Текст книги "Вещи не то, чем кажутся. 100 фреймов УНИВЕРСУМА"

Хаос и порядок. Прогнозирование и управление случайностями

Что понимается под хаосом, и какими свойствами он обладает? Это высокая степень энтропии, т. е. беспорядка, непредсказуемость, проявляющаяся в виде случайности. К явлениям неподдающимся точному предсказанию относятся атмосферные процессы, движение брошенной игральной кости, течение горной реки, биржевые колебания, броуновское движение.

Ранее считалось, что, обладая огромными вычислительными мощностями, можно предсказать поведение таких процессов. Эта точка зрения была обоснована французским математиком Лапласом. В свете классического детерминизма в этом мире случайностей не существует. Случайность – это наше незнание о процессах.

В начале XX века другой французский математик Пуанкаре опроверг эту точку зрения. Исследования показали – случайность есть объективное свойство природных процессов, и её нельзя устранить, накапливая информацию о системе. Оказалось, что и простые детерминированные системы могут порождать случайность, которую также нельзя устранить, наращивая информацию о них. Такие процессы назвали случайно-подобными. Они определены законами и правилами детерминирующих их изменений, которые не несут никакой случайности. Тем не менее быстрый рост неопределённости не допускает долговременного прогноза.

Необходимо отличать детерминированный хаос от стохастических процессов, связанных с массой действующих факторов. Эти различия, во-первых, заключаются в том, что детерминированные случайно-подобные процессы полностью воспроизводимы на любом этапе их реализации, в отличие от стохастических, которые таким свойством не обладают. Во-вторых, стохастические процессы сохраняют своё устойчивое поведение в противоположность детерминированным хаотическим. Например, представим себе расписание поездов. Воздействие стохастического фактора существенно не изменит структуры расписания, в отличие от случайно-подобного, который полностью его обрушит.

К моделям, порождающим хаотическое поведение, относят перемешивание, и кухонный миксер отлично выполняет эту операцию. Более мощный алгоритм генерации хаоса заключается в растяжении и сжатии траекторий в пространстве. Наглядно этот процесс демонстрирует «операция пекаря». Когда пекарь печёт пироги, для улучшения качества теста он разминает его с помощью скалки, а затем складывает. В результате близкие траектории разбегаются и становятся далёкими, а далёкие сближаются. При добавлении в тесто капли пищевого красителя уже через два десятка операций первоначальное пятно увеличит свою площадь в 20 млн раз, а его толщина сократится до молекулярного слоя. Краска полностью смешается с тестом. Хаос действует таким же образом. Складывание устраняет первоначальную информацию о системе, а растяжение стирает крупномасштабную, лишая нас возможности каких-либо предсказаний о её поведении [12].

И, несмотря на то, что хаос накладывает ограничения на возможность прогнозирования, он предполагает наличие связей там, где их ранее не подозревал никто. Хаос позволяет находить порядок в различных явлениях, таких как атмосферные фронты, капающий кран, физико-химические процессы.

Так что же такое порядок? В отличие от хаоса – это определённость, малая степень энтропии, периодичность, закономерность, наличие устойчивых связей между явлениями. В свете изложенного в самом хаосе есть порядок. Ещё в первой половине XX века английским математиком Рамсеем была доказана теорема, смысл которой стал понятен лишь в настоящее время – полный беспорядок невозможен. Чем больше мощность хаоса, тем больше в нём очагов порядка. Достаточно управляющими сигналами воздействовать на эти очаги, и станет возможно осуществить переход в упорядоченные состояния, чем сегодня и занимается новая наука – теория управляемого хаоса [13].

В настоящее время идёт поиск законов перехода хаоса в порядок. Если такие законы будут открыты, то нас ждёт научная революция, открывающая фантастические технологические возможности, по сравнению с которыми киборг Т-1000 в фильме «Терминатор-2: Судный день» покажется просто детской игрушкой.

Теория катастроф

В обыденной жизни часто происходят ситуации, которые сопровождаются резкими скачкообразными трансформациями, несмотря на привычные плавные движения. Классические методы математического анализа, основа которых была создана ещё Ньютоном и Лейбницем, ориентированные на исследования гладких плавных изменений, не справляются с описанием и прогнозированием подобных процессов.

