Текст книги "Как ломаются спагетти и другие задачи по физике"

5. Форвард-детектор для коллайдера

В экспериментах на Большом адронном коллайдере частицы разгоняются до очень большой энергии, сталкиваются лоб в лоб и порождают множество вторичных частиц, разлетающихся в разные стороны. Вокруг точки столкновения установлены гигантские многослойные детекторы; они регистрируют прохождение частиц, измеряют их характеристики и по этой информации выясняют, что же там произошло в момент столкновения.

Чтобы получить как можно более полную картину столкновения, желательно зарегистрировать все рожденные частицы, не важно, в каком направлении они вылетают. Но ясно, что полный телесный угол детекторы все равно не смогут покрыть – хотя бы потому, что в каком-то направлении из детектора выходит вакуумная труба, по которой движутся частицы, и их-то нам точно нельзя ловить! Поэтому если частица при столкновении отклонилась на очень маленький угол, то центральный детектор ее просто не сможет поймать (рис. 1, левая часть).

Однако на многих современных коллайдерах – и БАК тут не исключение – предусмотрены специальные форвард-детекторы, то есть детекторы, отлавливающие частицы в направлении «вперед». В противовес огромным аппаратам типа ATLAS или CMS, форвард-детекторы – миниатюрные датчики размером несколько сантиметров. Они созданы по технологии Roman Pots и вдвигаются прямо внутрь вакуумной трубы, вплотную к пучку протонов (рис. 1, правая часть). Конечно, вставать прямо на пути протонного пучка эти детекторы не должны: ведь пучок способен прожечь насквозь многие метры бетона, и для него тонкая пластинка форвард-детектора – пустяк. Поэтому для того, чтобы быть пойманной, частица должна выйти из основного пучка и отклониться вбок хотя бы на несколько миллиметров. Поскольку форвард-детекторы устанавливаются далеко от места столкновения (которое, напомним, происходит внутри крупного детектора), они могут зарегистрировать частицы, вылетающие под очень маленьким углом к оси пучка.

Рис. 1. Обычно частицы, рожденные в столкновениях на коллайдере, регистрируются центральным детектором. Однако, если после столкновения частица вылетает под очень малым углом к оси пучка, она «улетает в трубу» и не оставляет следа в центральном детекторе. Такие частицы можно засечь на большом расстоянии от точки столкновения с помощью форвард-детекторов, которые вдвигаются прямо внутрь вакуумной трубы вплотную к пучку частиц (горизонтальная стрелка)

Более того, оказывается, эти детекторы способны отловить даже те протоны, которые после столкновений вылетают строго вперед, под нулевым углом к оси пучка! В нашей задаче мы предлагаем вам разобраться в этом эффекте и обсчитать его.

Задача

Пусть протон на БАК потерял после столкновения 1 % своей энергии, но при этом продолжает лететь строго вперед. На каком расстоянии от точки столкновения нужно поставить форвард-детектор, чтобы он смог зарегистрировать такой протон? Будем считать, что детектор поймает протон, отклонившийся вбок от траектории пучка на 1 см. Для простоты предположим, что протонный пучок летает внутри БАК по кольцевой траектории с радиусом 4 км в однородном магнитном поле.

Подсказка 1

На первый взгляд формулировка задачи содержит противоречивые условия: сначала говорится, что протон после столкновения продолжает лететь строго вперед, а потом утверждается, что он все-таки отклонится вбок. Отгадка таится в том, что протоны в коллайдере летят не по прямой, а по окружности. Подумайте, как изменится траектория протона, если в какой-то момент он потеряет небольшую долю своей энергии. Учтите также, что протоны на БАК ультрарелятивистские, то есть движутся со скоростями, очень близкими к скорости света. Поэтому если энергия уменьшится на 1 %, то и импульс тоже уменьшится на тот же 1 %.

Подсказка 2

Протоны летают по круговой траектории не по своей воле; их удерживает на окружности магнитное поле специально рассчитанной напряженности. Чем меньше энергия протона, тем меньше его импульс и тем круче то же самое магнитное поле поворачивает траекторию. Поэтому для начала нарисуйте траекторию протонов с номинальной энергией и с энергией на 1 % меньше. Поскольку в обоих случаях движение происходит в однородном магнитном поле, то отсюда можно найти соотношение между радиусами орбит в этих двух случаях. После чего несложные геометрические вычисления приведут к ответу.

Решение

Когда заряженная частица попадает в магнитное поле напряженностью B, она начинает двигаться по круговой траектории с радиусом R = p/qB.

