Текст книги "Эйнштейн учился без карточек. 45 эффективных игровых упражнений для детей от 0 до 6 лет"

Принципы счета: когда и что дети могут делать

Профессор Гельман в сотрудничестве со своим мужем, профессором Ренди Галлистелом (также из Рутгерского университета в Нью-Джерси), продолжала выяснять, какие способности необходимы детям, чтобы успешно справиться с задачами на числовое соответствие. Они поставили важнейшие вопросы о том, что дети знают о числе, и в каком возрасте они это узнают. Результаты их многочисленных исследований определили пять принципов, которые управляют счетом.

К этим принципам дети приходят самостоятельно, просто играя с объектами в окружающем мире и разговаривая с людьми о числах.

Это знание связано с теми предметами, с которыми детям нравится играть самостоятельно, без участия взрослых, и это могут быть любые предметы, которые попадают к ним в руки. Иными словами, дети усваивают эти принципы благодаря той волшебной деятельности, которую мы называем игрой.

Давайте подумаем, что необходимо для того, чтобы сосчитать набор предметов. Если бы мы пересчитывали составляющие его единицы больше чем по одному разу, мы получили бы неверный ответ. Но когда маленькие дети об этом узнают? Это – принцип однозначного соответствия, и профессор Гельман обнаружила, что дети начинают соотносить с одним предметом только один числовой «ярлычок» – даже если пока не умеют правильно считать – к тому моменту, как им исполняется 2,5 года. Если показать ребенку набор из четырех предметов и попросить сосчитать их, ребенок может сказать «один, два, четыре, шесть», называя каждый предмет только одним числом (пусть даже неправильно).

Вот это да! Ребенок каким-то образом сообразил, что каждый из предметов пересчитывается только однажды.

Опять же, вне зависимости от того, могут ли дети перечислить числа в правильном порядке, они, похоже, понимают, что стабильный порядок действительно существует. Иными словами, пересчитывая набор предметов, не следует говорить один раз «один, два, три», а другой раз – «два, один, три».

Попросите двухлетнего ребенка пересчитать набор предметов, и вас удивит то, что он сделает. Он определенно знает, что нужно использовать названия чисел, – то есть он не станет отвечать вам, например, словами «синий, красный, зеленый…». Зато может использовать названия чисел не в том порядке, в каком вы ожидаете.

Он может сказать «один, два, три, четыре, семь». Однако когда вы попросите пересчитать два различных набора предметов, ребенок вполне может назвать те же числа (свой личный числовой ряд) в том же порядке. Это тоже весьма впечатляет, поскольку никто нарочно не учит детей этому принципу; они выводят его самостоятельно, наблюдая, как люди считают, и считая самостоятельно.

Обнаружение скрытых навыков

Принципы однозначного соответствия и неизменного порядка

Возраст: 2–4 года

Научился ли ваш ребенок использовать принципы однозначного соответствия и неизменного порядка? Соберите разные предметы, чтобы получилось три небольших набора по 3–4 предмета в каждом. Попросите ребенка сосчитать предметы в одном наборе и проверьте, называет ли он каждый предмет только одним числом, таким образом используя принцип однозначного соответствия. Если он этого пока не делает, попробуйте поставить этот опыт снова через несколько месяцев. Было бы здорово попробовать это упражнение с детьми разных возрастов, чтобы увидеть, какая разница проявляется в поведении ребенка через год или два. А также послушайте, как ваш ребенок считает предметы, чтобы выяснить, использует ли он собственный числовой ряд каждый раз в одном и том же порядке, соблюдая таким образом принцип неизменного порядка.

Как только дети усвоят принцип неизменного порядка, они готовы использовать важнейший количественный принцип – представление о том, что последнее число при счете обозначает собою количественный размер всего набора. Что это означает? Если я пересчитывала чашки и насчитала три штуки, последнее произнесенное мною число – «три» – представляет количество чашек в этом наборе предметов. Очень забавно наблюдать, как дети это делают, потому что, когда они добираются до конца подсчета, они часто поднимают глаза и с гордостью громко восклицают: «Шесть!» И совершенно не важно, что они по-прежнему могут использовать свой личный числовой ряд. Вы поймете, что они усвоили этот принцип, когда они скажут вам, что последнее произнесенное ими число – это «сколько всего» предметов.