Теоретические принципы, сформулированные классической наукой, базируются на парадигме того, что протекающие в нашей действительности процессы рассматриваются в виде постоянно меняющихся параметров. Однако большинство совершающихся трансформаций происходят скачкообразно, резкими качественными изменениями объектов и процессов: внезапное разрушение моста, закипание жидкости, возникновение тюремных бунтов, наступление биржевого кризиса или крушение самолётов. И такие кардинальные метаморфозы возникают обычно на фоне предшествующих весьма плавных изменений системы, когда их появлению вроде бы ничего не предвещает. Собственно катастрофой называется скачкообразные внезапные трансформации, возникающие в системе в виде её ответа на предшествующие плавные изменения внешних условий. При этом такие трансформации крайне плохо поддаются предсказаниям [14]. Однако в современной области математических знаний, которая носит название теории катастроф, разработаны методы, позволяющие в определённых условиях производить оценки подобных явлений.

Фазовое пространство Ляпунова. Изменение цвета показывает переход системы от упорядоченного состояния к хаотическому [15]

Французский математик Рене Том предложил называть теорией катастроф топологическую теорию динамических систем, используемую для оценки метаморфоз явлений природы, а также совокупность приложений теории особенностей, указав на наличие в подобных процессах структурной устойчивости. При установленных ограничениях переменных и параметров всё многообразие протекающих процессов можно свести всего к семи (!) классическим топологическим конструктам, к которым и будет стремиться поведение системы [16]. Анализируя топологические портреты, являющиеся особыми зонами в фазовом пространстве состояний, возможно установить границы бифуркационных множеств, при попадании в которые система станет совершать скачкообразные трансформации.

Двухмерные образы катастроф. Эллиптическая и параболическая омбилики

При стратификации успеваемости существуют довольно устойчивые группы, соответствующие как максимуму (отличники и близкие к ним студенты), так и слой студентов, соответствующий минимуму – имеющих неудовлетворительную успеваемость и занимающихся по нижней грани оценки удовлетворительно. Они находятся на разных листках топологической поверхности достижений. С точки зрения теории катастроф, в педагогическом процессе основные усилия по контролю знаний и обучению должны быть сконцентрированы на тех студентах, которые находятся в бифуркационной зоне. Так как студенты, имеющие посредственную успеваемость, могут скачком перейти в область хороших и отличных достижений, а хорошо успевающие студенты очень быстро выйти из опасной зоны бифуркации и обрести устойчивый ранг высоких оценок. Располагая данными IQ студентов, параметрами, обеспечивающими качество учебного процесса и используя методы теории катастроф, можно будет прогнозировать, и в определённых пределах более эффективно управлять качеством образования.

Практическое применение теории катастроф заключается в том, что огромное количество явлений, встречающихся в мире, она позволяет свести к очень ограниченному набору стандартных форм, и уже с их помощью провести количественные и качественные оценки динамично изменяющихся феноменов. Так как методы теории катастроф универсальны, они могут использоваться в сфере политики, экономики, управления, медицины, образования и т. п. Таким образом, научное познание получает новые эффективные инструменты для исследования феноменов реальности, до настоящего времени недоступных традиционным методикам и технологиям.

Фракталы в природе и организме человека

Статус математики в отношении природных процессов долгое время был не определён. В действительности нет точек, прямых линий, идеальных кругов и других фигур геометрии Евклида. С точки зрения здравого смысла, математика – это игра разума и задача познания с целью лишь описания явлений и их классификации. Поэтому древнегреческое знание не развило физику и естествознание. Создать физику и другие естественные науки – значит применить к действительности однородные точные математические и геометрические законы.

Только в Новое время Галилей, Ньютон и их последователи смогли обнаружить эти формы в механическом движении и простых механических системах. Тем не менее многие природные системы обладают огромной степенью сложности, несравнимой с использованием простых образов классической геометрии, поэтому их моделирование на такой основе оказывается невозможным. Действительно, как построить модели кроны деревьев, горного хребта, изрезанной береговой линии в объектах евклидовой геометрии? Как смоделировать сложные биологические объекты, обладающие многообразной конфигурацией, такие как нейронная сеть, система кровообращения, ацинусное строение легких, структура почек?

