Текст книги "Как ломаются спагетти и другие задачи по физике"

Физика земли

7. Чувствительность спутника GRACE

Рис. 1. Два спутника GRACE на околоземной орбите

В 2002 г. на орбиту вокруг Земли был запущен исследовательский зонд GRACE. Наматывая круги вокруг Земли, он методично, год за годом занимался одной-единственной задачей – с исключительно высокой точностью измерял силу земного притяжения прямо над тем местом, над которым пролетал. И делалось это для того, чтобы таким способом, через неравномерности земной гравитации, «прощупать» распределение масс на поверхности и под ней, почувствовать то, что скрыто от глаз. Неслучайно название миссии расшифровывается как «Гравитационное восстановление и климатический эксперимент» (Gravity Recovery And Climate Experiment): данные, полученные зондом, позволяют отследить медленные климатические изменения.

Технически зонд GRACE состоит из двух идентичных спутников, которые летят друг за другом по одинаковой орбите в нескольких сотнях километров над землей и на расстоянии примерно 220 км друг от друга. Эти два аппарата назвали «Том» и «Джерри», чтобы подчеркнуть, что один из них как бы постоянно убегает, а второй – догоняет.

GRACE измеряет силу земного притяжения исключительно простым способом. Во время полета расстояние между двумя аппаратами непрерывно отслеживается с очень высокой точностью. Если бы Земля была однородным шаром, то сила тяжести была бы одинаковой во всех точках круговой орбиты. Спутники бы тогда двигались со строго постоянной скоростью, и расстояние между ними всегда оставалось бы неизменным. Однако реальная Земля обладает профилем – горами, долинами, океанами, а также теми неоднородностями земной коры, которые скрываются под поверхностью. Они тоже оказывают гравитационное воздействие на спутники, а значит, и слегка влияют на их движение. Дополнительное гравитационное воздействие приводит, в частности, к небольшим изменениям расстояния между спутниками.

Задача

Оцените по порядку величины, с какой погрешностью надо измерять расстояние между спутниками, чтобы, пролетая над горным массивом высотой 1 км и размером 100 на 100 км, гравитационно «засечь» его.

Подсказка 1

Первым делом подчеркнем, что в этой задаче не требуется вычислить абсолютно точное число. Нужно лишь приблизительно оценить тот уровень погрешности, с которым необходимо измерять расстояние между спутниками. Поэтому все вычисления можно делать по порядку величины, улавливая основные зависимости между величинами, но не стараясь аккуратно отслеживать все численные коэффициенты.

Чтобы понять, как подступиться к задаче, надо, условно говоря, представить себя этим спутником. Вы летите вокруг Земли с некоторой скоростью (эта скорость, кстати, легко вычисляется и даже имеет собственное название) и вдруг чувствуете, что вас что-то начинает дополнительно тянуть вперед и вниз. Это, разумеется, придает вам небольшое ускорение вперед – вплоть до того момента, когда вы пролетаете непосредственно над источником дополнительной гравитации. После этого вас начинает слегка тянуть назад, и вы испытываете замедление. А теперь вспомните, что у нас есть два спутника, которые по очереди проходят такой цикл ускорения и замедления.

Подсказка 2

В результате описанного выше гравитационного маневра скорость спутника вначале чуть-чуть возрастает, а потом возвращается к исходному значению. Оба аппарата, пролетая над горным массивом, испытывают цикл ускорения и замедления по очереди: вначале первый, затем – второй. В результате на короткое время расстояние между ними чуть-чуть увеличивается. Именно это увеличение и надо вычислить, связав его с параметрами горного массива. Погрешность измерения должна быть меньше этого значения.

Увеличение расстояния можно оценить просто: дополнительную скорость, которую приобретает спутник, помножить на примерное время осуществления этого маневра. Дополнительную скорость можно найти из закона сохранения энергии, а характерное время вы оцените, просто представив себе этот маневр с учетом реальных расстояний.

Решение

Обозначим через M и R массу и радиус Земли, через h – высоту орбиты над Землей, через m – массу горного массива. Средняя скорость движения по орбите – это первая космическая скорость на орбите заданного радиуса

Строго говоря, в эту формулу надо подставлять не радиус Земли, а радиус орбиты спутника с учетом ее высоты над поверхностью Земли. Но, поскольку высота реальной орбиты существенно меньше радиуса Земли, этим отличием можно пренебречь.

