содержится в схемах. Видно, что обломки не просто разошлись друг от друга, они выпрямились, что, конечно, совершенно естественно. Может быть, именно в этом распрямлении кроется отгадка?

Подсказка 2

Возьмем на вооружение предыдущую подсказку и представим себе описанную в ней ситуацию (рис. 2). На изогнутой спагеттине произошел первый разлом. Произошел он не посередине, а где-то сбоку, там, где спагеттина наименее прочна на излом – ведь никто не гарантирует, что механические свойства спагетти будут совершенно одинаковы по всей длине и что первой поддастся именно середина. Две части, которые раньше составляли единую спагеттину и по которым передавалось механическое напряжение, теперь потеряли механический контакт друг с другом. Они оказались в очень неустойчивом изогнутом состоянии, но никто эту изогнутость не поддерживает с одного конца. Распрямляясь, оба конца начинают выходить из неустойчивого состояния.

Рис. 2. Сразу после первого разлома две неравные части спагеттины начинают выпрямляться, каждая в свою сторону

Подумайте, как именно будет протекать это распрямление на первых порах, какие этапы будут быстрые, а какие – медленные. Это поможет вам догадаться, как будет меняться с течением времени форма более длинного куска спагеттины и откуда берется второй разлом.

Решение

Чтобы понять, как будет распрямляться изогнутый кусок спагеттины, надо «вжиться в его роль» – почувствовать те внутренние напряжения, которые действуют на стержень при изгибе. В таком состоянии в его толще возникают деформации: во внешней части это растяжение, во внутренней – сжатие материала. Эти напряжения тем сильнее, чем больше кривизна стержня. Они действуют так, что стремятся уменьшить кривизну, выпрямить стержень. И самое важное, что эти выпрямляющие напряжения действуют не в каком-то одном месте стержня, а распределены по всей его длине. Распрямиться хочет каждый кусочек изогнутого стержня.

Пока спагеттина цельная, эти напряжения передаются по всему стержню, держатся друг за друга и, в конечном счете, упираются в пальцы, в концевые опоры. После первого разлома у каждой половинки появляется свободный конец, к которому никаких компенсирующих усилий не прикладывается. Но внутри стержня выпрямляющие напряжения по-прежнему действуют. Раз им никто уже не противоборствует, они, собственно, и начинают выпрямлять стержень, разворачивая его части друг относительно друга.

Если бы деформация была локализована только в одном месте, она бы разворачивала один конкретный участок стержня (рис. 3, слева). Чем короче торчащий кусок стержня, тем быстрее шло бы распрямление (причем зависимость эта кубическая). Но в реальной ситуации деформация распределена в стержне повсюду. Все эти выпрямляющие усилия действуют одновременно, но разворачивают они участки стержня разной длины, а значит, и справляются с этой задачей за разное время (рис. 3, справа). Быстрее всего выпрямляется (и продолжает колебаться туда-сюда) самый кончик, а следом идут более длинные участки и так далее – в общем, спагеттина не просто распрямляется, она деформируется.

Рис. 3. Слева: упрощенный пример, в котором выпрямляющие напряжения присутствуют только в основании и разворачивают стержень фиксированной длины. Справа: реальная ситуация, при которой напряжения присутствуют сразу везде и действуют на участки стержня разной длины

Совокупный эффект от всего этого движения выглядит примерно так. В самые первые мгновения после исходного разлома, стартуя со свободного конца, по спагеттине бежит волна характерной изгибной деформации, волна распрямления. Дальние части спагеттины еще не успели особо повернуться, у них кривизна какой была, такой почти и осталась, да и весь распрямившийся кусочек тоже пока не сдвинулся. Наложение этих движений – волны́ распрямления без существенного сдвига и неизменной кривизны вдалеке – приводит к тому, что на спагеттине появляется, движется и все сильнее очерчивается бугорок повышенной кривизны (рис. 4). В какой-то момент кривизна бугорка превышает предел прочности материала и в этом месте образуется вторая трещина.

В принципе, разницу по времени между первым и вторым разломом можно сосчитать, но это уже будет серьезное исследование. В качестве совсем грубой оценки можно прикинуть, что длина центрального кусочка составляет несколько сантиметров, а скорость деформационных волн с такой длиной волны примерно на порядок меньше скорости звука в веществе (то есть порядка сотни метров в секунду). Поделив одно на другое, получаем время заметно меньше миллисекунды, что соответствует экспериментальному наблюдению.

