Текст книги "Точное мышление в безумные времена. Венский кружок и крестовый поход за основаниями науки"

Теория относительности

Однако вернемся в 1905 год – в annus mirabilis. Статья Эйнштейна о специальной теории относительности вышла всего через три месяца после статьи о квантах света. Она тоже была, прямо скажем, революционной, однако понять и принять ее многим физикам оказалось гораздо легче. Сочетание великой простоты и огромной глубины не могло не очаровать.

Примерно за триста лет до этого Галилео Галилей понял, что движение тела можно измерить, только ориентируясь на какое-то другое тело, то есть относительно другого тела. Иначе говоря, чтобы измерить скорость или определить местоположение, нужна так называемая система отсчета. В двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорости, приписываемые движущимся телам, могут получиться разными. Муха, летающая по салону самолета, в системе отсчета пассажиров обладает довольно низкой скоростью, а с точки зрения людей на земле мчится невероятно быстро. Вроде бы это очевидно. Однако измерения показали, что скорость луча света не зависит от системы отсчета, из которой ее измеряешь. Скорость света в вакууме постоянна и фиксированна, где бы ты ни был и как бы ни двигался. Скорость света в салоне самолета одинакова и для пассажиров, и для людей на земле.

Какой вывод может сделать из подобных фокусов разумный человек? Со времен Николая Коперника и его последователей все привыкли к мысли, что наша Земля мчится вокруг Солнца со скоростью около ста тысяч километров в час, однако новые эксперименты ясно показали, что это движение никак не влияет на скорость света.

Другая бросающаяся в глаза аномалия состояла в том, что стандартная теория электромагнетизма, по всей видимости, давала разные результаты в зависимости от того, движется ли магнит относительно электрической цепи или цепь относительно магнита. А это совсем странно: ведь на самом деле это одна и та же ситуация, рассматриваемая с двух разных точек зрения.

Такие глубокие аномалии в известных законах физики натолкнули Эйнштейна на то, чтобы переосмыслить понятия пространства, времени и скорости, а это, в свою очередь, заставило его пересмотреть понятие одновременности. Если два наблюдателя хотят договориться, что значит, когда два события происходят “в одно и то же время”, им нужно сверить часы. Сверка предполагает обмен сигналами. На сигналы нужно время, даже если они распространяются со скоростью света. Вывод гласит, что два события, происходящие одновременно для одного наблюдателя, могут происходить в разное время для другого наблюдателя, если он несется мимо. Иными словами, наблюдатели из систем отсчета, движущихся по-разному, дадут разные ответы на вопрос, “сейчас” ли происходят два события.

Эйнштейн переписал формулы классической механики на основании своих новых представлений о пространстве и времени – и о чудо! Из теории исчез “эфир” – его буквально вытеснил вакуум. И хотя стало уже невозможно говорить об “абсолютном пространстве” (имея в виду гипотетическую систему отсчета, которая не движется), благодаря идеям Эйнштейна стала возможна “абсолютная скорость” – то есть скорость света в вакууме, которая не зависит от того, в какой системе отсчета ее измеряют.

Практически вдогонку этой мысли Эйнштейн вывел самую знаменитую формулу во всей физике – E = mc² – и тем самым связал энергию E, массу m и скорость света c. Об этом открытии сообщала последняя статья, которую Эйнштейн опубликовал в свой annus mirabilis.

Отрадно знать, что сделанные в тот удивительный год четыре открытия, после которых физика уже не могла быть прежней, все же удостоились признания коллег Эйнштейна. Первого апреля 1906 года Эйнштейн получил повышение в швейцарском патентном бюро: из технического эксперта третьего класса стал техническим экспертом второго класса.

Все эти поразительные результаты Эйнштейн вывел, и пальцем не прикоснувшись к лабораторному оборудованию. Однако при всей своей революционности его теории были прочно укоренены в философии науки тех дней – в идеях Маха, Герца и Пуанкаре.

