Текст книги "Как ломаются спагетти и другие задачи по физике"

9. Облака в «стерильной» атмосфере

Воздух практически полностью состоит из двух основных газов: азота (78 %) и кислорода (20 %). Оставшаяся пара процентов приходится на все остальные компоненты: водяной пар, аргон, углекислый газ, разнообразную органику, а также аэрозоли – микроскопические твердые частицы или капельки жидкостей естественного и антропогенного происхождения. С точки зрения комфортной жизни человека нет ничего хорошего, когда концентрация этих примесных компонентов становится аномально высокой: дышать задымленным воздухом опасно, да и про кислотные дожди наслышаны, наверное, все.

Давайте представим себе фантастическую ситуацию, когда у человечества вдруг появился полный контроль над составом атмосферы. Стоит ли тогда стремиться к тому, чтобы полностью очистить атмосферу вообще от всех этих примесей? Комфортно ли нам было бы жить в такой стерильной атмосфере?

Оказывается, полная «стерилизация» атмосферы привела бы к разнообразным и зачастую неочевидным изменениям, которые полностью нарушили бы привычный уклад жизни. Мы рассмотрим в этой задаче только один пример: влияние состава атмосферы на облака и дожди.

Представим себе атмосферу, состоящую исключительно из азота, кислорода и водяного пара ровно в тех пропорциях, в которых они реально присутствуют в атмосфере. От водяного пара никуда не деться, поскольку при слишком сухом воздухе тут же усилится испарение с поверхности океана и прочих водоемов. В длительной перспективе такая атмосфера, конечно, будет губительна для нынешней биосферы, как из-за отсутствия углерода, так и за счет неизбежных суровых климатических изменений. Но нас в этой задаче будет интересовать только конкретный сиюминутный погодный отклик – что при этом произойдет с облаками и с осадками. Для простоты будем говорить про «теплую» атмосферу, то есть мы считаем, что температура достаточно высока для того, чтобы препятствовать образованию ледяных кристалликов и снега.

Задача

Опишите, как изменится «жизнь» дождевых облаков в такой стерильной атмосфере. Будут ли они возникать чаще или реже? Удлинится или сократится их типичное время жизни? Изменится ли при этом вероятность и интенсивность осадков, и если да, то как?

Подсказка 1

Для начала надо понять, почему вообще образуются облака. Облака – это взвесь из микроскопических капелек воды, явление той же природы, что и «туман», идущий из носика чайника или поднимающийся от чашки горячего чая. Тут сразу надо развеять одну терминологическую неточность. В быту мы этот «туман» называем «паром», но это не то, что понимают под словом «пар» в науке. Настоящий пар – это однородно распределенный в воздухе невидимый газ из молекул воды, а вовсе не взвесь из капелек.

При каждой конкретной температуре существует предельная концентрация пара, который еще «держится» в виде газа и не конденсируется. Отношение реальной концентрации паров воды к предельной при заданной температуре называется относительной влажностью воздуха. Пока относительная влажность остается менее 100 %, пар может спокойно содержаться в воздухе. Но стоит эту грань перейти, то есть вызвать пересыщение пара (или, говоря иначе, перейти через точку росы), его избыток может конденсироваться в воду. В первом приближении это и есть процесс, приводящий к образованию тумана или облаков.

Предельная концентрация быстро увеличивается с ростом температуры, благодаря чему получать пересыщенный пар довольно легко: сначала надо испарить много пара в горячем воздухе, а затем охладить этот пар. Бытовой «пар» образуется как раз по этой причине.

Но вводные пояснения еще не дают ответа на вопрос задачи. Для него надо понять, как начинается процесс образования капелек на микроскопическом уровне и какую роль тут могут играть примесные газы и аэрозоли. Конечно, за всем этим стоят настоящие физико-химические вычисления, но знать их, разумеется, не требуется. Необходимо лишь почувствовать явление, применив общий естественно-научный багаж знаний.

Подсказка 2

Конкретные вопросы, над которыми стоит подумать, таковы:

● Если пар лишь чуть-чуть пересыщен (то есть пересыщение составляет, например, 0,0001 %), означает ли это, что молекулы воды при столкновении сразу же начнут слипаться, образуя растущую капельку?