Персонаж Каунт из «Улицы Сезам» – хорошая иллюстрация к нашему следующему принципу, принципу абстракции. Все, что угодно, можно посчитать – буквально все. Мы можем сосчитать туфли, машины, проезжающие мимо нашего окна, и даже сколько раз после обеда нам звонили менеджеры из телемагазина. Числа – это универсалии, которые применимы где угодно и к чему угодно. И, к счастью, эти принципы действуют во всем мире, пусть даже слова, называющие числа, во всех языках разные.

Пиаже рассказывает нам об одном своем друге, который стал математиком и вспоминал, как совершил свое величайшее открытие в детстве. Он играл с камешками и расположил их по кругу. Начал считать их с одного камешка и дошел до числа 6. Затем он выбрал другой камешек в качестве точки отсчета – и все равно получил ответ 6. Потрясающе! Оказалось, не имеет значения, с какого камушка начинать отсчет; всегда получался один и тот же ответ. Друг Пиаже открыл принцип иррелевантности порядка совершенно самостоятельно, как это делают все наши дети. Этот принцип говорит о том, что мы можем не только сосчитать все, что захотим, но и сосчитать предметы в любом порядке, начиная с любого из них.

Обнаружение скрытых навыков

Количественный принцип, принцип абстракции и принцип иррелевантности порядка

Возраст: 2–4 года

Вы можете выяснить, пользуется ли ваш ребенок основными принципами счета, дав ему набор предметов. Определите, например, использует ли ваш ребенок количественный принцип. Когда вы спрашиваете: «Сколько здесь собачек (птичек, игрушек…)?», понимает ли ваш ребенок, что ответом является самое большое число, которое он назвал при счете? И готов ли он посчитать что угодно, демонстрируя вам, что он следует принципу абстракции? Попросите ребенка сосчитать предметы, которые можно взять в руку, а затем попросите его сосчитать число облачков в небе или сколько раз вы на этой неделе звонили бабушке. Станет ли он возражать? Или он готов посчитать все, что вы попросите, даже если речь идет о предметах далеких или неосязаемых?

Наконец, проверьте, применяет ли ваш ребенок принцип иррелевантности порядка. Укажите на один предмет в наборе из 5 предметов и попросите его сосчитать, сколько их всего. А затем попросите проделать эту операцию вновь, указав в качестве начала отсчета другой предмет. Приходит ли ребенок оба раза к одному и тому же результату? С готовностью ли он это делает? Спросите ребенка, как ему кажется, почему всегда получается одно и то же число. Не ждите, что он обязательно даст осмысленный ответ, но выяснять, какого рода логическое обоснование ребенок может выдвинуть, интересно и забавно.

К возрасту 3 лет большинство детей оперируют с числами соответственно этим пяти принципам – бóльшую часть времени. Эти принципы формируются в естественном ходе развития и в настоящее время включены в самые ранние математические программы и оценки. Следует ли нам бежать и закупать вспомогательные материалы, чтобы обучить своих детей принципам счета? Нет!

Прежде всего мы не можем научить принципам счета двухлетнего ребенка, даже если захотим (а мы не видим причин, почему вам может этого хотеться). Как вы объясните двухлетнему человечку, что порядок, в котором вы считаете предметы, не имеет значения? Дети приходят к этому самостоятельно и в должное время. А разговор об этих принципах слишком абстрактен, чтобы дети уловили его смысл.

Именно поэтому им необходим физический опыт обращения с окружающими предметами, чтобы разработать эти принципы самостоятельно.

Вы можете играть в «математические» игры с игрушечными машинками, чайными чашками и любыми другими обыденными предметами, которые есть у вас в доме; вам совершенно не нужно покупать ничего специально.