Столь сложной оказывается и динамическое поведение природных процессов, например, турбулентность, ритмы сердца и головного мозга. Для моделирования подобных явлений в конце XX века был создан новый тип геометрии, получившей название фрактальной. Термин фрактал был введён американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1983 году, когда вышла его книга «Фрактальная геометрия природы». Фракталы – это, прежде всего, язык геометрии, но они выражаются в алгоритмах, наборах своего рода математических процедур, которые трансформируются в геометрические формы с помощью компьютеров. Основной принцип строения фрактала «всё во всём» или, как отмечают математики, он обладает инвариантной структурой относительно масштабирования. Это значит, что фрактал проявляет одинаковое строение на разных уровнях масштаба и, кроме этого, обладает дробной размерностью, в отличие от линий и площадей, имеющих целостное значение.

Множество Мандельброта. Построено в программе WinSet 3.0

Множество Жюлиа. Построено в программе WinSet 3.0

Существует два типа основных алгоритмов, каждый из которых имеет огромное многообразие комбинаций: линейные и нелинейные. Линейный алгоритм можно представить в виде копировальной машины, способной сжимать, т. е. уменьшать изображение, или увеличивать его. Таким образом, благодаря повторяющимся операциям, формируется образ объекта. Примером работы подобных алгоритмов служит изображение листа папоротника, треугольник Вацлава Серпинского, впервые описавшего этот объект ещё в 1916 году. Треугольник Серпинского обладает самоподобием, выражающемся в том, что каждая его часть, сколь малой она не была бы, воспроизводит структуру всего большого треугольника [17].

Другой тип фрактальных алгоритмов является нелинейным. Для этого используются итерационные циклы, имеющие степенные функции, иногда реализуемые в комплексных числах. Собственно такое изображение было получено Мандельбротом и получило название в его честь.

Несмотря на то, что эти функции достаточно просты, при проведении компьютером огромного количества операций с их помощью удаётся строить модели, в принципе, любых природных и биологических объектов. Поэтому фрактальная геометрия является языком объектов, и сомнения в её применимости к многообразию природы отпадают. Причём это не только просто воспроизведение природных структур, фрактальная геометрия даёт количественные характеристики тех или иных сложных конструктов, выраженные в понятиях фрактальной размерности, например, Хаусдорфа – Безиковича, Минковского и других [18].

Оказалось, что и динамические системы, демонстрирующие сложное хаотическое поведение при их моделировании, воспроизводят фрактальную структуру. К таковым можно отнести аттрактор Лоренца, возникающий в погодных явлениях, универсальность Фейгенбаума в турбулентности и даже в броуновском движении. Если при визуализации тех или иных процессов (для этого используется аппарат построения фазового пространства состояний) возникает фрактал, то, как правило, это след хаоса.

В человеческом организме много фракталоподобных структур, но чистые фракталы и в природе, и в биологических системах практически не встречаются. Как уже отмечалось, фракталы обладают самоподобием, или как говорят математики, они инвариантны относительно масштабирования, демонстрируя одинаковую структуру на разных уровнях рассмотрения. Фрактальные структуры, как правило, являются следом хаотических процессов. Поэтому динамический детерминированный хаос имеет тесную связь с этими объектами и проявляет себя в фазовом пространстве состояний в виде фрактальных или фракталоподобных структур.

Биологические системы имеют множество фракталоподобных образований [19]. К ним относятся структура кровеносных сосудов, нейронные сети, в том числе коры головного мозга. Фрактальное строение тонкого кишечника заметно увеличивает поверхность всасывания. Наиболее явно демонстрирует фрактальную природу структура дыхательных путей, которая обеспечивает более высокий уровень газообмена. Фракталоподобной структурой обладают сердечные артерии, что повышает устойчивость к повреждающим факторам, которые могут вызвать инфаркт миокарда. Несмотря на то, что анатомические и гистологические фрактальные структуры выполняют разные функции в организме, имеется нечто общее, что их объединяет. А именно, они обеспечивают запас прочности и устойчивости к различным действующим факторам, которые могут иметь и повреждающее воздействие.