Генрих Герц и Анри Пуанкаре

Книга Герца “Принципы механики”, опубликованная посмертно в 1894 году, сразу после его безвременной кончины, стала столь же авторитетной, что и “Механика” Маха. Герц делал упор на роль математических моделей в описании научных фактов. С его точки зрения, нам не нужно интуитивно понимать механику явлений. Достаточно уметь проверять модели при помощи измерений и вычислений.

Еще дальше зашел в своих рассуждениях Анри Пуанкаре (1854–1912), выдающийся французский математик, в своей работе “Наука и гипотеза”. По его представлениям, законы природы – вольное творение человеческого разума, и их цель – непротиворечивым образом соотнести наблюдаемые факты. Случается, что один и тот же набор наблюдений описывают несколько разных моделей; тогда предпочтение той или иной модели становится всего лишь вопросом удобства – что проще и практичнее. Ни о каких объективных “фактах” не может быть и речи. Более того, абстрактные идеи наподобие силы и электрического заряда определяются только через способы их применения. Задаваться вопросом, что лежит “за ними” и что это такое “на самом деле” – никчемная метафизика.

Таким образом, идея эфира, покоящегося в абсолютном пространстве – идея, лежащая в основе теории пространства и времени Пуанкаре, – полностью соответствует физическим наблюдениям, если предположить, что линейки сокращаются в направлении движения, а часы замедляются, если их перемещать. Пуанкаре задолго до Эйнштейна понял, что означает сверка часов при помощи электромагнитных сигналов. Он ввел понятие локального времени и в результате сумел объяснить все те же явления, что и Эйнштейн. А значит, его теория была равноправной альтернативой теории Эйнштейна.

Однако теория относительности, как выяснилось, далеко превосходила теорию эфира Пуанкаре по изяществу и практичности, поэтому в конце концов ей отдали предпочтение из соображений удобства. Или, если угодно, теорию Эйнштейна стали считать истиной, тогда как теорию Пуанкаре сочли мастерским выстрелом, совсем чуть-чуть не попавшим в цель.

Этот случай – яркий парадокс в истории науки: Анри Пуанкаре невольно послужил превосходным примером собственных представлений о научной истине как вопросе удобства. Перед нами две равноправные теории – теория Пуанкаре и теория Эйнштейна, – в равной степени дававшие рабочие прогнозы (по крайней мере в то время). Пуанкаре был до обидного близок к тому, чтобы обойти Эйнштейна и первым открыть теорию относительности, а вместо этого разработал собственную теорию эфира. Очевидно, он поставил не на ту лошадку – шаг тем более удивительный, что в “Науке и гипотезе” он писал: “…Гипотеза эфира, без сомнения, когда-нибудь будет отвергнута как бесполезная”[83]83
  Цит. по: Анри Пуанкаре. О науке / Пер. под ред. Л. Понтрягина. М., 1990. (Прим. пер.)


[Закрыть].

Давид Гильберт

Все физические теории опираются на математику. А на что опирается математика? Со времен Евклида любая уважающая себя математическая теория должна была, по крайней мере в идеале, состоять из теорем, а теоремы – это коллективное потомство набора аксиом, выведенное разными путями при помощи строгих логических умозаключений. Аксиомы же – это утверждения, принимаемые как данность. Но если это данность, чем она задана? И кем дана?

Во времена Евклида аксиомы геометрии считались очевидными, то есть их задавала наша пространственная интуиция.

Но интуиция коварна. Более того, еще древние греки заметили, что одна аксиома Евклида не так уж и очевидна. Эта аксиома – так называемая аксиома о параллельных – гласит, что на плоскости для любой прямой L и любой точки P, не принадлежащей L, существует одна и только одна прямая, содержащая P и не пересекающаяся с L. Эта прямая – уникальная параллель прямой L, проходящая через точку P. А поскольку прямые бесконечны, невозможно проинспектировать, что происходит на всем их протяжении – а тогда откуда мы знаем, что эти две прямые не пересекаются где-то далеко-далеко, куда нам не заглянуть?