Как учит нас тому принцип абстракции, дети умеют находить неуловимые «числа» повсюду, куда ни бросят взгляд, и если мы будем смотреть вместе с ними, то можем здорово повеселиться, пересчитывая червяков, слизняков и французские тосты (хотя, надеемся, последние и первые не будут в одном и том же наборе!). А вот чтобы вычитать и складывать, действительно нужно нечто большее, чем просто числа. Это подводит нас к следующему шагу – к числовому лучу.

Концепция числового луча

Числа не просто плавают вокруг нас в пространстве. Они определяются своим отношением друг к другу. Чтобы полностью овладеть навыками вроде сложения и вычитания, дети должны понять, что, например, 5 больше 4 на одну единицу и больше 3 на две единицы.

Более того, им придется усвоить, что 5 на одну единицу больше 4, но в то же время на одну единицу меньше 6. Исследования показывают, что это более трудная концепция, и дети осваивают ее между 2,5 и 3 годами.

Даже в 3 года ребенку легче увидеть число в соотношении с намного меньшим и намного большим числом, чем понять, какие отношения существуют между числами, различающимися совсем ненамного.

Например, маленьким детям легче определить отношение между 5 и 1 и между 5 и 8, чем отношение того же числа с 4 и 6.

Вероятно, причина, по которой детям (и взрослым) легче увидеть различия большого порядка, связана с тем, о чем мы говорили выше в связи с математическими способностями младенцев.

Поскольку исследования показывают, что мы начинаем математически мыслить в количественных терминах, вполне резонно предположить, что, когда количественная разница велика, нам гораздо легче вынести суждение, чем когда приходится пользоваться знанием числового луча для составления суждений о небольших различиях.

Для развития этой способности требуется некоторое время. Один из наших детей (Бендж) только к 5 годам по-настоящему понял, почему порции мороженого у его родителей больше, чем у старшего брата, а у старшего брата – больше, чем у него, а у него самого – больше, чем у его младшего брата Майка. Смысл такого распределения стал ему ясен, когда он увидел возраст всех членов семьи отмеченным на числовом луче и убедился, что количество мороженого в порции соотносится с положением каждого на этом луче.

Обучающие моменты

Числовой ряд

Вот два примера для вас: к чему ближе сумма чисел 56 и 75, к 125 или к 150? К чему ближе их сумма, к 130 или к 136? Профессор Станислас Дехен из Национального института здоровья Франции полагает, что первый из этих примеров вам будет проще решить, потому что вы, как и ваши дети, легче проводите приблизительную оценку чисел, отстоящих дальше друг от друга, чем тех, которые требуют более точной математической оценки.

А этот пример для вашего 3–6-летнего ребенка: возьмите 3 набора предметов (один из 3 предметов, второй из 5, а третий из 7) и попросите ребенка сказать вам, какой набор самый большой, а какой самый маленький. Может ли ваш ребенок это сделать?

Поскольку речь идет о сравнении двух наборов, которые значительно различаются по количеству (3 и 7), задача будет не слишком сложной. А теперь спросите ребенка о среднем наборе. Теперь задача станет потруднее, поскольку средний набор ненамного отличается от двух других. Спросите: «Этот набор больше того (укажите на самый маленький)? А вот этого набора он больше или меньше (укажите теперь на самый большой)?» И посмотрите, как ваш ребенок ответит на эти вопросы.

Высшее достижение: счет и сравнение

Чтобы по-настоящему освоить сложение и вычитание, ваш ребенок должен уметь использовать принципы подведения итогов совместно со знаниями о числовом луче. Это означает, что он должен понимать не только то, что в сосчитанном им наборе содержится три шарика, но и что три шарика больше, чем два, но меньше, чем четыре. Этот последний шаг в дошкольной математике большинство детей совершают в возрасте между 5 и 6 годами. Открытие числового луча позволяет детям складывать наборы чисел и понимать, что когда они берут набор из 3 предметов и добавляют к нему набор из 4 предметов, то достигают по числовому лучу значения 7 единиц. Тогда и только тогда ребенок по-настоящему усваивает разницу величин между 3 и 7. Тогда и только тогда ребенок безоговорочно узнает, что сложение и вычитание – это операции, которые происходят в одном и том же континууме, в пределах числового луча. Дети не могут дать сознательное объяснение числовому лучу; это – знание бессознательное, но от этого оно не перестает быть знанием. Развитие понимания числового луча и всего, что он в себя включает, – это наивысшее достижение дошкольника в математике. И наилучший, сопряженный с наименьшим количеством проблем способ, каким ваш ребенок может достичь этой вершины, – это игра и проработка простеньких устных примеров на сложение и вычитание, которые вы решаете в ходе вашей повседневной жизни.