Для вычисления дополнительной скорости в момент пролета над горным массивом запишем полную энергию спутника вдали от горы и непосредственно над ней:

Здесь μ – масса спутника, U₀ – потенциальная энергия взаимодействия со всей Землей, кроме горы (которую можно считать одинаковой в обоих случаях, если поблизости никаких других гор нет). Последнее слагаемое – явно записанная потенциальная энергия гравитационного взаимодействия с горой. Для простоты оценки мы написали формулу так, как если бы гора была сферически симметричным телом. В реальности это, конечно, не так, из-за чего истинный гравитационный потенциал горного массива отличается от этой формулы. Но отличие состоит лишь в численном множителе порядка единицы, а мы такими множителями договорились пренебрегать. Тогда дополнительная скорость при пролете над горным массивом составит примерно

Здесь было учтено, что изменение скорости очень мало по сравнению с самóй средней скоростью.

Осталось оценить время маневра. Хотя разгоняющая сила из-за гравитационного притяжения горного массива нарастает при подлете к нему постепенно, можно выделить участок орбиты длиной примерно в одну-две высоты, на котором и происходит основное ускорение (рис. 2).

Рис. 2. Участок основного разгона при подлете к горе по порядку величины равен высоте орбиты h. Стрелками показана сила гравитационного притяжения горы, причем чем ярче стрелка, тем больше сила

Поэтому время маневра примерно равно t ≈ h/υ.

Еще раз отметим, что за численными коэффициентами порядка единицы-двойки следить не обязательно. Подставляя все в формулу для приращения расстояния, получаем:

Поскольку плотности горных пород не слишком отличаются от средней плотности Земли, можно вместо масс написать объемы Земли и горного массива. Тогда для конкретных чисел, данных в задаче, получается ответ: Δx ≈ 10 см.

Итак, для того чтобы гравитационно засечь горный массив с исходными параметрами, расстояние между спутниками – а оно, напомним, примерно равно 220 км – надо отслеживать с точностью как минимум в несколько сантиметров!

Послесловие

На самом деле реальная погрешность измерения на спутнике GRACE не превышает 10 микрон. Это меньше, чем толщина волоса! Такой поразительной точности удается добиться с помощью системы микроволнового измерения расстояния: каждый спутник посылает своему компаньону импульсы микроволнового излучения с длиной волны около 1 см, а тот их ловит и «смотрит», в какой фазе приходит к нему этот сигнал.

Стоит подчеркнуть, что задача восстановления гравитационного профиля Земли по колебаниям расстояния между спутниками очень непроста. В нашей задаче был рассмотрен элементарный пример: одно-единственное возмущение на фоне ровной сферической поверхности. В реальности на спутники постоянно действуют дополнительные гравитационные силы с самых разных сторон, из-за чего маневры разгон/торможение накладываются друг на друга. Поэтому «сырые» данные GRACE мало о чем расскажут непосвященному человеку; для того чтобы увидеть в них гравитационную карту Земли, требуется провести довольно серьезную математическую обработку данных.

Благодаря столь точному измерению расстояния между спутниками, зонд GRACE, конечно, без труда может зафиксировать горный массив с указанными параметрами. На самом деле он способен чувствовать и гораздо более тонкие явления – собственно, для этого он и был создан. Особенно впечатляющие результаты получаются при долгом непрерывном мониторинге какого-то участка Земли. Многократно измеряя его гравитацию на протяжении длительного времени, зонд не только добивается намного меньшей погрешности, чем при однократном измерении, но и способен наблюдать медленные изменения, происходящие на поверхности Земли.

Например, GRACE замечает сезонные перераспределения вод на масштабе отдельного континента или даже в бассейне отдельных крупных рек. Причем GRACE чувствует не только повышение уровня воды в реках, но и подъем грунтовых вод за счет их подземного движения. Сравнение данных GRACE с наземными наблюдениями позволяет ученым улучшить модели гидрологического цикла.

