Текст книги "Тайны чисел: Математическая одиссея"

Почему у снежинки шесть лучей?

Одним из первых, кто попытался дать математический ответ на этот вопрос, был астроном и математик XVII в. Иоганн Кеплер. Его понимание того, почему у снежинки шесть лучей, возникло после изучения плода граната. Зернышки граната начинают свой рост с маленьких шариков. Как знает любой продавец фруктов, наиболее эффективный способ заполнить пространство шарами состоит в расположении их слоями шестиугольников. Слои хорошо подгоняются друг к другу, когда каждый шар из последующего слоя находится между тремя шарами слоя под ним. Совместно эти четыре шара расположены так, что являются вершинами тетраэдра.

Кеплер предположил, что это самый эффективный способ заполнить пространство – другими словами, при таком размещении у промежутков между шарами будет минимальный объем. Но как можно быть уверенным, что не существует какого-то более сложного расположения шаров, способного улучшить данную упаковку шестиугольников? Гипотеза Кеплера, как стало называться его невинное утверждение, овладевала умами поколений математиков. Ее доказательство появилось в конце XX в., когда математики объединили свои силы с мощью компьютеров.

Но вернемся к плоду граната. По мере его роста зернышки начинают сдавливать друг друга, их поверхность превращается из сфер в формы, полностью заполняющие пространство. Каждое зернышко внутри плода находится в контакте с 12 другими, поэтому когда они сдавливают друг друга, получается форма с 12 гранями. Вы могли бы подумать, что она будет соответствовать додекаэдру с его 12 пятиугольными гранями, но додекаэдры нельзя сложить вместе, чтобы они заполнили все имеющееся пространство. Единственное Платоново тело, способное идеально состыковаться и заполнить пространство, – это куб. Вместо этого 12 граней зернышка граната приобретают форму ромба. Результирующий многогранник, называемый ромбододекаэдром, часто встречается в природе (рис. 2.19).

Рис. 2.19

Так, у кристалла граната 12 граней в форме ромба. Английское слово garnet, обозначающее минерал гранат, происходит от латинского названия растения гранат, ведь красные зернышки его плода также образуют формы с 12 ромбическими гранями.

Анализ ромбических граней зернышек граната вдохновил Кеплера начать исследование всевозможных симметричных форм, которые можно построить исходя из этой менее симметричной ромбической грани. Платон изучал формы, получающиеся из одной симметричной грани. Архимед пошел дальше и рассмотрел возможность двух или большего числа симметричных граней. Исследования Кеплера породили целую индустрию, посвященную различным формам, развивающим идеи Платона и Архимеда. Теперь у нас есть Каталановы тела и тела Кеплера – Пуансо, многогранники Джонсона и «шаткие» многогранники, зоноэдры – и множество других экзотических объектов.

Кеплер считал, что шестиугольники, определяющие то, как происходит совместная упаковка шаров, также обуславливают наличие шести лучей у снежинок. Его анализ лег в основу книги, которую он посвятил императорскому советнику Иоганну Маттею Вакеру фон Вакенфельсу и преподнес в качестве новогоднего подарка – что было прозорливым поступком со стороны ученого, всегда ищущего источники финансирования исследований. Кеплер полагал, что капли воды, замерзая в облаках и превращаясь в шарики, заполняют пространство подобно зернышкам граната. Его идея, хотя и была красивой, оказалась неверной. Подлинная причина шестилучевой формы снежинки связана с молекулярной структурой льда, которую было возможно исследовать лишь после изобретения рентгеноструктурного анализа в 1912 г.

Молекула воды состоит из одного атома кислорода и двух атомов водорода. Когда молекулы связываются вместе и образуют кристалл, каждый атом кислорода разделяет свои атомы водорода с соседними атомами кислорода и, в свою очередь, заимствует два дополнительных атома водорода у других молекул воды. Итак, в кристалле льда каждый атом кислорода соединен с четырьмя атомами водорода. В модели шариков и палочек четыре шарика, представляющие атомы водорода, расположены вокруг атома кислорода так, чтобы каждый атом водорода находился от трех других атомов водорода на как можно большем расстоянии. Математика дает решение, удовлетворяющее этому требованию, и оно состоит в том, что атомы водорода находятся в вершинах тетраэдра, Платоновой формы, состоящей из четырех равносторонних треугольников. При этом атом кислорода находится в центре тетраэдра (рис. 2.20).