Здесь p – импульс частицы, а q – ее заряд. Эта формула годится и для нерелятивистских частиц, и для частиц, движущихся с околосветовыми скоростями. Для ультрарелятивистских частиц импульс примерно равен энергии, поделенной на скорость света. Поэтому если энергия протона уменьшается на 1 %, то и импульс, а значит, и радиус траектории уменьшаются примерно на столько же.

Теперь надо выяснить, как расходятся две круговые траектории, касающиеся друг друга, и, в частности, на каком расстоянии от точки касания расстояние между ними достигает 1 см. Для начала заметим, что в диаметрально противоположной точке эти траектории расходились бы на 0,01 ∙ 8 км = 80 м. Нам же нужно отклонение всего в 1 см. Понятно, что такое отклонение будет достигнуто на маленькой дуге, то есть на расстоянии от точки столкновения намного меньшем, чем радиус окружности. А это позволяет вместо точного уравнения окружности использовать упрощенные формулы.

Пусть ось x направлена вдоль касательной к окружности в точке столкновения, а ось y – направлена радиально (рис. 2). Тогда при x << R круговая траектория с радиусом R будет отходить от касательной приблизительно на y = x²/2R.

Рис. 2. Участки двух круговых траекторий со слегка отличающимися радиусами

Нам требуется найти, как расходятся друг относительно друга две траектории с радиусами, отличающимися на 1 %:

Отсюда расстояние x получается приблизительно равным . При подстановке чисел это дает примерно 90 м.

Послесловие

Такой тип столкновений, когда протоны не разваливаются и не отлетают вбок при столкновении, а лишь теряют небольшую долю своей энергии и продолжают лететь вперед, взят вовсе не с потолка. Он действительно регулярно происходит и представляет большой интерес для физиков. Во время такого столкновения жестко соударяются не сами протоны, а их «сильновзаимодействующие тени», помероны (рис. 3). Померон – это особый динамический объект, состоящий из глюонов, который, условно говоря, может на время испустить протон очень большой энергии. Помероны – это словно незримые сопровождающие быстро летящего протона, и потому два встречных протона могут столкнуться своими «померонными облаками». Само название «померон» – это дань уважения выдающемуся советскому физику-теоретику Исааку Померанчуку, который еще задолго до возникновения кварк-глюонного описания сильных взаимодействий догадался, что такой объект должен возникать при столкновении протонов очень больших энергий.

Рис. 3. Рождение нового мезона в слиянии двух померонов при протонных столкновениях

В подобных процессах открывается дополнительная грань физики сильных взаимодействий, которая не видна в жестких столкновениях кварков или глюонов. Эти процессы называются дифракционными, потому что во многом напоминают дифракцию света, только здесь она происходит не со светом, а с самими протонами. Собственно, дифракция протонов – то есть небольшое отклонение от исходной траектории при упругих столкновениях – как раз и происходит через обмен помероном. Главный научный вопрос здесь – разобраться во всех деталях, как отдельные глюоны складываются в такой коллективный объект, померон.

В столкновении померонов могут рождаться разнообразные частицы, включая и хиггсовский бозон. В отличие от обычного рождения бозона Хиггса, такой механизм рождения очень «чистый», в нем нет многочисленных «частиц-осколков» протона, а значит, его удобно исследовать экспериментально.

На LHC для изучения этого и других подобных процессов действительно установлены форвард-детекторы. В рамках эксперимента TOTEM один набор детекторов Roman Pots расположен на расстоянии 147 м, а другой – 220 м от точек столкновения. Планируется установка еще одной партии таких детекторов на расстоянии 420 м. Однако для надежного опознания событий столкновения двух померонов эти детекторы должны не просто регистрировать протоны, но и определять время их попадания в детектор с очень высокой точностью, с погрешностью не более 10 пикосекунд – и достичь такого временного разрешения ох как непросто.

Дополнительная информация

Устройство, научные задачи и результаты детектора TOTEM подробно описаны на сайте этого эксперимента: totem-experiment.web.cern.ch, а также на русском языке на сайте «Элементы», в разделе, посвященном Большому адронному коллайдеру: elementy.ru/link/TOTEM.

Популярный рассказ о помероне и адронной дифракции можно найти в блоге автора: elementy.ru/link/difr1 и elementy.ru/link/difr2. Сводку результатов БАК по адронной дифракции также можно найти на сайте «Элементы»: elementy.ru/link/difr.

6. Куда девался эксцентриситет?

