Текст книги "Тайны чисел: Математическая одиссея"

Можно ли подделать Джексона Поллока?

Осенью 2006 г. картина, написанная художником XX в. Джексоном Поллоком, стала самой дорогой из когда-либо проданных. По сообщениям прессы, мексиканский финансист Дэвид Мартинес заплатил 140 миллионов долларов (что тогда соответствовало 75 миллионам фунтов) за картину с простым названием «№ 5, 1948».

Картина была создана с использованием фирменной техники Поллока – разбрызгивания краски по холсту. За свою манеру письма он был прозван «Джеком-оросителем»[5]5
  Игра слов. По-английски «Джек-потрошитель» и «Джек-ороситель» – Jack the Ripper и Jack the Dripper соответственно.


[Закрыть]. Критики были шокированы ценой, которая была уплачена за подобное произведение, заявляя: «Что же, я сам мог бы нарисовать такую картину!» На первый взгляд действительно кажется, что любой мог бы разбрызгать краску и надеяться стать миллионером. Но математики обнаружили, что Поллок действовал значительно тоньше, чем можно было бы подумать.

В 1999 г. группа математиков, возглавляемая Ричардом Тейлором из Орегонского университета, проанализировала картины Поллока и открыла, что используемая им прерывистая техника воссоздает фрактальные формы, столь возлюбленные природой. Увеличенные участки картин Поллока сильно напоминают полотна в целом и обладают характерной бесконечной сложностью фрактала. (Разумеется, все большее и большее увеличение в конечном счете приведет к отдельным пятнам краски, но это случится, лишь когда вы увеличите холст в 1000 раз.) Для анализа техники, развитой Поллоком, можно даже привлечь понятие фрактальной размерности.

Поллок начал создавать фрактальные полотна в 1943 г. Фрактальная размерность его ранних картин была в районе 1,45, близко к значениям норвежских фьордов, но при дальнейшем развитии техники фрактальная размерность стала ползти вверх, что свидетельствовало о растущей сложности его произведений. Для завершения одной из последних картин Поллока в технике разбрызгивания, «Синие столбы», потребовалось шесть месяцев. Ее фрактальная размерность равна 1,72.

Рис. 2.34. Фрактальная размерность картины возрастает, когда вы разбрызгиваете все больше краски

Психологи исследовали формы, которые люди находят эстетически привлекательными. Нас постоянно притягивают изображения с фрактальными размерностями между 1,3 и 1,5, что соответствует размерностям многих форм, встречающихся в природе. На самом деле у этого могут быть веские эволюционные причины. Вероятно, так устроен наш мозг, чтобы можно было приспособиться к джунглям вокруг нас. Либо, подобно тому как лучшая музыка находится где-то между крайностями скучных звуков, издаваемых лифтом, и случайным белым шумом, эти формы притягательны для нас, потому что их сложность находится между слишком регулярными и слишком случайными объектами.

Если Поллок создавал фракталы, то насколько трудно воспроизвести его технику? В 2001 г. один техасский коллекционер произведений искусства был немало обеспокоен тем, что на его «Поллоке» не было подписи либо даты. Тогда он обратился к математикам, которые ранее открыли фрактальную размерность, присущую стилю Поллока. Их исследование показало, что у данной картины не было специальных фрактальных свойств, характерных для работ Поллока, то есть она, вероятно, была подделкой. Пятью годами позже комиссия по аутентификации, созданная фондом Поллока – Краснер для вынесения заключения по оспариваемым работам, попросила Ричарда Тейлора и его команду применить фрактальный анализ к коллекции из 32 картин, недавно найденных в камере хранения, которые якобы принадлежали кисти Джексона Поллока. Согласно фрактальному анализу, все они также были подделками.

Это вовсе не значит, что полотна Поллока невозможно подделать, – Тейлор даже создал приспособление, названное им «Поллокайзером», которое рисует подлинно фрактальные картины. Баночки с краской, висевшие на веревках, приводились в движение катушкой индуктивности, запрограммированной на воспроизведение хаотического движения, в результате чего получались вполне убедительные «Поллоки». Поэтому, хотя математика и помогает разоблачать подделки, она способна также сама создавать изображения, которые будут убедительны даже для экспертов.