Рис. 2.20

Получающаяся кристаллическая структура в чем-то соответствует укладке апельсинов продавцом фруктов, когда над тремя апельсинами одного слоя находится апельсин из следующего слоя. Но если вы приглядитесь к отдельному слою, будь то апельсины или кристалл льда, то всюду увидите шестиугольники. Именно они играют ключевую роль в форме снежинки. Итак, у Кеплера была верная интуиция – укладка апельсинов и шесть лучей снежинки действительно связаны, но, лишь когда мы сумели рассмотреть атомную структуру снега, мы поняли, где скрываются шестиугольники. При росте снежинки молекулы воды прикрепляются к вершинам шестиугольника, в результате чего у нее и образуются шесть лучей.

При переходе от молекулярного уровня к большим снежинкам начинает проявляться индивидуальность каждой из них. В то время как симметрия лежит в основе строения кристалла льда, другая важнейшая математическая форма контролирует эволюцию всех снежинок: фрактал.

Какова длина береговой линии Британии?

Чему равна длина британской береговой линии? 18 000 км? Или же 36 000? А может быть, еще больше? Как ни удивительно, ответ на этот вопрос вовсе не очевиден, и он связан с математической формой, открытой лишь в середине XX в.

Конечно, из-за приливов и отливов, происходящих дважды в день, длина британской береговой линии постоянно меняется. Но, даже если зафиксировать уровень воды, по-прежнему неясно, какова протяженность береговой линии. Тонкость состоит в том, с насколько малым масштабом вы измеряете длину побережья. Вы можете начать укладывать метровые линейки, одну за другой, и сосчитать, сколько их вам понадобится, чтобы обойти вокруг страны. Но использование жестких линеек упустит множество деталей меньшего масштаба.

Рис. 2.21. Измерение береговой линии Британии

Если вы используете длинный кусок веревки вместо жестких линеек, то сможете лучше отследить сложные формы на побережье. Измерение с помощью веревки даст значительно больший результат для береговой линии по сравнению с жесткими линейками. Но и у гибкости веревки есть предел – вам будут недоступны контуры на побережье сантиметрового масштаба. Если вы используете тонкую нитку, то сможете уловить еще больше деталей, и оценка длины береговой линии снова возрастет.

Согласно данным Картографического управления Великобритании, протяженность ее береговой линии составляет 17 819,88 км. Но измерьте эту длину с учетом более мелких деталей, и вы удвоите ее. В качестве иллюстрации того, насколько трудно точно установить географические длины, упомяну, что в 1961 г. Португалия заявила, что протяженность ее границы с Испанией составляет 1220 км, а по мнению Испании, она была лишь 990 км. Такую же степень расхождения можно найти у границы между Голландией и Бельгией. В общем случае – чем меньше страна, тем длиннее у нее получается граница…

Но можно ли положить предел этому процессу? Или же чем более мы отслеживаем детали, тем длиннее получается побережье? Чтобы показать, как такое возможно, давайте построим часть математической береговой линии. Для этого вам понадобится моток бечевки. Начните с того, что размотайте 1 метр бечевки и положите ее на пол.

Рис. 2.22

Но такая линия слишком прямая, чтобы быть береговой, поэтому давайте сделаем большой залив в этом прямом участке побережья. Размотайте еще бечевки – так, чтобы средняя треть заменялась двумя вдающимися отрезками той же длины:

Рис. 2.23

Но сколько бечевки потребовалось дополнительно размотать, чтобы сделать залив? Первая береговая линия состояла из трех отрезков по ⅓ м, в то время как новая линия состоит из четырех отрезков по ⅓ м. Итак, новая длина в 4/3 раза превосходит старую и составляет 4/3 м.