Другой пример – изменение массы антарктических ледников. Долгое время было непонятно, что именно происходит с ледниковой шапкой, которая многокилометровым слоем покрывает Антарктиду. С одной стороны, в условиях слегка теплеющего климата ледники должны быстрее сползать в океан вблизи берега, но с другой стороны, из-за увеличения осадков в Антарктиде ледовая шапка может нарастать в центре континента. Какое из этих явлений пересиливает, долгое время было непонятно – разные измерения давали разные результаты. Однако данные спутника GRACE за 2002–2009 гг. надежно показали, что в целом объем антарктических ледников все-таки уменьшается. Темп потери льда был оценен в 190 ± 77 гигатонн в год, из которых 132 ± 26 гигатонн в год приходится на Западную Антарктику.

Интересно, что спутник GRACE может замечать как очень медленные, так и очень резкие изменения на поверхности Земли. Например, он чувствует постледниковое всплытие континентов. Начавшись примерно 10 000 лет назад, после завершения последнего цикла оледенения, оно продолжается до сих пор: отдельные континентальные плиты, придавленные ранее ледниковыми щитами, поднимаются со скоростью в десятые доли миллиметра в год. А в 2004 г., сразу после разрушительного землетрясения на Суматре, GRACE почувствовал слабое, но резкое изменение гравитационного поля, вызванное вертикальным смещением литосферных плит.

24 декабря 2017 г., после 15 лет исключительно плодотворной работы, спутниковая миссия GRACE была завершена. А полгода спустя на орбиту была выведена новая пара спутников: GRACE-FO, миссия-преемник спутников GRACE. Благодаря использованию лазеров вместо микроволнового излучения, они способны измерять разделяющее их расстояние в 20 раз точнее и тем самым смогут еще надежнее отслеживать гидрологические циклы Земли и поведение ледниковых массивов.

На разобранное в этой задаче явление можно взглянуть с общечеловеческой точки зрения. Разделение науки на фундаментальную и прикладную – во многом условность. Природа такого разделения не знает, и в ней все процессы взаимозависимы. Спутник GRACE и его программа исследований являет собой пример очень удачного использования этой взаимосвязи – аккуратно измеряя такую фундаментальную характеристику нашего мира, как гравитация, мы добываем прикладные знания о гидросфере и климате Земли, которые трудно получить иными способами.

Дополнительная информация

Информацию о спутниковых миссиях GRACE и GRACE-FO и их научные результаты можно найти на сайте NASA: grace.jpl.nasa.gov и gracefo.jpl.nasa.gov.

Пример климатических результатов, полученных с помощью зонда GRACE, описан в популярной новости Алексея Гилярова «Гренландия все быстрее теряет свой лед», «Элементы», 26.09.2006: elementy.ru/link/grenlandia.

Библиография

Chen J. L., Wilson C. R., Blankenship D. & Tapley B. D. Accelerated Antarctic ice loss from satellite gravity measurements // Nature Geoscience, 2009, vol. 2, pp. 859–862. DOI: 10.1038/ngeo694.

Han S.-C., Shum C. K., Bevis M., Ji C., Kuo C.-Y. Crustal Dilatation Observed by GRACE After the 2004 Sumatra-Andaman Earthquake // Science, 2006, vol. 313, pp. 658-662. DOI: 10.1126/science.1128661.

8. Землетрясение, климат и продолжительность суток

Как ни удивительно это может поначалу звучать, крупные климатические изменения или другие наземные процессы влияют на продолжительность земных суток. Более того, это изменение надежно регистрируется современными приборами, и его изучение позволяет узнать много интересного о климатических и геофизических процессах. В этой задаче предлагается оценить изменение длительности суток, вызванное двумя типами эффектов – сильным землетрясением и сезонным изменением скорости ветров.

Крупные землетрясения происходят, когда механические напряжения, накопившиеся в земной коре во время медленного движения тектонических плит, достигают критической точки. Тогда происходит одномоментный сдвиг плит и резко высвобождается запасенная в напряжениях энергия. Во время самых крупных землетрясений смещение плит происходит на большой площади размером в сотни километров. Плиты при этом сдвигаются не только горизонтально, но и вертикально; случается даже, что в результате землетрясения заметно поднимается морское дно и на мелководье образуются новые острова.

Землетрясения происходят непосредственно в земной тверди, а климатические процессы связаны лишь с атмосферой и гидросферой Земли. В планетарном масштабе циркуляция атмосферы не беспорядочна; на разных широтах и высотах она формирует характерные ячейки и порождает устойчивые воздушные течения (рис. 1).