У фракталов, несомненно, странные формы, ведь их размерности, вроде 1,26 или 1,72, не являются целыми числами. Но мы, по крайней мере, способны нарисовать их изображения. Но теперь положение вещей станет еще более необычным, потому что нам предстоит сделать шаг в гиперпространство, чтобы исследовать формы, которые существуют вне нашего трехмерного мира.

Как видеть в четырех измерениях?

Я все еще помню возбуждение, охватившее меня в тот день, когда я впервые «увидел» в четырех измерениях благодаря выученному языку, который позволял создавать эти формы в сознании. Изобретенный Рене Декартом словарь, преобразующий формы в числа, дает нам возможность видеть в четырех измерениях. Декарт понял, что зачастую видимый мир крайне трудно подвергнуть точному описанию, и ему захотелось создать четкое математическое подспорье для этого.

Головоломка на рис. 2.35 показывает, что не всегда можно доверять глазам. Как говорил Декарт, чувственное ощущение обманчиво.

Рис. 2.35. После расположения фигур в другом порядке кажется, что их суммарная площадь уменьшилась на одну клетку

Хотя на второй картинке лишь переместили формы с первой картинки, создается ощущение, что общая площадь уменьшилась на одну клетку. Как такое возможно? Дело в том, что, хотя и кажется, будто гипотенузы двух треугольников выстраиваются в одну линию, на самом деле они направлены под несколько отличающимися углами. Этого достаточно, чтобы при ином расположении фигур показалось, что потеряна единица площади.

Чтобы обойти проблему чувственного восприятия, Декарт создал эффективный словарь, который переводит геометрию в числа. Сейчас мы с ним хорошо знакомы. Когда мы смотрим на расположение какого-то города на карте, мы определяем его с помощью двух чисел координатной сетки. Эти числа фиксируют положение города относительно точки на экваторе, находящейся точно к югу от лондонского района Гринвич. Они определяют смещение от этой точки в направлении север – юг и восток – запад.

Например, Декарт родился во французском городе под названием… Декарт (впрочем, при его рождении город назывался Ла-Э-ан-Турен), расположенном на 47° северной широты и 0,7° восточной долготы. В словаре Декарта его родной город можно описать двумя координатами следующим образом: (0,7; 47).

Мы можем использовать схожую процедуру и для описания математических форм. Например, если я хочу описать квадрат, используя Декартов словарь координат, то скажу, что это форма с вершинами, расположенными в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1) и (1; 1). Каждая сторона квадрата определяется выбором двух вершин, отличающихся одной координатой. Так одна из сторон соединяет вершины (0; 1) и (1; 1).

Для плоского двумерного мира достаточно двух координат, чтобы задать положение любой точки, но если мы хотим дополнительно включить нашу высоту над уровнем моря, то понадобится третья координата. Она также необходима для описания трехмерного куба в терминах координат. Восемь вершин куба задаются координатами (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 1), (0; 1; 1) и, наконец, (1; 1; 1), которые соответствуют вершине, наиболее удаленной от первой.

Опять-таки, ребро проходит между двумя вершинами, отличающимися только одной координатой. Конечно, если вы взглянете на куб, то легко сосчитаете, сколько у него ребер. Но, если у вас нет куба или его зарисовки, вы можете сосчитать количество пар вершин, отличающихся одной координатой. Это нужно иметь в виду, когда мы переходим к формам, изображений которых у нас нет.

В словаре Декарта с одной стороны находятся формы и геометрия, с другой – числа и координаты. Беда в том, что иллюстративная сторона словаря не может идти далее трехмерных форм, потому что отсутствует четвертое физическое измерение, в котором мы могли бы видеть формы более высоких размерностей. Но красота словаря Декарта в том, что другая его сторона может продолжаться дальше и дальше. Чтобы описать четырехмерный объект, мы просто добавляем четвертую координату, которая фиксирует, насколько далеко мы заходим в этом новом направлении. И, хотя я не могу физически соорудить четырехмерный куб, я могу в точности описать его посредством чисел. У него 16 вершин: начинаясь с точки (0; 0; 0; 0), он доходит до точек (1; 0; 0; 0) и (0; 1; 0; 0) и простирается до самой удаленной точки (1; 1; 1; 1). Числа служат кодом для описания формы, и, пользуясь этим кодом, я могу исследовать данную форму без необходимости видеть ее физически.