Февраль 2016 г. принес выдающееся астрофизическое открытие: после десятилетий поисков были напрямую зарегистрированы гравитационные волны. Более того, по форме всплеска, пойманного гравитационно-волновой обсерваторией LIGO, исследователи смогли узнать, что родились эти волны при слиянии двух черных дыр, и даже умудрились оценить их массы и вращение. По сути, в одной короткой статье ученые сделали сразу два открытия нобелевского уровня: подтвердили предсказание Эйнштейна 1916 г. и положили начало гравитационно-волновой астрономии. Нобелевский комитет не заставил себя ждать: премия трем физикам, стоявшим у истоков этого успеха, была присуждена в следующем же году.

Гравитационные волны – открыты! elementy.ru/link/gvo

Если сам факт регистрации гравитационных волн – это чисто инженерный подвиг, то второе достижение – восстановление характеристик черных дыр по их гравитационно-волновому «звучанию» – опирается на общую теорию относительности. Дело в том, что слияние черных дыр однозначно рассчитывается теоретически. Зная массы и вращение двух исходных черных дыр, а также параметры их орбит, теоретики могут предсказать профиль гравитационно-волнового всплеска. Выполнив расчеты для разных параметров и сравнив результаты с формой пойманного в детекторе всплеска, физики находят самый подходящий профиль и отсюда узнают, слияние каких объектов его породило (рис. 1).

Изучение гравитационных волн: elementy.ru/link/gvo2

Рис. 1. Теоретически восстановленная форма гравитационно-волнового всплеска для события GW151226. Изображение из статьи[6]6
  Abbott B. P. et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger // Physical Review Letters, 2016, vol. 116, 061102. DOI: 10.1103/PhysRevLett.116.061102.


[Закрыть]

Вооружившись этой информацией и прочитав внимательно научно-популярные новости об открытии, ссылки на которые приведены на полях, дотошный читатель может заметить одну странность – в сообщениях не говорится про форму орбиты. Физики тщательно учитывают массы черных дыр и их вращение вокруг своей оси, но вот орбиту, по которой две черные дыры двигались перед слиянием, они считают круглой. Возникает ощущение, что исследователи забыли школьную физику. Ведь еще Иоганн Кеплер четыре века назад установил, что тела могут двигаться в поле тяжести не только по кругу, но и по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр притяжения, а точнее, центр масс двух тел.

Для удобства обсуждения напомним, что вытянутость эллипса характеризуется эксцентриситетом e. Он равен расстоянию между двумя фокусами, поделенному на большую ось эллипса (рис. 2). Для круглой траектории e = 0, для умеренно вытянутой – несколько десятых, для экстремально вытянутой – близок к единице. Так вот, когда ученые восстанавливали параметры черных дыр по данным LIGO, они почему-то не учли, что у орбиты может быть ненулевой эксцентриситет.

Рис. 2. Эксцентриситет эллипса равен расстоянию между двумя фокусами, деленному на длину большой оси. Здесь показан эллипс с эксцентриситетом e ≈ 0,8

Конечно, речь тут не идет ни о каком «грубом просчете». Физики вовсе не забыли об эксцентриситете орбиты. На основании некоторых аргументов они посчитали, что его учитывать не нужно. И в нашей задаче, по сути, требуется восстановить эти аргументы.

Для простоты картины мы предполагаем, что все внешние воздействия на пару гравитационно связанных черных дыр отсутствуют: нет ни межзвездного газа, ни пролетающих мимо других объектов. У нас чистая задача двух тел – правда, с учетом излучения гравитационных волн.

Задача

Объясните, почему физики в анализе данных LIGO не стали учитывать эксцентриситет орбиты сливающихся черных дыр.

Примечание. Для сомневающихся читателей подчеркнем: чтобы решить задачу, не требуется быть физиком и уметь рассчитывать слияние черных дыр. Достаточно чувствовать обычные законы небесной механики и внимательно разобраться с новостями про LIGO.

Подсказка 1

Если вы поначалу подумали, что эксцентриситет не влияет на форму гравитационно-волнового всплеска, спешим вас заверить: влияет, и еще как! Теоретики рассчитали профили гравитационно-волнового всплеска, который пришел бы от двух объектов звездных масс, если бы в последние мгновения перед слиянием они двигались по круговой или сильно вытянутой орбите. Оказалось, что разница огромная (см. графики на рис. 3). Так почему же физики не приняли его в расчет?