Рис. 1. Основные зоны атмосферной циркуляции для идеализированной модели Земли

В экваториальной зоне с востока на запад дуют пассаты, а в высоких широтах с запада на восток – западные ветры. Наблюдения показывают, что при глобальном усреднении западные ветры пересиливают восточные, так что в среднем атмосфера вращается на восток, по направлению вращения Земли, но при этом обгоняя сушу. Сезонные вариации солнечного потока приводят к изменению скоростей ветров, а также к смещению границ атмосферных ячеек. Из-за этого средняя по планете скорость вращения атмосферы относительно суши меняется регулярным образом.

Задача

Оцените, насколько изменится длительность суток:

1) после крупного землетрясения, поднявшего морское дно на 1 м на площади 1000 × 1000 км,

2) во время сезонного усиления западных ветров, которое увеличивает среднюю скорость вращения атмосферы на экваторе на 1 м/с.

Подсказка 1

Первым делом надо четко понять, почему при этих процессах вообще может измениться длительность суток, то есть скорость вращения Земли. Вспомните формулы для описания вращения тела, вспомните вращательные явления, сопровождающие изменение формы тела (стандартная иллюстрация: вращающийся фигурист на льду прижимает руки к телу) и постарайтесь сосчитать эти изменения для двух предложенных явлений. Напомним, что для оценок по порядку величины не требуется гнаться за высокой точностью; погрешность оценки в два-три раза вполне допустима.

Подсказка 2

Если обычное линейное движение описывается скоростью и импульсом (произведением скорости на массу), то вращательное движение – угловой скоростью ω, моментом инерции J и их произведением – моментом импульса L = Jω. Угловая скорость описывает быстроту вращения (она связана с периодом вращения: ω = 2π/T), а момент импульса характеризует «вращательную инертность» тела и различается для тел разной формы. Например, для однородного шара массой M и радиусом R момент инерции составляет J = 2MR²/5; для тонкостенной сферы той же массы и того же радиуса J = 2MR²/3, а для тонкого обруча с этими же параметрами J = MR².

Законы механики гласят, что в отсутствие внешних сил, влияющих на вращение, неизменным остается именно момент импульса: L = const. И если в силу каких-то причин момент инерции тела изменился (а именно это и происходит при землетрясении) – изменится и угловая скорость вращения. Эти соображения помогут справиться с первой частью задачи.

Для решения второй части обратите внимание, что момент инерции тут не меняется, зато всю Землю можно условно разделить на две подсистемы: атмосферу и «твердую Землю». Их суммарный момент импульса неизменен, но относительный вклад может меняться. Значит, изменится скорость вращения «твердой Земли» и, как следствие, длительность суток, измеряемая именно по ее вращению.

Решение

Рис. 2. К расчету изменения скорости вращения Земли. Слева: поднятие участка земной коры изменяет момент инерции Земли, справа: изменение скорости вращения атмосферы в силу закона сохранения полного момента импульса влияет и на скорость вращения Земли

Для решения первой части задачи мысленно выделим из всей толщи Земли участок плиты площадью S и толщиной d (и, значит, массой m = ρSd), который приподнимается вверх на высоту h. Момент инерции этого участка раньше составлял mR² (мы для простоты полагаем, что этот участок находится не слишком близко к полюсам Земли, поэтому расстояние от него до оси вращения Земли будем считать близким к радиусу Земли R), а теперь составляет m(R + h)². Момент инерции оставшейся части Земли не изменился, поэтому полный момент инерции вырос примерно на ΔJ = 2mRh. Относительное изменение момента инерции всей Земли получается равным

В последнем переходе мы подставили формулу для объема шара и избавились от численных коэффициентов порядка единицы.

Теперь подставляем числа: S = 1 млн км², h = 1 м, R = 6000 км, а для оценки d возьмем типичную толщину океанической коры (порядка 10 км). Тогда относительное увеличение момента инерции планеты составит по порядку величины 10⁻¹¹. Поскольку момент импульса остается неизменным, то увеличение момента инерции сопровождается таким же по относительной величине уменьшением скорости вращения, а значит, таким же увеличением продолжительности суток. Итак, при выбранных параметрах землетрясения длительность суток скачкообразно увеличивается на ΔT ≈ 10⁻¹¹ сут. ≈ 1 микросекунда.