● Если нет, то что мешает капельке образоваться?

● Какую роль в этом процессе играют микроскопические твердые частицы, взвешенные в воздухе?

● Какую роль в этом процессе играют такие газы, как диоксид серы SO₂?

● Если сравнить две ситуации – когда капли образуются за счет самостоятельной конденсации пара или когда что-то помогает им образоваться, – то чем отличается количество и размер капель? Как это скажется на свойствах облаков и осадков?

Решение

В стерильной атмосфере капли могут возникнуть только за счет спонтанного слипания друг с другом молекул воды. Такой процесс зарождения капли называется гомогенная нуклеация: «гомогенная» – поскольку в процессе участвуют только молекулы одного сорта.

Если пар пересыщен, то отдельные молекулы воды, разумеется, об этом «не знают». Поэтому в тот момент, когда влажность воздуха превышает 100 %, попарные столкновения молекул друг с другом протекают так же, как и раньше: они сталкиваются и разлетаются. Время от времени, впрочем, происходит и неупругое столкновение нескольких молекул. Некоторым из них передается излишек энергии, они улетают прочь, а остальные молекулы на какое-то время остаются сцепленными вместе – так возникают мельчайшие кластеры молекул воды. Конечно, вероятность такого столкновения очень мала, но, поскольку ежесекундно в воздухе происходит огромное количество «попыток» столкновений, такие процессы время от времени случаются.

Размер молекулы воды составляет примерно 0,15 нм, поэтому в макроскопическом объеме влажного воздуха непрерывно возникает большое число водных кластеров размером в десятые доли нанометра. Если же подождать достаточно большое время, то, вероятно, можно дождаться и кластера размером 1 нм. Существенно более крупные кластеры спонтанно, за счет флуктуаций плотности и коллективных столкновений, не возникнут.

Когда пар ненасыщен, эти наноразмерные капельки-кластеры нестабильны и быстро испаряются. То же самое происходит, если пар лишь слегка пересыщен. Это может вызвать удивление, ведь пересыщенность пара как раз означает, что излишку влаги «удобнее» конденсироваться, а не оставаться в газовой фазе. Но противоречия тут нет: дело в том, что описанная выше предельная концентрация относится к плоской поверхности воды. Для плоской поверхности при стопроцентной влажности темпы испарения и встречной конденсации пара равны, а выше 100 % – темп конденсации преобладает. Если же в воздухе висит капелька с некоторым радиусом кривизны, то при строго стопроцентной влажности (а значит, и при некотором превышении 100 %) испарение с ее поверхности идет интенсивнее, чем встречная конденсация. И чем меньше капля, тем сильнее этот дисбаланс. Так получается потому, что сила сцепления молекулы на поверхности капли с «соседями» чуть слабее, чем на ровной поверхности (рис. 1).

Рис. 1. Схематичное изображение «соседних» молекул, удерживающих поверхностную молекулу воды от испарения. Чем сильнее кривизна поверхности, тем слабее эффект соседних молекул и, значит, тем легче идет испарение

Для того чтобы капля радиуса R не испарилась, а, наоборот, росла, вбирая в себя новые молекулы воды из атмосферы, надо, чтобы процесс конденсации шел еще интенсивнее, то есть чтобы относительная влажность превышала не 100 %, а еще большую величину. Это критическое пересыщение тем сильнее, чем меньше капля. Точная зависимость порогового пересыщения (а точнее, давления насыщенных паров над искривленной поверхностью) от радиуса капли дается уравнением Кельвина. Для нас эта формула не важна, достаточно лишь узнать одно базовое число: для того чтобы удержать от испарения каплю радиусом 1 нм, требуется пересыщение в сотни процентов!

Таким образом, мы приходим к выводу: гомогенная нуклеация в стерильной атмосфере – процесс с очень высоким порогом пересыщения. Образование капельки за разумное время возможно лишь при пересыщении в несколько раз! Стоит отметить, что в естественных условиях такое сильное пересыщение не наступает практически никогда.

Теперь поговорим о реальной атмосфере.

Оказывается, в настоящей атмосфере есть множество факторов, радикально понижающих этот порог. Благодаря им конденсация пара эффективно идет при пересыщении всего лишь в 1 % (то есть при относительной влажности 101 %) или даже меньше.