Например, сколько ребер у этого четырехмерного куба? Каждому ребру соответствует пара точек, отличающихся одной координатой. Из каждой вершины выходят четыре ребра, отвечающие поочередному изменению одной из координат. Итак, у нас получается 16 × 4 ребер – или нет? Нет, потому что мы сосчитали каждое ребро дважды: один раз как исходящее из вершины на одном его конце и второй раз как исходящее из вершины на другом его конце. Значит, правильное выражение для количества ребер четырехмерного куба будет 16 × 4/2 = 32. И мы можем не останавливаться, а перейти в пять, шесть или даже большее число измерений и построить гиперкубы во всех этих мирах. Так, у гиперкуба в N измерениях будет 2^N вершин. Из каждой вершины выходят N ребер, каждое из которых считается дважды. Поэтому у N-мерного куба будет N × 2^N – 1 ребер.

Математика наделяет вас шестым чувством, позволяя играть с этими формами, существующими за пределами нашей трехмерной Вселенной.

Где в Париже можно увидеть четырехмерный куб?

Чтобы отпраздновать двухсотлетие Великой французской революции, президент Франции Франсуа Миттеран дал заказ датскому архитектору Йохану Отто фон Спрекельсену на воздвижение чего-то особенного в Ла-Дефанс, деловом квартале Парижа. Строение должно было находиться на одной линии с другими знаковыми зданиями и памятниками Парижа – Лувром, Триумфальной аркой и Луксорским обелиском, что стало называться перспективой Миттерана.

Разумеется, архитектор не разочаровал. Он соорудил Большую арку (La Grande Arche), которая настолько огромна, что внутри ее поместились бы башни собора Парижской Богоматери. Вес Большой арки составляет ошеломительные 300 000 тонн. К несчастью, фон Спрекельсен умер за два года до завершения работ над сооружением, ставшим достопримечательностью Парижа. Но, возможно, не все парижане, которые видят Большую арку каждый день, осознают, что в действительности фон Спрекельсен воздвиг посреди их города четырехмерный куб.

Рис. 2.36. Большая арка в Париже является тенью четырехмерного куба

Впрочем, это не совсем четырехмерный куб, потому что мы живем в трехмерной Вселенной. Но подобно тому, как художники эпохи Возрождения отваживались на отображение трехмерных форм на плоском двумерном холсте, так и архитектор в Ла-Дефанс зафиксировал тень четырехмерного куба в нашей трехмерной Вселенной. Чтобы создать иллюзию того, что мы видим трехмерный куб, когда глядим на двумерное полотно, художник мог бы нарисовать меньший квадрат внутри большего квадрата и затем соединить их вершины для окончания картины куба. Опять-таки это не совсем куб, но изображение наделяет зрителя достаточной информацией: мы видим все ребра и можем представить куб. Фон Спрекельсен воспользовался той же идей, чтобы построить проекцию четырехмерного куба в трехмерном Париже, состоящую из меньшего куба внутри большего куба, причем их вершины соединены ребрами. Если вы посетите Большую арку и тщательно сосчитаете их, то у вас получатся те же 32 ребра, что и в предыдущем разделе, где мы использовали Декартовы координаты.

Всякий раз, когда я навещаю Большую арку, у меня возникает жутковатое чувство из-за воющего ветра, который стремится протащить вас через центр арки. Ветер стал настолько заметной проблемой, что дизайнерам пришлось сделать навес посреди арки для воспрепятствования потоку воздуха, словно строительство тени гиперкуба в Париже открыло портал в другое измерение.