Но и новое побережье все еще слишком простое. Поэтому снова разделим каждый из меньших отрезков на три и заменим среднюю часть двумя сторонами той же длины. Вот какое у нас получится побережье:

Рис. 2.24

Какая у него длина? Что же, длина каждой из четырех частей была увеличена множителем 4/3. Итак, длина побережья теперь составляет 4/3 × 4/3 м =(4/3)² м.

Вы, наверное, догадались, как мы поступим дальше. Мы будем повторять процедуру разбиения прямых отрезков на три части и замены средней секции двумя линиями той же длины. Каждый раз, когда мы делаем это, происходит увеличение длины нашего побережья благодаря множителю 4/3. Повторение процедуры 100 раз приведет к удлинению береговой линии в (4/3)¹⁰⁰ раз, и она превысит 3 миллиарда километров. Если распрямить эту бечевку, то она протянется от Земли до Сатурна.

Если бы мы могли поступить так бесконечно много раз, то получили бы бесконечно длинное побережье. Конечно, физика не позволяет нам уходить делением отрезков в бесконечно малые размеры, ограничивая нас планковской длиной. Это происходит потому, что, как считают физики, мы не можем измерить длины менее 10^–35 м, не создав при этом черную дыру, которая поглотит измерительную аппаратуру. Но повторение нашего приема добавления все меньших и меньших заливов к нашей береговой линии после 74-го шага приведет к линиям, меньшим 10^–35 м. Но математики – вовсе не физики: мы живем в мире, где отрезок можно разделить бесконечно много раз и при этом не исчезнуть в черной дыре.

Другой способ увидеть, что у береговой линий бесконечная длина, состоит в рассмотрении сегмента фрактала между точками А и B на рис. 2.25. Обозначим его длину L. Если мы увеличим этот сегмент побережья в три раза, то результатом будет точная копия всего побережья от А до Е. Тогда длина всей береговой линии будет 3L. С другой стороны, мы можем взять четыре копии меньшего сегмента и составить из них, располагая друг за другом, все побережье: от А до B, от B до C, от C до D и от D до E. С этой точки зрения длина всей береговой линии будет 4L, потому что для ее построения потребовались четыре копии меньшего сегмента. Но длина должна быть одинаковой, как бы мы ее ни измеряли. Каким же образом совместить 4 L = 3 L? Это уравнение может разрешить только L, равная либо нулю, либо бесконечности.

Рис. 2.25. Увеличьте меньший сегмент, идущий от A до B, в три раза, и вы получите больший фрактал. Но больший фрактал также можно получить, располагая друг за другом четыре копии меньшего сегмента

На самом деле бесконечная береговая линия, которую мы нарисовали, – это часть формы, называемой снежинкой Коха в честь ее изобретателя, шведского математика Хельге фон Коха. Он построил ее в начале XX в. (рис. 2.26).

Рис. 2.26

У этой математической формы слишком много симметрии, чтобы походить на настоящее побережье, она не выглядит слишком естественно или органично. Но вы можете добавить элемент случайности, касающийся того, идет ли добавляемая линия на сушу либо в море. И тогда все смотрится значительно убедительнее. Вот картинки (рис. 2.27), полученные той же самой процедурой, что и ранее, за одним исключением.

Рис. 2.27

Всякий раз перед добавлением линий вы бросаете монетку, чтобы решить, разместите ли вы их под удаляемой линией или над ней. Если объединить несколько подобных участков побережья вместе, то результат будет удивительно походить на средневековую карту Британии:

Рис. 2.28

Итак, если вам когда-либо зададут вопрос о длине береговой линии Британии, вы можете выбрать любой нравящийся вам ответ. Не о таких ли вопросах по математике мечтает каждый школьник?

Что общего у молнии, брокколи и фондового рынка?

В 1960 г. французского математика Бенуа Мандельброта пригласили выступить с докладом на экономическом факультете Гарвардского университета, чтобы рассказать о его недавней работе по распределению больших и малых доходов. Когда Мандельброт вошел в кабинет организатора выступления, то был немало озадачен, увидев, что те графики, которые он подготовил для своего рассказа, были нарисованы на доске. «Как вы сумели получить мои данные заранее?» – спросил он. Однако, как ни удивительно, нарисованные графики не имели никакого отношения к доходам, а представляли изменения цен на хлопок, которые анализировались на предыдущей лекции.