Во-первых, микроскопические частицы запускают образование и дополнительно стабилизируют наноразмерные капельки воды. Просто молекулам воды легче держаться вместе, если они вдобавок находятся на смачивающейся подложке. Поэтому, когда пар пересыщен, но пересыщение недостаточно для гомогенной нуклеации, наличие в нем микроскопических частиц может привести к быстрой конденсации на них воды.

Однако наличие микрочастиц вовсе не обязательно для эффективной конденсации. Например, в реальной атмосфере присутствует диоксид серы SO₂. Он может окислиться до сульфат-иона SO₄²⁻, который притянет к себе молекулы воды, формируя вокруг нанометровую капельку раствора серной кислоты. Молекулы воды на такой капельке удерживаются охотно, поэтому даже один сульфат-ион может существенно уменьшить испарение воды с поверхности наноразмерной капельки. Более того, испарение может ослабнуть настолько, что капелька будет расти (до определенного размера) даже при влажности ниже 100 %.

Реальная молекулярная динамика, конечно, намного сложнее. Капельки серной кислоты вначале сливаются друг с другом, им при этом дополнительно помогает присутствующий в атмосфере аммиак, и они образуют центры конденсации размером в десятки и сотни нанометров. Именно на них потом начинает конденсироваться вода из пересыщенного пара.

Таким образом, при гетерогенной нуклеации (то есть когда пару помогают конденсироваться другие молекулы) возникает противоборство двух эффектов: усиления испарения за счет кривизны капли (эффект Кельвина) и ослабления испарения за счет химического состава капли (закон Рауля). Это противоборство обычно показывают на графике, называемом кривой Кёлера (см. рис. 2). Пунктирная кривая, взмывающая вверх, показывает необходимое пересыщение для гомогенной нуклеации, то есть в отсутствие растворителей. Сплошные кривые показывают реальное пересыщение для разных размеров центра конденсации. Например, для размера 50 нм (самая левая кривая) первоначальная капелька стабилизируется при стопроцентной влажности на диаметре 200 нм. Если влажность повысится, капелька поначалу будет слегка расти, но как только пересыщение достигнет 0,45 % (высота «горки» на этой кривой), капля станет неустойчивой, начнет лавинообразно собирать на себя воду и превратится в настоящую облачную каплю размером в десятки микрон.

Рис. 2. Кривая Кёлера – зависимость равновесного диаметра капли от пересыщения при разных размерах «сухого» центра конденсации

Главный вывод из всего этого рассуждения таков: если в реальных условиях образование капель идет легко и требует очень небольшого пересыщения, то в «стерильной» атмосфере образование капли – процесс исключительно маловероятный. Это означает, во-первых, что в такой атмосфере облака будут практически отсутствовать, а во-вторых, даже если они и образуются, то не смогут долго держаться, а тут же прольются мощным ливнем.

Этот вывод следует вот из чего. Когда капля превышает пороговый размер и начинает расти, то она растет до тех пор, пока не вберет в себя достаточно воды для того, чтобы концентрация оставшегося в воздухе пара вблизи капли снова упала ниже критического значения. На этом рост капли за счет этого механизма останавливается.

Когда центров конденсации много, пар конденсируется одновременно во много капель, и каждая капля так и остается небольшой. Если же центров конденсации мало (как в случае стерильной атмосферы), то капель получается очень мало, но они быстро вырастают до крупных размеров, вбирая в себя много воды. Такие капли уже достаточно тяжелы, и они начинают падать под действием силы тяжести с заметной скоростью. При движении вниз сквозь пар они лавинообразно растут в сильно пересыщенном паре, что и приводит к ливневым осадкам.

Послесловие

Образование и эволюция облаков – сложный и богатый на явления раздел физики атмосферы. В нашей задаче мы обсудили лишь некоторые простейшие закономерности, но в самой этой науке, несмотря на ее «классичность», по-прежнему остается множество непонятых моментов. А поскольку облака играют важнейшую роль в формировании климата, этот раздел науки сейчас очень актуален.