Рис. 3. Теоретически рассчитанная форма гравитационно-волнового всплеска для орбит с разными параметрами

Подсказка 2

Из предыдущих замечаний следует единственный вывод: у физиков есть убедительные аргументы в пользу того, что эксцентриситет пренебрежимо мал, то есть что орбиты двух черных дыр в последние мгновения перед слиянием были очень круглые. Но позвольте, мы же не знаем, как эта пара черных дыр образовалась! Вполне могло получиться так, что за миллионы лет до этого две черные дыры, объединившись в гравитационно связанную пару, «сели» на очень вытянутую орбиту.

С этой возможностью никто не спорит: исходный эксцентриситет вполне мог быть большим. Физики лишь утверждают, что непосредственно перед слиянием орбита уже может считаться круглой. Значит, должен существовать какой-то способ «устранить» лишний эксцентриситет, округлить орбиту в процессе эволюции. И способ этот должен быть «железобетонным» и не зависящим от каких-то внешних условий.

Подумайте теперь, почему в процессе вращения друг вокруг друга две черные дыры не просто сближаются, но и выходят на все более круглую орбиту.

Подсказка 3

Единственный процесс, способный, в условиях нашей задачи, влиять на параметры орбиты, – это само излучение гравитационных волн. Представьте себе два компактных объекта на сильно вытянутой орбите друг вокруг друга. Для динамики движения совершенно несущественно, что это две черных дыры; вам достаточно лишь почувствовать и применить обычные законы небесной механики. Поглядывая на графики всплеска (рис. 1 и 3), попытайтесь понять, в какой момент орбитального движения гравитационные волны испускаются сильнее всего. Затем остается сделать последний шаг – понять, почему потеря энергии преимущественно в эти моменты приводит к округлению орбиты. И для этого опять достаточно лишь чувствовать общие законы небесной механики.

Решение

Все закономерности, которые мы обсуждаем ниже, могут быть записаны в точных формулах, и с этим в состоянии справиться и студент-физик. Но поскольку наша задача – на качественное понимание явления, мы специально будем избегать формул, напирая на физическую интуицию.

Динамику тела на сильно вытянутой эллиптической орбите хорошо иллюстрируют многочисленные и всем известные примеры движения тел в Солнечной системе. Притягивающее тело (а точнее, центр масс двух тел) находится в фокусе эллипса. Когда тело приближается к нему, оно ускоряется, проскакивает перицентр на максимальной скорости, затем, удаляясь, замедляется, в апоцентре (на максимальном удалении) ползет медленнее всего, а после, ускоряясь, возвращается.

Приведенный на рис. 1 график гравитационно-волнового всплеска ясно говорит о том, что чем теснее пара, то есть чем быстрее движутся друг относительно друга две черные дыры, тем сильнее излучение (обратите внимание на усиление непосредственно перед слиянием). Это значит, что при движении на очень вытянутой орбите самый сильный выброс гравитационного излучения происходит в перицентре, когда два тела пролетают близко друг к другу на максимальной скорости и резко разворачиваются. Те узкие пики, которые видны на рис. 3, как раз отвечают этим событиям. На дальних участках траектории телá движутся медленно, разворачиваются неторопливо, и, даже несмотря на длительное время, проведенное вдали друг от друга, вклад в излученную энергию волн там незначителен.

Сделаем следующий шаг. Излучая гравитационные волны, пара черных дыр теряет энергию. Для круговой орбиты, когда излучение идет равномерно, общий эффект простой: пара сближается и ее вращение ускоряется. Кинетическая энергия возрастает, потенциальная – уменьшается вдвое быстрее, поэтому полная энергия тоже становится все более и более отрицательной.

Рис. 4. Резкая потеря в перицентре энергии на излучение гравитационных волн приводит к тому, что на следующем витке апоцентр приблизится

Но при сильно вытянутой орбите картина меняется. Энергия теряется не равномерно, а как бы импульсами, в момент прохождения перицентра. Результат такого импульсного излучения – потеря скорости в этот момент. Тела снова разлетаются, но уже чуть медленнее. А это значит, что на следующем витке апоцентр уже лежит ближе, чем раньше. Перицентр почти не изменился, апоцентр – приблизился, следовательно, эксцентриситет уменьшился. И так происходит потихоньку, круг за кругом, а точнее, эллипс за эллипсом. Конечно, потеря энергии происходит не строго рывками, она просто то усиливается, то ослабляется, но качественный результат будет такой же: пара сближается, ее траектория округляется, черные дыры словно «притираются» друг к другу. Так продолжается миллионы лет, и за это время любая траектория успевает превратиться почти в идеальную окружность.