Две тысячи лет геометры пытались обойти эту проблемную аксиому, для чего им требовалось вывести ее логически из остальных, более простых и интуитивно понятных. Однако их упорный труд не увенчался успехом, и в начале девятнадцатого века до математического сообщества стало постепенно доходить, что эти усилия, скорее всего, так ни к чему и не приведут. Многие математики даже заключили, что невозможность строгого доказательства аксиомы о параллельности можно строго доказать.

И тогда приблизительно одновременно (в двадцатые годы девятнадцатого века) два отважных математика – венгр Янош Бойяи и русский Николай Лобачевский – поняли, что если заменить аксиому о параллельности альтернативной аксиомой – для любой прямой L и любой точки P, не принадлежащей L, существует бесконечно много прямых, проходящих через P и не пересекающихся с L, – получится альтернативная геометрия, неевклидова геометрия, в которых параллельных линий не одна, а много. Поначалу теоремы неевклидовой геометрии выглядят непривычно и крайне любопытным образом отличаются от знакомой евклидовой геометрии, например, в новой геометрии сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов, но главное в ней другое: набор ее теорем ничуть не менее непротиворечив. С чисто логической точки зрения обе геометрии одинаково верны.

Это показало, что в принципе аксиомы и теоремы так называемой “геометрии” не обязательно имеют отношение к человеческой интуиции. Наша человеческая образная система точек и линий, наше ощущение, что они представляют собой “на самом деле”, так сказать, представление об их природе, – сугубо наше личное дело. Безусловно, интуитивные представления полезны в повседневной жизни, когда надо прокладывать себе маршрут в пространстве, но для геометра, рассуждающего абстрактно, важно лишь, как определенные чисто теоретические сущности, которым даны названия точек и линий, соотносятся друг с другом согласно произвольно заданным аксиомам и логически вытекающим из них теоремам. Короче говоря, геометрия не обязательно имеет отношение к физическому миру, в котором мы родились и живем.

Такую точку зрения особенно ревностно отстаивал Давид Гильберт (1862–1943), самый выдающийся математик своего времени. Родиной Гильберта был прусский город Кенигсберг, город Иммануила Канта.

“Давид Гильберт, проделав огромную подготовительную работу, поставил перед собой цель выстроить геометрию на основаниях, чьей надежности никогда не будет угрожать отсылка к интуиции” Мориц Шлик

Гильберт никогда не был вундеркиндом. Как он признавался впоследствии, “В школе меня не особенно занимала математика, поскольку я понимал, что всегда успею ею заняться”[84]84
  Blumenthal. Lebensgeschichte. В кн.: Hilbert, 1970.


[Закрыть]. Юный Гильберт никуда не спешил. Он был от природы дальновиден.

А еще Гильберт никогда не отступался от намеченной цели. И всегда получал новые фундаментальные результаты – и в алгебре, и в анализе, и в теории чисел, и в прикладной математике. Как сказали бы французы, он был наделен le coup d’oeil[85]85
  Здесь – острым глазом. (Прим. ред.)


[Закрыть]. В 1895 году Гильберт получил в Геттингенском университете кафедру, которую до него занимали титаны и гении – Карл Фридрих Гаусс и Бернхард Риман. Очень скоро ему удалось превратить небольшой университетский городок в блистательный мировой центр математики и теоретической физики, которому не было равных целых сорок лет.

Книга Гильберта “Основания геометрии” стала образцом современной концепции математической теории. Тонкий томик задавал аксиоматические рамки евклидовой геометрии с величайшей строгостью и безо всяких отсылок к интуиции. Секрет был прост. Основные понятия определялись исключительно через их взаимные отношения. Например, Гильберт опустил утверждение Евклида “Точка – то, у чего нет частей”, но сохранил “Две различные точки определяют прямую”.

Спрашивать, что такое на самом деле прямые и точки, так же бессмысленно, как спрашивать, что такое на самом деле шахматные фигуры. Какая разница? Значение имеют только правила игры. Смысл основных понятий не имеет ни малейшего отношения к делу.

Гильберт выразился просто: “Вместо того чтобы называть все это «точками», «линиями» и «плоскостями», можно с тем же успехом называть их «столами», «стульями» и «пивными кружками»”. Эта шутка среди математиков мгновенно вошла в пословицу.