Одна из главных трудностей здесь (как, впрочем, и во всей физике атмосферы) – невозможность поставить полностью контролируемый эксперимент в требуемых масштабах. Лишь несколько лет назад была запущена – и не где-нибудь, а в ЦЕРНе! – экспериментальная установка, которая хоть в чем-то приближается к необходимым требованиям, эксперимент CLOUD. Его главная цель – проверить, насколько сильно космические лучи способны влиять на образование облаков, а значит, и на климат. Однако, благодаря возможности контролировать химический состав газовой смеси, температурный режим и ионизационные условия в камере, этот эксперимент представляет большой интерес и с точки зрения физики и химии атмосферы.

Первые его результаты были опубликованы в 2011 г. Все базовые эффекты – зависимость темпа образования центров конденсации от температуры, от концентраций серной кислоты и аммиака, а также от уровня ионизации – в эксперименте подтвердились, но данные преподнесли и пару сюрпризов. Во-первых, после анализа химического состава капелек в них обнаружились соединения, которые в газовой фазе не наблюдались. Это означает, что они в газовой смеси были, но в ничтожных концентрациях и предпочитали концентрироваться в каплях. Во-вторых, несмотря на то, что экспериментаторы постарались максимально приблизить состав газовой смеси и прочие условия в камере к настоящей атмосфере, темп образования центров конденсации все равно существенно недотягивал до природного. По мнению авторов работы, это означает, что микроскопическая динамика образования облаков значительно сложнее, а роль примесных газов в следовых количествах может быть еще более важной, чем представлялось до сих пор.

Дополнительная информация

Подробности про эксперимент CLOUD и его результаты можно найти на сайте эксперимента: elementy.ru/link/cloud. На русском языке общее представление можно получить из популярной новости автора «В ЦЕРНе начинается эксперимент по изучению связи между космическими лучами и климатом», «Элементы», 08.06.2009: elementy.ru/link/cloud2009.

Библиография

1. Andreae M.O. and Rosenfeld D. Aerosol – cloud – precipitation interactions. Part 1. The nature and sources of cloud-active aerosols // Earth-Science Reviews, 2008, vol. 89, nn. 1–2, pp. 13–41. DOI: 10.1016/j.earscirev.2008.03.001.

2. Kirkby J. et al (CLOUD collaboration) Role of sulphuric acid, ammonia and galactic cosmic rays in atmospheric aerosol nucleation // Nature, 2011, vol. 476, pp. 429–433. DOI: 10.1038/nature10343.

3. Tröstl J. et al (CLOUD collaboration) The role of low-volatility organic compounds in initial particle growth in the atmosphere // Nature, 2016, vol. 533, pp. 527–531. DOI: 10.1038/nature18271.

10. Антарктический ледниковый щит

Практически весь Антарктический континент покрыт исполинским ледниковым щитом, толщина которого доходит до 4 км. На поверхности ледника среднегодовая температура составляет около −55 ℃, но с глубиной она постепенно повышается за счет подземного тепла. На рис. 1 приведен для примера график зависимости температуры от глубины в районе Южного полюса.

Рис. 1. График зависимости температуры ледника от глубины в районе Южного полюса. Изображение из статьи[9]9
  Buford Price P. et al. Temperature profile for glacial ice at the South Pole: Implications for life in a nearby subglacial lake // PNAS, 2002, vol. 99, n. 12, pp. 7844–7847. DOI: 10.1073/pnas.082238999.


[Закрыть]

На масштабах человеческой жизни этот ледниковый щит кажется совершенно неподвижным, но в реальности он постепенно сползает в океан под собственной тяжестью (рис. 2). Впрочем, скудные осадки в виде мелкого колючего снега восполняют потери, поэтому ледник не исчезает, а просто непрерывно обновляется.

Рис. 2. Схема сползания антарктического ледникового щита

Но обновляется за какое время? А вот это мы предлагаем вам оценить самостоятельно – ведь одну очень существенную зацепку мы вам уже дали!

Задача

Оцените характерное время обновления антарктического ледникового щита на основании графика температурного профиля (рис. 1) и тепловых характеристик льда, которые можно найти в интернете.

Подсказка

И вновь задача кажется тупиковой, потому что непонятно, на что вообще тут надо опираться. Но не пугайтесь: после этой подсказки вы, возможно, догадаетесь, как надо действовать.