Послесловие

Конечно, все эти рассуждения требуют количественного подтверждения. Процесс излучения гравитационных волн при движении двух гравитационно связанных тел по эллиптической орбите был аккуратно вычислен во всех деталях Питерсом и Мэтьюсом в 1963 г.[7]7
  Peters P. C. and Mathews J. Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit // Physical Review, 1963, vol. 131, pp. 435-440. DOI: 10.1103/PhysRev.131.435.


[Закрыть]. Они вычислили мощность, которая тратится на излучение гравитационных волн, и сравнили случаи эллиптической орбиты с большой полуосью a и эксцентриситетом e и круговой орбиты (то же значение a, только e = 0). Оказалось, что от эллиптической орбиты излучение идет куда более мощное, причем чем ближе эксцентриситет к единице, тем больше усиление. Затем они сосчитали темп сближения (то есть среднюю по периоду скорость уменьшения большой полуоси) и темп округления (скорость уменьшения эксцентриситета). Оказалось, что одно связано с другим, и приближенно эта зависимость выглядит так:

a·e^12/19(1−e²)≈const.

Иными словами, даже если пара черных дыр в начальный момент находилась на орбите с большим эксцентриситетом, то по мере их сближения эксцентриситет тоже уменьшается, примерно пропорционально a^19/12. Если за время эволюции пары, с момента образования и до слияния, размер орбиты уменьшился, например в 10 раз, то эксцентриситет уменьшится почти в 40 раз и орбита станет практически круглой.

Рис. 5. Время жизни пары до слияния в зависимости от начального эксцентриситета (e₀) орбиты по сравнению со временем жизни пары с круглой орбитой такого же размера. Изображение из статьи[8]8
  Там же.


[Закрыть]

Эти расчеты, правда, опирались на предположение, что скорости тел остаются малыми по сравнению со скоростью света. В момент слияния черные дыры достигают уже релятивистских скоростей, так что к самым последним мгновениям их совместной жизни такие результаты не применимы. В этом случае придется моделировать сам процесс слияния с помощью сложнейших численных расчетов, которыми занимаются многие исследовательские группы по всему миру. Но для предыдущих миллионов лет эволюции результаты Питерса и Мэтьюса отлично описывают динамику сближения пары.

Раз эксцентриситет сильно влияет на гравитационное излучение, значит, он уменьшает время жизни пары до слияния (рис. 5). Это очень важная информация для астрофизиков. Скажем, они могут промоделировать динамику компактных объектов в большом звездном скоплении и оценить, как часто черные дыры или нейтронные звезды объединяются в пары. Но, если время жизни пары до слияния очень большое, мы никогда не дождемся от них гравитационно-волнового всплеска. Приведенные выше вычисления показывают, что, оказывается, очень важно знать не только начальный размер пары, но и эксцентриситет – он может менять время жизни на порядки.

Ну и последний момент. Формулы, приведенные выше, показывают, что орбита округляется не сама по себе, а по мере сближения пары. Круглая или не очень будет орбита в конце – зависит не только от начального эксцентриситета, но и от того, во сколько раз орбита успела сжаться до слияния. Чисто теоретически может оказаться так, что две черные дыры сразу оказались на очень тесной и сильно вытянутой орбите и уже почти готовы к слиянию. Тогда у них не будет времени для долгого процесса сближения, а значит, эксцентриситет не успеет погаситься. Вот тогда гравитационно-волновой всплеск действительно будет нести на себе отпечаток вытянутой орбиты. Дело лишь в том, что, согласно современной картине образования парных черных дыр звездных масс, такой вариант весьма маловероятен. Тем не менее физики при анализе данных LIGO все же проверили, нет ли в них указаний на сильный эксцентриситет, – и убедились, что таких свидетельств нет.

Дополнительная информация

Подробный рассказ об открытии гравитационных волн и первых шагах гравитационно-волновой астрономии читайте в популярных новостях «Гравитационные волны – открыты!» («Элементы», 11.02.2016: elementy.ru/link/gvo) и «LIGO поймала новые всплески гравитационных волн» («Элементы», 20.06.2016: elementy.ru/link/gvo2); см. также ссылки в конце этих новостей.

О поисках гравитационных волн и истории создания гравитационно-волновых детекторов рассказывает популярная новость автора «Нобелевская премия по физике – 2017», «Элементы», 13.10.2017: elementy.ru/link/npf17.

Примеры расчета профиля гравитационных волн от слияния двух компактных объектов с различными орбитальными параметрами можно найти на сайте Sounds of Spacetime: soundsofspacetime.org/elliptical-binaries.html. Адаптированные графики с этого сайта были использованы в нашей задаче.