Это подобие пробудило любопытство Мандельброта и привело его к открытию, что у графиков различных несвязанных наборов экономических данных будет сходство в форме. Сверх того, формы будут сохраняться независимо от временного масштаба. Например, изменения цен на хлопок за восемь лет напоминают изменения за восемь недель, а последние сильно походят на изменения за восемь часов.

То же самое явление наблюдается и при измерении побережья Британии. Возьмите, например, изображения, приведенные ниже. На каждом из них показаны участки береговой линии Шотландии. Одно взято с карты масштаба 1: 1 000 000. Другие представляют значительно более детальные карты, масштаба 1: 50 000 и 1: 25 000 соответственно. Но удастся ли определить по изображению на карте ее масштаб? Сколь бы вы ни увеличивали или, напротив, ни уменьшали масштаб, у этих форм сохранится тот же уровень сложности. Подобное утверждение несправедливо в отношении всех форм. Если вы нарисуете волнистую линию и будете увеличивать какую-то ее часть, то с некоторого момента она будет выглядеть довольно просто. В отличие от этого береговая линия или графики Мандельброта при сколь угодно большом увеличении сохраняют сложность своей формы.

Рис. 2.29. Береговая линия Шотландии при разных увеличениях. Используются исходные карты масштаба 1: 1 000 000, 1: 50 000 и 1: 25 000 (слева направо)

Когда Мандельброт продолжил свои изыскания, он обнаружил, что эти странные формы, сохраняющие крайнюю сложность независимо от степени увеличения, с которой вы разглядываете их, встречаются во всей природе. Если вы отломите соцветие от цветной капусты и увеличите его, оно будет замечательно походить на исходную головку цветной капусты. Если вы поглядите на увеличенный участок извилистой молнии, то, вместо того чтобы быть прямым, он будет выглядеть как копия молнии в целом. Мандельброт назвал эти формы фракталами и отнес их к «геометрии природы», поскольку они представляют подлинно новый вид, осознанный в полной мере лишь в XX в.

У эволюции этих фрактальных форм в природе имеются практические причины. Фрактальное устройство человеческих легких означает, что, хотя они помещаются внутри ограниченного объема грудной клетки, их поверхностная площадь огромна, следовательно, они могут поглощать большое количество кислорода. То же относится и к другим органическим объектам. Папоротники, к примеру, стремятся увеличить свою освещенность солнцем, не занимая при этом слишком много места. Все это обусловлено способностью природы находить формы с величайшей эффективностью. Подобно тому как пузырь обнаружил, что сфера – это то, что лучше всего подходит его нуждам, живые организмы, напротив, пошли в другой конец спектра, выбрав фрактальные формы с бесконечной сложностью.

Поразительно, что, несмотря на эту бесконечную сложность фракталов, их можно генерировать с помощью очень простых математических правил. С первого взгляда крайне трудно поверить, что причудливость природного мира может быть основана на простой математике, но теория фракталов обнаружила, что даже самые сложные структуры природного мира могут быть созданы нехитрыми математическими формулами.

Рис. 2.30. Фрактальный папоротник

Рисунок 2.30 похож на папоротник, но в действительности это компьютерное изображение, полученное с помощью простого математического правила, напоминающего то, которое мы использовали, чтобы изготовить снежинку Коха. Компьютерная промышленность воспользовалась этой идеей для создания сложного естественного фона в компьютерных играх. Хотя у игровой приставки может быть весьма ограниченный объем дискового пространства, простое правило из математики фракталов помогает ей сгенерировать необычайно сложную окружающую среду.

Каким образом у формы может быть размерность 1,26?

Формы, с которыми математики сталкивались до того, как на сцену вышли фракталы, были одно-, дву– или трехмерными: одномерная линия, двумерный шестиугольник, трехмерный куб. Но одно из самых поразительных открытий в теории фракталов состояло в том, что размерность этих новых форм больше 1, но меньше 2. Если вы достаточно отважны, я предлагаю вам объяснение того, как у формы может быть размерность между 1 и 2.