Поскольку на графике приведено распределение температуры, опираться следует на явление теплопередачи подземного тепла через антарктический лед. Вообще, теплопередача может идти за счет разных механизмов; два самых простых – это теплопроводность, то есть способность тепла просачиваться через неподвижный материал, и конвекция, перенос тепла вместе с самим веществом.

Рис. 3. Линейный профиль температуры в неподвижной пластинке при теплопередаче за счет теплопроводности

Законы теплопроводности по своей сути очень простые. Тепло стремится перетекать от более горячего тела к более холодному. Поэтому если две противоположные стороны какого-то куска материала имеют разную температуру, то внутри материала устанавливается распределение температуры, плавно меняющееся от одного края к другому. Перетекание тепла выражается простой формулой: поток тепла (измеряемый в ваттах) прямо пропорционален «резкости» перепада температур (на научном языке – градиенту температуры, измеряется в градусах/метр) и площади поверхности, через которую течет тепло. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности; он измеряется в Вт/(м·К) и является характеристикой материала, которую можно найти в справочниках. В простейшем случае, для однородной неподвижной плоскопараллельной пластинки в стационарных условиях, температура зависит от расстояния линейно (см. рис. 3). Эта линейная зависимость выражает тот простой факт, что поток тепла проходит сквозь пластинку, нигде не накапливаясь и никуда не исчезая.

Однако если само вещество движется, то в теплопереносе, наряду с теплопроводностью, принимает участие и конвекция. В результате температурный профиль внутри вещества будет другим, и чем быстрее движение вещества, тем сильнее отличие от линейной зависимости. График на рис. 1 заметно отличается от прямой линии, и оказывается, этого достаточно, чтобы примерно охарактеризовать, как темпы этих двух механизмов теплопередачи соотносятся друг с другом.

Итак, попробуйте действовать по шагам. Сначала убедитесь, что своеобразная конвекция в задаче тоже присутствует. Затем постарайтесь понять, как будет выглядеть профиль температуры в двух случаях: когда конвекция намного эффективнее теплопередачи и наоборот. Затем подумайте, что можно сказать про соотношение этих двух форм теплопереноса на основании приведенного графика измерений. Ну и напоследок остается понять, какие именно тепловые характеристики льда надо взять и что с ними надо сделать, чтобы получить ответ.

Решение

Исходя из одного лишь описания того, как «живет» ледниковый щит, становится понятно, что процесс сползания – это и есть аналог конвекции. Сползание – это движение не только вбок, но и вглубь; напластования свежего снега опускаются вниз и постепенно ползут к краям Антарктиды. Это значит, что антарктический холод просачивается в толщу ледника не только за счет теплопроводности; он еще уходит в глубину вместе с самим льдом.

Глядя на график температуры на рис. 1, можно сказать, что два механизма теплопередачи примерно одного порядка эффективности. Действительно, если бы эффект от конвекции был очень мал, отклонение от прямой линии было бы очень слабым (рис. 4, слева). И наоборот, если бы он был намного сильнее теплопроводности, то все тепло осталось бы внизу, то есть график был бы очень резким (рис. 4, справа). А у нас в данных имеется как раз промежуточная ситуация.

Рис. 4. Профиль температуры при теплопроводности через движущееся вещество, когда скорость движения сверху вниз мала (слева) или велика (справа). Пунктиром показан температурный профиль в совершенно неподвижной среде

Теперь самое трудоемкое: необходимо сформулировать условие, что эти два механизма теплопереноса – примерно одного порядка эффективности. Для этого нужно записать формулы для потока тепла, который обеспечивают эти механизмы. Тепловой поток за счет теплопроводности мы уже описали выше словами. Запишем его теперь в виде формулы: поток тепла через слой толщины H при перепаде температур ΔT на общей площади S составляет J₁ = kΔTS/H, где k – коэффициент теплопроводности.

Для расчета теплопередачи за счет движения всей массы ледника упростим задачу, преобразовав ее из трехмерной в одномерную: будем считать, что лед не сползает вбок, а просто медленно опускается вниз со скоростью v и затем как-то «исчезает». Да, это не самая реалистичная формулировка, но она даст нам возможность оценить вклад в теплопередачу.