Есть и другие способы представить четырехмерный куб в нашем трехмерном мире. Подумайте, как бы вы сделали трехмерный куб из куска двумерного картона. Сначала вы бы нарисовали шесть квадратов, объединенных в крестообразную форму, причем каждый из квадратов представляет грань куба. Затем вы свернете крестообразную форму в куб. Двумерная заготовка из картона называется разверткой трехмерной формы. Подобным образом в нашем трехмерном мире можно построить развертку, которую в четырех измерениях удалось бы сложить в четырехмерный куб.

Вы можете приняться за изготовление четырехмерного куба с того, что вырежете и сложите восемь трехмерных кубов. Они будут «гранями» вашего четырехмерного куба. Чтобы сделать его развертку, нужно соединить восемь кубов вместе. Сначала склейте в колонну первые четыре куба, один поверх другого. Теперь возьмите оставшиеся четыре куба и приклейте их к граням одного из четырех кубов в колонне. Ваш развернутый гиперкуб теперь должен выглядеть как два пересекающихся креста, что показано на рис. 2.37.

Рис. 2.37. Как сделать четырехмерный куб из восьми трехмерных кубов

Чтобы сложить развертку, вам необходимо начать с соединения верхнего и нижнего кубов в колонне. Следующим шагом стало бы соединение с нижним кубом обращенных наружу граней двух кубов, прикрепленных к противоположным сторонам колонны. Далее надо приклеить грани двух других боковых кубов к двум оставшимся граням нижнего куба. Разумеется, как только вы начнете сворачивать развертку, вы столкнетесь с проблемой: в нашем трехмерном пространстве не хватает места для выполнения этих действий. Вам необходимо четвертое измерение, чтобы собрать гиперкуб в соответствии с моим описанием.

Подобно тому как архитектора вдохновила тень четырехмерного куба, художник Сальвадор Дали был заинтригован идеей о развертке гиперкуба. На своей картине «Распятие, или Гиперкубическое тело» Дали изображает Христа распятым на трехмерной развертке четырехмерного куба. Для Дали понятие четвертого измерения как чего-то лежащего вне нашего материального мира, резонировало с представлением о духовном мире, находящемся вне нашей физической Вселенной. Его развернутый гиперкуб состоит из двух пересекающихся крестов, и картина наводит на мысль, что вознесение Христа на небо связано с попыткой сложить эту трехмерную структуру в дополнительном измерении, выходящем за пределы физической реальности.

Все наши попытки изобразить четырехмерную форму в трехмерной Вселенной не дадут полной картины, подобно тому как тень или силуэт в двумерном мире предоставляет лишь частичную информацию. Когда мы двигаем и поворачиваем предмет, тень изменяется, но мы никогда не видим все разом. Эта тема была подхвачена писателем Алексом Гарлендом в книге «Тессеракт» (другое название четырехмерного куба). Повествование передает взгляды различных персонажей на главные события, происходящие в преступном мире Манилы. Никакое отдельно взятое суждение не дает полной картины, но, сводя воедино все нити, что подобно разглядыванию множества различных теней, отбрасываемых предметом, читатель начинает понимать возможный сюжет. Но четвертое измерение важно не только для создания строений, картин и романов. Оно также может быть ключом к форме самой Вселенной.

Какова форма вселенной в видеоигре «Астероиды»?

В 1979 г. компьютерная компания Atari выпустила свою самую популярную видеоигру «Астероиды». Ее целью было подбить и уничтожить астероиды и летающие тарелки, одновременно уклоняясь от пролетающих астероидов и ответного огня летающих тарелок. Аркадная версия игры была настолько успешна, что в США потребовалось устанавливать в игровые автоматы бо́льшие контейнеры, чтобы вместить возросший поток 25-центовых монет.

Но с математической точки зрения интерес представляет геометрия игры: как только космический корабль пересекает верх экрана, он волшебным образом появляется внизу. Подобным образом при пересечении экрана слева космический корабль снова появляется на экране справа. Получается так, что наш космонавт заперт в двумерном мире, и вселенная целиком видна на экране. Хотя эта вселенная конечна, у нее нет границ. Поскольку космонавт никогда не доходит до края, он живет не внутри прямоугольника, а перемещается в более интересной вселенной. Можем ли мы понять, какова ее форма?