Особый интерес представляет физиология и клиническая практика динамической работы сердца. Традиционно в физиологии и медицине сложилось представление о том, что ритм сокращений здорового сердца носит устойчивый регулярный характер, т. е. интервалы между сокращениями (ударами) сердца являются постоянными. Данные записи стандартного ЭКГ подтверждали эту точку зрения. Тем не менее тщательный анализ показал, что даже у здоровых людей ритм подвержен значительным колебаниям. На протяжении почти полувека господствовала концепция гомеостаза, согласно которой физиологические системы стремятся поддерживать постоянство своей среды и функций, возвращаясь, несмотря на флюктуации, к состоянию устойчивого равновесия.

Согласно этой концепции, вариабельность ритма сердца (ВРС) – это просто временные ответные реакции на воздействия внешних факторов. Многообразные влияния на ВРС, включая нейрогуморальные механизмы высших нервных центров, обуславливают нелинейный характер изменений ритма сердца, т. е. в основе феномена ВРС лежат случайные и случайно-подобные процессы, следовательно, наиболее точно и полно отображающими ВРС методами должны служить методы нелинейной динамики. Используя подход к вариабельности ритма сердца как к стохастическому феномену, следует пересмотреть методологию её изучения. В этом случае стандартные математические методы анализа оказываются ограниченными, так как являются неспособными оценивать явления, принципиально отличающиеся от традиционных линейных процессов. Поэтому становится понятным несостоятельность широко применяемых в клинике линейных математических методов и возникает необходимость в разработке новых способов оценки ВРС, которые бы позволили наиболее точно характеризовать это явление [20].

Совсем другая картина обнаруживается, если временная дискретизация ЭКГ в его стандартной форме 0,5–0,25 с заменяется на 1–4 мс. В результате ритм сердца приближается к хаотическому, а его визуализация в фазовом пространстве демонстрирует фрактальную природу. Применение методов оценки фрактальной размерности подобных образов устанавливает прямо противоположную парадигму. Именно здоровое сердце при такой дискретизации сигнала обнаруживает хаотичность своей работы. И наоборот «скатывание» в периодику и регулярность, проявляющееся в виде изменения фрактальных показателей, свидетельствует о надвигающейся катастрофе, что подтверждается в современных клинических исследованиях.

Новая парадигма утверждает, что нерегулярность, непредсказуемость, хаотичность являются характеристиками здоровья, а снижение изменчивости, потеря хаотичности, возникновение выраженной периодичности служат признаками надвигающейся или уже существующей патологии.

Рождение НЕ́ЧТО из НИЧТО́. Как из хаоса возникает порядок

Возможно ли, что дверь в закрытой комнате без внешних воздействий загорится сама собой, или в пирамиде самозаточится лезвие бритвы? Современная наука может утвердительно ответить на эти вопросы.

При комнатной температуре молекулы воздуха (являющиеся метафорически твёрдыми и жёсткими шариками) находятся в беспорядочном движении, и именно поэтому они не оказывают существенного воздействия на объекты, находящиеся в помещении. Их траектории, как утверждает кинетическая теория, носят вероятностный характер, но всё же существует хоть и чудовищно малая возможность, что, когда движение станет упорядоченным и направленным, большая часть молекул (или они все) ринется потоком на дверь, что приведёт к её возгоранию вследствие кинетического удара.

Но как может самозаточиться лезвие в пирамиде, причём известно, что даже колонии микроорганизмов, находящиеся в её центре, практически не размножаются? А если предположить, что именно форма пирамиды при взаимодействии с движущимися частицами индуцирует расслоение хаотического движения и направляет часть этого потока на лезвие, которое затачивается вследствие механического воздействия?

Возникает резонный вопрос, существуют ли способы, позволяющие нарастить минимальные вероятности подобных реализаций, обойдя второй закон термодинамики и открыть условия перехода хаоса в порядок? Ещё в XIX веке были известны явления подобного рода – ячейки Бенара, когда вязкая жидкость под действием небольшого, но строго определённого количества тепла вместо того, чтобы случайным образом распределяться по поверхности, формировала сотовую структуру, обусловленную конвекционными потоками.