Обучающие моменты

Домашняя игра с числовым лучом

У многих настольных игр центральным элементом является числовой луч. Цель этих игр – добраться от начальной позиции к финишу и прийти к нему первым. Пространства-клеточки на игровой доске представляют собой род числового луча, и мы движемся через них, бросая кости. Когда выпадает 6 очков, мы делаем 6 шагов – и сразу оказываемся впереди игрока, который передвинулся только на 3 шага. В таких играх дети учатся не только принципу однозначного соответствия (один шаг соответствует одному очку на стороне игральной кости), но и усваивают принцип числового луча. Они движутся вперед к цели (которую мы можем установить как конкретное число клеточек, скажем 50).

Если хотите как следует пофантазировать, можете даже придумать собственную игру. Нарезав полоски бумаги и сделав на них отметины, представляющие числа от 0 до 50, дети могут следить, как их фишки движутся по числовому лучу к цифровой цели. Искушенный родитель может даже писать указания в клетках, например «вернись назад на 2 клетки», чтобы ребенок мог усваивать отношения между сложением и вычитанием на этой улице с двусторонним движением.

В процессе игры можно задавать ребенку вопросы: кто дальше ушел вперед? Почему? И насколько? Вы уже понимаете, что, играя в эту игру, на развитие навыков счета начинаешь смотреть совершенно по-новому.

Что означают эти исследования для вашего ребенка

Исследования показывают, что даже новорожденные как минимум способны усваивать некоторую информацию о количестве, например: «больше или меньше»; а во второй половине первого года жизни младенцы получают некоторое представление о равенстве. Некоторые исследователи полагают, что в этот ранний период жизни малыши опираются на количество, а не на знание о числе. Но другие считают, что младенцы обладают своего рода рудиментарными знаниями о числах – пока очень маленьких, – которые позднее приведут к развитию способности разбираться в числах вообще.

Со временем младенцы становятся малышами, которые начинают считать и сравнивать. В течение 3,5 лет способности ребенка к счету и сравнению развиваются как будто на разных, независимых планах. А потом, как по волшебству, у наших дошкольников развивается способ интегрирования этих двух систем: они начинают считать, сравнивать числа на числовом луче и мыслить уже по-настоящему математическими способами.

Поскольку мы вступаем в эпоху, где все дети, скорее всего, будут посещать детские дошкольные учреждения, деятели образования и исследователи серьезно изучают ход развития математических способностей дошкольника, и появляются программы, в которых подчеркиваются естественные способности детей мыслить в терминах счета и сравнения. Исследователи активно разрабатывают игры, проливающие свет на эти процессы, которые проявляются у детей в дошкольном возрасте. И действительно, важны процессы, а не результаты. Двухлетний ребенок, который зазубрил на память названия чисел, не обязательно сильно «опередил» сверстника, который этих названий не знает, зато понимает принципы счета. Первый ребенок – просто попугай. Второй – начинающий математик.

Одним из примеров великолепных математических программ для дошкольников является программа «Большая математика для маленьких людей» (Big Math for Little Kids). Этот учебный план построен на открытиях, о которых мы упоминали выше. В нем также используется тот факт, что 4–5-летние дети проводят большую часть своего дня, играя в игры, задействующие математические навыки. Разработчик этой программы, профессор Герберт Гинзберг, один из преподавателей Педагогического колледжа Колумбийского университета в Нью-Йорке, изучал группу из 80 детей, чтобы понять, задействованы ли в их естественных играх математические способности. Он обнаружил, что в свободной игре 46 % времени дети либо сортировали предметы по наборам (ложки – сюда, а вилки – туда), либо пересчитывали их, либо изучали шаблоны и формы. Скажите, вы вообще представляли себе, что наши дети отдают столько времени математическому мышлению? Это одна из причин того, почему нам нет нужды бояться, что мы не в состоянии дать детям исчерпывающие математические наставления. Они и так постоянно занимаются математикой!