Трюк состоит в том, чтобы предложить умный способ, позволяющий понять, почему линия одномерна, а квадрат двумерен. Представьте, что вы взяли прозрачный лист клетчатой бумаги, положили его на исследуемую форму и сосчитали, сколько квадратиков содержат часть формы. Затем возьмите лист клетчатой бумаги, стороны квадратиков которой в два раза меньше, чем у первоначальной.

Рис. 2.31. Как вычислить размерность фрактала, используя клетчатую бумагу. Размерность характеризует увеличение количества пикселей при уменьшении их размера

Если эта форма – линия, количество клеток на бумаге возрастает в 2 раза. Если форма – квадрат, то число клеток увеличится в 4 раза, или в 2². Каждый раз, когда мы уменьшаем размеры клеток на бумаге в 2 раза, число квадратиков, содержащих часть одномерной формы, увеличивается в 2 раза, в то время как для двумерной формы увеличение характеризуется множителем 2². Размерность соответствует степени 2.

Любопытно, что, если вы примените данную процедуру к фрактальной береговой линии, которую мы построили ранее в главе, то увеличение количества клеток при уменьшении их размеров в 2 раза описывается приблизительным множителем 2^1,26. Итак, с этой точки зрения у нас есть все основания сказать, что размерность равна 1,26. Таким образом, мы создали новое определение размерности.

Вместо клетчатой бумаги вы можете анализировать эти формы с помощью пикселей компьютерного дисплея. Пусть пиксель будет черным, если он содержит часть исследуемой формы, и белым в противном случае. При увеличении разрешения экрана размерность характеризует увеличение количества черных пикселей. Например, если вы переходите от разрешения 16 × 16 пикселей к разрешению 32 × 32, то для линии количество черных пикселей удваивается. Для квадрата увеличение количества черных пикселей описывается множителем 4, или 2². Для количества черных пикселей в компьютерном изображении снежинки Коха соответствующий множитель равен 2^1,26.

В каком-то смысле фрактальная размерность говорит нам, в какой мере эта бесконечная фрактальная линия стремится заполнить пространство, в котором она находится. Давайте построим несколько вариантов нашей фрактальной береговой линии, в которых мы будем делать угол между сторонами, добавляемыми к побережью, все меньше и меньше. При этом результат занимает все больше и больше пространства. Когда мы вычислим размерность каждой из береговых линий в этой последовательности, мы обнаружим, что она все ближе и ближе подходит к 2 (рис. 2.32).

Рис. 2.32. При изменении угла треугольника получающийся фрактал занимает все больше пространства, и его фрактальная размерность возрастает

Если проанализировать фрактальные размерности форм, встречающихся в природе, то обнаружатся некоторые интересные обстоятельства. Фрактальная размерность береговой линии Британии оценивается в 1,25, что довольно близко к показателю построенного нами математического побережья. Мы можем представить себе, что фрактальная размерность говорит нам, как быстро возрастает длина побережья, когда мы используем все более короткие линейки для ее измерения. Фрактальная размерность побережья Австралии оценивается в 1,13, что указывает в каком-то смысле на его менее сложную форму, чем у побережья Британии. Довольно поразительно, что фрактальная размерность береговой линии Южной Африки составляет лишь 1,04, это свидетельствует, что она весьма гладкая. Вероятно, самое фрактальное из всех побережий – у Норвегии с ее фьордами, оно характеризуется размерностью 1,52.

Рис. 2.33. Какова размерность береговой линии Британии?

Для предметов в трех измерениях мы также можем воспользоваться этим трюком, но клетчатую бумагу нужно заменить ячеистой структурой из кубиков. Нужно проследить, как изменяется количество кубиков, с которыми пересекается изучаемая форма, когда их размеры становятся все меньше и меньше. У цветной капусты при этом получается размерность 2,33, у листа бумаги, смятого в шар, будет 2,5, брокколи довольно замысловата с ее 2,66, и поразительно, что фрактальная размерность поверхности человеческого легкого равна 2,97.