Рис. 4. Самопроизвольная деформация более длинной половинки спагеттины после первого разлома. Самый кончик быстро распрямляется, дальние участки еще не успевают существенно сдвинуться, и в результате появляется бугорок с большой кривизной, на месте которого и возникает второй разлом. Все деформации на этом рисунке преувеличены для наглядности

Что касается движения и вращения центрального кусочка, то тут соображения такие. При первом разломе два свободных края расходятся наружу примерно с одинаковой скоростью (см. рис. 2). Это движение – результат распрямления с силой обоих концов. При возникновении второго разлома два края находятся в неравноправных условиях. Центральный распрямляющийся участок уже не испытывает таких напряжений, которые подбрасывали бы второй конец вверх. Зато этот кусочек, распрямляясь, отталкивает наружу противоположный край. Поэтому края второго разлома расходятся намного быстрее, чем первого, несмотря на то, что он начался чуть-чуть позже. Центральный кусочек движется первым разломом наружу, а вторым – вовнутрь. На рис. 1 первый разлом – справа, а второй – слева, поэтому вращается центральный кусочек по часовой стрелке. Это подтверждают и снимки последующих этапов этого эксперимента (рис. 5).

Рис. 5. Последующие этапы эксперимента, показанного на рис. 1. По фотографиям из популярной статьи[4]4
  Там же.


[Закрыть]

Послесловие

По воспоминаниям Дэниела Хиллиса, приведенным в книге о жизни Ричарда Фейнмана «Необыкновенный гений» (No Ordinary Genius), знаменитый физик несколько часов искал объяснение загадке ломающихся спагетти, ставил эксперимент за экспериментом, но так и не пришел к удовлетворившей его теории явления. В общем-то, это действительно сделать очень трудно, не решая численными методами уравнения и не «подсматривая» за процессом на сверхскоростном видео.

Долгое время серьезно за эту задачу не брались. Лишь относительно недавно, в 2005 г., вышла научная статья[5]5
  Audoly B. and Neukirch S. Fragmentation of Rods by Cascading Cracks: Why Spaghetti Does Not Break in Half // Physical Review Letters, 2005, vol. 95, 095505. DOI: 10.1103/PhysRevLett.95.095505.


[Закрыть], в которой приводились результаты теоретического расчета и экспериментальные данные, полученные с помощью видео-камеры, делавшей 4000 кадров в секунду. Забавно, что эта работа была отмечена в 2006 г. Шнобелевской премией, хотя физика здесь совершенно настоящая и очень интересная.

Хотя результаты моделирования, изложенные в этой статье, вполне сходятся с экспериментом, предложенное там качественное объяснение все же не вполне удовлетворяет физическое любопытство. Основной аргумент статьи 2005 г. таков: после первого разлома по остаткам спагеттины начинают гулять изгибные волны и, накладываясь друг на друга, могут в каком-то месте привести к слишком большой кривизне, которая и порождает второй разлом. Кажется, что такая формулировка частично перекладывает объяснение на фразу «ну вот так вот сложились колебания».

В нашем решении мы заменили эту недосказанность механизмом распрямления, конкретным и интуитивно понятным откликом спагеттины на появление свободного конца. Это объяснение не оригинально; оно, с некоторыми изменениями, позаимствовано из совершенно шикарного видеоролика, который создал и выложил на YouTube инженер и энтузиаст-популяризатор Дестин Сандлин. Правда, чтобы разобраться в этих тонкостях, ему пришлось снимать весь процесс на сверхскоростную видеокамеру Phantom v1610, выдававшую 250 000 (!) кадров в секунду. Обязательно посмотрите это видео: оно отлично дополняет приведенное решение и наглядно демонстрирует, что в повседневной жизни встречаются явления, динамика которых разворачивается на микросекундном масштабе времен.

Дополнительная информация

Доступный рассказ об исследовании 2005 г. (Breaking Spaghetti. Short story) можно найти на странице авторов статьи: elementy.ru/link/spaghetti.

Если вы знаете немецкий язык, то можете прочитать популярную заметку о Ричарде Фейнмане и загадке ломающихся спагетти: elementy.ru/link/Feynman.

Видео Дестина Сандлина: elementy.ru/link/Sandlin.