Если космонавт выходит с экрана наверху и снова появляется внизу, то эти части вселенной должны быть соединены. Представьте, что компьютерный экран сделан из гибкой резины, так что мы можем согнуть его и соединить верх с низом. Теперь мы видим, что, когда космонавт летит по экрану вертикально, он на самом деле кружится и кружится по цилиндру.

А что происходит в другом направлении? После того как космонавт исчезает с экрана слева, он снова появляется справа, поэтому два конца цилиндра также должны быть соединены. Если мы отметим точки, где они соединяются, то поймем, что цилиндр нужно согнуть и совместить его основания. Итак, в действительности наш космонавт живет на поверхности бублика, или на торе, как называем ее мы, математики.

С помощью этого куска резины я проиллюстрировал новый способ глядеть на формы, который появился в математике примерно сто лет назад. Для древних греков смысл геометрии (что буквально означает на греческом «измерение земли») состоял в определении углов и расстояний между точками. Но при анализе формы вселенной космонавта из игры «Астероиды» главными для нас были не расстояния, а то, как части формы соединены друг с другом. Этот новый взгляд на формы, когда разрешается сжимать и растягивать их, словно они сделаны из резины или пластилина, называется топологией.

Многие люди используют топологические карты каждый день. Узнаёте карту, показанную ниже? Это геометрическая карта лондонского метро, но она не слишком удобна для ориентирования, хотя и точна географически. Вместо нее лондонцы используют топологическую карту. Ее придумал Гарри Бек в 1933 г. – он сжимал и растягивал геометрическую карту, чтобы получить удобную в пользовании схему метро. Ее аналоги теперь распространены по всему миру.

Рис. 2.38. Геометрическая карта лондонского метро

Вопрос о том, можно ли развязать узел, также является топологическим, потому что при этом мы можем тянуть за веревки, но не разрезать их. Данный вопрос имеет фундаментальное значение для биологов и химиков, потому что человеческая ДНК стремится образовывать странные узлы. Некоторые болезни, например болезнь Альцгеймера, возможно, связаны с тем, как запутывается ДНК, и у математиков есть потенциал для разгадки их тайн.

В начале XX в. французский математик Анри Пуанкаре задался вопросом о том, сколько имеется топологически различных поверхностей. Это соответствует нахождению всех возможных форм, на которых мог бы жить наш двумерный космонавт из игры «Астероиды». Пуанкаре интересовался этими вселенными с топологической точки зрения, поэтому две вселенные должны считаться одинаковыми, если одну из них можно деформировать в другую непрерывным образом, не делая разрезов. Например, двумерная сфера топологически эквивалентна двумерной поверхности мяча для игры в регби, потому что одну можно преобразовать в другую. Но эта сферическая вселенная топологически отлична от тора, по которому летает двумерный космонавт, потому что сферу нельзя деформировать в бублик, не делая в ней разрезов или склеек. Но какие другие формы имеются?

Рис. 2.39. Первые четыре формы в топологической классификации двумерных поверхностей, предложенной Анри Пуанкаре

Пуанкаре сумел доказать, что, какой бы сложной ни была форма, ее всегда возможно деформировать непрерывным образом в одну из следующих форм: сферу, тор с одной дыркой, тор с двумя дырками либо тор с любым конечным числом дырок. С топологической точки зрения это полный список всех возможных вселенных для нашего двумерного космонавта. Именно количество дырок – которое математики называют родом поверхности – характеризует форму. Так, чайная чашка топологически эквивалентна бублику, потому что у них по одной дырке. У чайника же две дырки, одна в носике, а другая в ручке, и его можно преобразовать так, чтобы он выглядел как брецель[6]6
  Брецель – крендель, распространенный в Южной Германии.


[Закрыть] с двумя дырками. Наверное, необходимы большие усилия, чтобы понять, почему форма на рис. 2.40, в которой также две дырки, может быть деформирована в брецель с двумя дырками. Кажется, что из-за зацепления бубликов потребуется разрезать форму, чтобы успешно деформировать ее, но это не так.

Рис. 2.40. Как расцепить два кольца, непрерывно деформируя их, но не делая разрезов?

В конце главы я объясню, как расцепить кольца, не разрезая.