Для того чтобы понять всю сложность подобного рода переходов, необходимо напомнить смысл основных понятий, где под хаосом понимается высокая степень энтропии, беспорядочность, неопределённость, случайность и непредсказуемость. Напротив, под порядком понимается малая степень энтропии, определённость, периодичность, предсказуемость, наличие закономерностей.

Каким же образом первое способно перейти во второе? Системный подход, исследующий эту проблему, сформировался в науке в конце XX века, что привело к возникновению новой области междисциплинарных исследований, получившей название синергетики. Творцами этой науки являются И.Р. Пригожин и Г. Хакен, установившие некоторые условия таких переходов: наличие открытых систем, осуществляющих обмен информацией, веществом, энергией с внешней средой и имеющих избыток энергии в самой системе. Следует отметить приоритет отечественных учёных Б.П. Белоусова и А.М. Жаботинского, открывших периодические реакции в химических процессах, считавшиеся невозможными с точки зрения официальной науки 50-х годов XX века, поскольку постулировалось, что химические взаимодействия между молекулами носят беспорядочный характер [21]. И только когда Жаботинский построил математическую модель брюсселятора, соответствующую этой химической реакции, пришло признание существования не только периодических автоколебательных процессов, но и возникновения упорядоченных структур и спиральных волн в химии.

Возникшие теория динамических систем и её часть – нелинейная динамика (физика хаоса), установили наличие частичной расчётности в хаотических явлениях. Прежде всего, речь идёт о детерминированном хаосе, особых явлениях, вызываемых жёсткими определёнными факторами, самими по себе не несущими никакой случайности, тем не менее под воздействием которых, системы демонстрировали хаотическое поведение. Используя математический аппарат фазового пространства, удалось визуализировать поведение динамической системы, что привело к открытию странных аттракторов – зон, в которых осуществляется реализация хаотических процессов.

Аттракторы – это участки фазового пространства, куда стремятся траектории процессов. Странные аттракторы отвечают за поведение хаотических систем и имеют необычную геометрию. Они относятся к фракталам, демонстрирующим одинаковое строение на разных уровнях масштаба, и в перспективе способным послужить основой для исследования управления перехода от хаоса к порядку.

3D визуализация множества Мандельброта, одного из самых сложных объектов фрактальной геометрии. Построено в программе WinSet 3.0 [22]

Особо следует отметить работу английского математика Рамсея, доказавшего теорему, согласно которой даже в хаосе есть порядок, и хотя он очень «хрупок», но он существует и чем больше мощность хаоса, тем больше в нём элементов порядка [23]. Наши древние предки распознали в созвездиях образы животных и людей, так появились знаки Зодиака. Современный человек видит в созвездиях правильные геометрические фигуры, которые в принципе не могли бы возникнуть, так как распределение звёзд в Галактике имеет случайный характер. Данные формы и представляют собой следствие теоремы Рамсея, поскольку количество звёзд, находящихся в случайном движении составляет огромное множество (по некоторым оценкам 200 млрд). Этого вполне достаточно для возникновения элементов порядка, чем и являются на самом деле данные структуры. Следствие теоремы Рамсея может послужить основой для наращивания порядка не только в детерминированном хаосе, но и в стохастических системах, где действует огромное количество факторов.

А что же происходит в космосе? Почему-то никто не обращает внимание на то, что термоядерные процессы, протекающие в звёздах, приводят к усложнениям. Ведь в звёздах из простейшего атома водорода синтезируются все сложные элементы периодической системы. Жизнь и человечество являются продуктами жизнедеятельности этих объектов, если бы их не было, то не было бы атомов, сложных соединений, в том числе органических, из которых состоит белковая жизнь. До сих пор современной науке не понятен феномен возникновения живой системы, являющейся сверхупорядоченной, устойчивой, самоорганизующейся и самовоспроизводящейся. Остаётся только надеяться, что наука ближайшего будущего будет способна ответить на эти вопросы.