Этот тепловой поток составляет J₂ = CρvΔTS, где C и ρ – теплоемкость и плотность льда. Получить эту формулу нетрудно. Возьмите небольшое время t, найдите, какой объем льда ушел из ледника (и такой же объем, только с более низкой температурой, «нарос» сверху), – получится Svt. Затем найдите, сколько тепла содержалось в этом объеме и, как следствие, сколько тепла переместилось через ледник. Поделив это тепло на время t, получим J₂.

Теперь осталось сказать, что J₁ примерно равно J₂, сократить общие множители и найти скорость движения: v = α/H, где величина α = k/(Cρ) – еще одна характеристика материала, коэффициент температуропроводности, который измеряется в м²/с. Предполагая, что сползание ледника равномерное, получаем ответ:

Свойства льда: elementy.ru/link/toolbox

Для численной оценки нам нужны три тепловых характеристики льда: k, C и ρ. На страничке The Engineering ToolBox (см. ссылку на полях) они приведены для самых разных температур. Подставив числа, получаем α чуть больше 10⁻⁶ м²/с. Для толщины ледника H = 4 км получаем время обновления порядка 500 000 лет.

Послесловие

В нашем простом вычислении мы не учитывали ни сложную геометрию и динамику движения ледника, ни подтаивание его внизу, ни зависимость всех коэффициентов от температуры. И тем не менее, несмотря на очень приближенные вычисления, мы получили на удивление точную оценку. На рис. 5 показана «климатическая летопись», записанная в антарктических льдах, добытых на станциях EPICA и «Восток». Видно, что она простирается на несколько сот тысяч лет в прошлое и самый глубинный лед на станции «Восток» отвечает возрасту примерно 500 000 лет. В других местах Антарктиды, там, где скорость сползания ледников меньше, можно найти лед более чем миллионнолетнего возраста.

Рис. 5. Усредненные отклонения температур за последние 500 000 лет, полученные из анализа ледовых кернов с двух антарктических станций: EPICA и «Восток»

На самом деле, немножко схитрив, можно было бы получить еще более простую оценку возраста антарктического ледника. Метеорологические измерения показывают, что характерная норма осадков на ледниковом щите составляет примерно 2,5 см льда в год. Если предположить, что ледник в среднем не растет и не утоньшается (а спутниковые наблюдения показывают, что так примерно и есть), то это и будет вертикальной скоростью движения льда. Но таким способом мы получим время обновления всего лишь 150 000 лет, что заметно меньше нашей прежней оценки и реальных данных.

Разгадка тут состоит в том, что 2,5 см в год – это норма осадков сейчас, в период межледниковья. Во время оледенений, которые длились намного дольше, воздух был более сухой, и норма осадков в Антарктиде падала примерно вдвое. Поэтому оценку для возраста ледника надо удвоить, и это уже будет ближе к реальности.

Напоследок полезно заметить вот еще что. Из параметров нашей задачи (скорость, толщина, характеристики вещества) можно составить особую безразмерную комбинацию, которая называется числом Пеклé:

Число Пекле можно записать для любых процессов тепломассообмена, и оно как раз характеризует то, во сколько раз теплоперенос за счет конвекции эффективнее теплопроводности. По сути, при решении нашей задачи мы, глядя на график температур, постановили, что число Пекле примерно равно единице. Ценность таких безразмерных чисел (а они постоянно встречаются в гидродинамике) – в том, что именно эти комбинации, а не конкретные размеры или скорости сами по себе, определяют режим течения или теплопередачи. Иными словами, если мы захотим сделать настольную модель антарктического ледника с правильным температурным распределением по толщине, то нам надо позаботиться о том, чтобы число Пекле было тем же самым. Например, для H = 10 см скорость движения льда должна составлять несколько сантиметров в час.

Дополнительная информация

Шикарное введение в гляциологию можно найти в обзорной статье Евгения Подольского «Ледяные миры», «Элементы», 26.02.2010: elementy.ru/link/led.

Познавательный рассказ о том, как открывали подледное озеро Восток, можно найти в блоге автора: elementy.ru/link/vostok, elementy.ru/link/vostok2, elementy.ru/link/vostok3.

Библиография

2. Zotikov I. A. The Antarctic Subglacial Lake Vostok: Glaciology, Biology and Planetology, Springer, 2006. ISBN: 3540377239.