Обучающие моменты

Планирование пикника

Одна из игр, которая используется в наборе «Большая математика для маленьких людей», называется «Сложи сумку». Выдайте 4–5-летнему ребенку 5 пластиковых пакетиков, на каждом из которых написано число (1, 2, 3, 4 и 5). Затем возьмите упаковку арахиса или любые достаточно мелкие и многочисленные предметы. Можно включить в игру мягкие игрушки зверей и представить, будто вы собираетесь на пикник. Спросите ребенка, сколько орешков положено каждому животному. Игра состоит в том, чтобы просто положить правильное число мелких предметов в пакетики. Есть также вариация этой игры, в которой дети могут высыпать содержимое из двух пакетиков и сравнить, в какой кучке больше или меньше предметов, и так далее.

До сих пор мы много говорили о математических навыках, которые дети приобретают самостоятельно, и очень мало сказали о конструктивной роли, которую могут сыграть в этом деле родители. Все же надо заметить, что родители действительно играют важную роль в постижении их детьми принципов и знаний, которые мы обсуждали.

Профессор Джеффри Сакс и его коллеги из Калифорнийского университета в Беркли изучали, как 2-4-летние дети взаимодействуют дома со своими матерями, решая простенькие математические задачки, которые задавали им исследователи. Ученые вели видеозаписи естественного взаимодействия детей и мам, когда им давалось задание сосчитать число предметов в наборе или собрать набор предметов в соответствии с заданным числом. Их открытия могут утешить любого родителя, который не уверен в своей способности удовлетворить естественное стремление ребенка к изучению базовых математических представлений.

Исследователи обнаружили, что матери проявляют естественную чувствительность к уровню навыков своих детей: например, они активнее помогали 2-летним малышам, чем 4-летним.

Когда исследователи изучали способности детей внутри одной возрастной группы при помощи разных заданий, они обнаружили, что матери опять реагируют на уровень умения своих детей, больше руководя теми, кто был менее компетентен.

Помощь детям в соответствии с их уровнем – это то, что блестящий русский психолог Лев Выготский называл «возведением лесов» (в западной психологии – скаф-фолдинг). Под этим выражением он подразумевал, что взрослые часто помогают ребенку достичь более высокого уровня, поддерживая его старания такими способами, которые позднее уже не понадобятся.

Именно это и обнаружили исследователи: благодаря помощи (возведению лесов) детям удавалось выполнить математические задачи, которые они не могли решить самостоятельно.

Но что происходит за пределами того временного промежутка, в который исследователи просили матерей и детей решать математические задачки? Есть ли какое-либо свидетельство того, что матери и их дети взаимодействуют в «математическом поле», когда исследователи за ними не следят?

Экспериментаторы нашли эти свидетельства, расспрашивая матерей; оказывается, мамы и дети очень много говорят о числах и играют в маленькие спонтанные математические игры. А по мере того как дети больше узнают о числах, степень сложности игр и разговоров о числах тоже возрастает.

Более того, другие исследования подобных социальных взаимодействий между ребенком и взрослым указывают, что независимые действия ребенка совершенствуются после взаимодействия со взрослым, оказывающим ему поддержку. Если это верно для математического взаимодействия – а есть все причины полагать, что так и есть, – тогда и другое взаимодействие в семье, происходящее естественным путем с родителем или внимательным воспитателем, у которого есть время, чтобы ответить на вопросы ребенка, должно помогать детям обретать математические прозрения, которые послужат основой учебных достижений в школе.

Но не воспринимайте эту информацию как указание срочно бежать за цветными карточками и математическими играми. Необходимо делать только то, что происходит само собой. Существуют принципы, которыми вы можете руководствоваться в своем повседневном, обычном и спонтанном математическом взаимодействии с детьми.

УСВОЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО

Думайте с помощью кубиков, а не видеоматериалов. Многие из новейших педагогических методик используют видеоматериалы. Существуют геометрические видеофильмы для самых маленьких и многочисленные компьютерные игры, которые интерактивно вовлекают дошкольников в математическую реальность, одновременно обучая их навыкам владения компьютером. Однако наилучший способ узнать о числах – манипулировать предметами, выстраивать их в ряды, сравнивать наборы и так далее. Игру с предметами ничто не заменит, и физические действия объясняют материал доходчивее, чем слова. К тому же дети обожают такие игры и играют в них без всякого понукания!

Ищите числа повсюду. Точно так же, как вы находите прямоугольники в очертаниях зданий и многоугольники в дорожных знаках, числа присутствуют повсюду, куда ни повернись. Когда мы раздаем одинаковое количество карт каждому игроку, когда считаем, сколько маленьких подарков нам потребуется для каждого гостя, пришедшего на вечеринку, мы занимаемся математикой. Используя новую кисть для каждой новой краски, кладя по одной салфетке для каждого из пришедших в гости друзей, мы используем однозначные соответствия и сравниваем размеры наборов. Кладя дополнительную порцию мороженого вновь пришедшему гостю, мы складываем количества. А потом, когда мы едим мороженое, мы занимаемся вычитанием.

Поход вместе с детьми по магазинам (как только они минуют стадию бросания всего подряд в тележку) – это настоящая золотая жила для обучения тому, как сравнивать и сопоставлять числа и количества. Какая коробка больше, а какая меньше? Что стоит больше? А что – меньше? Годам к пяти дети могут самостоятельно покупать недорогие товары в магазине и получать сдачу – это пример сложения и вычитания.

Теперь, когда вы знаете, куда смотреть, вы будете обнаруживать числа в любой момент вашей жизни. Надо просто обращать на них внимание – как делают ваши дети – и пользоваться естественными возможностями для обучения.

Игра = обучению. Нас всегда восхищало то, насколько многому дети учатся благодаря игре. Учащиеся в начальных школах, у которых возникают трудности с дробями, похоже, без всякого труда вычисляют средние показатели своих любимых спортивных игроков в сложных десятичных долях. Маленькие бразильцы, «дети улицы», не могут решить школьные математические задачки, зато в совершенстве ведут вычисления для своих мелких уличных сделок. Многие карточные игры – это математика в лучшем виде. Деньги предоставляют замечательные возможности не только для счета, но и для создания наборов. Может ли ваш ребенок повторить тот набор, который собрали вы? Если вы выложите в ряд 3 рубля, сможет ли он сделать то же самое? Если вы заберете один из них, сможет ли он повторить ваши действия? Что больше – 3 рубля или 10 рублей?

Нам нет нужды быть менторами наших детей; все, что нам нужно, – это следовать их интересу и играть в игры, которые им нравятся и подогревают математическую любознательность.

Поощряйте ребенка учиться в контексте. Все мы лучше усваиваем материал, когда изучаем нечто значимое для себя. Дети большему научатся в супермаркете, рассматривая крупные и мелкие яблоки, чем узнают о них из компьютерных игр. В возрасте 3–4 лет детям нравится играть в настольные игры. Когда вы с ребенком бросаете кости и передвигаете фишки, вы используете однозначные соответствия, и результат действительно имеет для ребенка значение! Значит, наша работа как педагогов и родителей – пользоваться возможностями, которые присутствуют вокруг нас, и позволять детям учиться в контексте.

Помните: если вы просто выполняете свои обычные обязанности и занимаетесь делами, вы формируете математические навыки ребенка прямо в собственном доме. Вам нет необходимости покупать что-то дополнительно или беспокоиться о том, чтобы обогнать других. Один из наших сыновей, Джош, преподал нам этот урок, когда самостоятельно открыл основы умножения в возрасте 4 лет. Как-то раз мы с ним пекли кексы в специальной форме, и он заметил: «Мам, а ты знаешь, что 2 ряда по 3 кекса – это то же самое, что 3 ряда по 2 кекса?» Математические навыки расцветают с помощью опыта и игры. Наша задача – просто распознавать обучающие моменты в течение каждого дня.