Для решения второй части задачи представим атмосферу в виде сферы массой m = 4πR²dρ₀, где ρ₀ – плотность воздуха, а d – толщина тропосферы (10 км). Атмосфера вращается с запада на восток, по направлению вращения Земли. Ускорение вращения атмосферы на величину v = 1 м/с (на экваторе) приводит к увеличению момента импульса, запасенного в атмосфере, на ΔL = JΔω = Jv/R = 2mvR/3. По закону сохранения полного момента импульса на столько же уменьшится и момент импульса всей оставшейся части Земли. Относительное уменьшение момента импульса твердой Земли (и, следовательно, относительное увеличение длительности суток) составляет

где u = ωR ≈ 500 м/с – экваториальная скорость вращения земной поверхности. Подставив числа и умножив на длительность суток, получаем изменение продолжительности суток на ΔT ≈ 3·10⁻⁹ сут. ≈ 0,2 мc.

Послесловие

Колебания продолжительности суток в долю миллисекунды, конечно, не заметны в повседневной жизни, однако хорошо отслеживаются современными приборами. Существует специальная организация – Международная служба вращения Земли (МСВЗ), которая обрабатывает данные по вращению Земли и представляет их в виде временнóй зависимости специально определенных параметров.

Экспериментально измеренная продолжительность суток за 1981–2012 гг. приведена на рис. 3. На графике явно видно, что длительность суток действительно меняется в пределах нескольких миллисекунд и что в этом изменении прослеживаются периодические компоненты разных периодов. Самые плавные изменения, с масштабом более 2000 дней, наложены прямо на черный график; они вызваны астрономическими и геофизическими причинами, например взаимодействием между мантией и внешним ядром. Вслед за ними показаны многолетние, затем очень регулярные сезонные и, наконец, совсем высокочастотные колебания (последние вызваны, прежде всего, приливными силами).

Рис. 3. Результаты измерения длительности суток за 1981–2012 гг. Сверху показаны непосредственно данные, ниже – компоненты периодичности в разных диапазонах периодов (значения периода в днях приведены во вставке)

Любопытно заметить, что пики на графике многолетних колебаний не произвольны, а попадают на те годы, когда наблюдалась очень сильная фаза Эль-Ниньо – одного из самых масштабных циклических явлений в земном климате. Оно усиливается раз в несколько лет, длится месяцами и затрагивает всю экваториальную часть Тихого океана от побережья Южной Америки до островов Юго-Восточной Азии. Во время активной фазы Эль-Ниньо температура океана в этой области повышается, и это сказывается на средней температуре на всей планете. Кроме этого, искажаются ячейки атмосферной циркуляции, изменяется средняя скорость вращения атмосферы и, в соответствии с результатами нашей задачи, изменяется длительность суток. Аналогичный эффект был отмечен и в 2015–2016 гг., во время очередного сильного эпизода Эль-Ниньо.

Возвращаясь к геофизике, стоит отметить, что в 2013 г. было обнаружено, что небольшие, но резкие скачки в длительности суток совпадают с моментами столь же резких изменений геомагнитного поля. Естественно предположить, что причины обоих скачков связаны друг с другом и вызваны электромеханическими процессами взаимодействия между мантией и внешним ядром. Если это так, то сопоставление временны́х зависимостей двух столь разных величин позволит по-новому изучать то, что происходит в глубинных недрах Земли.

Дополнительная информация

Сайт Международной службы вращения Земли содержит подробную техническую информацию по измерению нерегулярностей земного вращения: www.iers.org. Там же можно найти многочисленные таблицы и графики, описывающие параметры вращения и ориентации Земли, причем приводятся как ежедневные значения с 1962 г., так и долговременные измерения, простирающиеся в прошлое до середины XIX в.

Библиография

1. Сидоренков Н. С. Природа нестабильностей вращения Земли // Природа, 2004, № 8, с. 8–18: elementy.ru/link/unstable.

2. Na S.-H. Earth Rotation – Basic Theory and Features // Chapter 9 in Geodetic Sciences Observations, Modeling and Applications, 2013, Intech Open, pp. 285–327. DOI: 10.5772/54584.

3. Holme R. & de Viron O. Characterization and implications of intradecadal variations in length of day // Nature, 2013, vol. 499, pp. 202–204. DOI: 10.1038/nature12282.