В физике все примерно так же, но с одной оговоркой. Некоторые считают, что идеальная физическая теория должна следовать примеру геометрии. То есть роль аксиом должны играть некоторые фундаментальные законы – чем меньше и чем проще, тем лучше. Законы задают соотношения между самыми элементарными понятиями. А затем из этих аксиом мы можем логически вывести огромное множество следствий – как в математике. Но ведь цель физики – выявлять факты реального мира, поэтому физические понятия должны быть связаны с измерениями, а следствия из фундаментальных законов – проверяться при помощи тщательных наблюдений.

Таким образом, физическая геометрия сосуществует с математическими геометриями во всем их многообразии. Физическая геометрия описывает реальное пространство и должна быть применимой, в частности, к углам, граням и ребрам твердых тел. Тогда можно будет изготовить физические треугольники из металлических стержней и измерить сумму их углов. Если окажется, что эта сумма отличается от ста восьмидесяти градусов, мы окажемся перед дилеммой: либо наше пространство неевклидово, либо стержни у нас не прямые. С каким из этих утверждений мы согласимся, вопрос договоренности. Нам решать, как будет удобнее.

Как могли бы выглядеть аксиомы физики? А аксиомы вероятности? Есть ли механический способ подвергнуть математическое утверждение инспекции и сказать, истинно оно или ложно? Эти вопросы вошли в число двадцати трех задач, которые поставил перед математическим сообществом Дэвид Гильберт в 1900 году на Международном конгрессе математиков в Париже. Гильберт надеялся, что в наступающем веке по крайней мере некоторые из этих задач будут решены. Однако решены пока не все. Но все они оказывают определяющее влияние на математическую науку.

Бертран Рассел

На протяжении девятнадцатого века математику постоянно контролировали, укрощали и проверяли железной логикой. Мало того, что ради строгости пришлось пожертвовать интуитивным обаянием математики – сам метод логических рассуждений стал жестко регламентирован и расписан по шагам. Более того, стало очевидно, что старой доброй аристотелевой логики математикам уже не хватает. В ответ на такой спрос англичанин Джордж Буль (1815–1864), немец Рихард Дедекинд (1831–1916) и итальянец Джузеппе Пеано (1858–1932) разработали свои версии чистой символической логики, которая дает возможность формализовать даже самые сложные математические доказательства. А предельным случаем такой логики стало “понятийное письмо” – Begriffsschrift, – которое создал немецкий логик Готлоб Фреге (1848–1925).

Такую же двойную задачу – поставить математику на логические основания и превратить логику в математическую дисциплину – поставил перед собой и юный Бертран Рассел (1872–1970).

Рассел родился в британской аристократической семье, его дед дважды был премьер-министром. Маленький Берти рос как сиротка – до того строго воспитывала его глубоко верующая бабка. Он получил домашнее образование, а затем поступил в Кембридж, чтобы изучать математику. Много лет его преследовал панический страх душевной болезни. В его семье были подобные случаи. А великое утешение и возможность отвлечься от мыслей о самоубийстве дала ему математика с ее холодной определенностью. Однако в 1902 году Бертран Рассел обнаружил парадокс, который заставил сильно усомниться в этой холодной определенности. А самое неприятное – этот парадокс относился к теории множеств, теории, которую в то время начали считать незыблемым фундаментом, на котором предстояло возвести всю остальную математику. Катастрофа!

“Невозможно, пожалуй, переоценить значение его способа философствования. Я твердо убежден, что это метод будущего – единственный метод, способный воплотить мечту Лейбница о строгом математическом подходе к философским вопросам” Мориц Шлик

Множества – это наборы элементов. Эти элементы, в свою очередь, тоже могут представлять собой множества, подобно тому как папки могут содержать в себе другие папки. Нетрудно представить себе множество, которое содержит как элемент само себя (например, множество всех множеств – это тоже множество). Однако многие множества, естественно, сами себя не содержат (например, множество всех котов, ведь само оно не кот).

А тогда как насчет множества Х всех множеств, которые не содержат сами себя? Содержит ли Х само себя? Если да, то нет, а если нет, то да. Разберем подробнее: если Х не содержит самого себя, то по определению, которое мы дали Х, Х должно быть одним из элементов Х, а следовательно, содержит само себя; напротив, если Х содержит само себя, то оно, опять же по определению, не может быть элементом Х, а следовательно, не содержит самого себя. Такие безостановочные метания между да и нет, безусловно, не могут не тревожить.

Родственный парадокс придумал немецкий философ Курт Греллинг (1886–1942), некоторое время работавший с Куртом Гёделем и входивший в так называемый Берлинский кружок, группу философов, тесно связанную с Венским кружком. Греллинг был еврей и погиб в Аушвице.

Его парадокс выглядит следующим образом. Говорят, что слово автологично, если оно точно описывает само себя. Например, слово “русское” – русское, то есть автологичное, а слово “немецкое” – не немецкое (оно тоже русское), а значит, не автологичное. Еще примеры: слово “пятисложное” имеет ровно пять слогов, а значит, автологично. А слово “двухсложное” состоит не из двух, а из четырех слогов и поэтому не автологично. Прилагательное “раритетное” само по себе довольно редко и потому раритетно, а следовательно, автологично, а прилагательное “непроизносимое” вполне произносимо, а следовательно, неавтологично.

Так вот, если мы только что придумали слово “неавтологичное”, будет ли оно автологичным? Если да, то нет, а если нет, то да. Опять же неприятная ситуация.

Сам Рассел описал свой парадокс на примере цирюльника, который бреет всех мужчин в деревне, которые не бреются сами. Бреет ли цирюльник сам себя? Если да, то нет, а если нет, то да. Мы снова попали в крайне неприятную ситуацию.

Когда Рассел сообщил о новом парадоксе логику Фреге, тот был потрясен до глубины души. Он сразу понял, что вся его теория пошла насмарку. Второй том “Основ арифметики” Фреге (Grundgesetze der Arithmetik) уже готовился к печати, и вносить правку в текст было поздно. Фреге мог разве что добавить послесловие. И то, что он написал, по сей день служит памятником интеллектуальной честности: “Мало что может быть неприятнее автору научного труда, чем по завершении работы узнать, что один из столпов его творения обрушен”.

В отчаянной попытке вырваться из смертельной хватки собственного парадокса Рассел изобрел теорию типов, которая запрещала множеству содержать само себя (или двум множествам содержать друг друга и т. д. и т. п.). Такой подход, более осмотрительный, и другие тщательно продуманные подходы, разработанные другими учеными – некоторые из них сегодня более популярны, – сделали возможным обойти парадокс Рассела и другие родственные ему парадоксы.

Когда в 1903 году вышла в свет книга Рассела “Основания математики”, он всего в тридцать лет стал самым знаменитым логиком своего времени. Основная мысль его книги была программной: математика должна строиться на логике и только на логике. А затем вместе со старшим коллегой философом Альфредом Нортом Уайтхедом (1861–1947) Рассел взялся за проработку этого грандиозного проекта в мельчайших подробностях, и их совместный трехтомный труд Principia Mathematica вышел в 1910–1913 годах.

Principia Mathematica стали библией математической логики. Доказательство теоремы “1 + 1 = 2” появляется лишь на 362-й странице второго тома и написано на таком узкоспециальном и заковыристом языке, что ее в глаза не узнает большинство читателей, а преимущественно математики.

Согласно Principia Mathematica, парадокс Рассела вроде бы удалось обойти, однако он оставил по себе неприятный осадок. Можно ли рассчитывать, что не появится никаких неожиданных противоречий, которые еще просто не открыты? Кому нужны самые изящные логические доказательства, если нельзя полагаться на логику как таковую?

Анри Пуанкаре описал это притчей: математик подобен пастуху, который, чтобы уберечь свое стадо от волков, окружает его высоким забором. Через него не может перебраться ни один зверь. Но вдруг волк спрятался где-то внутри забора?

Поэтому в число двадцати трех задач, которые Давид Гильберт поставил перед математиками наступающего века, входила и такая: как доказать, что внутри математики нет скрытых противоречий?